cap 4 probabilita Flashcards
funzione di distribuzione cumulativa
cdf = FX(x) = P (X <= x)
percentile
P(X<= xi%) = i%
funzione di densita’ di probabilita’
pdf, SOLO PER V.A. CONTINUE
fX(x) = d/dx Fx(x)
funzione di massa di probabilita’
pmf, SOLO PER V.A. DISCRETE
Pi = P(X = xi)
funzione di una V.A.
sia g(x) una funzione reale di variabile reale
allora g(X) e’ una variabile aleatoria
FY(y) = P(Y <= y) = P(g(X) <= y)
fY(y) = sum(i)( fX(xi)/ abs(g’(xi)), dove xi sono le soluzioni a g(x) = Y
valor medio statistico
IE[X] = int(-inf, +inf) x fX(x) CONTINUO
IE[X] = sum(-inf, +inf) xi P(X = xi) discreto
varianza
sigmaquadro= var(X) = IE[(X-IE[X])
^2] = IE [X ^2] - IE ^2 [X]
devianzione standard
radice quadrata della varianza
V.A. di bernoulli
X o successo o insuccesso
pmf : P(X= 1) = p, P(X =0) = q
IE[X] = p
var(X) = qp
V.A. binomiale
X valuta il numero di successi su n esperimenti di Bernoulli
P(X = k) = (n) p ^k q ^ n- k, con o <= n <= k
………………(k)
IE[X] = sum(k = 0, n) kp(X = k) = np
var(X) = npq
V.A. poisson
gaussiana discreto ediscion
P(X = k) = e^-a a^k / k!, a > 0, k >= 0
IE[X] = a
var(X) = a
definizione di variabile aleatoria
è una mappa dallo spazio degli eventi a R che fa corrispondere ad ogni evento omega un numero reale R
proprietà cdf (sono 6)
- 0 <= FX(x) <= 1
- e’ crescente
- tende a 1 se x tende a infinito e tende a 0 se x tende a meno infinito
- e’ continua a destra, cioe lim(epsilon -> 0+) FX(x + epsilon) = FX(x)
- FX(b) - FX(a) = P(a <= x <= b)
- FX(a) - FX(a-) = P(a = x)
proprieta’ pdf (sono 5)
- fX(x) >= 0 sempre, visto che cdf e sempre crescente
- int(- inf, +inf) (fX(x)) = 1
- int (a,b) (fX(x)dx) = P(a <= X <= b)
- in generale int(D)(fX(x)dx) = P(X appartiene a D
5 int (- inf, x)(fudu)= FX(x)
proprieta’ valor medio (sono 3)
- IE[c] = c
- linearita’
- IE[g(x)] = int(-inf+inf)(g(x)fX(x)dx)
proprieta’ varianza(sono 4)
1.var (cX) = c^2 var(X)
2. var(c) = 0
3.var(c+ X) = var X
4. var X+Y = var X + var Y - 2cov XY
funzione di correlazione
corr(X,Y) = IE[XY]
funzione di covarianza
cov(X,Y) = IE[XY] - IE[X]IE[Y] = IE[(X- IE[X])(Y-IE[Y])]
coefficiente di correlazione
rhoXY = cov(X,Y) / devstanX devstanY =( IE[XY] - IE[X]IE[Y] ) /sigmaX sigmaY
proprieta coefficiente di correlazione
- a causa della disuguaglianza di scwharz, abs(rho) <= 1
- se uguale a 1 i due valori sanno nel piano xy su una retta, ovvero c e corrispondenza lineare tra i due e sapendone uno posso sapere l altro
3 se rho > 0 allora sono concordi, cioe se X > IE[X] anche Y > IE[Y]
4 se minore di zero sono discordi - se rho = 0 sono incorrelati, non c e nessun trend
- due v.a. indipendenti sono per forza incorrelate, non per forza il contrario (apparte per gaussiane)
Somma di v.a.
come calcolare FZ(z) e fZ(z)
dimostrare con calcoli
guarda quaderno / foto che non c ho boglia
Distribuzioni congiunte
scrivere cdf e pdf/ pmf
cdf FXY(x,y) = P(X <= x, Y <= y)
se discrete pmf PXY(x, y) = P(X = xi, Y = yi)
se continue pdf fXY(x, y) = d^2/dxdy FX,Y(x,y)
proprieta’ pdf congiunta
son 5
- int (-inf, +inf) (int (-inf, +inf)( fX,Y(x,y) dx)dy = 1
- int (-inf, x) ((int (-inf, y) (fX,Y(u,v) du)dv = FX,Y(x,y)
- P(x< X < x + dx, y < Y < y+ dx) = fX,Y(x,y)
- P(x,y appartengono a d ) = int (D) fX,Y(x,y)dxdy
- MARGINALIZZAZIONE fX(x) = int (-inf, +inf) ( fX,Y(x,y) dy ) e viceversa daje
VA congiuntamente gaussiane