Álgebra I Flashcards
Grupo
possui uma operação com as propriedades associativa, elemento neutro e inverso, pode ser abeliano (comutativo)
Anel
2 operações que satisfazem (A,+) grupo abeliano, el. neutro 0, ass. e dist.
Anel comutativo
tem multiplicação comutativa
Anel de grupo
∑{g∈G} a{g}g | a_{g}, g∈G, a_{g}=0 para quase todo g
elemento neutro do anel de grupo
∑_{g∈G}0.g
elemento neutro da multiplicação no anel de grupo
∑{g∈G} a{g}g | a_{g}=1 se g=1, a_{g}=0 caso contrário
série formal A[[x]]
série formal com coeficientes no anel A
operações na série formal
adição (termo a termo) e multiplicação (distributiva)
definição de série
soma de uma sequência de infinitos termos
definição de sequência
é uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado
definição de série formal
polinômio em que é permitido ter infinitos termos
inteiro módulo
Z/nZ é um anel comutativo e com unidade
operações inteiro módulo
a+b={a+b se a+b=n e ab é o resto da divisão de ab por n
congruência módulo n
relação de equivalência no conjunto dos inteiros a ≡ b (mod n) se (a-b) é divisível por n
em um anel, se ab=0 com b ≠ 0
a e b são divisores de 0 neste anel
anel livre de torção
se não existe x∈G satisfazendo x^n=1
domínio
A é um anel comutativo e ab=0 (a=0 ou b=0)
idempotente
a²=a, 0 e 1 são idempotentes triviais
nilpotente
a^n=0 para algum n inteiro positivo, menor n é o índice de nilpotência
unidade (inversível)
x∈A, se ∃ y∈A | xy=1=yx
notação: A^x={a∈A|∃b∈A tq ab=ba=1}
anel de divisão
A se A^x=A-{0}
Corpo
A é um anel de divisão comutativo
todo corpo é domínio
seja K um corpo, corpo sempre é comutativo, a,b∈ K tal que ab=0 se a≠0, ∃a^-1∈K tq a^-1a=1 então b=0
todo domínio finito é corpo
domínio é comutativo e ab=0 (a=0 ou b=0) então é anel de divisão
Z/nZ é um corpo ⇔
⇔ n é primo
teorema de fermat
se p é primo e não divisível por a, então a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
teorema de euler
a^phi(n) ≡ 1 (mod n) em que phi(n) é a função phi de euler calculada probabilisticamente
(a, b) ~ (c, d)
Relação de equivalência com ad=bc
Propriedades da relação de equivalência
Reflexiva, simétrica e transitiva
Quais são os elementos da classe de equivalência (a,b) em S={(a,b) ∈ DxD| b≠0}
a/b={(x,y)∈S|(x,y) ~ (a,b)}
Quais são os elementos de Frac(D)
{a/b|(a,b)∈S} em que S={(a,b) ∈ DxD| b ≠ 0}
corpo de frações de D
Frac(D)
relação entre D e Frac(D)
D “está contido em” Frac(D), ou seja, é uma existe uma cópia de D em Frac(D)
Frac(D) é o _______ corpo que ______ D
Frac(D) é o menor corpo que “contém” D
adição em Frac(D)
a/b + c/d = (ad+cb)/bd
multiplicação em Frac(D)
a/b . c/d = ac/bd
Frac(D) é um anel com zero __ e elemento neutro __
com zero 0/1 e elemento neutro 1/1
em Frac(D), se a/b≠0, o inverso multiplicativo de a/b é
b/a
(Homo)morfismo de aneis
Uma f:A → B que satisfaz f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y) e f(Ia)=Ib
Morfismo de corpos é sempre injetor?
Sim, pois, seja f(a)=f(b) ⇒ f(a-b)=0 ⇒ a=b
X é um subanel se…
X ⊆ A (anel) e com as operações induzidas de A e elemento neutro de A pertence a X, X é anel
Um subgrupo do anel A é um ideal se
Se Ia ⊆ I e aI ⊆ I ∀ a ∈ A
Relação de equivalência em respeito a I (ideal)
a ≡ b (mod I) ⇔ a-b ∈ I
O conjunto das classes de equivalência da relação ≡ é
Um anel denotado A/I (anel quociente)
Anel quociente
Conjunto das classes de equivalência da relação ≡
Soma e multiplicação em A/I
(a+I)+(b+I)=(a+b)+I
(a+I)(b+I)=(ab)+Ir
Quais são os ideias de Z
Seja n um número inteiro, então o conjunto de todos os múltiplos de n é um ideal de Z
Ideal de um conjunto de polinômios
Se p(x) é o polinômio de menor grau que pertence a I então I = p(x)K[x]
Um anel A possui divisores se
ab=0 com b ≠0 com a,b ∈ A
Morfismo
Mapeamento de uma estrutura em outra de forma que a estrutura é preservada
Homomorfismo de anéis
Funções f:A->B naturais nos anéis que preservam as operações dos anéis, ou seja, f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b) e f(1)=1 sendo que as operações do lado esquerdo são realizadas em A e as do lado direito são realizadas em B
Homomorfismo bijetor
Isomorfismo
Z/nZ
é o anel inteiro modulo n comutativo e com unidade
Um morfismo entre corpos é sempre injetor?
Sim, pois, seja a ∈ K^x então 1=f(a.a^-1)=f(a)f(a^-1) ⇒ f(a) ≠ 0
Morfismo entre A e A/I
Seja π:A → A/I com π(a)=a+I=ä
Ker(π)={a ∈ I ⊆ A|a+I=0+I}=I
O ideal gerado por S ⊆ A é o _____ ideal de A que _______ S
(S) ideal gerado por S ⊆ A é o menor ideal de A que contém S
DIP
A é um Domínio de Ideais Principais se todo ideal de A é gerado por um único elemento
Morfismo f:A → B é injetor se
Ker(f)={x ∈ A|f(x)=0}={0}=0
1º teorema do isomorfismo
Um morfismo f:A → B induz um isomorfismo fbarra:A/ker(f)→im(f) dado por fbarra(abarra)=f(a) com abarra=a+ker(f)
2º teorema do isomorfismo
A subanel de R e B ideal de R, A+B={a+b ∈ R|a ∈ A, b ∈ B} é um subanel de R, A ∩ B é anel de A e A/A∩B isomorfo a A+B/B
3º teorema do isomorfismo
I, J ideais de A, I ⊆ J. Então J/I é ideal de A/I e (A/I)/(J/I) isomorfo a A/J
Teorema da correspondência
A função {ideais de A que ⊆ I} → {ideias de A/I} tal que J → J/I é uma bijeção
Ideal maximal
Se I ≠ A e se J ideal de A tal que I ⊆ J, então J=I ou J=A
Anel simples
Seus únicos ideais são {0} e A
I ideal ≠ A é maximal ⇔
A/I é um anel simples
Se A é um anel simples e comutativo ⇒
A é um corpo
