Algebra

Question 1

Skupovna definicija uredjenog para

Answer 1

uredjeni par (a,b) = {{a},{a,b}}

u skupu {a,b} nije bitan poredak
{a,b} = {b,a}

u skupu (a,b) je bitan poredak
(a,b) =/= (b,a),  a =/= b

Question 2

Sta je Dekartov proizvod?

Answer 2

Dekartov proizvod AxB nepraznih skupova A i B je skup uredjenih parova cija prva komponenta pripada skupu A, a druga komponenta skupu B

AxB = {(a,b) | a∈A ∧ b∈B}

Question 3

Definisi pojam funkcije

Answer 3

Funkcija (preslikavanje) f nepraznog skupa A u neprazni skup B je pravilo kojim se svakom elementu skupa A dodeljuje tacno jedan element skupa B.

Odnosno, f-ja f nepraznog skupa A u neprazni skup B, u oznaci f: A -> B, je podskup skupa AxB takav da vazi

1) (∀x∈A)(∃y∈B)(x,y)∈f
2) (∀x∈A)(∀y1,y2∈B) (x,y1)∈f∧(x,y2)∈f ⇒ y1=y2

Question 4

Sta je original, a sta slika nekog elementa skupa?

Answer 4

Ako je (x,y)∈f onda se x naziva originalom, a y slikom elementa x. 
Da bi nesto bilo funkcija, svaki original mora da ima neku sliku (moze i istu).

Question 5

Definisi skup vrednosti f-je

Answer 5

f(A) - skup vrednosti
Skup vrednosti f-je je skup svih slika u oznaci f(A)
f(A)={y∈B | (∃x∈A)(x,y)∈f}

Question 6

Koje osobine moze imati f-ja? (Kakva moze biti?)

Answer 6

Surjekcija(NA), injekcija(1-1), bijekcija

Question 7

Definisi surjekciju

Answer 7

F-ja f:A->B je surjekcija akko je B=f(A), odnosno akko

(∀y∈B)(∃x∈A)(x,y)∈f

Question 8

Definisi injekciju

Answer 8

F-ja f:A->B je injekcija akko

(∀x1,x2∈A)(∀y∈B) (x1,y)∈f∧(x2,y)∈f ⇒ x1=x2

Question 9

Sta je bijekcija

Answer 9

F-ja f:1->B je bijekcija akko je surjekcija i injekcija

Question 10

Sta je binarna operacija?

Answer 10

Binarna operacija na nepraznom skupu G je preslikavanje ◦ : GxG -> G

Question 11

Sta je grupoid?

Answer 11

Grupoid je uredjeni par (G, ◦), gde je G neprazan skup, a ◦ binarna operacija na skupu G

Question 12

Sta koristimo za predstavljanje binarne operacije na konacnom skupu?

Answer 12

Kejlijevu tablicu

Question 13

Osobine koje binarna operacija u grupoidu moze da ima?

Answer 13

1) Ako u grupoidu (G, ◦) za neke elemente a,b∈G vazi
a ◦ b = b ◦ a, onda su ti elementi permutabilni

2) Ako su u grupoidu (G, ◦) svaka dva elementa permutabilna, onda je takva binarna operacija komutativna
3) Ako u grupoidu (G, ◦) za svaka tri elementa a,b,c∈G vazi (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c), onda je ta binarna operacija asocijativna

Question 14

Sta je levi, a sta desni neutralni element?

Answer 14

Element e1 grupoida (G,◦) za koji važi (∀a∈G) e1◦a = a nazivamo levim neutralnim elementom.

Element e2 grupoida (G,◦) za koji važi (∀a∈G) a◦e2 = a nazivamo desnim neutralnim elementom.

Question 15

Teorema: Ako u grupoidu (G,◦) postoje levi neutralni element e1 i desni neutralni element e2, onda je
e1 = e2.

Answer 15

Dokaz:
Po definiciji levog neutralnog elementa, važi
e1 ◦ e2 = e2. Po definiciji desnog neutralnog elementa, važi e1 ◦ e2 = e1.
Prema tome, e1 = e2.

Question 16

Sta je neutralni element grupoida?

Answer 16

Element e grupoida (G,◦) za koji važi

(∀a∈G) a◦e = e◦a = a

Question 17

Teorema: Ako u grupoidu (G,◦) postoji neutralni element, onda je on jedinstven.

Answer 17

Dokaz:
Pretpostavimo suprotno, da postoje dva neutralna elementa e1 i e2 u grupoidu (G,◦).
Tada po definiciji neutralnog elementa, važi
e1 = e1 ◦ e2 = e2.

Question 18

Definisi kada neki element grupoida ima levi, a kada desni inverzni element? A kada ima inverzni element?

Answer 18

Neka grupoid (G,◦) ima neutralni element e.

Element a ∈ G ima levi inverzni element a’ ∈ G ako važi jednakost a’ ◦ a = e.

Element a ∈ G ima desni inverzni element a’’ ∈ G ako važi jednakost a ◦ a’’ = e.

Element a ∈ G ima inverzni element ako ima levi inverzni element a’, desni inverznielement a’’ i ako važi a’ = a’’

Question 19

Sta je semigrupa?

Answer 19

Grupoid (G,◦) cija je binarna operacija ◦ asocijativna

Question 20

Sta je monoid?

Answer 20

Semigrupa (G,◦) sa neutralnim elementom

Question 21

Teorema: U monoidu (G,◦) ako element a ∈ G ima levi inverzni element a’ i desni inverzni element a’’, onda je a’ = a’’

Answer 21

Dokaz:

Zaista, a’ = a’ ◦ e = a’ ◦ (a ◦ a’’) = (a’ ◦ a) ◦ a’’ = e ◦ a’’ = a’’

Question 22

Teorema: U monoidu (G,◦) element a ∈ G ima najviše jedan inverzni element.

Answer 22

Dokaz:
Pretpostavimo suprotno, da element a ∈ G ima dva inverzna elementa a’ i a’’ u semigrupi (G,◦). Tada po definiciji inverznog elementa, važi
a’ = a’ ◦ e = a’ ◦ (a ◦ a’’) = (a’ ◦ a) ◦ a’’ = e ◦ a’’ = a’’