cap 4 probabilita Flashcards

1
Q

funzione di distribuzione cumulativa

A

cdf = FX(x) = P (X <= x)

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Q

percentile

A

P(X<= xi%) = i%

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3
Q

funzione di densita’ di probabilita’

A

pdf, SOLO PER V.A. CONTINUE
fX(x) = d/dx Fx(x)

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4
Q

funzione di massa di probabilita’

A

pmf, SOLO PER V.A. DISCRETE
Pi = P(X = xi)

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5
Q

funzione di una V.A.

A

sia g(x) una funzione reale di variabile reale
allora g(X) e’ una variabile aleatoria
FY(y) = P(Y <= y) = P(g(X) <= y)
fY(y) = sum(i)( fX(xi)/ abs(g’(xi)), dove xi sono le soluzioni a g(x) = Y

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6
Q

valor medio statistico

A

IE[X] = int(-inf, +inf) x fX(x) CONTINUO
IE[X] = sum(-inf, +inf) xi P(X = xi) discreto

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7
Q

varianza

A

sigmaquadro= var(X) = IE[(X-IE[X])
^2] = IE [X ^2] - IE ^2 [X]

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8
Q

devianzione standard

A

radice quadrata della varianza

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9
Q

V.A. di bernoulli

A

X o successo o insuccesso
pmf : P(X= 1) = p, P(X =0) = q
IE[X] = p
var(X) = qp

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10
Q

V.A. binomiale

A

X valuta il numero di successi su n esperimenti di Bernoulli
P(X = k) = (n) p ^k q ^ n- k, con o <= n <= k
………………(k)
IE[X] = sum(k = 0, n) kp(X = k) = np
var(X) = npq

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11
Q

V.A. poisson

A

gaussiana discreto ediscion
P(X = k) = e^-a a^k / k!, a > 0, k >= 0
IE[X] = a
var(X) = a

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12
Q

definizione di variabile aleatoria

A

è una mappa dallo spazio degli eventi a R che fa corrispondere ad ogni evento omega un numero reale R

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13
Q

proprietà cdf (sono 6)

A
  1. 0 <= FX(x) <= 1
  2. e’ crescente
  3. tende a 1 se x tende a infinito e tende a 0 se x tende a meno infinito
  4. e’ continua a destra, cioe lim(epsilon -> 0+) FX(x + epsilon) = FX(x)
  5. FX(b) - FX(a) = P(a <= x <= b)
  6. FX(a) - FX(a-) = P(a = x)
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14
Q

proprieta’ pdf (sono 5)

A
  1. fX(x) >= 0 sempre, visto che cdf e sempre crescente
  2. int(- inf, +inf) (fX(x)) = 1
  3. int (a,b) (fX(x)dx) = P(a <= X <= b)
  4. in generale int(D)(fX(x)dx) = P(X appartiene a D
    5 int (- inf, x)(fudu)= FX(x)
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15
Q

proprieta’ valor medio (sono 3)

A
  1. IE[c] = c
  2. linearita’
  3. IE[g(x)] = int(-inf+inf)(g(x)fX(x)dx)
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16
Q

proprieta’ varianza(sono 4)

A

1.var (cX) = c^2 var(X)
2. var(c) = 0
3.var(c+ X) = var X
4. var X+Y = var X + var Y - 2cov XY

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17
Q

funzione di correlazione

A

corr(X,Y) = IE[XY]

18
Q

funzione di covarianza

A

cov(X,Y) = IE[XY] - IE[X]IE[Y] = IE[(X- IE[X])(Y-IE[Y])]

19
Q

coefficiente di correlazione

A

rhoXY = cov(X,Y) / devstanX devstanY =( IE[XY] - IE[X]IE[Y] ) /sigmaX sigmaY

20
Q

proprieta coefficiente di correlazione

A
  1. a causa della disuguaglianza di scwharz, abs(rho) <= 1
  2. se uguale a 1 i due valori sanno nel piano xy su una retta, ovvero c e corrispondenza lineare tra i due e sapendone uno posso sapere l altro
    3 se rho > 0 allora sono concordi, cioe se X > IE[X] anche Y > IE[Y]
    4 se minore di zero sono discordi
  3. se rho = 0 sono incorrelati, non c e nessun trend
  4. due v.a. indipendenti sono per forza incorrelate, non per forza il contrario (apparte per gaussiane)
21
Q

Somma di v.a.
come calcolare FZ(z) e fZ(z)
dimostrare con calcoli

A

guarda quaderno / foto che non c ho boglia

22
Q

Distribuzioni congiunte
scrivere cdf e pdf/ pmf

A

cdf FXY(x,y) = P(X <= x, Y <= y)

se discrete pmf PXY(x, y) = P(X = xi, Y = yi)

se continue pdf fXY(x, y) = d^2/dxdy FX,Y(x,y)

23
Q

proprieta’ pdf congiunta
son 5

A
  1. int (-inf, +inf) (int (-inf, +inf)( fX,Y(x,y) dx)dy = 1
  2. int (-inf, x) ((int (-inf, y) (fX,Y(u,v) du)dv = FX,Y(x,y)
  3. P(x< X < x + dx, y < Y < y+ dx) = fX,Y(x,y)
  4. P(x,y appartengono a d ) = int (D) fX,Y(x,y)dxdy
  5. MARGINALIZZAZIONE fX(x) = int (-inf, +inf) ( fX,Y(x,y) dy ) e viceversa daje
24
Q

VA congiuntamente gaussiane

25
2 proprieta va congiuntamente gaussiane e conseguenza
26
disuguaglianza di markov e dimostrazione
27
disuguaglianza di chebyshev e dimostrazione
28
legge dei grandi numeri
29
V.A. uniforme
come si definisce X tilde (a,b) fX(x) 1/ b-a FX(x) x -a / b-a IE[X] = a + b / 2 var(X) = (b - a ) ^ 2 / 12
30
V.A. esponenziale
fX(x) = 1/mu e ^ - x / mu FX(x) = 1 - e ^ - x / mu IE[X] = mu var (X) = mu ^ 2
31
V.A. gaussiana
fX(X) = 1 / (sqr(2 pi) sigma )e ^ (x - mu) ^ 2) / 2 (sigma ^2) IE[X] = mu var(x) = sigma ^2 erf(X) = 2 / sqr(pi) int (0, x) ( e ^ - t^2) dt erfc(x) 1 - erf(X) Fx(x) = 1/2 - 1/2 erf(x- mu/sigma sqr(2)) = 1 - 1/2 erfc() = 1/2 erf()
32
spazio di probabilità
(Omega, S , P())
33
assiomi di kolmogorov
1. P(S) = 1 (assioma di normalizzazione) 2. P(S) >= 0 (assioma di non neegatività) 3. siano E1, ...,En UNA QUALUNQUE SUCCESSIONE DI EVENTI DISGIUNTI ( cioe tali che Ei intersecato En = insieme nullo per ogni i != n) allora p(E1 U E2 U ...) = sum (i = 1,n) p(Ei) (assioma di numerabile additività)
34
definizioni possibili
definizione relativa P(E) = lim n -> + inf (n E / n) dove n è il numero di esperimeniti realizzati e n E è il numero di esperimenti che verificano l evento E definizione classica ( vale solo per eventi equiprobabili) P(E) = NE/N dove ne e il numero di eventi che verificano l evento e N è il numero di eventi possibili
35
proprietà delle probabilità (sono 4)
1 P(E) + p(Ec) = 1 2. P(A U B) = P(A) + P(B) - P ( A ⋂ B) 3. P(0) = 0 4 se E sottoinsieme di E2 allora p E <= p(E2)
36
probabilità condizionata e formula di bayes
P(E1/ E2) = P(E1 ⋂ E2)/ P(E2) P(E2/ E1) = P(E1/E2) P(E2) / P(E1)
37
eventi statisticamente indipendenti e conseguenze
P(E1/ E2) = P (E1) P(E1 ⋂ E2) = P(E1) P(E2)
38
teorema della probabilità totale e teorema di bayes
se ho una partizione dello spazio degli eventi in insiemi disgiunti e ho A che ne interseca alcuni allora P(A) = sum(i) (P(A/Di) P(Di) teorema di bayes P(Di/A) = P(A / Di) (P(Di)/ sum(i) P(A / Di) P(Di)
39
funzione carataristica, proprietà e dimo
Φ(ω) = IE[e^jxω] = int(-inf, +inf) (e^jxω) fx(x) 1. (d/dω)^n (Φ(ω)), con ω= 0 è uguale a j^n IE[x^n] 2. X = X1 + X2 +______+ Xn variabili indipendenti => Φx(ω) = produttoria da 1 a n Φxi(ω) dimo guarda sul quad
40
definizione di campo
chiususra rispetto al complemento chiusura rispetto all unione chiusura rispetto all unione numerabile