Begrepp Flashcards
Linjär avbildning
En funktion som tar vektorer från ett vektorrum och avbildar dem till ett annat vektorrum, med egenskaperna att:
T(u+v)=T(u)+T(v)
T(cu)=cT(u) där u och v är vektorer och c är en skalär
Injektiv
En linjär avbildning är injektiv om varje element i målrummet är avbildat från högst ett element i definitionsmängden. Med andra ord, om T(u1)=T(u2) så måste u1=u2. För att avgöra om en linjär avbildning är injektiv kollar man om ekvationen T(x)=0 endast har den triviala körningen x=0
Kolonnrum
Kolonnrummet för en matris A är mängden av alla möjliga linjärkombinationer av matrisens kolonner. Det beskriver det underrum som matrisen spänner upp i målrummets dimension.
För att hitta kolonnrummet, sätt upp de kolonner du vill undersöka och använd Gausselimination för att hitta de linjärt oberoende kolonnerna.
Linjärt beroende/oberoende
Linjärt beroende: En uppsättning vektorer är linjärt beroende om det finns en icke trivial linjärkombination av vektorerna som ger nollvektorn
Linjärt oberoende: En uppsättning vektorer är linjärt oberoende om den enda lösningen till c1v1+c2v2+…+cnvn=0 är att alla koefficienter c1,c2,…,CSN=0
För att kontrollera om en uppsättning vektorer är linjärt oberoende/beroende, ställ upp en ekvation med linjärkombination och använder Gausselimination eller detarminantberäkning
Unik lösning
En linjär ekvation har en unik lösning om matrisen som beskriver systemet är inverterbar (detarminantvärdet är inte är noll). Detta betyder att systemet har exakt en lösning.
Egenvärde
Ett egenvärde Á är ett tal så att för en kvadratisk matris A och en icke-noll veckor v gäller Av=Áv.
För att hitta egenvärde RNA löser man determinanten av A-ÁI=0, där I är identitetsmatrisen. De Á-värden som gör detta möjligt är egenvärderna
Egenvektor
Egenvektor är en vektor icke noll vektor som uppfyller ekvationen Av=Áv
Egenrum
Egenrummet är mängden av alla egenvektorer till ett givet egenvärde, tillsammans med nollvektorn. För varje egenvärde Á löses ekvationen (A- ÀI)v=0 för att hitta egenvektorer
Diagonaliserbar
En matris A är diagonaliserbar om det finns en bas av egenvektorer för matrisen, vilket betyder att A kan skrivas som A=PDP^-1, där D är en diagonalmatris som innehåller egenvärderna och P är en matris vars kolonner är egenvektorer.
Kryssprodukt
Kryssproduktan är en operation mellan två vektorer i R^3 som är ortogonal (vinkelrät) mot de två ursprungliga vektorerna.
Planets ekvation
Ett plan kan beskrivas med hjälp av en punkt P0 på planet och en normalvektor n. Planets ekvation i R3 är: n•(r-P0)=0 där r är en godtycklig punkt och • är skalärprodukt
Normalvektor
En normalvektor till ett plan är en vektor som är vinkelrät mot planet. Om planet ax+by+cz=d, så är normalvektorn n=(a, b, c)
Ortogonal
Två vektorer är ortogonala om deras skalärprodukt är noll, dvs u•v=0. Detta betyder att vektorerna är vinkelräta mot varandra.
Ortogonal projektion
Den ortogonala projektionen av en vektor v på en annan vektor u ges av proju(v)= (u•v/u•u)u.
Detta ger den vektor på u riktningen som är närmast v
Transponat
Transplantera av en matris A, betecknad A^T, är en ny matris som fås genom att byta plats på rader och kolonner. Om A är en m x n matris blir A^T en n x m-matris
Invers
En matris A är inverterbar om det finns en matris A^-1 sådan att AA^-1=A^-1A=I sär I är identitetsmatrisen.
För att beräkna A-1 kan man använda Gausselimination eller använda formeln för 2x2 eller 3x3 matriser
Triviala lösningen
Den triviala lösningen är den lösning där alla variabler är lika med noll. När vi talar om ett linjärt ekvationssystem är den triviala lösningen den lösningen den lösningen där alla okända vektorer är lika med nollvektorn (eller noll i fallet med skalärer)
Linjär kombination
Linjärkombination av vektorer innebär att man tar olika vektorer och multiplicerar dessa med konstanter och senan adderar dessa resultat. En linjärkombination an vektorer v1,v2,…,vn och konstanter c1,c2,..,cn: c1v1+c2v2+…+cnvn
Linjärkombinationer används för att uttrycka olika beroenden mellan vektorer,såsom linjärt beroende/oberoende.
Underrum
Underrum är en delmängd av ett vektorrum som själv också är att vektorrum. För att vara ett underrum måste delmängden uppfylla:
•Måste innehålla nollvektorn
•Om u &v är vektorer i underrummet måste u+v också vara i underrummet
•Om u är i underrummet och c är en skalär så måste cu också vara i underrummet.
Skalärprodukt
Skalärprodukt är en operation mellan två vektorer
a•b=a1b1+a2b2+…+anb
Om skalärprodukt en är noll är vektorerna vinkelräta, är den negativ pekar de i motsatta riktninga.
Injektiv
En funktion T:X->Y är injektiv om varje element i X har ett unikt elelment i Y. Man kan kontrollera att en linjär avbildning T är injektiv genom att kolla på noll rummet. Om nollrummet bara innehåller den triviala lösningen (T(v)=0 endast när v=0) då är T injektiv
Surjektiv
En funktion T:X->Y är surjektiv om varje element i målrummet Y har åtminstone ett element i domänen X som avbildas på det. Hela målrummet täcks av avbildningarna från X
