Analízis - hasznos fogalmak, definíciók Flashcards
Rendezési axiómák
(1) a < b, a = b, a > b közül pontosan egy teljesül (TRICHOTÓMIA)
(2) a < b and b < c => a < c (TRANZITIVITÁS)
(3) a < b => a+c < b+c
(4) a < b => ac < bc
Háromszögegyenlőtlenség
|a+b| <= |a|+|b|
Általánosan:
|a1+a2+…+an| <= |a1|+|a2|+…+|an|
H halmaz maximuma
jel: max H
A legnagyobb érték, ami H-ban szerepelhet
H halmaz minimuma
jel: min H
A legkisebb érték, ami H-ban szerepelhet
H halmaz suprémuma
jel: sup H
(1) Ha létezik, akkor max H
(2) Ha nem, akkor sup H a legkisebb felső korlátja H-nak, vagyis minden elem kisebb vagy egyenlő, mint sup H
H halmaz infimuma
jel: inf H
(1) Ha létezik, akkor min H
(2) Ha nem, akkor inf H a legnagyobb alsó korlátja H-nak, vagyis minden elem nagyobb vagy egyenlő, mint inf H
Teljességi tulajdonság/axióma
Ha H valós és nem üres, felülről korlátos halmaz, akkor H-nak létezik legkisebb felső korlátja (sup H)
Arkhimédész tulajdonság/axióma
Minden valós számnál létezik egy nagyobb természetes szám: n>r
Cantor féle tulajdonság/axióma
[a1,b1] ⊃ [a2,b2] … ⊃ [an,bn] akkor ⋂ [an,bn] ≄ ∅
Számtani és mértani középegyenlőtlenség
n√a1a2…an <= 1/na1+a2+…+an
Mértani és harmonikus középegyenlőtlenség
n√a1a2…*an >= n/(1/a1+1/a2+…+1/an)
Bernouilli egyenlőtlenség
(1+x)^n >= a+ nx ahol x>=-1
Injektívitás
f: A ➙ B és a1, a2 ∊ A a1≄a2 esetén az f(a1) ≄ f(a2) akkor f injektív.
VAGYIS: Ha a függvény minden különböző elemhez különböző elemet rendel.
Szürjektívitás
f: A ➙ B és R(f)=B, akkor f szürjektív (ráképezés)
VAGYIS: B minden eleme szerepel a hozzárendelésben.
Bijekció
Ha f: A ➙ B injektív és szürjektív, akkor f bijektív (kölcsönösen egyértelmű)
VAGYIS: B minden eleme szerepel a hozzárendelésben, úgy, hogy mindegyiket különböző A-beli elemhez rendelünk.
Függvények kompozíciója
Az a h(a) függvény, amelyre h(a) = g(f(a)) minden olyan f ÉT-beli elemre, ahol f(a) a g ÉT-beli elem lesz
Identikus függvény
f: A➙A, melyre minden a ∊ A-ra f(a) = a
Descartes szorzat
A, B adott halmazok.
Azon a:{1,2} ➙ A ∪ B rendezett párok halmazát, melykre a(1)∊A és a(2) ∊B, az A és B halmazok Descartes szorzatának nevezzük.
jel: A x B
Reláció
Az a halmaz, aminek elemei rendezett párok
Monoton növekedő/csökkenő sorozat
(an) sorozat monoton növekvő/ csökkenő, ha minden n-re an<=an+1
(an >=an+1)
Határérték
Az (an) sorozat határértéke az a valós szám, ha minden ε >0-hoz létezik egy olyan nε küszöbszám, hogy minden n >=nε esetén |an-a|<ε (tehát cak véges sok tag esik az a ε sugarú környezetén kívűlre)
Konvergens
Ha (an)-nek létezik véges határértéke, akkor konvergens (a-hoz konvergál)
Divergens
Ha (an)-nek nem létezik véges határértéke, akkor divergens vagy divergál
Részsorozat
Ha adott (an) és n1>n2>…>nk>… akkor ank={a1,a2,…,ak} (an) részsorozatának nevezzük.
Tétel: an és ank határérték relációja
Ha (an)➙a akkor tetszőleges ank részsorozatára is teljesül, hogy ank➙a
Tétel: an és bn határérték közötti relációja
Ha an<=bn és an ➙ a ill. bn➙b, akkor a<=b
Tétel: korlátosságra
Ha (an)➙a, akkor (an) korlátos
Tétel: konvergenciára
Ha (an) monoton növekedő és felülről korlátos, akkor konvergens
Az (an) a végtelenhez divergál
Az (an) sorozat határértéke a +végtelen, ha minden K számhoz létezik nk küszöbszem, amire minden n>=nk esetén an > K
Tétel: Rendőr-elv (Squeezing principle)
Ha (an)➙a és (cn)➙a, illetve an<=bn<=cn, akkor (bn)➙a
Határérték meghatározása (összeg, szorzat, hányados)
Ha (an)➙a és (bn)➙b:
(1) (anbn)➙ab
(2) (an+bn)➙a+b
(3) (an/bn)➙a/b ha bn≄ 0 és b≄ 0
Ha (an)➙0 és bn korlátos:
(4) (anbn)➙0
Tételek határérték meghatározására
(1) Ha (an)➙∞ és (bn) alulról korlátos, akkor an+bn➙∞
(2) Ha (an)➙∞ és (bn)➙-∞, akkor an+bn kritikus határérték
(3) Ha an ➙a és bn➙∞ vagy ➙-∞, akkor an*bn➙∞ vagy ➙-∞
(4) Ha (an)➙∞, akkor 1/(an)➙0
(5) Ha (an)➙0 és an=0, akkor (1/an)➙∞
Bolzano-Weirstrass tétel
Minden konvergens sorozatnak van konvergens részsorozata
Cauchy kritérium
(an) akkor és csak akkor konvergens, ha minden ε >0-hoz létezik nε, hogy minden n,m>=nε esetén |an-am|<ε
Nem sorozat határértékétől vett különbség, hanem sorozat elemeire nézzük
Tétel: Q számossága
Q halmaz megszámlálhatóan végtelen
Tétel: N számossága
N halmaz megszámlálhatóan végtelen
Algebrai szám
Egy alpha komplex szám algebrai, ha gyöke egy nem azonosan 0 egész együtthatós polinomnak
Transzcendens szám
Azon számok, amelyek nem algebraiak
Tétel: R számossága
R halmaz nem megszámlálhatóan végtelen
Tétel: Algebrai számok halmazának számossága
Algebrai számok halmaza megszámlálható
Tétel: R\Q számossága
R\Q nem megszámlálhatóan végtelen
A és B halmaz ekvivalens
A és B halmaz ekvivalens, ha elemeik párba állíthatóak, vagyis létezik φ:A➙B bijekció
Limes szuperior
A limes szuperior egy (an) sorozat felső korlátjaiból képzett részsorozat határértéke
Limes inferior
A limes inferior egy (an) sorozat alsó korlátjaiból képzett részsorozat határértéke
Sűrűsödési érték
Az a szám az (an) sűrűsödési értéke, ha létezik egy olyan nk részsorozat, hogy ank➙a
Végtelen sor
Rendeljük hozzá az (an) sorozathoz az sn úgynevezett részletösszegek sorozatát. a1+a2+…+an+… kifejezést ekkor végtelen sornak nevezzük
