Aritmetica intera in Z

Question 1

Z, +, *, 0, 1 è un?

Answer 1

anello

Question 2

definisci la divisibilità tra due numeri in Z

Answer 2

siano a e b due interi diciamo ch a divide b se e solo se esiste un k intero tale che a*k=b

Question 3

osservazioni su 1 all’interno del discorso della divisibilità

Answer 3

1 divide qualisasi numero

Question 4

osservazioni su 0 all’interno del discorso della divisibilità

Answer 4

ogni numero divide 0

Question 5

quali proprietà soddisfa una relazione di equivalenza?

Answer 5

1. riflessività: xRX per ogni x in X
2. simmetricità: xRy –> yRx per ogni x,y in X
3. transitiva: xRy e yRx –> xRz per ogni x,y,z in X

Question 6

quali proprietà soddisfa una relazione di ordine parziale

Answer 6

1. riflessività: xRX per ogni x in X
2. antisimmetricità: xRy e yRx –> x=y
3. transitiva: xRy e yRx –> xRz per ogni x,y,z in X

Question 7

quindi nota che la divisibilità è una relazione, nello specifico è una relazione di equivalenza o di ordine parziale?

Answer 7

nessuna delle due
la divisibilità soddisfa
1. riflessività: a divide sempre sé stesso
2. transitività: se a divide b e b divide c allora a divide c

ma non soddisfa né l’antisimmetria né la simmetria

Question 8

in quale caso la relazione divisibilità è relazione di ordine parziale? perché

Answer 8

in N perché in Z a divide b e b divide a si ha che a è uguale a b ma a e b possono essere sia 1 che -1

Question 9

definisci numero primo

Answer 9

p è un numero primo se p è diverso da zero e diverso da più o meno 1 e se per ogni a,b in Z a*b=p se e solo se o a=1 o b=1

Question 10

definisci massiom comune divisore di a,b

Answer 10

d è massimo comune divisore di a,b se
1. d divide a e d divide b
2. per ogni c in Z tale che c divida sia a che b allora c è più piccolo di d e lo divide

Question 11

definisci minimo comune multiplo di a,b

Answer 11

d è minimo comune multiplo di a e b se
1. a divide m e b divide m
2. per ogni c in Z t.c. c è diviso sia da a che da b allora m è più piccolo di c e divisore

Question 12

se d divide a e d divide b allora

Answer 12

d divide alpha a + beta b

Question 13

se a divide b e c divide d allora

Answer 13

ac divide bd

Question 14

se d è mc di a,b e a è dk e b è dc allora

Answer 14

mcd di k e c è uno ovvero sono coprimi

Question 15

enuncia il teorema della divisione euclidea

Answer 15

per ogni a e b in Z con b diverso da zero, eistono unici q ed r in Z tali che a=bq+r con 0=<r<|b|

Question 16

enuncia il teorema di Bezout

Answer 16

se a e b sono interi diversi da 0 allora esiste un massimo comune divisore d maggiore di 0 ed è il più piccolo intero positivo che può essere espresso come combinazione linerare tra e e b

Question 17

se c divide ab e c e a sono coprimi allora

Answer 17

c divide b

Question 18

se a divide c e b divide c e a e b sono coprimi allora

Answer 18

ab divide c

Question 19

se

Question 21

p è primo se e solo se (secondo criterio)

Answer 21

p divide ab allora p divide a o p divide b

Question 22

enuncia il teorema fondamentale dellìaritmetica

Answer 22

fattorizzazione unica in Z
sia n un intero maggiore di 1 allora esistono positivi primi p1, p2, … tutti disitinti tra loro e interi positivi a1, a2, … t.c. n sia scrivibile come prodotto di potenze pj^ai