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Analysis 1 > Analysis 1 > Flashcards

Analysis 1 Flashcards

1
Q

Injektion

A

für alle x1,x2 ∈ X gilt, dass f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

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Q

Surjektion

A

Funkition von X auf Y , falls es zu jedem y∈Y ein x∈X mit f(x)=y gibt

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Q

Bijektion

A

Surjektiv und Injektiv

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4
Q

Offener Ball

A

Ist die Menge:
Br(z) = {w ∈ C | |z − w| < r}
<=>
Br(x0)={x∈X |d(x,x0)

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5
Q

Supremum

A
  1. s0 ist eine obere Schranke
    2a. s0 ist die kleinste obere Schranke
    2b. Zahlen kleiner als s0 sind keine oberen Schranken
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6
Q

Rechenregeln Supremum

A

sup(cA) = c sup(A)

sup(A + B) = sup(A) + sup(B)

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7
Q

Archimedisches Prinzip EDIT

A

(i) Jede nicht-leere, von oben beschränkte Teilmenge von Z hat ein Maximum.
(ii) Für jedes x∈R existiert genau ein n∈Z mit n≤x0 existiert ein n∈N mit n1

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8
Q

Beweis archimedisches Prinzip

A

I) Da das Supremum existiert gibt es ein x > s0 - 1, daraus folgt s0 < x + 1, somit ist x das maximum.
II) Es existiert eine Menge mit maximalem n <= x ==> n<= x <= n + 1. Falls x < 0 obigen Fall auf -x anwenden.
III) Aus II) folgt 1/e < n ==> 1/n < e.

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9
Q

Häufungspunkt einer Menge

A

x0 ist ein HP falls es für jedes ε > 0 ein a ∈ A gibt mit 0 < |a − x0| < ε

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10
Q

Binomialkoeffizient („n über k“) Formel

A

(n!) / (k!(n−k)!)

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11
Q

Rechenregeln Binomialkoeffizient

A

n tief k + (n tief k + 1) = n + 1 tief k + 1

n tief 0 = n tief n = 1

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12
Q

Binomischer Lehrsatz

A

(w + z)^n = Summe von k=0 bis n von (n tief k) * w^(n-k)*z^k

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13
Q

Rechenregeln reelle Funktionen mit Stetigkeit

A

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)
(αf1)(x) = αf1(x)
(f1f2)(x) = f1(x)f2(x)
Kehrwertfunktion

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14
Q

Stetigkeit einer Funktion EDIT

A

∀x0 ∈D:∀ε>0∃δ>0∀x∈D:|x−x0|

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15
Q

Zwischenwertsatz

A

Sei f stetig auf [a,b] so gibt es ein c element (f(a), f(b)) sodass f(x) = c gilt.

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16
Q

Beweisidee Zwischenwertsatz

A

Sei X die Menge aller Punkte x wobei f(x) <= c.
Sei x0 = sup(X). Mit Stetigkeit wird f(x0) = c gezeigt;
Sei f(x0) < c. Aus Stetigkeit bei x0 findet man ε=c−f(x0)>0 und δ>0. Es existiert ein x zwischen x0 und x0 + δ, dann gilt: f(x) = f(x0) + (f(x) − f(x0)) < f(x0) + c − f(x0) = c.
Es müsste also x element X sein was aber sup(X) = x0 < x widerspricht.
Sei f(x0) > c so folgt f(x) > c.
Somit ist x nicht element X, also wäre x0 - δ obere Schranke von X was x0 = sup(X) widerspricht. Deshalb gilt f(x0) = c und der Satz folgt.

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17
Q

Gleichmässige Stetigkeit / epsilon-delta-Stetigkeit

A

∀ε>0 ∃δ>0 ∀x,y∈D: |x−y|< δ ⇒ |f(x) − f(y)| < ε.

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18
Q

LIpschitz-Stetigkeit

A

|f(x)−f(x0)| < |x−x0|*L

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19
Q

Riemann-Integrierbarkeit

A

Supremum der Obersummen = Infimum der Untersummen
Jede monotone Funktion
Stetige Funktion auf kompaktem Intervall

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20
Q

Regeln Riemann-Integrals

A
  1. Integral einer Summe von Funktionen <=> Summe von Integralen der Funktionen
  2. Konstante kann herausgenommen werden
  3. Integral von a bis c = Integral von a bis b + Integral von b bis c
  4. Integral von a bis b = - Integral von b bis a
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21
Q

Sandwich-Kriterium mit stetigen Funktionen

A

Funktion f auf kompaktem Intervall [a,b] ist R-intbar <=> wenn für alle epsilon f+ und f- existieren mit f- <= f <= f+ und Integral von a nach b von (f+) - (f-) < epsilon.

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22
Q

Normen Eigenschaften

A

Definitheit: für alle Vektoren v gilt ||v|| = 0 <=> v = 0.
Homogenität: für alle Vektoren v und alle a gilt ||av|| = |a|||v||
Dreiecksungleichung: für alle Vektoren v, w gilt ||v + w|| <= ||v|| + ||w||

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23
Q

Beispiele Normen

A

Unendlichsnorm: maximale Vektorkomponente
1-Norm: Summe aller Vektorkomponenten
Euklidische Norm: Wurzel der Summer der Quadrate aller Vektorkomponenten

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24
Q

Cauchy-Schwarz Ungleichung

A

Betrag des Skalarproduktes von v, w <= ||v||*||w||

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25
Q

Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis

A

α = (⟨v,w⟩) / (∥w∥^2)

∥v−αw∥^2 =⟨v−αw,v−αw⟩
= ⟨v, v − αw⟩ − α ⟨w, v − αw⟩
= ⟨v, v⟩ − α ⟨v, w⟩ − α ⟨w, v⟩ + |α|^2∥w∥^2
= ∥v∥^2 − α⟨v,w⟩−α⟨v,w⟩+|α|^2∥w∥^2
= ∥v∥^2 − 2|⟨v,w⟩|^2 / (∥w∥^2) + 2*|⟨v,w⟩|^2 / ∥w∥^4
= ∥v∥^2 - |⟨v,w⟩|^2 / ∥w∥^2

Der letzte Ausdruck ist nicht-negativ und nach Umformung folgt das z.z.

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26
Q

Metrische Räume Eigenschaften

A
  1. Definitheit: für alle x, y gilt d(x, y) = 0 <=> x = y
  2. Symmetrie: für alle x, y filt d(x, y) = d(y, x)
  3. Dreiecksungleichung: für alle x, y, z gilt d(x, z) <= d(x, y) + d(y, z)
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27
Q

Rechenregeln Folgen

A

(an)n + (bn)n = (an + bn)n

α · (an)n = (αan)n

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28
Q

Definition Konvergenz

A

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N : d(an,A) < ε

Jede konvergente Folge ist beschränkt und hat einen eindeutigen Granzwert

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29
Q

Rechenregeln Grenzwerte

A

Jeweils für n -> ∞:
lim (an + bn) = lim an + lim bn
lim (anbn) = ( lim an)( lim bn)
lim (αan) = α lim an
lim(1/an) = 1/lim an
Monoton wachsend: lim an = sup{an |n∈N} monoton fallend analog
limsup = liminf <=> an konvergent mit lim an = limsup an = liminf an

30
Q

Folgenstetigkeit

A

f ist bei x0 folgenstetig falls für jede konvergente Folge mit Grenzwert x0, lim f(xn) = f(x0)
<=> epsilon-delta Stetigkeit

31
Q

Sandwich für Folgen

A

Seien an, bn, cn reelle Folgen wobei an <= bn <= cn für alle n gilt. Falls an und cn Konvergent mit Grenzwert A so konvergiert bn auch gegen A.

32
Q

Cauchy-Folge

A

Für jedes ε > 0, existiert ein N, für alle m,n >= N gilt:

d(am, an) < ε

33
Q

Cauchy-Kriterium für Folgen

A

Eine reelle Folge ist genau dann konvergent wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

34
Q

Cauchy-Kriterium für Folgen Beweis

A

Konvergiere an gegen A und sei ε > 0, so existiert N wobei n ≥ N und |an − A| < ε/2 und für m,n ≥ N:
|am − an| ≤ |am − A| + |A − an| < ε/2 + ε/2 = ε
=> an ist Cauchy

Sei an eine Cauchy-Folge so existiert für ε = 1 ein N wobei |am − an| < 1 und für m,n ≥ N gilt:
|an|≤|an −aN|+|aN|<1+|aN| => an beschränkt.
Für alle ε > 0 existiert ein N sodass |am−an|< ε und für alle m,n ≥ N mit m = N:
am − ε < an < am + ε
Betrachtet man liminf und limsup von an so folgt durch Einschränkung auf 2ε Bereich Gleichheit und Konvergenz.

35
Q

Delta-Umgebungen

A

Uδ(x0) = (x0 −δ,x0 +δ)

Punktierte: U ̇δ(x0) = (x0 −δ,x0 +δ){x0}

36
Q

Riemann-Summe

A

Für eine gegebene Zerlegung der Intervalls bildet man die Summe durch Auswertung der Funktion an beliebigem Punkt in der Zerlegung und Multiplikation mit der Breite des Balken.
Lässt man die Maschenweite gegen 0 streben so strebt die Summe gegen das Integral.

37
Q

Reihen Rechenregeln

A

Konvergiert die Reihe so ist die Folge eine Nullfolge
Für konvergente Reihen gilt:
Addiert man zwei oder multipliziert mit einer Konstante so ist die resultierende Reihe auch konvergent.
Ist eine kleinere Folge divergent so ist eine grössere es auch, ist die grössere konvergent so ist die kleinere es auch.

38
Q

Bedingte / absolute Konvergenz

A

Konvergiert Folge und konvergieren die Beträge so ist die Reihe absolut konvergent ansonsten bedingt konvergent.

39
Q

Cauchy-Kriterium für Reihen

A

Reihe konvergiert genau dann wenn es für alle e > 0 ein N gibt sodass für n >= m >= N der Betrag der Summe der Folgenglieder von m bis n kleiner als e ist.
Folgt aus Cauchy-Kriterium für Folgen für die Folge der Partialsummen. Man mache: sn-s(m-1) < e.

40
Q

Cauchy-Wurzelkriterium

A

Ist der limsup der n-ten Wurzel der Beträge der Folgenglieder < 1 so ist die Reihe absolut konvergent.
Ansonsten divergent und keine Nullfolge

41
Q

Quotientenkriterium

A

Sei an eine komplexe Folge und nicht die Nullfolge falls der lim von a(n+1)/a(n) < 1 so ist die Reihe konvergent ansonsten divergent.

42
Q

Punktweise / gleichmässige Konvergenz EDIT

A

Punktweise: ∀x∈X∀ε>0∃N∈N∀n∈N:(n≥N =⇒ |fn(x)−f(x)|0∃N∈N∀n∈N:(n≥N =⇒ (∀x∈X:|fn(x)−f(x)|

43
Q

Gleichmässige Konvergenz & Riemann-Integrierbarkeit

A

Sei fn eine Funktionenfolge Riemann-integrierbarer Funktionen auf [a,b], konvergiert fn gleichmässig gegen f so ist f Riemann-Integrierbar.

44
Q

Potenzreihe

A

Summe von 0 bis unendlich von an*z^n

45
Q

Konvergenzradius

A

R = 1 / (limsup der n-ten Wurzel des Betrags von an)
Ist der Betrag von z kleiner R so konvergiert die Reihe absolut sonst divergiert sie absolut.
Alternativ lim von 1 über Quotientenkriterium

46
Q

Exponentialabbildung

A

Summe von 0 bis unendlich von 1/k! * x^k

Mit dem Quotientenkriterium ergibt sich unendlicher Konvergenzradius

47
Q

Exponentialabbildung Rechenregeln

A

exp(z + w) = exp(z)exp(w)
|exp(z)| = exp(Re(z))
a^z = exp(zlog(a))
Konjugation von exp(z) = exp(Konjugation von z)
| exp(z)|^2 = exp(z)* Konjugation von exp(z) = exp(2 Re(z)) = exp(Re(z))^2

48
Q

Trigonometrische Funktionen

A

Sinus: z - z^3 / 3! + z^5 / 5! … = Summe von n = 0 bis unendlich von (-1)^n / (2n + 1)! * z^(2n+1) = (e^(iz) - e^(-i * z)) / (2i)
Kosinus: 1 - z^2 / 2! + z^4 / 4! = Summe von n = 0 bis unendlich von (-1)^n / (2n)! * z^(2n) = (e^(iz) + e^(-i * z)) / 2
exp(iz) = cos(z) + i*sin(z)

49
Q

Trigonometrische Funktionen Rechenregeln

A

sin( z + w) = sin(z)cos(w) + cos(z)sin(w)

cos(z + w) = cos(z)cos(w) − sin(z)sin(w)

50
Q

Pi

A 
e^2πi = 1
e^πi = -1
e^πi/2 = i
e^3πi/2 = -i
e^πi/4 = 1/Wurzel(2) + i/Wurzel(2)
51
Q

Tangens

A

sin(z) / cos(z)

cotan(z) = cos(z) / sin(z)

52
Q

Hyperbolische Funktionen

A

Gleich wie trigonometrische Funktionen ohne i / ohne -
Ableitung / Stammfunktion ist jeweils die andere Funktion
Additionsformeln auch gleich

53
Q

Differenzierbarkeit

A

f differenzierbar bei a: Grenzwert lim (f(a+h) - f(a)) / h existiert.
=> Stetigkeit

54
Q

Rechenregeln Ableitung

A 
(f + g)′(a) = f′(a) + g′(a)
(fg)′(a) = f′(a)g(a) + f(a)g′(a)
(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0))*f′(x0)
(f/g)‘(a) = (f′(a)*g(a) − f(a)*g′(a)) / g(a)^2
(f^(-1))‘ = 1 / f‘
55
Q

Extremum EDIT

A

(Isoliertes) lokales Maximum:

In einer Delta-Umgebung sind die Funktionswerte <= (

56
Q

Stetige Differenzierbarkeit

A

Ist f stetig diffbar so ist f‘ stetig.

57
Q

Satz von Rolle

A

Sei f stetig und differenzierbar auf (a,b) falls f(a) = f(b) so existiert ein k mit f‘(k) = 0

58
Q

Beweis Satz von Rolle

A

Nach Extremwertsatz nimmt f auf [a.b] max und min an. Falls die entsprechenden xmin / xmax element (a,b) so ist dort f‘ = 0, mit ξ = xmin / xmax. Sind xmin / xmax die Endpunkte so ist die Funktion konstant und f‘ = 0 überall.

59
Q

Mitterlwertsatz

A

Sei f auf [a.b] stetig so existiert ein k ∈ (a,b) = durchschnittlicher Steigung zwischen f(a) und f(b).

60
Q

Beweis Mittelwertsatz

A

Sei F(x) = f(x) - (f(b) − f(a)) * (x-a) / (b - a). Setzt man a oder b ein so ergibt sich f(a). Somit sind die Endpunkte gleich und aus dem Satz von Rolle folgt das Theorem.

61
Q

Konvexität

A

Sei I ein Intervall und f eine Funktion auf I.
f ist konvex falls für alle x0, x1 und t element (0,1) f(1 - tx0 + tx1) <= (1 - t)f(x0) + tf(x1)
F konvex wenn f‘ (streng) monoton wachsend

62
Q

Erweiterter Mittelwertsatz

A

Seien f, g stetig auf [a,b] und auf (a,b) diffbar so existiert ein ξ ∈ (a, b) mit g′(ξ)(f(b) − f(a)) = f′(ξ)(g(b) − g(a))

63
Q

Beweis erweiterter Mitterlwertsatz

A 
Sei F(x) = g(x)*(f(b) − f(a)) − f(x)*(g(b) − g(a)).
Es folgt F(a) = F(b) und nach dem Satz von Rolle folgt die Existenz von ξ ∈ (a, b) mit F‘(ξ) = 0.
64
Q

Regel von de l‘Hopital

A

Ist der Grenzwert von f(x) / g(x) = 0 / 0 oder unendlich durch unendlich so ist er gleich dem Grenzwert f‘(x) / g‘(x)

65
Q

Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung

A

Ableitung des Integrals
Berechnung des Integrals
Integral der Ableitung

66
Q

Theorem Ableitung des Integrals & Beweis

A

Sei f auf [a,b] R-intbar, bei x0 stetig und sei F(x) das Integral von a nach x von f so ist F‘(x0) = f(x0).
Beweis:
Sei ε > 0. Es existiert ein δ > 0 mit |f(x) − f(x0)| < ε.
(F(x) - F (x0)) / (x - x0) - f(x0) nach Umformung ergibt sich <= 1/(x - x0) * Integral von x0 bis x von ε = ε. Dies führt man einmal für x ∈ (x0, x0 + δ) ∩ [a, b] und einmal für ∈ (x0 - δ, x0) ∩ [a, b]. Da epsilon beliebig war folgt der Satz.

67
Q

Korollar Ableitung des Integrals / Form einer Stammfunktion

A

Sei f auf [a,b] stetig, und x ∈ [a,b] so ist das Integral von a nach x von f + C die Form jeder Stammfunktion von F.

68
Q

Korollar Berechnung des Integrals

A

Sei f auf [a,b] stetig, ist F auf [a,b] eine Stammfunktion von f so ist das Integral von a nach b von f = F(b) - F(a).

69
Q

Korollar Integral der Ableitung

A

Sei F auf [a,b] stetig diffbar so gilt F(x) = F(a) + Integral von a nach x von F‘

70
Q

Taylor-Approximation / -Reihe

A

Summe von k=0 bis n (oder unendlich) der k-ten Ableitung von f bei x0 mal (x - x0)^k durch k!.

71
Q

Theorem Taylor

A

Sei f auf [a,b] eine (n+1)-mal stetig diffbare Funktion und sei x0 ∈ (a, b), so gilt für alle x ∈ (a, b):
f(x) = P (x) + R (x). dabei ist P die n-te Taylor-Approximation und R der Fehlerterm gegeben durch:
Integral von x0 nach x von der (n+1)-ten Ableitung von f bei t * (x-t)^n durch n!.

72
Q

Theorem Taylor Beweis

A

Induktion
n = 0; Fundamentalsatz der Diff- und Intrechnung:
f(x) = f(x0) + Integral von x0 nach x von f‘ = P1(x) + R1(x).
n = 0; Partielle Integration auf obiges Integral mit u(t) = f′(t) und v(t) = t − x ergibt sich:
f(x) = f(x0) + [f‘(t)(t-x)] von x0 bis x - Integral von x0 nach x von f‘‘(t) * (t-x) dt
= f(x0) + f‘(x0)(x−x0) + Integral von x0 nach x von f‘‘(t) + (x-t)^1 / 1!
= P1(x) + R1(x)

Aus Induktionsvoraussetzung folgt:
f(x) = Summe von k=0 bis n-1 von der k-ten Ableitung von f(x0) + (x-x0)^k / k! + Integral von x0 nach x von der n-ten Ableitung von f(t) + (x-t)^n-1 / (n-1)! dt für x element (a,b)

Mit u(t) = n-te Ableitung von f(t) und v(t) = -(x-t)^n / n!, ist v‘(t) = (x-t)^n-1 / (n-1)! und mit partieller Integral ergibt sich:
f(x) = Summe von k=0 bis n-1 von der k-ten Ableitung von f(x0) + (x-x0)^k / k! - [n-te Ableitung von f(t) + (x-t)^n / n!] x0 nach x + Integral von x0 nach x von der n+1-ten Ableitung von f(t) * (x-t)^n / n! dt
= Summe von k=0 bis n von der k-ten Ableitung von f(x0) + (x-x0)^k / k! + Integral von x0 nach x von der n+1-ten Ableitung von f(t) * (x-t)^n / n! dt

Analysis 1 (2 decks)

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