Analisi I Flashcards
def Bigettiva
Sia inettiva che surgettiva
Cardinalità insieme delle funzioni bigettive tra due insiemi uguali?
fattoriale della cardinalità dei due insiemi
Definizione di insieme vuoto
Nessun Elemento, sottoinsieme di tutti gli insiemi
Def iniettiva
distinti el di A in distinti el di B
Cardinalità insieme delle parti?
2 alla (Cardinalità inisieme)
Intersezione di Insiemi?
Comune tra A e B
cardinalità dell’ Insieme delle funzioni tra due insiemi?
Cardinalità codominio alla cardinalità del dominio
Cosa è un insieme? E come si definisce?
Collezione, elementi:
- Elencazione
- Proprietà
Cosa è l’insieme delle parti?
Insieme sottoinsiemi di A
P(A) = sempre (vuoto, A) più tutti gli altri sottoinsiemi
Cosa è una funzione?
Dato di:
Partenza, Dominio
Arrivo, Codominio
Assegnazione ogni el domnio, un solo el codominio
Quando sono uguali due insiemi?
Uguali -> stessi elementi
Unione A e B?
Appartengono A o B.
Cosa è la cardinalità
Numero elementi insieme.
Stessa cardinalità se e solo se eisste funzione bigettiva tra loro.
Cosa si intende per sottoinsieme?
Ogni el. A anche el. B -> A sottoinsieme di B
Proprietà insiemi?
Non molteplicità
qualsiasi ordine
Differenza tra A e B?
El. A non appartengono B
Cardinalità insieme delle funzioni iniettive tra due insiemi?
Fattoriale della cardinalità del codominio, fratto fattoriale (cardinalità codominio meno cardinalità dominio)
Composizione di funzioni?
F composto G = G(F(x)). Codominio di F = dominio di G
Cosa significa implica e, se solo se
A Implica B-> Se A vero, B vero
A se e solo se B -> A e B equivalenti.
Def surgettiva
Ogni el di B associato ad un el di A
Funzione Identità?
Funzione da A ad A, f(a)=a
Funzione invertibile?
f:a->b invertibile se esite g:b->a t.c. g°f=ID(a)
Cosa dice il teorema di funzione invertibile? Come si dimostra?
Funzione invertibile se e solo se bigettiva.
Se invertibile allora bigettiva: g:B->A inversa. Se a1 diverso da a2 €A a1=g(f(a1)) diverso g(f(a2)) = a2 per definizione di inversa. f (a1) diversa da f(a2) per definizione di funzione quindi f è iniettiva.
Se b€B e f(g(b))=b, se g(b) = a, allora f(a)= b quindi per ogni b€B generico esiste un a in A tale che f(a)=b.
Se bigettiva allora invertibile: Per def. per ogni b€B esiste un unico a€A tc f(a)=b. Definisco allora g:B->A come g(b)=a e verifichiamo sia l’inversa:
- f(g(b)) = f(a) = b. Quindi f°g=IdB
-E viceversa
Cosa è una Sommatoria?
E’ un simbolo formale per indicare una somma di n numeri reali. Per farlo usa un indice muto e progressivo fino al suo massimo indicato sopra al simbolo di sommatoria. Ad ogni aumento dell’indice i si forma un nuovo termine della sommatoria.
Quali sono le proprietà delle sommatorie?
Proprietà Distributiva: Se moltiplichi una costante ad ogni termine della sommatoria è equivalente a moltiplicare quella costante alla sommatoria intera
Somma con termine costante: Se il termine della sommatoria non dipende dall’indice allora la sommatoria risultarà pari ad n* il suo argomento.
Somma di Sommatorie: Se si sommano due sommatorie con lo stesso indicie e stesso massimo si ottiene una sommatoria risultante che somma i singoli elementi tra loro
Scomposizione: Si può dividere una sommatoria in una sommatoria con un massimo inferiorie sommata ad un altra sommatoria con lo stesso massimo della originale ma con l’indice sfalzato del massimo della precedente
Traslazione di indici: Puoi traslare gli indici sommando una costante m sia all’indice che al massimo e sottraendola nell’indice all’interno dell’argomento.
Riflessione di indici: Si può usare pure il massimo nell’argomento sottraendoci l’indice + il suo valore base.
Cosa è la somma di una progressione geometrica?
Una progressione geometrica è una serie di n termini sommati tali che il rapporto tra un termine e il suo precedente sia costante a prescindere dai termini, il risultato di questo prodotto si chiama ragione. La sommatoria dei primi termini della progressione se si considera a =1 e q diverso da 1 è uguale a 1-q^n+1/1-q.
Cosa si intende per fattoriale?
Il fattorale di un numero non è altro che il rapporto di n numeri interi che partono da 1 e arrivano fino ad n, e si considera lo 0!=1
Quali propreità hanno i fattoriali e come si possono rappresentare applicativamente?
Le proprietà principali sono il fatto che fattoriale di n è uguale a n* fattoriale di n-1Il rapporto tra un fattoriale n e un fattoriale n - k con k<n è come fare il prodotto dei primi k fattori a partire da n e decrescendo.
Dal punto di vista applicativo il fattoriale può essere interpretato come il numero di permutazioni o ordinamenti possibili di un certo gruppo di oggetti.
Cosa è il principio di induzione e a cosa serve?
E’ un metodo dimostrativo che può dimostrare le proposizioni del tipo: per ogni n >= di n0 vale p(n).
Esso consiste in due procedimenti:
Passo Base: Si dimostra la validità della proposizione quando n = n0.
Passo induttivo: Si dimostra che se p(n) è vera implica che p(n+1) è vera.
In cosa consiste la disuguaglianza di Bernoulli e come si dimostra?
Essa dice che (1+x)^n è sempre maggiore uguale di 1+nx. Con n >= 0 e x >= -1.
Si dimostra per induzione, difatti il passo base è ovvio, mentre il passo induttivo si svolge sfruttando sia l’ipotesi induttiva che l’ipotesi del teorema.
Cosa si intende con binomio di Newton e come si dimostra?
Il binomio di newton è la formula che definisce il binomio (a+b)^n come la sommatoria da 0 a n del coefficente binomiale n su k di a^kb^n-k
Si dimostra anche questo con l’induzione e il passo base è di nuovo ovvio, mentre il passo induttivo sfrutta varie proprietà delle sommatorie.
Cosa si intende per funzione e come si definisce?
Una funzione è un’associazione che ad ogni elemento di un insieme A chiamato dominio associa uno e un solo elemento di un insieme B chiamato codominio, L’insieme B può essere più grande del dominio e quindi discordare dall’immagine di f che invece rappresenta tutti i punti di B raggiunti dalla f.
Quali sono le funzioni di variabile reale e che caratteristiche hanno?
Le funzioni di variabile reale sono quelle il cui dominio è sottoinsieme di R, codominio è tutto R e l’immagine è un sottoinsieme di R.
Queste funzioni permettono di disegnare un grafico, nonchè l’unione di tutti i punti x,y dove y= f(x).
Geometricamente la definizione di funzione fa si che se si disegna una qualsiasi retta parallelaalle ordinate essa intersecherà f in un solo punto per definizione di funzione.
Cosa si intende con funzione limitata, e che caratteristiche ha?
Una funzione si dice limitata superiormente se esiste un M finito tale per cui f(x) è sempre minore di M, mentre limitata inferiormente se esiste un L per cui è sempre maggiore. Se esistono sia L che M, ovvero è limitata sia superiormente che inferiormente si dice limitata.
Cosa si intende per funzione simmetrica e che caratteristiche ha?
Esistono due tipi di simmetrie, quelle rispetto all’asse y che si chiamano pari, in cui la f(x) = f(-x)
Oppure quelle rispetto all’origine che si chiamano dispari, ovver f(-x) = -f(x).
Cosa si intende per funzioni monotone e che caratteristiche hanno?
Una funzione si dice monotona se è o sempre crescente o sempre decrescente, ovvero se per ogni x1 > x2, f(x1) >= f(x2), se c’è solo maggiore senza uguale si dice strettamente crescente se c’è minore strettamente decrescente e se c’è minore uguale decrescente
Cosa si intende per funzioni periodiche e che caratteristiche hanno?
Una funzione non costante si dice periodica per il periodo T>0 se T è il numero più piccolo per il quale f(x+T)=f(x). Ogni intervallo di lunghezza T si dice periodicità.
Cosa sono le funzioni composte e quali proprietà hanno?
La composizione di funzioni è un operazione che prende due funzioni la cui immagine della prima deve essere sottoinsieme del dominio della seconda. E ne restituisce una funzione risultante che prende gli elementi del dominio della prima funzione, gli applica essa, poi prende il risultato e lo applica alla seconda funzione, creando cos’ una nuova immagine della composizione.
E’ associativo ma non commutativo, mai.
Cosa si intende per funzione invertibile e come si inverte una funzione?
Una funzione si dice invertibile se è iniettiva o bigettiva, e la sua inversa è la funzione che ad ogni prende ogni f(x) e da come risultato x. quindi ripercorre a ritroso la funzione di partenza.
il dominio della inversa sarà l’immagine di f, e l’inversa si chiamerà f^-1.
