Chapitre 1 Flashcards
Définition : Développement limité ordre 1
Soit U un ouvert de R², f :U –> R une fonction, a=(a1,a2) un élément de U
Notons U0 l’ensemble (h=(h1,h2)€R², a+h € U)
on dit que f admet un DL1(a) si il existe une fonction:
epsilon:U–> R et (alpha,beta) € R²
V h € U0, f(a+h) = f(a) + alpha h1 + beta h2 +||h|| epsilon(h)
epsilon(h) –> 0, h–>0
Définition :Différentiabilité en un point
On dit que f est différenciable en a si f admet un DL1(a) et dans ce cas on appelle différentiel de f en a l’application linéaire notée daf défini par :
daf : R² –> R
h=(h1,h2) –> h1 alpha + h2 beta
autrement dit
daf = apha dx + beta dy ( car dx(h) = h1)
Théorème :Unicité de la différentiel
Soit U un ouvert de R², f : U–> R une fonction a=(a1,a2)€ U
Si f est différentiable en a, alors f possède des dérivées partielles prémière en a et
daf = ¤f (a) /¤x dx + ¤f(a)/¤y dy
Théorème :fonction différentiable et continue
Si f est differentiable sur U ouvert de R² alors f est continu sur U
Définition :Fonction continument différentiable
Soit U un ouvert de R^n, f : U –> R une fonction , on dit que f est continuement différenciable si f est diffférentable et si différentiel de f est continu sur U cad si toute les dérivées première de f sont continus sur U
Théorème :Classe C1 et continument différentiable
Si f est de classe C1 sur U ouvert de R², alors f est différentiable sur U
définition:C1 difféomorphisme, changement de variable
Soit U,V des ouverts de R^n et Phi : U –> V une fonction, on dit que phi est un C1 difféomorphisme de U sur V ou un changement de variable C1 si :
- Phi est de classe C1
- Phi bijective de U sur V
- Phi -1 est Classe C1 sur V
Théorème : Caractérisation des C1-difféomorphisme
Soit U et V deux ouverts de R^n, phi : U –> V une fonction de classe C1
Phi est un C1 difféomorphisme de U sur V si et seulement si :
- V = phi(U)
- Phi est injective
- V x € U , det (Matice jacobienne de phi) # 0
Définition : extremum local
Soit X une partie de R^n , a € X, f : X –> R une fonction
1) On dit que f admet un maximum local en a si:
] V € voisinage de a sur R^n, V x € X inter V f(x) =< f(a)
respectivement l’inverse
2) on dit que f admet un maximum local strict,
] V € voisinage de a sur R^n , V x € X inter V privé de a, f(x) < f(a)
(respectivement minimum)
Définition : point critique
Soit U un ouvert de R^n, a€U, f : U –> R
On dit que a est un point critique de f si les dérivées partielles premières de f en a existe et sont nuls
Théorème : Extremum local d’une fonction de classe C1
Soit U une partie de R^n, a € U , f: U –> R si :
-U est un ouvert de R^n
- f admet en a un extremum local
- les dérivées partielles premières de f en a existe
alors V j € [| 1, n |] , ¤f(a)/¤xj = 0
Théorème : Formule de Taylor Young à l’orde 2
Soit U un ouvert de R², f : U –> R de classe C2, a=(a1,a2) € U
Notons U0 = ( epsilon = (h,k) € R² | a+h € U)
V epsilon € U0
f(a+epsilon) = f(a) + h ¤f/¤x (a) + k ¤f/¤y (a) + [1/2 (h² ¤f²/¤x² (a) + 2hk ¤f²/¤x¤y (a) + k² ¤f²/¤y² (a) ] + o( ||psilon²|| ) quand epsilon –> 0 avec norme quelconque
Définition extrema globaux
Soit X une partie de R^n, a € X, f : X –> R une fonction
1) On dit que f admet un maximum global en a si V x € x, on est f(x) =< f(a)
2) On dit que f admet un minimum global en a si
V x € X, on est f(x) >= f(a)
maximum global => maximum local
Théorème : Minimum globale
Soit f : R^n –> R une foncyion continue, f(x) –> + infini quand ||x[[ –> + infini
V A € R, ] c >0 , V x € R^n (||x|| > c => f(x) > A ) alors f admet un minimum globale
Définition : Forme différentiel
Soit U un ouvert de R^n
1) On appelle forme différentiel sur U, toute fonction
w : U –> L(R^n,R) tel qu’il existe n fonction (A1, … , An)
An : U –> R
V(x1,…,xn) un élément de U
w(x1,….,xn) = Somme de 1 à n Aj(x1,…,xn) d xj
Les fonctions A1, …, An sont appelés les coefficients de la forme différentiel w
On dira que w est une forme diférentiel continu respectivement de Classe C^k ur U si ses coefficient sont continus respectivement de Ck sur u
