Aula

Question 1

Quais são 3 propriedades do Somatório?

Answer 1

1ª. Propriedade: O somatório de uma constante 𝒌 é igual ao produto do número de termos pela
constante.

2ª. Propriedade: O somatório do produto de uma constante por uma variável é igual ao
produto da constante pelo somatório da variável.

∑𝒌 × 𝒙i = = 𝒌 ×∑𝒙i

3ª. Propriedade: O somatório de uma soma ou subtração é igual à soma ou à subtração dos
somatórios dessas variáveis.

∑(𝒙𝒊 ± 𝒚𝒊) = ∑𝒙𝒊 ± ∑𝒚𝒊

Question 2

Como se calcula a média aritmética simples e propriedades da média aritmetica simples?

Answer 2

média aritmetica = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + ⋯ + 𝒙𝒏/ n

1ª Propriedade: Dado um conjunto com 𝒏 ≥ 𝟏 elementos, a média aritmética sempre existirá
e será única.

2ª Propriedade: A média aritmética 𝒙̅ de um conjunto de dados satisfaz a expressão 𝒎 ≤ 𝒙̅ ≤
𝑴, em que 𝒎 e 𝑴 são, respectivamente, os elementos que representam o valor mínimo e o
valor máximo desse conjunto.
𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 ≤ 𝒙̅ ≤ 𝑴á𝒙𝒊𝒎𝒐

3ª Propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante 𝒄 de todos os valores de uma
variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.
𝒚̅ = 𝒙̅ + 𝒄 ou 𝒚̅ = 𝒙̅ − c

4ª Propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) uma constante c de todos os valores de
uma variável, a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por esta constante.
𝒚̅ = 𝒙̅ × 𝒄 ou 𝒚̅ = 𝒙̅ ÷ 𝒄

5ª Propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.
∑(𝒙𝒊 − 𝒙̅) = 𝟎

6ª Propriedade: A soma dos quadrados dos desvios da sequência de números {𝒙𝒊
}, em relação a um número 𝒂, é mínima se 𝒂 for a média aritmética dos números.
∑(𝒙𝒊 − 𝒂)𝟐 ≥ ∑(𝒙𝒊 − 𝒙̅)𝟐

Essa propriedade afirma que, caso os desvios sejam calculados com relação a um número diferente da média, e os resultados de tais desvios sejam elevados ao quadrado e somados, teremos um número necessariamente maior do que obteríamos caso a mesma operação fosse realizada utilizando-se a média.

Question 3

Como é calculada 1) a média ponderada, 2) média para dados agrupado por valor, 3) média para grupos agrupados por classe, 4) média geométrica e 5) média harmônica?

Answer 3

1) 𝒙̅ =∑ (𝒙𝒊 × 𝒑𝒊) / ∑ 𝒑𝒊

Observe que no numerador cada valor será multiplicado pelo seu respectivo peso, enquanto no denominador teremos a soma de todos os pesos.

2) Para calcularmos a média a partir de uma tabela de frequências, devemos utilizar a seguinte
fórmula:

𝒙̅ = ∑ (𝑿𝒊 × 𝒇𝒊) / ∑ 𝒇𝒊

O raciocínio é exatamente o mesmo adotado para a média ponderada, sendo que, agora, o peso é representado pela frequência. Desse modo, vamos multiplicar cada valor por sua respectiva frequência, somar tudo e dividir pela soma das frequências.

3) Para calcular a média aritmética de dados que estão agrupados por classe.
Os dados vem com a conotação 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟐 e a frequência dessa classe.
Primeiro calcula-se o ponto médio das classes:
𝑷𝑴 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + 𝒍𝒔𝒖𝒑 / 𝟐
em que 𝑙𝑖𝑛𝑓 e 𝑙𝑠𝑢𝑝 são, respectivamente, os limites inferior e superior do intervalo considerado.
Calcula-se os valores das multiplicações 𝑃𝑀𝑖 × 𝑓𝑖.
E soma-se os valores, conforme ∑ (𝑃𝑀𝑖 × 𝑓𝑖) e soma-se os valores das frequencias, 𝑓𝑖.

E a fórmula é 𝑥̅= ∑(𝑃𝑀𝑖 × 𝑓𝑖) / ∑ 𝑓𝑖

4) A média geométrica é uma medida estatística muito utilizada em situações de acumulação de
percentuais.
O raciocínio para encontrarmos a fórmula da média geométrica é análogo ao adotado para a média aritmética.

𝑮 = n √𝒙𝟏 × 𝒙𝟐 × ⋯ × 𝒙n (G é igual a raiz de n do produto do conjunto de números)

5) A média harmônica é muito utilizada quando precisamos trabalhar com grandezas inversamente proporcionais. É o caso de problemas clássicos, como o cálculo da velocidade média de um automóvel ou da vazão de torneiras.
Essa medida é definida, para o conjunto de números positivos, como o inverso da média
aritmética dos inversos. A propriedade principal dessa média é preservar a soma dos inversos
dos elementos de um conjunto de números.

A fórmula é 𝑯 = 𝒏 / (𝟏/𝒙𝟏 + 1/𝒙𝟐+ ⋯ + 𝟏/𝒙n)

Question 4

Como se calcula a mediana para 1) dados não agrupados, para 2) dados agrupados sem intervalos de classe e 3) para dados agrupados em classes?

Answer 4

2) 1) Primeiro deve-se arrumar a listagem por ordem crescente ou decrescente.
Após isso aplicar a fórmula:

a) se 𝑛 for ímpar, a mediana será o termo 𝑛+1 / 2,

b) se 𝑛 for par, a mediana será a média aritmética dos termos de ordem 𝑛/2 e 𝑛/2 + 1: ou seja a fórmula será:

𝑴𝒅 = (𝒙𝒏/𝟐 + 𝒙𝒏/𝟐 +𝟏) / 𝟐

2) Para achar a mediana em dados agrupados sem intervalos de classe, precisamos somar as frequencias, que seriam o total dos dados.

Se o n é ímpar, aplica-se a fórmula n+1/2 e encontra em qual classe está aquele número, somando as classes de frequência da menor para maior.

Se n for par, basta identificarmos os dois valores correspondentes às frequências acumuladas
imediatamente iguais ou superiores às posições de ordens 𝒏/𝟐 e 𝒏/𝟐 + 𝟏, respectivamente, e tirarmos a média aritmética desses dois valores.

3) Para calcular a mediana de dados que estão agrupados por intervalo de classes, precisamos identificar a classe em que se encontra a mediana, a chamada classe mediana, que corresponde à frequência acumulada imediatamente igual ou superior à metade da frequência total, ou seja, metade da soma das frequências
simples, ∑ 𝒇𝒊 ⁄ 𝟐.

Conhecendo a classe mediana, podemos aplicar a fórmula da mediana, a seguir:

𝑴𝒅 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + [{(∑ 𝒇𝒊/𝟐) − 𝒇𝒂𝒄𝒂𝒏𝒕} /𝒇𝒊] × h

𝑖𝑛𝑓 é o limite inferior da classe mediana;
𝑓𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡 é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana;
𝑓𝑖 é a frequência simples da classe mediana; e
ℎ é a amplitude do intervalo da classe mediana.

Question 5

Quais são as propriedades da Mediana?

Answer 5

1ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante 𝒄 a todos os valores de uma variável, a mediana do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante.

2ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante 𝒄, a mediana do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por esta constante.

3ª propriedade: A soma dos desvios absolutos de uma sequência de números, em relação a um número 𝒂, é mínima quando 𝒂 é a mediana dos números.

Question 6

Como calcular a moda 1) dados não-agrupados;
2) dados agrupados sem intervalos de classe (ou por valores); 3) dados agrupados em classes e 4) Moda de Pearson e 5) Moda de Czuber

Answer 6

1) Para determinarmos a moda de um conjunto ordenado de valores não agrupados em classes, basta identificarmos o elemento (ou elementos) de maior frequência no conjunto.

2) Quando os dados estão agrupados por valores, isto é, quando não agrupados em intervalos de classe, devemos identificar o valor
que apresenta a maior frequência absoluta.

3)Quando os dados estão agrupados em classes de mesma amplitude, a moda será o valor dominante da classe que apresenta a maior frequência, que é denominada classe modal.

A partir disso para calcular a moda bruta = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + 𝒍𝒔𝒖𝒑 / 𝟐

4) O matemático Karl Pearson observou a existência de uma relação empírica que permite calcular a moda quando são conhecidas a média (𝒙̅) e a mediana (𝑴𝒅) de uma distribuição moderadamente assimétrica.
Fórmula é: 𝑴𝒐 = 𝟑 × 𝑴𝒅 − 𝟐 × 𝒙̅
em que 𝑥̅é a média 𝑀𝑑 é a mediana da distribuição

5) O matemático Emanuel Czuber elaborou um processo gráfico capaz de aproximar o cálculo da moda. Para determinar graficamente a moda, Czuber partiu de um histograma, utilizando os três retângulos correspondentes à classe modal e às classes adjacentes (anterior e posterior)

A moda é o valor do limite inferior (𝑙𝑖𝑛𝑓) da classe modal acrescido de um valor 𝑥, isto é, 𝑴𝒐 = 𝒍𝒊𝒏𝒇 + x
o valor de 𝑥 é determinado pela intersecção dos segmentos 𝐴𝐵̅̅̅̅ (que une o limite superior da
classe que antecede a classe modal ao limite superior da classe modal) e 𝐶𝐷̅̅̅̅ (que une o limite inferior da classe modal ao inferior da classe posterior).

Question 7

Quais são as propriedades da moda?

Answer 7

1) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante 𝒄 a todos os valores de uma variável, a
moda do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante

2)Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante
𝒄, a moda do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.

Question 8

O que é e como se calcula 1) amplitude total, 2) Amplitude Total para dados agrupados em classes, 3) amplitude interquartílica?

Answer 8

1) A amplitude total (ou simplesmente amplitude) é a diferença entre os valores extremos de um conjunto de observações, ou seja, a diferença entre o maior e o menor elemento desse conjunto:

𝑨𝑻 = 𝒙𝒎á𝒙 − 𝒙𝒎ín

2) Amplitude Total para dados agrupados em classes - Duas formas
- i) pela diferença entre o limite superior da última classe (𝑳𝒔𝒖𝒑) e o limite inferior da primeira classe (𝒍𝒊𝒏𝒇), conforme expresso na fórmula a seguir:
𝑨 = 𝑳𝒔𝒖𝒑 − 𝒍𝒊𝒏𝒇

ii) pela diferença entre o ponto médio da última classe (𝑷𝑴ú𝒍𝒕) e o ponto médio da primeira classe (𝑷𝑴𝒑𝒓𝒊), conforme expresso na fórmula a seguir:

𝑨 = 𝑷𝑴ú𝒍𝒕 − 𝑷𝑴𝒑𝒓

3) A amplitude interquartílica (ou distância interquartílica, ou intervalo interquartílico) é o resultado da subtração entre o terceiro quartil e o primeiro quartil:
𝑨𝑰𝑸 = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏
A amplitude semi-interquartílica (ou desvio quartílico) é definida como a metade desse valor, sendo
calculada pela expressão apresentada a seguir:
𝑫𝑸 = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟏 / 𝟐

Question 9

Quais são as propriedades da amplitude total e da amplitude interqualítica?

Answer 9

1) Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante 𝒄 a todos os valores de uma variável, a
amplitude do conjunto não é alterada.

2) Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante
𝒄, a amplitude do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante.

Da amplitude interqualítica:

Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante 𝒄 a todos os valores de uma variável, a
amplitude interquartílica (e o desvio quartílico) do conjunto não é alterada.

• Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante
  𝒄, a amplitude interquartílica (e o desvio quartílico) do conjunto fica multiplicada (ou
  dividida) por essa constante.

Question 10

QUais são as Propriedades dos Desvios em Relação à Média Aritmética e Mediana?

Answer 10

A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.

A soma dos quadrados dos desvios da sequência de números 𝒙𝒊, em relação a um número 𝒂, é mínima se 𝒂 for a média aritmética dos números.

• A soma dos desvios absolutos de uma sequência de números, em relação a um número
  𝒂, é mínima quando 𝒂 é a mediana dos números.

Question 11

O que é desvio médio e suas propriedades?

Answer 11

O desvio absoluto médio, ou simplesmente desvio médio, mede a dispersão entre os valores da distribuição e a média dos dados coletados.

1ª Propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante 𝒄 a todos os valores de uma variável, o desvio médio do conjunto não é alterado.

2ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante 𝒄, o desvio médio do conjunto fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.

Question 12

O que é e como se calcula a variância e suas propriedades?

Answer 12

A variância é determinada pela média dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética. Por meio dessa medida de dispersão ou variabilidade, podemos avaliar o quanto os dados estão dispersos em relação à média aritmética. Nesse sentido, quanto maior a variância, maior a dispersão dos dados.

1) A variância populacional é simbolizada pela letra grega 𝜎 (sigma), sendo calculada usando todos os
elementos da população, pela seguinte fórmula:
𝝈𝟐 = ∑ (𝒙𝒊 − 𝝁)2 / n

Sigma ao quadrado é igual ao somatório de cada um dos fatores menos a média elevados ao quadrado dividos por n.

em que: 𝑥𝑖 é o valor de ordem 𝑖 assumido pela variável; 𝜇 é a média populacional de 𝑥; 𝜎
2 é a variância populacional; e 𝑛 é o número de dados da população.

2) A variância amostral é simbolizada pela letra 𝑠, sendo calculada a partir de uma amostra da população, pela seguinte fórmula:
𝒔𝟐 = ∑ (𝒙𝒊 − 𝒙̅)2 / 𝒏 − 𝟏

Sigma amostral ao quadrado é igual ao somatório de cada um dos fatores menos a média elevados ao quadrado todos dividos por n menos 1.

em que: 𝑥𝑖 é o valor de ordem i assumido pela variável; 𝑥̅é a média amostral de 𝑥; 𝑠
2 é a variância amostral; e 𝑛 é o número de dados da amostra.

Já ouviram dizer que a variância é igual à média dos quadrados menos o quadrado da média? Pois bem, essa é a fórmula que expressa a variância populacional:
𝝈𝟐 = 𝒙̅̅𝟐̅ − (𝒙̅)𝟐

𝒔𝟐 = [𝒙̅̅𝟐̅ − (𝒙̅)𝟐] × (𝒏/𝒏 − 𝟏)

3) Variância para dados não-agrupados
para população:
𝝈𝟐 = ∑ (𝒙𝒊 − 𝝁)2 / n ou
𝝈𝟐 = [∑ 𝒙𝒊2 − (∑ 𝒙𝒊)/n ] / n

para amostras:
𝒔𝟐 =∑ (𝒙𝒊 − 𝒙̅)𝟐/𝒏 − 𝟏
𝒐𝒖
𝒔𝟐 =[∑ 𝒙𝒊𝟐 − (∑ 𝒙𝒊)𝟐/𝒏] / 𝒏 − 𝟏

A relação entre a variância amostral
(𝒔𝟐) e a variância populacional (𝝈) é dada por:
𝒔𝟐 = (𝒏/𝒏 − 𝟏) × 𝝈𝟐

Variância para dados agrupados sem intervalos de classes:

a) para populações
𝝈𝟐 =∑ (𝑿𝒊 − 𝝁)𝟐 × 𝒇𝒊/n

b) para amostras
𝒔𝟐 = ∑ (𝑿𝒊 − 𝒙̅)𝟐 × 𝒇𝒊 /𝒏 − 𝟏

Variância para dados agrupados em classes:

a) para populações
𝝈𝟐 = ∑ (𝑷𝑴𝒊 − 𝝁)𝟐 × 𝒇𝒊/ n

b) para amostras
𝒔𝟐 = ∑ (𝑷𝑴𝒊 − 𝒙̅)𝟐 × 𝒇𝒊 / 𝒏 − 𝟏

PROPRIEDADES:
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante 𝒄 a todos os valores de uma variável, a variância do conjunto não é alterada.

Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante 𝒄, a variância do conjunto fica multiplicada (ou dividida) pelo QUADRADO dessa constante.

Question 13

O que é desvio padrão, como se calcula e propriedades?

Answer 13

O desvio padrão (𝒔 ou 𝝈) é definido como sendo a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e, dessa forma, é determinado pela raiz quadrada da variância. É uma das medidas de variabilidade mais utilizadas porque é capaz de apontar de forma mais precisa a dispersão dos valores em relação à média aritmética.

A fórmula para o cálculo do desvio padrão populacional é:

𝝈 = √∑ (𝒙𝒊 − 𝝁)𝟐 / n

Para o desvio padrão amostral, a fórmula é a seguinte:
𝒔 = √∑ (𝒙𝒊 − 𝒙̅)𝟐 / 𝒏 − 𝟏

Aplica-se as mesmas formulas da variância aplicando a raiz quadrada.

Propriedades:

Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante 𝒄 a todos os valores de uma variável, o
desvio-padrão do conjunto não é alterado

Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante
𝒄, o desvio-padrão do conjunto fica multiplicado (ou dividido) por essa constante.

Question 14

O que é COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (OU DISPERSÃO RELATIVA)?

Answer 14

Utilizado quando quer comparar dois conjuntos de dados expressos em unidades diferentes.

O coeficiente de variação é uma medida de
dispersão relativa que fornece a variação dos dados em relação à média, podendo ser calculado como:

a) para populações
𝑪𝑽 =𝝈/𝝁 × 𝟏𝟎𝟎 (%)

b) para amostras
𝑪𝑽 = 𝒔/𝒙̅ × 𝟏𝟎𝟎 (%)

em que: 𝜎 é o desvio-padrão populacional; 𝜇 é a média populacional; 𝑠 é o desvio-padrão amostral; e 𝑥̅é a média amostral.

O coeficiente de variação pode ser interpretado por meio de algumas regras empíricas:
a) a distribuição tem baixa dispersão se 𝐶𝑉 < 15%;
b) a distribuição tem média dispersão se 15% < 𝐶𝑉 < 30%; 𝑒 c) a distribuição tem elevada dispersão se 𝐶𝑉 > 30%.

Question 15

O que é a Variância relativa?

Answer 15

A variância relativa é uma medida de dispersão relativa que resulta do quociente entre a variância absoluta e o quadrado da média.
É basicamente o quadrado do coeficiente de variação. Isto é:

a) para populações
𝑉𝑅 = (𝜎/𝜇)2 = 𝜎2 / 𝜇2

b) para amostras
𝑉𝑅 = (𝑠/𝑥̅)2 = 𝑠2 / 𝑥̅2

Question 16

Quais são os princípios da análise combinatória (multiplicativo e aditivo), exemplos de aplicação?

Answer 16

Princípio Multiplicativo:
Se um evento A ocorre de m maneiras diferentes e se, para cada uma dessas maneiras, um
outro evento B ocorre de n maneiras diferentes, então o número de maneiras diferentes de
ambos os eventos (A e B) ocorrerem é m x n.

Princípio Aditivo
Se o evento A ocorre de m maneiras diferentes e o evento B ocorre de n maneiras diferentes,
e se A e B são mutuamente exclusivos (ou seja, se um ocorrer o outro não ocorre), então
o número de maneiras de ocorrer um dos eventos (A ou B) é m + n.

Question 17

O que é permutação e sua fórmula?

Answer 17

Permutar significa trocar de lugar. As técnicas de permutação permitem calcular o número de maneiras distintas de ordenar os elementos.

• Permutação Simples
  Na permutação simples, os elementos a serem ordenados são todos distintos entre si.
  A permutação simples de n elementos distintos, que podemos representar como 𝑷𝒏, é:
  𝑷𝒏 = 𝒏!

Vamos supor que precisamos organizar 3 pessoas diferentes (Ana, Beto e Caio) em uma fila. De quantas maneiras podemos organizar essa fila?
Resposta: 3!

• Permutação Simples com Restrições
  É possível que algumas questões de permutações imponham determinadas restrições, de modo nem todos os elementos poderão permutar livremente
  Se dois elementos estão fíxos, calcula-se a permutação simples com os elementos não fixos.
  Caso tenha n possibilidades dos elementos fixos, multiplica-se as n possibilidades pela permutação simples dos elementos não fixos.

Question 18

O que é a Permutação com restrição?

Answer 18

Enquanto na permutação simples, todos os elementos são distintos, na permutação com repetição, alguns elementos se repetem
Quando há elementos repetidos, o número de maneiras distintas de ordenação diminui, pois algumas possibilidades que seriam distintas na permutação simples tornam-se a mesma possibilidade quando há elementos iguais.

Havendo 𝒏 elementos no total, com 𝒌elementos distintos repetidos a permutação desses
elementos, o que representamos como 𝑷𝒏
𝒌, é dada por:
𝑷𝒏𝒌 = 𝒏! / 𝒌!

Por exemplo, a permutação dos elementos {A, A, A, B, C} é uma permutação de 5 elementos, no total, dos quais 3 são repetidos, dada por:
𝑃𝟓𝟑 = 𝑷𝟓 / 𝑷𝟑 = 𝟓! / 𝟑! = 5 × 4 × 3! / 3! = 5 × 4 = 20

Question 19

O que é permutação circular?

Answer 19

Na permutação circular, considera-se que os elementos estão dispostos em um círculo.
No círculo, o que importa é a posição de cada elemento em relação aos demais. Em outras palavras, quando giramos o círculo, por exemplo, quando todos os elementos se posicionam uma posição à direita de onde estavam posicionados, temos a mesma disposição.

A permutação circular de 𝒏 elementos, 𝑷𝑪𝒏, é dada por: 𝑷𝑪𝒏 = (𝒏 − 𝟏)!

Question 20

O que é arranjo?

Answer 20

No arranjo, selecionamos alguns elementos, de maneira que a sua ordenação seja relevante. Um sorteio de algumas pessoas, para receberem prêmios distintos é um exemplo desse tipo de seleção.

A ordem da seleção será importante sempre que os elementos selecionados tiverem
destinos diferentes, como diferentes prêmios, funções, cargos, tarefas, posições etc.

No caso geral, um arranjo de 𝒌 elementos, dentre 𝒏 elementos distintos é:
𝑨𝒏,𝒌 = 𝒏! / (𝒏−𝒌)!

EX: Vamos supor que existam 10 pessoas em um sorteio, das quais 4 serão sorteadas, para receberem prêmios diferentes, não sendo possível sortear a mesma pessoa mais de uma vez.
Como a ordem importa, há 10 possibilidades para sortearmos a primeira pessoa; em seguida, restarão 9 pessoas para o segundo sorteio; depois, 8 pessoas para o terceiro sorteio; e, por fim, 7 pessoas para o último sorteio.
Como os quatro sorteios irão ocorrer, pelo princípio multiplicativo, devemos multiplicar as possibilidades de cada evento. Dessa forma, o resultado do arranjo de 4 elementos, dentre 10, é:
𝐴𝟏𝟎,𝟒 = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040
Que representa a razão entre o fatorial de 10 (número total de elementos) e o fatorial de 6
(diferença entre o número total de elementos e o número de elementos sorteados).

Question 21

O que é combinação Simples?

Answer 21

a combinação é uma seleção de elementos de um
conjunto finito. Entretanto, para a combinação, a ordem não importa.

Por exemplo, em um sorteio de participantes para um grupo de estudo, a ordem do
sorteio de cada participante é irrelevante.

Nessa situação, algumas possibilidades distintas identificadas no arranjo são equivalentes na combinação. Consequentemente, a combinação de determinados elementos resulta em um número menor do que o arranjo dos mesmos elementos.

A combinação sem reposição de 𝒌 elementos, de um total de 𝒏 elementos, é dada por:
𝑪𝒏,𝒌 = 𝑨𝒏,𝒌 / 𝑷𝒌 = 𝒏! / (𝒏−𝒌)!𝒌!

Question 22

O que é combinação completa?

Answer 22

Os problemas de combinação completa (ou combinação com repetição) envolvem um conjunto de n tipos de elementos diferentes, dos quais serão escolhidos k elementos iguais ou diferentes.

Por exemplo, escolher p = 3 potes de sorvete havendo um total de n = 5 marcas distintas (os potes podem ser de uma mesma marca ou de marcas distintas).

De maneira geral, a combinação de 𝒑 objetos de 𝒏 tipos (ou marcas), equivale à
permutação de 𝒏 − 𝟏 + 𝒑 elementos, com repetição de 𝒏 − 𝟏 e 𝒑 elementos:
𝑪𝑹𝒏𝒑 = 𝑷𝒏−𝟏+𝒑 𝒏−𝟏,𝒑 = (𝒏−𝟏+𝒑)! / (𝒏−𝟏)!×𝒑!

Também devemos utilizar a combinação completa em problemas de distribuição de objetos entre pessoas (ou lugares). Por exemplo, a livre distribuição de 3 cestas básicas para 5 famílias segue o mesmo raciocínio.

Question 23

Definição clássica de probabildiadade?

Answer 23

𝑃 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟á𝑣𝑒𝑖𝑠 / 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑖s

Para utilizar a definição clássica, há uma condição crucial: todos os elementos do Espaço
Amostral devem ser igualmente prováveis.

Para resolver diversas questões de probabilidade, envolvendo a definição clássica, será necessário utilizar as
técnicas de análise combinatória, para calcular o número de elementos do evento e/ou o número de elementos do Espaço Amostral.

Question 24

QUal a fórmula da probabilidade de união de eventos?

Answer 24

Para calcular o número de elementos na união de C e D, sem duplicarmos os elementos da interseção, somamos os elementos de ambos os eventos e subtraímos os elementos da interseção, para que não sejam somados duas vezes:

𝑷(𝑪 ∪ 𝑫) = 𝑷(𝑪) + 𝑷(𝑫)–𝑷(𝑪 ∩ 𝑫)

A probabilidade da união de eventos mutuamente excludentes pode ser calculada como:
𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)

Eventos A e B Mutuamente Excludentes: P(A  B) = P() = 0

Question 25

Qual a fórmula do Teorema do Evento Complementar?

Answer 25

Por definição, o número de elementos do evento somado ao número de elementos do complementar é igual ao total de elementos

𝑷(𝑪̅) = 𝟏 − 𝑷(𝑪)

O Teorema do Evento Complementar 𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) pode ser aplicado, mesmo quando o evento A for resultado de uma combinação de eventos, seja a união seja a interseção
Pelo Teorema que acabamos de ver, a probabilidade do complementar da união é dada por:
𝑃(̅𝐴̅̅∪̅̅̅𝐵̅) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)

Pelo Teorema que acabamos de ver, a probabilidade do complementar da interseção é:
𝑃(̅𝐴̅̅∩̅̅̅𝐵̅) = 1 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Question 26

Quais são as propriedades da probabilidade?

Answer 26

i) Evento impossível: Sendo A um evento impossível, a sua probabilidade é igual a zero:
Se 𝐴 = , então 𝑃(𝐴) = 0

ii) Sendo A um evento qualquer, a sua probabilidade está entre 0 e 1:
0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

iii) Sendo A e B eventos quaisquer, a probabilidade de ocorrer A e não ocorrer B, que indicamos como
P(A – B) ou P(A \ B), é a diferença entre a probabilidade de A e a probabilidade da interseção:
𝑃(𝐴 – 𝐵) = 𝑃(𝐴) – 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

iv) Se A e B são eventos tais que A implica B, isto é, A está contido em B (A ⊆ B), então a probabilidade
de A é menor ou igual à probabilidade de B.
𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)
Também são propriedades decorrentes dos Axiomas de Kolmogorov, a Probabilidade da União de eventos
quaisquer e a Probabilidade do Evento Complementar:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)

Question 27

O que é a probabilidade condicional?

Answer 27

A probabilidade condicional trabalha com a probabilidade de um evento ocorrer, sabendo que outro já ocorreu.
Por exemplo, vamos supor que, em um auditório, existam enfermeiros e dentistas, tanto homens quanto mulheres. Podemos calcular a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser enfermeiro, sabendo que é homem.

Dividindo tanto o numerador quanto o denominador pelo número de elementos de todo o Espaço Amostral n(U), obtemos a fórmula da probabilidade de condicional do evento E, dado o evento H, indicada por P(E|H)

𝑷(𝑬|𝑯) = 𝑷(𝑬∩𝑯) / 𝑷(𝑯)

Question 28

O que é o O Teorema da Multiplicação?

Answer 28

O Teorema da Multiplicação pode ser visto como uma forma diferente de escrever a fórmula da
probabilidade condicional. Como vimos, a probabilidade condicional é:
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) / 𝑃(𝐴)

O Teorema da Multiplicação fornece a probabilidade da interseção, a partir da probabilidade condicional:
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑩|𝑨) × 𝑷(𝑨)

Ou seja, a probabilidade da interseção de dois eventos é o produto da probabilidade condicional pela probabilidade do evento a priori.

Para 3 eventos, a interseção é dada por:
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩|𝑨) × 𝑷(𝑪|𝑨 ∩ 𝑩)
Ou seja, é a probabilidade do evento a priori (A), multiplicada pela probabilidade condicional do primeiro evento a posteriori (B|A), multiplicada pela probabilidade condicional do segundo evento a posteriori (C|A∩B).

Question 29

O que significa eventos independentes e implica em quais igualdades?

Answer 29

Eventos independentes são aqueles que não influenciam uns nos outros. Por exemplo, o resultado do lançamento de um dado em nada influencia o resultado de outro lançamento.

Isso quer dizer que, sendo A e B eventos independentes, a probabilidade condicional de B, sabendo que o evento A ocorreu, é igual à probabilidade de B (e vice-versa):
𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵)

De forma geral, se A e B são independentes, então os complementares também são independentes. Isso implica nas seguintes igualdades:
i. 𝑷(𝑩|𝑨̅) = 𝑷(𝑩)
Por exemplo, a probabilidade de sair 4 no 2º lançamento (evento B), dado que o resultado do 1º
lançamento não foi 3 (evento 𝐴̅), é a mesma (P = 1/6), independentemente do resultado do 1º
lançamento.

ii. 𝑷(𝑩̅|𝑨) = 𝑷(𝑩̅)
Por exemplo, a probabilidade de não sair 4 no 2º lançamento (evento 𝐵̅), dado que o resultado do 1º
lançamento foi 3 (evento 𝐴), é a mesma (P = 5/6), independentemente do resultado do 1º
lançamento.

iii. 𝑷(𝑩̅|𝑨̅) = 𝑷(𝑩̅)
Por exemplo, a probabilidade de não sair 4 no 2º lançamento (evento 𝐵̅), dado que o resultado do 1º
lançamento não foi 3 (evento 𝐴̅), é a mesma (P = 5/6), independentemente do resultado do 1º
lançamento.

Considerando que, para eventos independentes, temos 𝑃(𝐵|𝐴) = 𝑃(𝐵), então a interseção de eventos independentes é calculada como:
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑩) × 𝑷(𝑨)

E quando há 3 eventos independentes:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐶)

Question 30

O que é o teorema da probabilidade total?

Answer 30

O Teorema da Probabilidade Total permite calcular a probabilidade de um evento B, quando conhecemos as probabilidades condicionais desse evento.

𝑷(𝑰) = 𝑷(𝑰 ∩ 𝑨) + 𝑷(𝑰 ∩ 𝑩) + 𝑷(𝑰 ∩ 𝑪)

Pelo Teorema da Multiplicação, substituímos as interseções pelos produtos das probabilidades:
𝑷(𝑰) = 𝑷(𝑰|𝑨) × 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑰|𝑩) × 𝑷(𝑩) + 𝑷(𝑰|𝑪) × 𝑷(𝑪)

Generalizando, com 𝑛 eventos 𝐴𝑖 e conhecendo 𝑃(𝐼|𝐴𝑖), temos 𝑃(𝐼) dado por:
𝑷(𝑰) = 𝑷(𝑰|𝑨𝟏) × 𝑷(𝑨𝟏) + 𝑷(𝑰|𝑨𝟐).𝑷(𝑨𝟐) + ⋯ + 𝑷(𝑰|𝑨𝒏).𝑷(𝑨𝒏)

Question 31

O que é o O Teorema de Bayes?

Answer 31

O Teorema de Bayes é usado quando conhecemos as probabilidades condicionais da forma P(B|A), e
queremos calcular a probabilidade condicional da forma P(A|B), isto é, invertendo-se os eventos a priori e a posteriori.

vamos utilizar a fórmula da probabilidade condicional:
𝑃(𝐴|𝐼) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐼) / 𝑃(𝐼)

Pelo Teorema da Multiplicação, podemos escrever o numerador em função da probabilidade condicional P(I|A), que conhecemos, isto é, com o evento inadimplência a posteriori:
𝑃(𝐴 ∩ 𝐼) = 𝑃(𝐼|𝐴) × 𝑃(𝐴)

Pelo Teorema da Probabilidade Total, podemos escrever o denominador como:
𝑃(𝐼) = 𝑃(𝐼|𝐴) × 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐼|𝐵) × 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐼|𝐶) × 𝑃(𝐶)

Assim, a fórmula do Teorema de Bayes para é:
𝑷(𝑨|𝑰) = 𝑷(𝑰|𝑨)×𝑷(𝑨) / 𝑷(𝑰|𝑨)×𝑷(𝑨)+𝑷(𝑰|𝑩)×𝑷(𝑩)+𝑷(𝑰|𝑪)×𝑷(𝑪)

De maneira geral, com 𝑛 eventos 𝐴𝑖 e conhecendo as probabilidades 𝑃(𝐵|𝐴𝑖), então a probabilidade de algum evento 𝐴𝑚, condicionada ao evento 𝐵 é:
𝑷(𝑨𝒎|𝑩) = 𝑷(𝑩|𝑨𝒎).𝑷(𝑨𝒎) / 𝑷(𝑩|𝑨𝟏).𝑷(𝑨𝟏
) + 𝑷(𝑩|𝑨𝟐).𝑷(𝑨𝟐) + ⋯ + 𝑷(𝑩|𝑨𝒏).𝑷(𝑨𝒏}

Question 32

O que são variáveis aleatórias?

Answer 32

A definição de variável aleatória, ou simplesmente v.a., é uma função que associa um número real a cada ponto amostral, isto é, a cada elemento do Espaço Amostral.
Com isso, passamos a ter uma caracterização numérica do resultado de um experimento ou fenômeno aleatório.
Quando utilizamos o número 0 (zero) para representar a face CARA e o número 1 para representar a face COROA, criamos justamente uma variável aleatória! Outro exemplo de variável aleatória é atribuir o número indicado na face superior do dado {1,2,3,4,5,6} ao resultado do seu lançamento (o que é bastante comum).

Variáveis Aleatórias Discretas
* Quantidade de valores possíveis é enumerável (finito ou não)
* Atribuímos probabilidades a resultados específicos

Variáveis Aleatórias Contínuas
* Assumem qualquer valor dentro de um intervalo
* Os resultados possíveis são infinitos e não enumeráveis
* Não atribuímos probabilidade a resultados específicos, apenas a intervalos

Question 33

O que é esperança matemática?

Answer 33

A esperança matemática de uma variável corresponde ao seu valor médio, podendo ser chamada também de expectância, valor esperado ou média.

Para ilustrar esse conceito, vamos supor que Maria enfrente trânsito de sua casa até o trabalho. Depois de
algum tempo fazendo esse trajeto, Maria terá alguma noção de quanto tempo ela costuma levar para chegar no trabalho, isto é, uma média do tempo que ela leva.
Essa noção de quanto tempo se “costuma” ou se “espera” levar é justamente a esperança da variável.
Neste último exemplo, a esperança corresponde ao tempo médio que a pessoa leva de casa ao trabalho; e no exemplo da altura dos brasileiros, a esperança corresponde à média de altura dos brasileiros.
Sendo 𝑋 uma variável aleatória, a sua esperança é indicada por 𝑬(𝑿) ou 𝝁𝑿.

no caso geral, para qualquer variável aleatória discreta, a esperança é calculada multiplicando-se
cada valor da variável pela sua respectiva probabilidade, e, em seguida, somando-se todos os resultados.

Question 34

Quais são as propriedades da esperança matemática?

Answer 34

i) 𝑬(𝒌.𝑿) = 𝒌.𝑬(𝑿)
De acordo com essa propriedade, a esperança de uma variável aleatória X, cujos valores foram multiplicados por uma constante k, é igual a k vezes a esperança da variável aleatória X.

ii) 𝑬(𝑿 + 𝒌) = 𝑬(𝑿) + 𝒌
A esperança de uma variável aleatória X, sendo esta somada a uma constante k, é igual a k mais a esperança de X.

iii) 𝑬(𝑿 + 𝒀) = 𝑬(𝑿) + 𝑬(𝒀)
Por essa propriedade, temos que a esperança da soma de duas variáveis, X e Y, é igual à soma da esperança de X com a esperança de Y.

iv) 𝑬(𝒌) = 𝒌
Ou seja, o valor esperado de uma constante é igual à própria constante.

v) Se X e Y são independentes, então 𝑬(𝑿. 𝒀) = 𝑬(𝑿).𝑬(𝒀)
Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então a esperança do produto de X e Y é igual ao produto da esperança de X com a esperança de Y.

Question 35

O que é e como calcula a moda e a mediana de uma variável aleatória?

Answer 35

A moda de uma variável aleatória é o seu valor mais provável, isto é, o valor com maior probabilidade.

A moda é um valor da variável aleatória e não a sua probabilidade. Assim, no gráfico de
barras, a moda estará no eixo horizontal.

Se estivermos lidando com uma amostra, a moda, chamada de moda amostral, corresponde ao valor da variável obtido com maior frequência.
É possível haver mais de uma moda, quando a maior probabilidade estiver associada a mais de um resultado.

A mediana de uma variável é o valor que divide a distribuição em duas partes com mesma probabilidade, de modo que a probabilidade dos valores menores ou iguais à mediana é igual a 50% e a probabilidade dos valores maiores ou iguais à mediana é igual a 50%.

Question 36

Quais são as propriedades da moda e da mediana de uma variável discreta?

Answer 36

MODA:
i) 𝑴𝒐(𝒌.𝑿) = 𝒌. 𝑴𝒐(𝑿)
Quando uma variável X é multiplicada por uma constante k, a sua moda é igual k vezes a moda de X.
Considerando o exemplo dos salários dos funcionários, se os salários dobram, a nova moda também será o dobro da moda anterior

ii) 𝑴𝒐(𝑿 + 𝒌) = 𝑴𝒐(𝑿) + 𝒌
Quando somamos uma constante k a uma variável X, a sua moda é acrescida da mesma constante k.

MEDIANA:
i) 𝑴𝒅(𝒌.𝑿) = 𝒌. 𝑴𝒅(𝑿)
Quando uma variável X é multiplicada por uma constante k, a sua mediana é igual k vezes a mediana de X.

ii) 𝑴𝒅(𝑿 + 𝒌) = 𝑴𝒅(𝑿) + 𝒌
Quando somamos uma constante k a uma variável X, a sua mediana é acrescida da mesma constante k.

Question 37

O que é A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória?

Answer 37

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória (ou simplesmente f.d.a ou função de distribuição) apresenta a probabilidade acumulada de todos os valores menores ou iguais a determinado valor 𝑥.

𝑭(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙)
Ou seja, equivale à soma de todas as probabilidades menores ou iguais ao valor x

A função de distribuição acumulada 𝑭(𝒙) é definida em toda a reta real, ou seja, ela pode
ser calculada para qualquer valor de 𝒙.
Isso significa que a função de distribuição não assume valores apenas nos pontos dos possíveis resultados da variável. Utilizando o mesmo exemplo do dado, podemos calcular o valor da função de distribuição em outros pontos diferentes de X = 1, X = 2, X = 3, …, X = 6.
Por exemplo, para X = 0,5, a f.d.a. corresponde à soma das probabilidades de todos os valores menores ou iguais a 0,5. Como o menor valor possível é X = 1, então a probabilidade acumulada até X = 0,5 é nula:
𝐹(0,5) = 𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = 0

Question 38

Como calcula a variância de uma variável aleatória?

Answer 38

Para uma variável aleatória, a variância é calculada de maneira similar, porém, em vez da frequência relativa,
utilizamos a probabilidade para cada valor 𝑥.
𝝈𝟐 = ∑(𝒙 − 𝝁)𝟐 × 𝑷(𝒙)

A variância da variável aleatória 𝑋 pode ser denotada também por 𝑽(𝑿) ou 𝑽𝒂𝒓(𝑿).

Dizemos que a variância de uma variável aleatória é a esperança dos quadrados
dos desvios:
𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿 − 𝝁)𝟐
ou
𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿𝟐) − 𝝁2

Para calcular a variância, seguimos os seguintes passos:
i) Calcular a média: 𝜇 = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖 𝑖. 𝑃(𝑥𝑖);
ii) Elevar a média ao quadrado: 𝜇2;
iii) Elevar os valores de X ao quadrado e multiplicá-los pela probabilidade: 𝑥2. 𝑃(𝑋 = 𝑥);
iv) Somar os resultados do passo iii para calcular 𝐸(𝑋2) = ∑ (𝑥𝑖)2𝑖. 𝑃(𝑥𝑖);
v) Calcular a variância pela diferença (iv) – (ii):
𝜎2 = 𝐸(𝑋2) − 𝜇2

Question 39

Como calcula o desvio padrão de uma variável aleatória?

Answer 39

existe o conceito do desvio padrão, que representamos por 𝝈, 𝑫(𝑿) ou 𝑫𝑷(𝑿), definido como a
raiz quadrada da variância:
𝝈 = √𝝈𝟐

Question 40

Quais são as propriedades da variância e desvio padrão de variáveis aleatórias discretas, quanto a variáveis contínuas?

Answer 40

i) 𝑽(𝑿 + 𝒌) = 𝑽(𝑿)
Quando somamos uma constante k a uma variável X, a variância de X não se altera.

ii) 𝑽(𝒌.𝑿) = 𝒌𝟐.𝑽(𝑿)
Quando multiplicamos uma variável por uma constante, a variância é multiplicada pelo quadrado dessa constante.

iii) 𝑽(𝒌) = 𝟎
A variância de uma constante qualquer é zero.

v) Se X e Y são independentes, então 𝑽(𝑿 + 𝒀) = 𝑽(𝑿) + 𝑽(𝒀)
Somente se X e Y forem variáveis aleatórias independentes, poderemos concluir que a variância da soma das variáveis é igual à soma das variâncias (propriedade aditiva).
Além disso, se X e Y forem independentes, a variância da diferença X – Y também é a soma das variâncias:
𝑽(𝑿 − 𝒀) = 𝑽(𝑿) + 𝑽(𝒀)

Question 41

Como calcular a covariância em variáveis aleatórias discretas?

Answer 41

A covariância e a correlação caracterizam tanto a força da relação entre duas variáveis, quanto a sua
orientação (se variam no mesmo sentido ou em sentidos opostos).

𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀) = 𝑬(𝑿. 𝒀) − 𝑬(𝑿).𝑬(𝒀)
Nessa fórmula, 𝐸(𝑋. 𝑌) corresponde ao seguinte:
𝐸(𝑋. 𝑌) = ∑𝑥. 𝑦 . 𝑝(𝑥, 𝑦)
Ou seja, multiplicamos os possíveis valores das variáveis pelas probabilidades correspondentes.
Se os valores forem igualmente prováveis, podemos calcular 𝐸(𝑋. 𝑌) como:
𝐸(𝑋. 𝑌) =∑ 𝑥. 𝑦/N

Para calcular a covariância, podemos seguir os seguintes passos:
i) Multiplicar os valores de X e Y;
ii) Somar os produtos X.Y e dividir por N para obter 𝐸(𝑋. 𝑌) =∑ 𝑥.𝑦/𝑁;
iii) Calcular as médias 𝐸(𝑋) =∑ 𝑥/𝑁 e 𝐸(𝑌) =∑ 𝑦/𝑁
e multiplicá-las;
iv) Subtrair o resultado de ii pelo resultado de iii para obter a covariância.

Question 42

Como calcular a correlação em variáveis aleatórias discretas?

Answer 42

a força da relação entre duas variáveis é difícil de interpretar a partir da covariância. Em relação
ao nosso exemplo, uma covariância de -14 indica uma forte relação negativa ou uma fraca relação?
Para isso, há o conceito de correlação (ou coeficiente de correlação), indicado por 𝝆, em que dividimos a covariância pelo desvio padrão de ambas as variáveis.

𝝆(𝑿, 𝒀) = 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀) / 𝝈𝑿.𝝈Y

Variáveis 𝑋 e 𝑌 Independentes → 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0, 𝜌(𝑋, 𝑌) = 0
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) > 0, 𝜌(𝑋, 𝑌) > 0 ↔ Relação positiva (𝑋 e 𝑌 variam no mesmo sentido)
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) < 0, 𝜌(𝑋, 𝑌) < 0 ↔ Relação negativa (𝑋 e 𝑌 variam em sentidos opostos)
𝜌(𝑋, 𝑌) = 1 ↔ relação linear perfeita positiva ↔ 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏, 𝑎 > 0
𝜌(𝑋, 𝑌) = −1 ↔ relação linear perfeita negativa ↔ 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑏, 𝑎 < 0

Question 43

Quais são as propriedades da covariância e da correlação, que valem tanto para variáveis discretas, quanto para variáveis contínuas?

Answer 43

i) 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒀) = 𝑪𝒐𝒗(𝒀,𝑿)
A covariância é considerada uma medida simétrica, pois não importa qual é a variável que aparece primeiro

ii) 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝑿) = 𝑽(𝑿)
A covariância de uma mesma variável é igual à sua variância.

iii) 𝑪𝒐𝒗(𝒌,𝑿) = 𝟎
A covariância de uma constante e uma variável é igual a zero.

v) 𝑪𝒐𝒗(𝑿 ± 𝒂, 𝒀 ± 𝒃) = 𝑪𝒐𝒗(𝑿, 𝒀)
A covariância não se altera quando somamos ou subtraímos constantes às variáveis.

v) 𝑪𝒐𝒗(𝑿 + 𝒀, 𝒁) = 𝑪𝒐𝒗(𝑿,𝒁) + 𝑪𝒐𝒗(𝒀,𝒁)
A covariância da soma de variáveis aleatórias X + Y e uma outra variável Z é igual à soma da covariância entre X e Z com a covariância entre Y e Z.
A mesma propriedade pode ser aplicada para a subtração de variáveis:
𝑪𝒐𝒗(𝑿 − 𝒀, 𝒁) = 𝑪𝒐𝒗(𝑿, 𝒁) − 𝑪𝒐𝒗(𝒀, 𝒁)

vi) 𝑪𝒐𝒗(𝒌𝑿,𝒀) = 𝑪𝒐𝒗(𝑿, 𝒌𝒀) = 𝒌. 𝑪𝒐𝒗(𝑿, 𝒀)
A covariância de duas variáveis aleatórias, sendo qualquer uma delas multiplicada por uma constante, é igual ao produto da constante pela covariância das variáveis.

No caso geral, a variância da soma é dada pela seguinte fórmula:
𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) + 2. 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

Para a subtração das variáveis, temos:
𝑉(𝑋 − 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) − 2. 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)

Question 44

Qual a definição e a fórmula de coeficiente de variação e variância relativa?

Answer 44

A definição de coeficiente de variação (também chamado de desvio padrão relativo ou, ainda, de
coeficiente de variabilidade), 𝐶𝑉, é:
𝑪𝑽 =𝝈/u

Podemos dizer que esse parâmetro representa uma normalização do desvio padrão pela média, para permitir a comparação da dispersão de variáveis com médias distintas.

A variância relativa, 𝑉𝑅, também apresenta o mesmo objetivo, qual seja, de permitir comparações entre
variáveis com médias distintas.
A variância relativa é definida como o quadrado do coeficiente de variação:
𝑽𝑹 = (𝑪𝑽)𝟐 =𝝈𝟐/𝝁𝟐 =𝑽(𝑿)/𝝁𝟐
Ou seja, a variância relativa é o quociente entre a variância e o quadrado da média