Analisi 1 (mod. A)

Question 1

Teorema.

Principio di induzione.

Question 2

Assioma.

Principio del minimo intero (o del buon ordinamento).

Question 3

Assioma.

Presentazione assiomatica di R.

Question 4

Assioma.

Assioma di Dedekind.

Question 5

Definizione.

Sezione di Dedekind.

Question 6

Proposizione.

Principio di Archimede.

Question 7

Definizione.

Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore.

Question 8

Proposizione.

Se A sottoinsieme di R ammette massimo M, allora M = sup A.

Question 9

Proposizione.

Ogni sottoinsieme di R non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore.

Question 10

Proposizione.

Dato A sottoinsieme superiormente limitato di R, s è l’estremo superiore di A se e solo se s è maggiorante e per ogni e > 0 esiste a in A tale che s-e <= a.

Caratterizzazione dell’estremo superiore.

Question 11

Proposizione.

Q è un sottoinsieme denso di R.

Question 12

Definizione.

Iniettività e suriettività.

Question 13

Definizione.

Funzione monotona crescente e decrescente.

Question 14

Definizione.

Funzione periodica e di suo periodo.

Question 15

Definizione.

Sottoinsieme aperto e sottoinsieme chiuso di R.

Question 16

Proposizione.

Intersezione finita e unione arbitraria di aperti è ancora un aperto (risp. intersezione abritraria e unione finita di chiusi).

Proprietà elementari di aperti e chiusi.

Question 17

Proposizione.

A sottoinsieme di R è aperto se e solo se per ogni x in A esiste un e > 0 tale che l’intervallo aperto ]x-e, x+e[ è contenuto in A.

Caratterizzazione degli insiemi aperti.

Question 18

Proposizione.

Q non è un sottoinsieme aperto (risp. chiuso) di R.

Question 19

Definizione

Punto isolato e di punto di accumulazione.

Question 20

Proposizione.

Un sottoinsieme di R è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Difficile.

Question 21

Definizione.

Predicato definitivamente vero e frequentemente vero.

Question 22

Definizione.

Successione a valori in un insieme A.

Question 23

Definizione.

Punto interno, esterno, aderente, di frontiera.

Question 24

Definizione.

Sottosuccessione di una successione a valori in A.

Question 25

Definizione.

Limite di una successione a valori in R e successione convergente, infinitesima, divergente e irregolare.

Question 26

Teorema.

Unicità del limite di una successione convergente.

Question 27

Teorema.

Teorema della permanenza del segno per successioni.

Question 28

Teorema

Teorema della permanenza del segno per funzioni.

Question 29

Teorema.

Teorema dei carabinieri per successioni.

Question 30

Teorema.

Teorema dei carabinieri per funzioni.

Question 31

Teorema.

Teorema di convergenza monotona.

Non è stato fatto a lezione.

Question 32

Teorema.

Algebra dei limiti per le successioni: limite della somma, del prodotto, del reciproco.

Question 33

Definizione.

Continuità di funzione, definizione per successioni.

Question 34

Proposizione.

Gerarchia degli infiniti.

Question 35

Enunciato.

Criterio del rapporto.

La dimostrazione è stata data come esercizio (foglio 6).

Question 36

Enunciato.

Criterio della radice.

Question 37

Enunciato.

Caratteristiche fondamentali della successione (1+1/n)^n.

La dimostrazione di tutte è stata data come esercizio (foglio 6).

Question 38

Enunciato.

Limite notevole del seno, del coseno, dell’esponenziale, del logaritmo, della potenza, del numero di Nepero (per successioni e per funzioni).

Question 39

Definizione.

Definizione della funzione esponenziale.

Question 40

Teorema.

Teorema di Bolzano-Weierstrass.

Question 41

Definizione.

Punto limite di una successione.

Question 42

Proposizione.

Una successione è convergente in R esteso se e solo se ha un unico punto limite in R esteso.

Difficile, a lezione è stato solo enunciato.

Question 43

Definizione.

Successione di Cauchy.

Question 44

Proposizione.

Ogni successione di Cauchy è convergente.

Question 45

Definizione.

Limite di funzione, definizione per intorni.

Question 46

Definizione.

Limite di funzione, definizione per successioni.

Question 47

Proposizione.

Equivalenza tra le definizioni di limite di funzione per intorni e per successioni.

Difficile, a lezione è stato solo enunciato.

Question 48

Definizione.

Continuità di funzione, definizione per intorni.

Question 49

Definizione.

Estensione per continuità.

Question 50

Enunciato.

Limite della funzione composta.

Question 51

Proposizione.

Limite di una funzione monotona.

A lezione è stato solo enunciato.

Question 52

Teorema.

Teorema di esistenza degli zeri e teorema dei valori intermedi.

Question 53

Proposizione.

Ogni funzione continua manda intervalli in intervalli.

Question 54

Proposizione.

Una funzione continua è iniettiva se e solo se è strettamente monotona.

Question 55

Proposizione.

Una funzione monotona definita su un intervallo I è continua se e solo se f(I) è intervallo.

Question 56

Teorema.

Se una funzione invertibile è continua, lo è anche la sua inversa.

Question 57

Teorema.

Teorema di Weierstrass e sua generalizzazione a intervalli qualsiasi.

La generalizzazione è stata solo enunciata.

Question 58

Teorema.

Teorema di limitatezza.

Question 59

Definizione.

Funzione lipschitziana e sua costante di Lipschitz.

Question 60

Proposizione.

Ogni funzione lipschitziana è continua.

Question 61

Definizione.

Funzione uniformemente continua.

Question 62

Proposizione.

Ogni funzione uniformemente continua è continua.

Question 63

Teorema.

Teorema di Heine-Cantor.

Question 64

Enunciato.

Enunciare condizioni necessarie affinchè una funzione continua sia uniformemente continua in un intervallo limitato (risp. illimitato).

Question 65

Enunciato.

Enunciare tutte le condizioni sufficienti affinchè una funzione continua sia uniformemente continua in un intervallo limitato (risp. illimitato)

Question 66

Teorema.

Teorema della farfalla (con esempio che confuta l’implicazione opposta).

Question 67

Teorema.

Teorema dell’asintoto (con esempio che confuta l’implicazione opposta).

Question 68

Definizione.

Infinitesimo di ordine α per x → x₀, parte principale, infinitesimo campione.

Question 69

Proposizione.

Principio di sostituzione degli infinitesimi.

Question 70

Definizione.

Funzione rapporto incrementale e funzione derivata.

Question 71

Definizione.

Derivabilità e derivata puntuale (con esempio in cui la derivata in x₀ esiste ma la funzione non è derivabile in x₀).

Attenzione a distinguere i concetti di derivabilità e di derivata.

Question 72

Proposizione.

Ogni funzione derivabile in un punto è continua in tale punto.

Question 73

Definizione

Definizione di intervallo.

Question 74

Proposizione.

La derivata è un operatore lineare e la derivata di fg è f’g+fg’

A lezione la derivata del prodotto è stata solo enunciata.

Question 75

Proposizione.

Derivata della funzione composta.

Question 76

Proposizione.

Derivata della funzione inversa.

Question 77

Proposizione.

Se una funzione è derivabile e monotona crescente in A sottoinsieme di R, la sua derivata in A è sempre maggiore o uguale a zero (con esempio in cui per una funzione strettamente crescente non vale necessariamente la disuguaglianza stretta).

Question 78

Definizione.

Punto di minimo e massimo locale.

Question 79

Teorema.

Teorema di Fermat (fornire controesempi per i casi che soddisfano tutte le ipotesi eccetto una e un controesempio per l’implicazione opposta).

Generalizzare a punti non interni e a punti di non derivabilità.

Question 80

Teorema.

Teorema di Rolle (fornire controesempi per i casi che soddisfano tutte le ipotesi eccetto una)

Question 81

Teorema.

Teorema di Lagrange (fornire controesempi per i casi che soddisfano tutte le ipotesi eccetto una).

Question 82

Teorema.

Teorema di Cauchy.

Question 83

Proposizione.

Una funzione derivabile in un intervallo I tale che la sua derivata è nulla nell’apertura di I è costante.

Question 84

Proposizione.

Una funzione derivabile in un intervallo I tale che la sua derivata è maggiore o uguale a zero nell’apertura di I è monotona crescente.

Question 85

Proposizione.

Una funzione derivabile in un intervallo è lipschitziana su tale intervallo se e solo se la funzione derivata è limitata su tale intervallo.

Question 86

Definizione.

Funzione primitiva.

Question 87

Proposizione.

Due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante.

Question 88

Definizione.

Funzione convessa (risp. concava).

Question 89

Proposizione.

Una funzione è convessa in un intervallo I se e solo se per ogni x₀ in I la funzione rapporto incrementale R(x,x₀) è crescente in I.

Question 90

Proposizione.

Se f è convessa in I e derivabile in x₀, allora il grafico di f sta sempre sopra alla retta tangente a f in x₀.

Question 91

Definizione

Distanza