chap.1 : groupes, corps et espaces vectoriels Flashcards
Qu’est ce qu’une loi de composition interne sur G (ensemble non vide) ?
+ est une LCI si pour tout x de G, et pour tout y de G, x + y appartient aussi à G.
= le résultat de l’opération appartient également à G.
Qu’est ce qu’un monoïde ?
G est un monoïde s’il valide les prop. suivantes:
- admet une LCI, qui est :
- associative
- admet un élément neutre
Qu’est ce qu’un élément neutre ?
avec + une LCI :
x + e = e + x = x
Quel est l’élément neutre pour l’addition:
0
12 + 0 = 0 +12 =12
Quel est l’élément neutre pour la multiplication :
1
23 x 1 = 1 x 23 = 23
Quelles LCI ne sont pas associatives ?
Les lois soustraction et division ne sont pas associatives !
Qu’est ce qu’un groupe ?
Un groupe est un monoïde qui valide la condition supplémentaire suivante :
- tout élément de G admet un symétrique.
Qu’est ce qu’un symétrique s ?
Avec + la LCI :
s + x = x + s = e
Qu’est ce que le symétrique de l’addition ?
s = élément opposé :
12 + (-12) = e = 0
Quel est le symétrique pour la multiplication ?
s = élément inverse : 1/x
12 x (1/12) = e = 1
Qu’est ce qu’un groupe commutatif ?
G est un gr. commutatif s’il vérifie la propriété suivante :
- sa LCI + est commutative :
∀x,y ∈ G, x + y = y + x
Qu’est-ce qu’un anneau ?
Structure algébrique composé de deux lois de compo interne, notées :+ˆ et ⋆.
On dit que la seconde loi ⋆ est commutative sur la première + si : ∀ (a,b,c) ∈ G,
a ⋆ (b + c) = (a ⋆ b) + (a ⋆ c)
Qu’est ce qu’un anneau commutatif ?
Ensemble A muni de deux LCI, + et ⋆, telles que :
- (A, +) = groupe commutatif, on note e =Oa
- (A, ⋆) = monoïde, e=1a
- La seconde loi ⋆ est commutative
- La seconde loi ⋆ est distributive sur loi +
Qu’est ce qu’un corps commutatif ?
Ensemble K muni de deux LCI telles que :
- (K, +) = groupe commutatif de e=Ok
- (K \ {Ok}, ⋆) = groupe commu, e = 1k
- loi ⋆ distributive sur loi +
De quoi est composé l’espace vectoriel Kn ?
Il est formé de tous les n-uplets.
n-uplet de scalaire de K ( n >=1)
La donnée de n éléments x1, x2, … , xn. On note l’ensemble des n-uplets : Kn
= collection ordonnée de n objets,
Quand est ce que deux n-uplets sont égaux ?
S’ils ont les mêmes composantes.
Comment appelle-t-on les éléments de Kn ?
Les vecteurs : on note x(–>) au lieu de (x1, x2, … xn)
Opé sur les n-uplets : l’addition :
si u =(u1, u2, …, un) et v=(v1, v2 …vn) alors u + v =
u + v =(u1+v1, u2+v2, …, u3+v3)
la somme appartient aussi à Kn
Opé sur les n-uplets : la soustraction :
u - v
on utilise u + (-v).
v = (-u1, -u2, …, -un)
et on additionne : u + (-v) = (u1-v1, u2-v2, …,un-vn)
Opé sur les n-uplets : Multiplication par un scalaire : avec λ
λu = (λu1, λu2 …λun)
Quelle est la base canonique de R3 ?
la famille des trois vecteurs : i, j, et k
i (1,0,0) ; j (0,1,0) ; k(0,0,1)
Qu’est ce qu’une loi de composition externe ?
Soient E et K deux ensembles. On appelle loi de composition externe (à gauche) de K sur E, toute opération telle que : ∀ (λ,x) ∈ K x E, λ.
x ∈ E
Qu’est ce qu’un espace vectoriel ?
(E, +), gr commu et K un corps commu, avec E muni de . de K dans E. E = espace vectoriel si :
∀λ, µ ∈ K, ∀x,⃗y ∈ E :
- on a bien E + groupe commutatif
- asso : (λµ). x = λ.(µ. x)
- distri de + sur .
- distri de . sur +
- élément neutre : 1K
Sous espace vectoriel ?
F ss-ensemble non vide de E est un ss-ev si, muni des mêmes lois interne et externe, F est espace vectoriel sur K.
- F non vide
- F stable pour loi interne
- F stable pour loi externe.
Qu’est-ce qu’une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E sur K ?
C’est un ensemble fini de p-vecteurs {u1, …, up}
Qu’est ce qu’une combi linéaire de la famille de p-vecteurs ?
si (λ1, … , λp) appartient à Kp, alors il s’agit d’une combi linéaire de la famille {u1, …, up}
Qu’est-ce qu’un sous espace vectoriel engendré ?
ensemble des combi linéiare de la famille de p-vecteurs. on le note :
vect<x1, …, xp>
Qu’est ce qu’une droite vectorielle ?
ss-ev engedré par un vecteur non nul , selon un seul vecteur.
Qu’est ce qu’un plan vectoriel ?
ss-ev engendré par une famille libre de deux vecteurs
Spécificités des ss-ev :
- E et le vecteur nul sont des ss-ev de E
- le vecteur nul appartient à tous les ss-ev
- Si F et G deux ss-ev de E, alors l’intersection de F et de G en est un également.
- Mais ce n’est pas le cas de l’union.
