Algèbre

Question 1

Qu’est-ce qu’une application?

Answer 1

Une application est une relation entre deux ensembles qui associe à chaque élément du premier ensemble un élément unique du second.

Question 2

Qu’est-ce que l’image directe d’un ensemble par une application?

Answer 2

L’image directe d’un ensemble A par une application f est l’ensemble des images des éléments de A par f.

Question 3

Qu’est-ce qu’une application injective?

Answer 3

Une application est injective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent.

Question 4

Qu’est-ce qu’une application surjective?

Answer 4

Une application est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent.

Question 5

Qu’est-ce qu’une application bijective?

Answer 5

Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Question 6

Explicitez l’application réciproque d’une application bijective simple.

Answer 6

L’application réciproque d’une application bijective est l’application qui associe à chaque élément de l’ensemble d’arrivée son antécédent unique.

Question 7

Que sont l’image directe et l’image réciproque d’un ensemble par une application?

Answer 7

L’image directe d’un ensemble est l’ensemble des éléments atteints par l’application, et l’image réciproque est l’ensemble des antécédents.

Question 8

Qu’est-ce que la composition d’applications?

Answer 8

La composition d’applications consiste à appliquer successivement deux applications, c’est-à-dire appliquer f après g.

Question 9

Quelles sont les propriétés de la somme et du produit dans le calcul algébrique?

Answer 9

Les propriétés de la somme et du produit incluent l’associativité, la commutativité, et la distributivité.

Question 10

Comment changer d’indice dans un calcul algébrique?

Answer 10

Changer d’indice consiste à redéfinir la variable de sommation dans une somme ou un produit.

Question 11

Comment calculer une somme avec des sommes de référence?

Answer 11

Pour calculer une somme avec des sommes de référence, on utilise des résultats connus pour certaines formes de somme, comme Σk ou Σk².

Question 12

Que sont les sommes téléscopiques?

Answer 12

Une somme téléscopique est une somme où les termes intermédiaires s’annulent deux à deux.

Question 13

Qu’est-ce que la factorielle?

Answer 13

La factorielle d’un nombre n est le produit des entiers de 1 à n.

Question 14

Comment exprimer un produit à l’aide de la factorielle?

Answer 14

Un produit peut être exprimé en termes de factorielle en utilisant la définition de la factorielle pour les termes.

Question 15

Donnez la définition formelle d’une application injective.

Answer 15

Une application est injective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent dans l’ensemble de départ.

Question 16

Donnez la définition formelle d’une application surjective.

Answer 16

Une application est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée est l’image d’au moins un élément de l’ensemble de départ.

Question 17

Niez les énoncés d’une application injective et surjective.

Answer 17

Nier l’injectivité revient à dire qu’il existe au moins deux éléments ayant la même image; nier la surjectivité revient à dire qu’il existe des éléments sans antécédents.

Question 18

Donnez un exemple d’une application surjective et non injective.

Answer 18

Un exemple est une application linéaire qui couvre tous les éléments de l’ensemble d’arrivée mais qui n’est pas injective.

Question 19

Donnez un exemple d’une application injective et non surjective.

Answer 19

Un exemple est une fonction injective définie sur un sous-ensemble mais qui ne couvre pas tous les éléments de l’ensemble d’arrivée.

Question 20

Donnez un exemple d’une application ni injective ni surjective.

Answer 20

Un exemple est une application linéaire restreinte qui n’est ni injective ni surjective.

Question 21

Donnez un exemple d’une application bijective.

Answer 21

Un exemple d’application bijective est la fonction identité.

Question 22

Montrez que si f est injective et g est injective, alors f o g est injective.

Answer 22

Si f et g sont injectives, alors la composition f o g est également injective.

Question 23

Montrez que si f est surjective et g est surjective, alors f o g est surjective.

Answer 23

Si f et g sont surjectives, alors la composition f o g est également surjective.

Question 24

Montrez par récurrence que la somme des entiers de 1 à n est égale à n(n + 1)/2.

Answer 24

La somme des entiers de 1 à n est donnée par n(n + 1)/2, ce qui peut être montré par récurrence.

Question 25

Montrez par récurrence que la somme des carrés des entiers de 1 à n est égale à n(n + 1)(2n + 1)/6.

Answer 25

La somme des carrés des entiers de 1 à n est donnée par n(n + 1)(2n + 1)/6, ce qui peut être montré par récurrence.

Question 26

Montrez que si z ≠ 1, alors la somme des puissances de z de p à n est égale à une certaine expression.

Answer 26

Si z ≠ 1, alors la somme des puissances de z de p à n est égale à z^p * (1 - z^(n-p+1)) / (1 - z).

Question 27

Démontrez le calcul d’une somme téléscopique.

Answer 27

La somme téléscopique Σ(x_i+1 - x_i) de p à n est égale à x_(n+1) - x_p.