Analisi 1 (mod. A) Flashcards
Programma del corso di Analisi Matematica 1 (mod. A). Docente: Federico Cacciafesta.
Teorema.
Principio di induzione.
Assioma.
Principio del minimo intero (o del buon ordinamento).
Assioma.
Presentazione assiomatica di R.
Assioma.
Assioma di Dedekind.
Definizione.
Sezione di Dedekind.
Proposizione.
Principio di Archimede.
Definizione.
Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore.
Proposizione.
Se A sottoinsieme di R ammette massimo M, allora M = sup A.
Proposizione.
Ogni sottoinsieme di R non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore.
Proposizione.
Dato A sottoinsieme superiormente limitato di R, s è l’estremo superiore di A se e solo se s è maggiorante e per ogni e > 0 esiste a in A tale che s-e <= a.
Caratterizzazione dell’estremo superiore.
Proposizione.
Q è un sottoinsieme denso di R.
Definizione.
Iniettività e suriettività.
Definizione.
Funzione monotona crescente e decrescente.
Definizione.
Funzione periodica e di suo periodo.
Definizione.
Sottoinsieme aperto e sottoinsieme chiuso di R.
Proposizione.
Intersezione finita e unione arbitraria di aperti è ancora un aperto (risp. intersezione abritraria e unione finita di chiusi).
Proprietà elementari di aperti e chiusi.
Proposizione.
A sottoinsieme di R è aperto se e solo se per ogni x in A esiste un e > 0 tale che l’intervallo aperto ]x-e, x+e[ è contenuto in A.
Caratterizzazione degli insiemi aperti.
Proposizione.
Q non è un sottoinsieme aperto (risp. chiuso) di R.
Definizione
Punto isolato e di punto di accumulazione.
Proposizione.
Un sottoinsieme di R è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
Difficile.
Definizione.
Predicato definitivamente vero e frequentemente vero.
Definizione.
Successione a valori in un insieme A.
Definizione.
Punto interno, esterno, aderente, di frontiera.
Definizione.
Sottosuccessione di una successione a valori in A.
Definizione.
Limite di una successione a valori in R e successione convergente, infinitesima, divergente e irregolare.
Teorema.
Unicità del limite di una successione convergente.
Teorema.
Teorema della permanenza del segno per successioni.
Teorema
Teorema della permanenza del segno per funzioni.
Teorema.
Teorema dei carabinieri per successioni.
Teorema.
Teorema dei carabinieri per funzioni.
Teorema.
Teorema di convergenza monotona.
Non è stato fatto a lezione.
Teorema.
Algebra dei limiti per le successioni: limite della somma, del prodotto, del reciproco.
Definizione.
Continuità di funzione, definizione per successioni.
Proposizione.
Gerarchia degli infiniti.
Enunciato.
Criterio del rapporto.
La dimostrazione è stata data come esercizio (foglio 6).
Enunciato.
Criterio della radice.
Enunciato.
Caratteristiche fondamentali della successione (1+1/n)^n.
La dimostrazione di tutte è stata data come esercizio (foglio 6).
Enunciato.
Limite notevole del seno, del coseno, dell’esponenziale, del logaritmo, della potenza, del numero di Nepero (per successioni e per funzioni).
Definizione.
Definizione della funzione esponenziale.
Teorema.
Teorema di Bolzano-Weierstrass.
Definizione.
Punto limite di una successione.
Proposizione.
Una successione è convergente in R esteso se e solo se ha un unico punto limite in R esteso.
Difficile, a lezione è stato solo enunciato.
Definizione.
Successione di Cauchy.
Proposizione.
Ogni successione di Cauchy è convergente.
Definizione.
Limite di funzione, definizione per intorni.
Definizione.
Limite di funzione, definizione per successioni.
Proposizione.
Equivalenza tra le definizioni di limite di funzione per intorni e per successioni.
Difficile, a lezione è stato solo enunciato.
Definizione.
Continuità di funzione, definizione per intorni.
Definizione.
Estensione per continuità.
Enunciato.
Limite della funzione composta.
Proposizione.
Limite di una funzione monotona.
A lezione è stato solo enunciato.
Teorema.
Teorema di esistenza degli zeri e teorema dei valori intermedi.
Proposizione.
Ogni funzione continua manda intervalli in intervalli.
Proposizione.
Una funzione continua è iniettiva se e solo se è strettamente monotona.
Proposizione.
Una funzione monotona definita su un intervallo I è continua se e solo se f(I) è intervallo.
Teorema.
Se una funzione invertibile è continua, lo è anche la sua inversa.
Teorema.
Teorema di Weierstrass e sua generalizzazione a intervalli qualsiasi.
La generalizzazione è stata solo enunciata.
Teorema.
Teorema di limitatezza.
Definizione.
Funzione lipschitziana e sua costante di Lipschitz.
Proposizione.
Ogni funzione lipschitziana è continua.
Definizione.
Funzione uniformemente continua.
Proposizione.
Ogni funzione uniformemente continua è continua.
Teorema.
Teorema di Heine-Cantor.
Enunciato.
Enunciare condizioni necessarie affinchè una funzione continua sia uniformemente continua in un intervallo limitato (risp. illimitato).
Enunciato.
Enunciare tutte le condizioni sufficienti affinchè una funzione continua sia uniformemente continua in un intervallo limitato (risp. illimitato)
Teorema.
Teorema della farfalla (con esempio che confuta l’implicazione opposta).
Teorema.
Teorema dell’asintoto (con esempio che confuta l’implicazione opposta).
Definizione.
Infinitesimo di ordine α per x → x₀, parte principale, infinitesimo campione.
Proposizione.
Principio di sostituzione degli infinitesimi.
Definizione.
Funzione rapporto incrementale e funzione derivata.
Definizione.
Derivabilità e derivata puntuale (con esempio in cui la derivata in x₀ esiste ma la funzione non è derivabile in x₀).
Attenzione a distinguere i concetti di derivabilità e di derivata.
Proposizione.
Ogni funzione derivabile in un punto è continua in tale punto.
Definizione
Definizione di intervallo.
Proposizione.
La derivata è un operatore lineare e la derivata di fg è f’g+fg’
A lezione la derivata del prodotto è stata solo enunciata.
Proposizione.
Derivata della funzione composta.
Proposizione.
Derivata della funzione inversa.
Proposizione.
Se una funzione è derivabile e monotona crescente in A sottoinsieme di R, la sua derivata in A è sempre maggiore o uguale a zero (con esempio in cui per una funzione strettamente crescente non vale necessariamente la disuguaglianza stretta).
Definizione.
Punto di minimo e massimo locale.
Teorema.
Teorema di Fermat (fornire controesempi per i casi che soddisfano tutte le ipotesi eccetto una e un controesempio per l’implicazione opposta).
Generalizzare a punti non interni e a punti di non derivabilità.
Teorema.
Teorema di Rolle (fornire controesempi per i casi che soddisfano tutte le ipotesi eccetto una)
Teorema.
Teorema di Lagrange (fornire controesempi per i casi che soddisfano tutte le ipotesi eccetto una).
Teorema.
Teorema di Cauchy.
Proposizione.
Una funzione derivabile in un intervallo I tale che la sua derivata è nulla nell’apertura di I è costante.
Proposizione.
Una funzione derivabile in un intervallo I tale che la sua derivata è maggiore o uguale a zero nell’apertura di I è monotona crescente.
Proposizione.
Una funzione derivabile in un intervallo è lipschitziana su tale intervallo se e solo se la funzione derivata è limitata su tale intervallo.
Definizione.
Funzione primitiva.
Proposizione.
Due primitive di una stessa funzione differiscono per una costante.
Definizione.
Funzione convessa (risp. concava).
Proposizione.
Una funzione è convessa in un intervallo I se e solo se per ogni x₀ in I la funzione rapporto incrementale R(x,x₀) è crescente in I.
Proposizione.
Se f è convessa in I e derivabile in x₀, allora il grafico di f sta sempre sopra alla retta tangente a f in x₀.
Definizione
Distanza
