calculo Flashcards
¿Qué se analiza en el comportamiento de una función cerca de un punto?
Se analiza el “valor esperado” de la función en las cercanías de un instante dado, incluso si la función no está definida en ese punto. Este valor esperado puede diferir del valor real si hay una anomalía.
¿Cómo se determina si una función tiene un valor esperado en un punto x0?
Se evalúa gráficamente. Si la gráfica pasa sin interrupciones por el punto, el valor esperado coincide con el valor real (punto de continuidad). Si hay una interrupción que se puede rellenar agregando un punto, el valor esperado corresponde a esa corrección.
¿Qué es el límite de una función en un punto a?
Una función tiene un valor esperado L en un punto a si, al aproximarse por la derecha e izquierda, los valores de la función se acercan a L. Este L es el límite de la función.
¿Cómo se define el límite intuitivo de una función?
El limite L de f(x) cuando x —>a existe si el limite de f(x) cuando el limite de f(x) cuando x—>a- es igual al limite de f(x) cuando x—>a+, y esto son iguales a L.
¿Qué son los límites laterales?
Limite izquierdo: Comportamiento de
f(x) a la izquierda de
a.
Limite derecho: Comportamiento de f(x) a la derecha de
a
¿Qué son los límites infinitos?
- Si f(x) —> + infinito, cuando x—>a, los valores de f(x) crecen ilimitadamente positivos.
- Si f(x) —> - infinito cuando x—>a, los valores de f(x) decrecen ilimitadamente negativos.
¿Qué es una asíntota vertical?
La recta y=L es una asíntota horizontal si el limite de f(x) cuando x—> infinito (- o +) es igual a L
¿Es posible calcular el límite de una función en un punto donde no está definida?
Sí, es posible calcular el límite de una función en un punto donde no está definida. La existencia del límite no depende del valor de la función en el punto, sino de su comportamiento alrededor de ese punto
¿Qué es la variación total de una función?
La variación total describe cuánto cambió f(x) entre a y b cuando la variable independiente se mueve en el intervalo
[a,b].
¿Qué es la variación media de una función?
La variación media o razón de cambio promedio de f(x) en el intervalo [a,b] se define como:
[f(b) - f(a)/b-a]
Geométricamente, esta variación media representa la pendiente de la recta secante que une los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b))
¿Cómo se interpreta la variación media cuando describe el movimiento de un objeto?
Se denomina velocidad media entre a y b
¿Qué es la variación instantánea de una función?
La variación instantánea de f(x) en un punto a se define como el límite de las variaciones medias en intervalos cada vez más pequeños alrededor de a.
¿Cómo se interpreta la variación instantánea en el caso de la distancia recorrida por un objeto?
En este caso, la variación instantánea se interpreta como la velocidad instantánea del objeto.
¿Cómo se define formalmente la derivada de una función en un punto?
La derivada de f(x) en un punto a se denota como f′(a) y es el límite del cociente incremental cuando h→0
lim h→0= [f(a + h) - f(a)/h]
.
¿Qué información geométrica nos da la derivada de una función en un punto?
Geométricamente, f′(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a,f(a)).
¿Cómo se interpreta la derivada en términos de la variación de una función?
La derivada f ′ (x) representa la variación instantánea de la función en el valor x.
¿Qué son las derivadas laterales?
Son utilizadas en casos donde la derivada no puede definirse de manera estándar debido a diferencias en el comportamiento de la función en los dos lados de un punto.
¿Cómo se usa la derivada en optimización?
Se utiliza para analizar el comportamiento de una función, localizar sus máximos y mínimos, identificar intervalos de crecimiento o decrecimiento y estudiar concavidades, entre otras aplicaciones.
¿Qué herramientas analíticas se utilizan para encontrar los valores máximos o mínimos?
Se utiliza la derivada para estudiar el comportamiento de la función y encontrar los valores óptimos.
¿Qué nos dice la derivada de una función sobre su comportamiento?
La derivada nos indica si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo.
¿Cómo se interpreta geométricamente el signo de la derivada?
Si la derivada es positiva en un intervalo, la función es creciente; si es negativa, la función es decreciente.
¿Cómo se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función?
Se encuentra la derivada de la función, se determinan los ceros de la derivada y se analizan los intervalos donde la derivada cambia de signo.
¿Cómo se identifican los valores máximos y mínimos de una función?
Se comparan los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo para encontrar los máximos y mínimos absolutos y relativos.
¿Qué es un número crítico?
Un número crítico es un punto donde la derivada de la función es cero o no existe.
¿Qué es el Criterio de la Primera Derivada?
Este criterio se utiliza para determinar si un número crítico es un máximo o mínimo local:
- Si la derivada cambia de positiva a negativa, hay un máximo local.
- Si cambia de negativa a positiva, hay un mínimo local.
¿Cuál es el objetivo inicial del cálculo de la integral definida?
Estimar el área de una región delimitada por la gráfica de una función continua y positiva, el eje x, y las rectas
x=a y x=b.
¿Qué es la Suma de Riemann?
La suma de Riemann se utiliza para aproximar el área bajo la curva de una función continua en un intervalo [a,b], dividiendo el intervalo en sub-intervalos y utilizando los valores de la función en los extremos de los sub-intervalos o en puntos dentro de ellos.
¿Qué es la suma por la izquierda en la suma de Riemann?
Se calcula utilizando los valores de la función en los extremos izquierdos de los sub-intervalos.
¿Qué es la suma por la derecha en la suma de Riemann?
Se calcula utilizando los valores de la función en los extremos derechos de los sub-intervalos.
¿Cómo se define la integral definida?
La integral definida de una función f(x) sobre el intervalo [a,b] se define como el límite de la suma de Riemann cuando el número de sub-intervalos tiende a infinito.
¿Cuáles son las condiciones de integrabilidad de una función?
Si f(x) está acotada en [a,b] y es continua en este intervalo, excepto en un número finito de puntos, entonces f(x) es integrable en [a,b].
¿Cómo se interpreta la integral definida cuando f(x)≥0?
La integral definida representa el área bajo la curva de la función f(x) entre los límites de integración a y b.
¿Qué ocurre cuando f(x) toma valores negativos?
La integral representa el área neta, es decir, la diferencia entre el área encima del eje x y debajo de la curva.
¿Qué es una ecuación diferencial?
Es una ecuación que contiene derivadas de una función desconocida.
¿Qué tipo de ecuaciones diferenciales permiten modelar fenómenos?
Modelan fenómenos donde se tiene información sobre la razón de cambio de una función, como el porcentaje de incidencia de una enfermedad en una población.
¿Qué es una ecuación diferencial ordinaria (EDO)?
Es una ecuación que contiene derivadas de una función de una sola variable independiente.
¿Cómo se clasifica una ecuación diferencial en función de su orden y grado?
- Orden: Es el orden de la derivada más alta en la ecuación.
- Grado: Es el grado de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.
¿Qué es una solución de una ecuación diferencial?
Es toda función y=f(x) que, al ser sustituida en la ecuación, convierte la ecuación en una identidad para todo x en un intervalo dado.
¿Qué es una solución general de una ecuación diferencial?
Se obtiene por integración y contiene una constante por cada integración realizada, representando una familia de funciones.
¿Qué es una solución particular de una ecuación diferencial?
Es aquella que no contiene constantes arbitrarias, obtenida a partir de una condición inicial, representando una curva particular de la familia de funciones.
¿Qué tipo de ecuaciones modelan el crecimiento o decrecimiento?
Ecuaciones como dt/dp=kp, donde
k es una constante, modelan el crecimiento de bacterias, la desintegración radiactiva, o el enfriamiento de un cuerpo.
¿Qué es una circunferencia?
La circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
¿Cuál es la ecuación canónica de una circunferencia con centro en el origen?
x² + y²=r²
¿Cuál es la ecuación de una circunferencia con centro en (h,k)?
(x−h)² +(y−k)² =r²
¿Cómo se define una elipse?
La elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
¿Qué es la excentricidad de una elipse?
La excentricidad (e) de la elipse es la relación entre la distancia del centro al foco y la distancia del centro al vértice: c/a
¿Cuál es la ecuación canónica de una elipse con centro en el origen y los focos sobre el eje
x?
x²/a²+y²/b²=1
