algebra Flashcards
conica con Det A’ = 0
Degenere
conica con Det A’ diverso da zero
NON degenere
conica con Det A’ diverso da zero, Det A = 0 E gli autovalori?
Parabola, implica un autovalore = 0
conica conDet A’ diverso da zero, Det A > 0 E autovalori?
Ellisse, autovalori concordi
conica con Det A’ diverso da zero, Det A < 0 E autovalori?
Iperbole, autovalori discordi
conica con Det A’ = 0, det A < 0
rette reali incidenti
conica con Det A’ = 0 det A = 0
rette parallele
conica con Det A’ = 0 det A > 0
coppie rette incidenti immaginarie
Invariante cubico
Det A’
Invariante Quadratico
sottomatrice
Invariante Lineare
TrA = a + b aka a11 + a22
Costruzione matrice associata alla conica
diagonale a b f
c/2 d/2 e/2
Come vedo se una matrice è diagonalizzabile. TUTTI I modi
sottraggo h dalla diagonale e risolvo il sistema. Se gli autovalori sono tutti differenti allora è diagonalizzabile.
Se è simmetrica è diagonalizzabile e ortogonalmente diagonalizzabile.
Calcolo molteplicità geometrica, e una sua proprietà
mg(h) = ordine matrice - rk(A-hI)
1<= mg(h)<=ma(h)
Come si calcola la matrice diagonale
D = A * P * P^(-1)
Se ho una matrice Diagonale Superiore cosa conosco?
Gli autovalori. Sono quelli sulla diagonale
Come calcolo la dimensione di V_orotogonale
Spazio ambiente - dimV
Per calcolare V_ortogonale da base di V?
faccio il prodotto scalare di goni vettore della base con il generico vettore (x,y,z,t) e porre a sistema le equazioni.
Base Ortonormale
Norma dei vettori della base ortogonale uguale a 1
Posso ortonormalizzare una base ortogonale?
Si! Divido ogni vettore per la sua norma
Dimensione del Kerf = ?
Spazio di partenza - Dimensione ImF
Come si calcola la Dimensione dell’immagine? NO FORMULA
Rango della matrice associata disposta per colonne
Cos’è una matrice?
Tabella a doppia entrata definita da righe e colonne. Ogni elemento è individuabile dall’indice di riga e colonna.
Caratteristica matrice diagonale
Gli elementi sopra e sotto la diagonale sono tutti zero
Caratteristica Triangolare superiore
Matrice con tutti zeri SOTTO la diagonale
Caratteristica Triangolare Inferiore
Matrice con tutti zeri SOPRA la diagonale
Caratteristica Matrice Identità
Matrice quadrata con tutti zeri e la diagonale con tutti 1
Quando una matrice è simmetrica?
Quando la matrice e la sua trasposta sono uguali
Quali sono le operazioni che posso eseguire su una matrice?
Somma: sommo elementi stesse pos
Prodotto per uno scalare: moltiplico ogni elemento per lo scalare
Prodotto tra matrici: NON COMMUNTATIVO, Posso eseguirlo solo se la prima matrice ha il numero di colonne uguale al numero di righe sella seconda matrice.
Operazioni su righe e colonne
scambio, prodotto per uno scalare, togliere ad una riga uno scalare per un altra riga.
Matrice a scalini, caratteristiche e proprietà
se una riga è nulla anche le successive lo saranno.
Il primo elemento, detto PIVOT, è sempre piu a sinistra del primo elemento non nullo della colonna a cui appartiene.
Tutte le righe non nulle sono linearmente indipendenti.
Tutte e solo le colonne contenti pivot sono linearmente indipendenti.
Scalini ridotta
Matrice a scalini, in cui tutti i pivot sono 1 e ogni elemento nella colonna del pivot è zero
Formula di azzeramento
riga - ((elemento da annulare) / pivot) * riga pivot
Quando una matrice è invertibile?
Quando il determinante è diverso da zero.
cofattore/complemento algebrico come si calcola?
(-1)^(i+j) * |Aij|
PROprietà del determinante con operazioni elementari.
ri<->rj scambio: cambio di segno
ri->rikmol per scalare: moltiplicato per lo scalare
ri->ri+krj rimane uguale
cos’è l’Aggiunta
Matrice dei cofattori trasposta.
Quante soluzioni può avere un sistema lineare
una: quando rkA=rkA’=n
zero: rkA != rkA’
infinite: rkA = rkA’ = p < n
COSA dice ROUCHE CAPELLI?
che il sistema è compatibile quando rkA = rkA’
1 teorema di Unicità
Un sistema ha un’unica soluzione se e solo se rkA = n
2 teorema di unicità
se rkA = p<n allora abbiamo infinito alla n-p soluzioni
Cos’è uno spazio vettoriale?
Struttura algebrica composta da un campo, un insieme e due operazioni binarie
Verifica di un sottospazio
COntrollo:
1) presenza elemem. neutro
2) chiusura rispetto alla somma
3) chiusura rispetto al prodotto
Base di un sottospazio
Insieme di vettori linearmente indipendenti
Quando un insieme si dice Linearmente indipendente
Presi i vettori e messi a matrice, il rango è uguale al numero di vettori della matrice
Lemma di Steinz
Ogni volta che ho un insieme con cardinalità maggiore della base allora l’insieme è lin. dipendente
Teorema della base
Tutte le basi dello stesso spazio hanno stesso numero di vettori
COndizione sufficiente per le basi
Se ho uno sp. vett di cui conosco la dimensione mi basta intercettare n vettori lin. indip per dire che B genera V
Rappresentazione parametrica sottospazio vettoriale. QUante rappresentazioni posso avere?
Scrittura dei vettori come combinazione lineare.
Tante quante sono le basi
Rappresentazione cartesiana, spazio vett.
Quante rappresentazioni posso avere?
Avendo la base, la metto a matrice e aggiungo il vettore generico e riduco a scalini e poi azzero l’ultima riga.
Tante quanti sono i sistemi lineari omogenei equivalenti ad Ax=0
Condizioni sufficienti per le basi
B è base <-> è sistema massimale di vet. lin. indip.
B è base <-> è sistema minimale di generatori
Caratterizzazioni della base
Non appena un insieme è più grande di una base, l’insieme non può avere la proprietà di lin. indip.
Non appena un insieme è piu piccolo di una base, non puo generare lo tutto spazio
Intersezione di Sottospazi
devo verificare le 3 condizioni:
1) condizione necessaria
2) chiusura rispetto alla somma
3) chiusura rispetto al prodotto
Somma di sottospazi NON in somma diretta
Relazione di grassmann
dimW1+dimW2 - dim(W1 intersecato W2)
Spazio Euclideo
Spazio ambiente della geometria elementare, definito da assiomi
(V,*) si dice spazio euclideo reale
Prodotto scalare, standard e non:
Standard: moltiplico le componenti con stesso indice e poi sommo tutto
NON standard: definito da una legge
NORMA VETTORE
La norma è una funzione che prende un vettore e ci associa un numero reale definito come la radice quadrata del prodotto scalare per se stesso
Disuguaglianza Cauchy-schwartz
(u \dot n) ^2 <= |u|^2 |v|^2
ANgolo tra due vettori
arcocos (u ∙ v) / (|u|∙|v|)
Sottospazio Ortogonale. + Proprietà dimensione
Insieme di tutti i vettori di V che sono ortogonali a tutti i vettori di W. Se il prodotto scalare tra due vettori è zero allora sono ortogonali.
dimV = dimW+dimW_ort
Base Ortogonale e Ortonormale
B è una base ortogonale se il prodotto scalare dei vettori, a due a due tra loro, è zero.
Se poi i vettori hanno norma unitaria allora la base si dice ORTONORMALE
COsa serve gram-schmidt
Passare da una base generica a una base ORTONORMALE
OMOMORFISMO def e vari omomorfismi
COnsiderati due sp. vett Ve W definiti su K e F:V->W, si dice omomorfismo se gode di:
Additività e OMogeneità
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Monomorfismo, Iniettiva, dimkerf =0
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Epimorfismo, Suriettiva, dimImF=W, Dim(V)>= dimW
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Isomorfismo. biettiva, DImV=dimW
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Endomorfismo F: V->V
Teorema Della Dimensione
dimV = dim Kerf + dim Imf
Autovettore
u autovettore <-> esiste h tale che Au=hu
AUtovalore
h autovalore di A se è soluzione di
|A-hI|=0. Ogni autovalore è associato un autovettore
Molteplicità geometrica e algebrica
La molteplicità algebrica associta ad un autovalore è il numero di volte che è soluzione dell’equazione |A-hI|=0
La molteplicità geometrica è calcolabile dalla formula: n-rk(A-hI).
La mg(h) è compresa tra 1 e la ma(h)
Quando A è digonalizzabile?
Se la somma delle molt algebriche è uguale allo spazio ambiente
E se per ogni autovalore la mg(h)=ma(h)
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Se presenta n autovalori distinti
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QUando A è ortogonalmente diagonalizzabile ?
Se è simmetrica-> [teorema spettrale]
Oppure se P ( mat di diagonalizzazione) è ortogonale, cioè P^(-1) = P^t
Definizione di prodotto scalare
il prodotto scalare è un’operazione binaria che associa ad ogni coppia di vettori un elemento del campo
