Algèbre Flashcards
Qu’est-ce qu’une application?
Une application est une relation entre deux ensembles qui associe à chaque élément du premier ensemble un élément unique du second.
Qu’est-ce que l’image directe d’un ensemble par une application?
L’image directe d’un ensemble A par une application f est l’ensemble des images des éléments de A par f.
Qu’est-ce qu’une application injective?
Une application est injective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent.
Qu’est-ce qu’une application surjective?
Une application est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent.
Qu’est-ce qu’une application bijective?
Une application est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Explicitez l’application réciproque d’une application bijective simple.
L’application réciproque d’une application bijective est l’application qui associe à chaque élément de l’ensemble d’arrivée son antécédent unique.
Que sont l’image directe et l’image réciproque d’un ensemble par une application?
L’image directe d’un ensemble est l’ensemble des éléments atteints par l’application, et l’image réciproque est l’ensemble des antécédents.
Qu’est-ce que la composition d’applications?
La composition d’applications consiste à appliquer successivement deux applications, c’est-à-dire appliquer f après g.
Quelles sont les propriétés de la somme et du produit dans le calcul algébrique?
Les propriétés de la somme et du produit incluent l’associativité, la commutativité, et la distributivité.
Comment changer d’indice dans un calcul algébrique?
Changer d’indice consiste à redéfinir la variable de sommation dans une somme ou un produit.
Comment calculer une somme avec des sommes de référence?
Pour calculer une somme avec des sommes de référence, on utilise des résultats connus pour certaines formes de somme, comme Σk ou Σk².
Que sont les sommes téléscopiques?
Une somme téléscopique est une somme où les termes intermédiaires s’annulent deux à deux.
Qu’est-ce que la factorielle?
La factorielle d’un nombre n est le produit des entiers de 1 à n.
Comment exprimer un produit à l’aide de la factorielle?
Un produit peut être exprimé en termes de factorielle en utilisant la définition de la factorielle pour les termes.
Donnez la définition formelle d’une application injective.
Une application est injective si chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent dans l’ensemble de départ.
Donnez la définition formelle d’une application surjective.
Une application est surjective si tout élément de l’ensemble d’arrivée est l’image d’au moins un élément de l’ensemble de départ.
Niez les énoncés d’une application injective et surjective.
Nier l’injectivité revient à dire qu’il existe au moins deux éléments ayant la même image; nier la surjectivité revient à dire qu’il existe des éléments sans antécédents.
Donnez un exemple d’une application surjective et non injective.
Un exemple est une application linéaire qui couvre tous les éléments de l’ensemble d’arrivée mais qui n’est pas injective.
Donnez un exemple d’une application injective et non surjective.
Un exemple est une fonction injective définie sur un sous-ensemble mais qui ne couvre pas tous les éléments de l’ensemble d’arrivée.
Donnez un exemple d’une application ni injective ni surjective.
Un exemple est une application linéaire restreinte qui n’est ni injective ni surjective.
Donnez un exemple d’une application bijective.
Un exemple d’application bijective est la fonction identité.
Montrez que si f est injective et g est injective, alors f o g est injective.
Si f et g sont injectives, alors la composition f o g est également injective.
Montrez que si f est surjective et g est surjective, alors f o g est surjective.
Si f et g sont surjectives, alors la composition f o g est également surjective.
Montrez par récurrence que la somme des entiers de 1 à n est égale à n(n + 1)/2.
La somme des entiers de 1 à n est donnée par n(n + 1)/2, ce qui peut être montré par récurrence.
Montrez par récurrence que la somme des carrés des entiers de 1 à n est égale à n(n + 1)(2n + 1)/6.
La somme des carrés des entiers de 1 à n est donnée par n(n + 1)(2n + 1)/6, ce qui peut être montré par récurrence.
Montrez que si z ≠ 1, alors la somme des puissances de z de p à n est égale à une certaine expression.
Si z ≠ 1, alors la somme des puissances de z de p à n est égale à z^p * (1 - z^(n-p+1)) / (1 - z).
Démontrez le calcul d’une somme téléscopique.
La somme téléscopique Σ(x_i+1 - x_i) de p à n est égale à x_(n+1) - x_p.
