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algebra lineare > algebra > Flashcards

algebra Flashcards

1
Q

conica con Det A’ = 0

A

Degenere

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Q

conica con Det A’ diverso da zero

A

NON degenere

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Q

conica con Det A’ diverso da zero, Det A = 0 E gli autovalori?

A

Parabola, implica un autovalore = 0

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4
Q

conica conDet A’ diverso da zero, Det A > 0 E autovalori?

A

Ellisse, autovalori concordi

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5
Q

conica con Det A’ diverso da zero, Det A < 0 E autovalori?

A

Iperbole, autovalori discordi

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6
Q

conica con Det A’ = 0, det A < 0

A

rette reali incidenti

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7
Q

conica con Det A’ = 0 det A = 0

A

rette parallele

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8
Q

conica con Det A’ = 0 det A > 0

A

coppie rette incidenti immaginarie

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9
Q

Invariante cubico

A

Det A’

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10
Q

Invariante Quadratico

A

sottomatrice

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11
Q

Invariante Lineare

A

TrA = a + b aka a11 + a22

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12
Q

Costruzione matrice associata alla conica

A

diagonale a b f
c/2 d/2 e/2

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13
Q

Come vedo se una matrice è diagonalizzabile. TUTTI I modi

A

sottraggo h dalla diagonale e risolvo il sistema. Se gli autovalori sono tutti differenti allora è diagonalizzabile.
Se è simmetrica è diagonalizzabile e ortogonalmente diagonalizzabile.

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14
Q

Calcolo molteplicità geometrica, e una sua proprietà

A

mg(h) = ordine matrice - rk(A-hI)
1<= mg(h)<=ma(h)

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15
Q

Come si calcola la matrice diagonale

A

D = A * P * P^(-1)

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16
Q

Se ho una matrice Diagonale Superiore cosa conosco?

A

Gli autovalori. Sono quelli sulla diagonale

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17
Q

Come calcolo la dimensione di V_orotogonale

A

Spazio ambiente - dimV

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18
Q

Per calcolare V_ortogonale da base di V?

A

faccio il prodotto scalare di goni vettore della base con il generico vettore (x,y,z,t) e porre a sistema le equazioni.

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19
Q

Base Ortonormale

A

Norma dei vettori della base ortogonale uguale a 1

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20
Q

Posso ortonormalizzare una base ortogonale?

A

Si! Divido ogni vettore per la sua norma

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21
Q

Dimensione del Kerf = ?

A

Spazio di partenza - Dimensione ImF

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22
Q

Come si calcola la Dimensione dell’immagine? NO FORMULA

A

Rango della matrice associata disposta per colonne

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23
Q

Cos’è una matrice?

A

Tabella a doppia entrata definita da righe e colonne. Ogni elemento è individuabile dall’indice di riga e colonna.

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24
Q

Caratteristica matrice diagonale

A

Gli elementi sopra e sotto la diagonale sono tutti zero

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25
Q

Caratteristica Triangolare superiore

A

Matrice con tutti zeri SOTTO la diagonale

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26
Q

Caratteristica Triangolare Inferiore

A

Matrice con tutti zeri SOPRA la diagonale

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27
Q

Caratteristica Matrice Identità

A

Matrice quadrata con tutti zeri e la diagonale con tutti 1

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28
Q

Quando una matrice è simmetrica?

A

Quando la matrice e la sua trasposta sono uguali

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29
Q

Quali sono le operazioni che posso eseguire su una matrice?

A

Somma: sommo elementi stesse pos
Prodotto per uno scalare: moltiplico ogni elemento per lo scalare
Prodotto tra matrici: NON COMMUNTATIVO, Posso eseguirlo solo se la prima matrice ha il numero di colonne uguale al numero di righe sella seconda matrice.

30
Q

Operazioni su righe e colonne

A

scambio, prodotto per uno scalare, togliere ad una riga uno scalare per un altra riga.

31
Q

Matrice a scalini, caratteristiche e proprietà

A

se una riga è nulla anche le successive lo saranno.
Il primo elemento, detto PIVOT, è sempre piu a sinistra del primo elemento non nullo della colonna a cui appartiene.
Tutte le righe non nulle sono linearmente indipendenti.
Tutte e solo le colonne contenti pivot sono linearmente indipendenti.

32
Q

Scalini ridotta

A

Matrice a scalini, in cui tutti i pivot sono 1 e ogni elemento nella colonna del pivot è zero

33
Q

Formula di azzeramento

A

riga - ((elemento da annulare) / pivot) * riga pivot

34
Q

Quando una matrice è invertibile?

A

Quando il determinante è diverso da zero.

35
Q

cofattore/complemento algebrico come si calcola?

A

(-1)^(i+j) * |Aij|

36
Q

PROprietà del determinante con operazioni elementari.

A

ri<->rj scambio: cambio di segno
ri->rikmol per scalare: moltiplicato per lo scalare
ri->ri+krj rimane uguale

37
Q

cos’è l’Aggiunta

A

Matrice dei cofattori trasposta.

38
Q

Quante soluzioni può avere un sistema lineare

A

una: quando rkA=rkA’=n
zero: rkA != rkA’
infinite: rkA = rkA’ = p < n

39
Q

COSA dice ROUCHE CAPELLI?

A

che il sistema è compatibile quando rkA = rkA’

40
Q

1 teorema di Unicità

A

Un sistema ha un’unica soluzione se e solo se rkA = n

41
Q

2 teorema di unicità

A

se rkA = p<n allora abbiamo infinito alla n-p soluzioni

42
Q

Cos’è uno spazio vettoriale?

A

Struttura algebrica composta da un campo, un insieme e due operazioni binarie

43
Q

Verifica di un sottospazio

A

COntrollo:
1) presenza elemem. neutro
2) chiusura rispetto alla somma
3) chiusura rispetto al prodotto

44
Q

Base di un sottospazio

A

Insieme di vettori linearmente indipendenti

45
Q

Quando un insieme si dice Linearmente indipendente

A

Presi i vettori e messi a matrice, il rango è uguale al numero di vettori della matrice

46
Q

Lemma di Steinz

A

Ogni volta che ho un insieme con cardinalità maggiore della base allora l’insieme è lin. dipendente

47
Q

Teorema della base

A

Tutte le basi dello stesso spazio hanno stesso numero di vettori

48
Q

COndizione sufficiente per le basi

A

Se ho uno sp. vett di cui conosco la dimensione mi basta intercettare n vettori lin. indip per dire che B genera V

49
Q

Rappresentazione parametrica sottospazio vettoriale. QUante rappresentazioni posso avere?

A

Scrittura dei vettori come combinazione lineare.
Tante quante sono le basi

50
Q

Rappresentazione cartesiana, spazio vett.
Quante rappresentazioni posso avere?

A

Avendo la base, la metto a matrice e aggiungo il vettore generico e riduco a scalini e poi azzero l’ultima riga.
Tante quanti sono i sistemi lineari omogenei equivalenti ad Ax=0

51
Q

Condizioni sufficienti per le basi

A

B è base <-> è sistema massimale di vet. lin. indip.
B è base <-> è sistema minimale di generatori

52
Q

Caratterizzazioni della base

A

Non appena un insieme è più grande di una base, l’insieme non può avere la proprietà di lin. indip.

Non appena un insieme è piu piccolo di una base, non puo generare lo tutto spazio

53
Q

Intersezione di Sottospazi

A

devo verificare le 3 condizioni:
1) condizione necessaria
2) chiusura rispetto alla somma
3) chiusura rispetto al prodotto

54
Q

Somma di sottospazi NON in somma diretta

A

Relazione di grassmann
dimW1+dimW2 - dim(W1 intersecato W2)

55
Q

Spazio Euclideo

A

Spazio ambiente della geometria elementare, definito da assiomi
(V,*) si dice spazio euclideo reale

56
Q

Prodotto scalare, standard e non:

A

Standard: moltiplico le componenti con stesso indice e poi sommo tutto
NON standard: definito da una legge

57
Q

NORMA VETTORE

A

La norma è una funzione che prende un vettore e ci associa un numero reale definito come la radice quadrata del prodotto scalare per se stesso

58
Q

Disuguaglianza Cauchy-schwartz

A

(u \dot n) ^2 <= |u|^2 |v|^2

59
Q

ANgolo tra due vettori

A

arcocos (u ∙ v) / (|u|∙|v|)

60
Q

Sottospazio Ortogonale. + Proprietà dimensione

A

Insieme di tutti i vettori di V che sono ortogonali a tutti i vettori di W. Se il prodotto scalare tra due vettori è zero allora sono ortogonali.
dimV = dimW+dimW_ort

61
Q

Base Ortogonale e Ortonormale

A

B è una base ortogonale se il prodotto scalare dei vettori, a due a due tra loro, è zero.
Se poi i vettori hanno norma unitaria allora la base si dice ORTONORMALE

62
Q

COsa serve gram-schmidt

A

Passare da una base generica a una base ORTONORMALE

63
Q

OMOMORFISMO def e vari omomorfismi

A

COnsiderati due sp. vett Ve W definiti su K e F:V->W, si dice omomorfismo se gode di:
Additività e OMogeneità
—————————————————-
Monomorfismo, Iniettiva, dimkerf =0
—————————————————–
Epimorfismo, Suriettiva, dimImF=W, Dim(V)>= dimW
——————————————————
Isomorfismo. biettiva, DImV=dimW
——————————————————
Endomorfismo F: V->V

64
Q

Teorema Della Dimensione

A

dimV = dim Kerf + dim Imf

65
Q

Autovettore

A

u autovettore <-> esiste h tale che Au=hu

66
Q

AUtovalore

A

h autovalore di A se è soluzione di
|A-hI|=0. Ogni autovalore è associato un autovettore

67
Q

Molteplicità geometrica e algebrica

A

La molteplicità algebrica associta ad un autovalore è il numero di volte che è soluzione dell’equazione |A-hI|=0
La molteplicità geometrica è calcolabile dalla formula: n-rk(A-hI).
La mg(h) è compresa tra 1 e la ma(h)

68
Q

Quando A è digonalizzabile?

A

Se la somma delle molt algebriche è uguale allo spazio ambiente
E se per ogni autovalore la mg(h)=ma(h)
———————————————
Se presenta n autovalori distinti
———————————————–

69
Q

QUando A è ortogonalmente diagonalizzabile ?

A

Se è simmetrica-> [teorema spettrale]
Oppure se P ( mat di diagonalizzazione) è ortogonale, cioè P^(-1) = P^t

70
Q

Definizione di prodotto scalare

A

il prodotto scalare è un’operazione binaria che associa ad ogni coppia di vettori un elemento del campo

algebra lineare (4 decks)

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