Algebra Flashcards
- Se devo verificare che n vettori vi ∈ R^m siano linearmente indipendenti cosa posso fare?
a) Creo una matrice con vi come vettori riga che abbia determinante non nullo
b) Creo una matrice con vi come vettori riga e cerco una sottomatrice quadrata di ordine n Invertibile
c) Cerco una combinazione lineare dei vettori vi che mi dia il vettore nullo
d) Creo una matrice con vi come vettori colonna e verifico che il rango di questa matrice siam
B
Sia Ax=b un sistema di equazioni lineari con più incognite che equazioni. Allora (si scelga l’affermazione corretta):
a) Agendo con operazioni elementari su righe e colonne della matrice completa A|b ottengo una matrice completa il cui sistema associato possiede le stesse soluzioni di quello di partenza
b) Scegliendo b opportunamente, il sistema ha un’unica soluzione
c) Dato un b qualsiasi, mi posso scegliere A in modo che il sistema abbia soluzioni e che la somma didue di esse sia ancora una soluzione
d) Se il rango di A è massimo, allora il sistema ha soluzione.
D - Per il teorema di Rouchè-Capelli, sappiamo che se il numero delle incognite>rango (A), allora il sistema ammette ∞^(m−rango(A))
- Sia Ax=b un sistema che non ammette soluzione. Scegliendo un vettore c è possibile ottenere che Ax=b+c abbia infinite soluzioni?
a) Si, ma solo se A non è di rango massimo
b) Si, per un qualsiasi A
c) No, mai
d) Si, ma solo se A è quadrata e di determinante non nullo
A - Per il teorema di Rouchè-Capelli, sappiamo che se il numero delle incognite>rango (A), allora il sistema ammette ∞^(m−rango(A)), ciò significa che se il rango di A fosse massimo (quindi numero incognite = rango (A)) allora A ammetterebbe un’unica soluzione
- Se la somma di tre numeri positivi è 120, qual è il massimo valore possibile tra il loro prodotto?
a) 30^2·80
b) 240^2·30
c) 30^4
d) 1600·40
D
Sia A una matrice quadrata e v, w due suoi vettori colonna. Se B è la matrice ottenuta da A rimpiazzando il vettore v con il vettore v+α·w per un numero reale α, che informazione abbiamo sul determinante di B?
a) Det(B) = −Det(A)
b) Det(B) = Det(A)
c) Det(B) = α·Det(A)
d) Det(B) = 0
B
Sia Ax=b un sistema di equazioni lineari con più equazioni che incognite. Allora (si scelga l’affermazione corretta):
a) Se ha soluzione, il rango della matrice completa A|b non può essere massimo
b) La soluzione, se esiste, necessariamente non è unica
c) Se possiede soluzione, e non è unica, allora la somma di due soluzioni (PROSEGUE)
d) Non ha soluzione
A
Sia A una matrice n×m di rango r > 0. Quali delle seguenti affermazioni è CORRETTA:
a) r può essere strettamente maggiore di m
b) Non esistono r−1 vettori riga di A linearmente indipendenti
c) Il determinante di A è uguale a r
d) Esiste una sottomatrice quadrata B di A di ordine r−1 con determinante non nullo (se r ≥ 2)
D
Sia A una matrice quadrata e v, w due suoi vettori colonna diversi. Se B è la matrice ottenuta da A rimpiazzando il vettore v con il vettore (α)v+ (β)w
per α,β∈R, che informazioni abbiamo sul determinante di B?
a) Det(B) =Det(A)
b) Det(B) = 0
c) Det(B) =α·Det(A)
d) Det(B) =−Det(A)
C
Sia A(t) una famiglia di matrici quadrate dipendenti da un parametro t∈R. Supponiamo che Det(A(1)) = 5 e Det(A(−1)) =−5. Quali delle seguenti affermazioni è possibile concludere?
a) Tutti i vettori riga A(1) sono indipendenti e il rango di A(1) e massimo
b) rank(A(1)) = 5
c) Det(A(0)) = 0
d) Il rango di A(1) e massimo, e Det(A(1) + (A−1)) = 0
A
Sia A una matrice quadrata n×n tale che la somma delle righe è uguale ad una colonna c di A. Cosa posso concludere su A?
a) rank(A)< n
b) Det(A)!= 0
c) Esiste un minore di A di ordine n = 1 invertibile se c!= 0
d) Se la colonna c è uguale ad una riga di A non è invertibile
C - (prendi per esempio la matrice 1x1 {1})
Supponiamo che una matrice A di dimensioni 4×6 (cioè 4 righe) abbia nulli i determinanti di tutti i minori di ordine 3. Quale delle seguenti affermazioni è FALSA?
a) Non esistono 4 colonne linearmente indipendenti in A
b) Il rango massimo che potrebbe avere A è 4
c) Potrebbe esistere una sottomatrice 2×2 di A invertibile
d) Le righe di A sono linearmente indipendenti
D
Sia Ax=b un sistema di equazioni lineari con un numero di equazioni uguale al numero di incognite. Allora(si scelga l’affermazione corretta):
a) Se ha soluzione, il rango è massimo
b) Se Ax= 0 ha più di una soluzione, Ax=b potrebbe avere una soluzione
c) Se non ha soluzione, A non è invertibile
d) Se A|b ha rango massimo, allora il sistema ha un’unica soluzione
C - Se non è invertibile, vuol dire che il determinante è uguale a 0, ergo non ha soluzione
Siano A,B due matrici 5×5 tali che rank(A) = 3 e rank(B) = 2. Allora:
a) non sono invertibili perchè non hanno rango massimo(non presente fra le risposte)
b) rank= 3 o rank= 2 significa massimo numero di vettori riga/colonna linearmente indipendenti.(Non presente fra le risposte)
c) Le matrici rank+ 1 hanno Det= 0. (Non presente tra fra le risposte)
d) Esistono Matrici rank−1 con det!= 0 (non presente fra le risposte)
e) Det(A+B)!=Det(A) + Det(B), stessa cosa per i ranghi(non presente fra le risposte)
f) Se A e B rappresentano matrici di sistemi completi, significa che questi sistemi hanno sempre soluzione, perchè rank(A)−rank(A|b) (non presente fra le risposte)
g) rank(A+B) = 5
h) Det(A·B) = 6
i) Non esistono 3 righe di A la cui somma `e il vettore nullo
j) Esistono due minori di ordine 2,A′inAeB′inBtali che A′·B′ è una matrice invertibile
J
Nel sistema composto dalle equazioni 3x−2y−z= 0, αx+y+z= 0 e x+αy−z= 0 quale delle affermazioni è corretta?
a) α=−1 il sistema non ammette soluzioni.
b) ∀α il sistema ammette soluzioni.
c) α=π ammette una sola soluzione cioè quella banale x=y=z=0
d) α= 6 il sistema ha solamente due soluzioni.
C
Sia V lo spazio di tutte le funzioni continue su [−1,1] a valori reali. Si consideri il sottoinsiemeSλ di V costituito da tutte le funzioni tali chef(−1) =f(1) =λ. Quale delle seguenti affermazioni è vera:
a) esistono due valori di λ∈R per cui Sλ è un sottospazio di V
b) Sλ è un sottospazio di V per ogni λ∈R
c) non esiste λ∈R per cui Sλ è uno spazio vettoriale di V
d) esiste un solo valore di λ∈R per cui Sλ è un sottospazio vettoriale
D
Nel sistema composto dalle equazioni 3x−2y+z= 0, αx+y+z= +1, x+αy−z=−1 per quali valori di α posso avere una sola soluzione non banale?
a) α=−1,D= 0,Dx= 0,Dy= 0,Dz= 0 (infinite soluzioni)
b) α= 6,D= 0,Dx= 7 (impossibile)
c) α!=−1 ∧ α!= 6, D= 0, Dx= 0 (una sola soluzione)
C
Si consideri il seguente sistema di equazioni:
1. -x-y-z = b1
2. 3x-9y-6z = b2
3. 5x-7y-4z = b3
Quale delle seguenti affermazioni è corretta:
a) Il sistema ammette soluzione se e solo se b2=b3+ 2b1
b) Il sistema ammette soluzione se e solo se b1=−b2+b3
c) Per ogni scelta di b1, b2, b3 il sistema ha una e una sola soluzione
d) Se b1 = b2 = b3 = 13, la somma di due soluzioni è ancora una soluzione
A - Si riscrive il sistema sotto forma di matrice così si avrà la matrice incompleta A e la matrice completa A|b, si riduce a scala. il sistema ha soluzione solo se rank(A)=rank(A|b).
Quali di queste affermazioni equivale al fatto che n vettori vi ∈ R^m siano linearmente indipendenti?
a) La matrice vi come vettori riga ha determinante non nullo
b) La matrice vi come vettori riga possiede una sottomatrice n×n invertibile
c) Esiste una combinazione lineare di vettori vi uguale al vettore nullo
d) La matrice vi come vettori colonna ha rank=m
B
Qual è la regione dello spazio bidimensionale tale che y > 3x+ 1?
a) Finito
b) Limitato
c) Aperto in R^2
C
Sia A una matrice n×m di rango r >0. Quali delle seguenti affermazioni è FALSA:
a) Prese r colonne a caso, una non potrà mai essere espressa come combinazione lineare delle altre r−1 colonne
b) ∀ i ≤ r esiste una matrice C formata da i righe di A tale che il rango di C sia i
c) se r ≥ 2, esiste una sottomatrice quadrata B di A di ordine r−1 con determinante nullo
d) r non può essere strettamente maggiore di m
C - Preso come controesempio la matrice {(1,2),(2,1)} non esiste una sottomatrice quadrata di A di ordine r-1 (1) con determinante nullo
Sia A una matrice quadrata invertibile. Allora (si segni la risposta corretta):
a) Operando con trasformazioni elementari su colonne di A posso trasformarla nella matrice identità
b) A potrebbe non avere rango massimo
c) A non può avere una sottomatrice quadrata con determinante nullo
d) potrebbe esistere un vettore non nullo v tale che Av = 0
A
Sia A una matrice quadrata invertibile. Allora (si segni la risposta corretta)
a) esiste un minore di A di ordine n−1 invertibile, se c!= 0
b) Det(A)!=0
c) A potrebbe non avere rango massimo
d) Se la colonna c è uguale ad una riga, A non è invertibile
B
Sia A una matrice quadrata n×n tale che la somma delle righe è uguale ad una colonna c di A. cosa posso concludere su A?
a) Operando con trasformazioni elementari sulle Colonne di A posso trasformarla nella matrice identità
b) Potrebbe esistere un vettore non nullo v tale che Av = 0
c) Il rango di A è strettamente minore di n
d) A non può avere una sottomatrice quadrata con determinante nullo
B - Dato una matrice 1x1 {1} moltiplicato per il vettore nullo restituirà 0
Sia f(t): R^3 → R^3 un omomorfismo che manda il piano di equazioni 2x+y−z= 2 nel piano di equazioni y−tx−2z= 0, per t∈R. è possibile che f(t) sia iniettiva?
a) è sempre iniettiva
b) Può essere iniettiva solo per un numero finito di t
c) Può essere iniettiva, tranne per un numero finito di t
d) Non è mai iniettiva
D - Non è mai iniettiva perchè in questo caso la dim(im(f))=2 quindi avremo
n=dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) ovvero
3 =dim(ker(f)) + 2
Un omomorfismo si definisce iniettivo se dim(ker(f)) = 0.
Come mai in questo caso dim(Im(f ))=2?
La dimensione di un piano in cui passa l’origine è 2.
La dimensione di un piano in cui non passa l’origine è 3.
Può esistere un omomorfismo f(t):R^3→R^3che mandi il piano di equazioni 2x−y+z= 0 nella retta {s(1,−1,2) :s∈R} ed il vettore (1,1,1) nel vettore (1,t+ 2,t+ 5), t∈R?
a) No, non esiste mai
b) Si esiste, eccetto per un numero finito di t
c) Si, per ogni valore di t
d) Solo per un numero finite di t
B - Con t=-3
Sia A una matrice quadrata di ordine 4 con polinomio caratteristico pA(x) = (x−α1)(x−α2)(x−α3)2 dove ai∈R per ogni i. Quale delle seguenti affermazioni è corretta:
a) ai!= 0 per ogni i se e solo se A è invertibile
b) Se α1=α2=α3, A non può essere diagonalizzabile su R
c) αi!=αj per ogni i != j, solo se A è diagonalizzabile su R
d) Se αi != αj per ogni i != j, allora A è diagonalizzabile
su R
A
Sia R[x]2 lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 2. Esiste un omomorfismo f:R→R^2 tale che f(1−2x2) = (1,−1),f(x+x2) = (1,0) e f(1 + 2x) = (t,2t) dove t∈R?
a) Esiste solo per un numero finito di t
b) Si, eccetto per un numero finito di t
c) Si, esiste per ogni t
d) No, mai
D
Sia M^4 lo spazio vettoriale delle matrici 4×4 reali e Vλ={A∈M4:Det(A) = 2λ−1}. Quanti valori di λ∈R rendono Vλ un sottospazio vettoriale di M4?
a) Un numero finito maggiore o uguale a 2
b) Uno solo
c) Nessuno
d) Tutti
C - Non è chiuso rispetto alla somma
Sia R[x] lo spazio dei polinomi in x e sia Vk il sottoinsieme costituito dai polinomi di grado esattamente uguale a k. Allora:
a) Solo V0 è un sottospazio
b) Vk è un sottospazio per ogni valore di k intero non negativo
c) Vk non è mai un sottospazio vettoriale
d) Solo V0 e V1 sono sottospazi vettoriali
A
Sia M una matrice 6×6. In quale dei seguenti casi si conclude che M è invertibile?
a) Esiste N tale che M+N è invertibile
b) Esistono due minori di ordine 5 con determinante non nullo
c) M ha un minore di ordine 5 con determinante non nullo ed ha un vettore della base canonica di R^6
d) Esiste una matrice A 6×6 tale che AM ha 6 colonne linearmente indipendenti
D
Sia A una matrice simmetrica di ordine n e rango r >0,r < n. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Esiste un parametro H di dimensione r tale che Aw=v,∀w∈H e per un v
b) Il polinomio caratteristico di A è x^(n−r)·q(x) dove x non divide q(x)
c) A non è diagonalizzabile
d) Esiste una matrice invertibile P tale che P^(−1)·A·P ha r righe nulle
B - x^(n−r) non potrà mai dividere per il semplice motivo che la differenza tra numero di incognite n e il rank r assume valori >= 0.In questo caso visto che ci dice n > r la differenza tra n e r ci darà un valore>0.Un elemento elevato ad una quantità positiva non potrà mai dividere.
Sia dato il sistema di cinque equazioni lineari Ax=b nelle incognite x= (x1,x2,x3,x4) che ammette infinite soluzioni. Cosa si può dire del sistema Mx=b dove M è ottenuto da A annullando i coefficienti della terza colonna?
a) Se A ha rango Massimo Mx = b non ha soluzioni
b) Il sistema non avrà soluzioni
c) Se M ha rango 3 allora Mx=b ha soluzioni
d) Il sistema avrà ancora infinite soluzioni
C - Ho 4 incognite e 5 equazioni e so che il sistema ha infinite soluzioni per cui il rango è ≤ 3 (significa che una delle colonne è linearmente dipendente).
Se sostituisco tutti 0 alla terza colonna, se il rango continua ad essere 3 so sicuramente che la colonna dipendente nella matrice iniziale era la terza (altrimenti il rango si sarebbe abbassato). Per cui rimane tutto come prima e sicuramente avrò soluzione (nello specifico infinite).
Sia A una matrice 5×3 con tutti i coefficienti diversi. è possibile che esista una matrice invertibile U tale che U^(−1) · A abbia solo coefficienti 0 e 1?
a) Solo se A ha tutti i coefficienti non negativi
b) No
c) Si se A ha un minore M di ordine 3 con Det(M) = 3
d) Solo se U è una matrice triangolare
B
Quale delle seguenti matrici è simile ad una matrice diagonale reale?
A = {(0,0),(0,-1)} B={(1,-2), (-2,1)} C={(1,-2), (2,1)} D={(1,2), (3,4)}
a) A
b) A e B
c) A e B e D
d) B e C
C
Quale tra i seguenti omomorfismi R^3→R^3 manda il triangolo di vertici (0,0,0),(1,1,1),(−1,0,1) nel triangolo di area maggiore?
a) f(x,y,z) = (z−x,z,−y)
b) f(x,y,z) = (x−2y,z+x−2y,2z)
c) f(x,y,z) = (−x+ 2y,z,x−y)
d) f(x,y,z) = (y,x+z,x−y)
A - L’area del triangolo formato dai vettori AB,AC si calcola con la seguente formula: Area =‖AB∧AC‖/2
il primo ha area 3/2
del secondo B e C coincidono quindi non è un triangolo
il terzo ha area Sqrt(2)/2
il quarto ha area Sqrt(5)/2
Indicare quale dei seguenti insiemi inR^3 è un autospazio della matrice
{5 , -2 , 0}
{0, -5 , 0}
{0, -2 , -1}
a) {(x,y,z)∈R^3:y= 0}
b) {(x,y,z)∈R3:x= 0,z= 0}
c) {(x,y,z)∈R3:y= 0,z= 0}
d) {(x,y,z)∈R3:z= 0}
C - il prodotto tra
{5 , -2 , 0}
{0, -5 , 0}
{0, -2 , -1}
ed il vettore dell'autospazio
{1}
{0}
{0}
viene {5, 0 , 0} ovvero 5 * il vettore dell'autospazio
Sia k reale. Si consideri la matrice Ak
{3,0,-7}
{k,3,4}
{0,0,2}
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a) Ak è diagonalizzabile per ogni scelta di k != 0
b) Ak è diagonalizzabile se e solo se k = 0
c) Ak è diagonalizzabile se e solo se k è intero non negativo
d) Per qualunque scelta di k, Ak non è diagonalizzabile
B - vedi mega per spiegazione
Siano L una retta e H un piano. è possibile trovare una retta r∈H sghemba con l?
a) Si, sempre
b) Solo se H e L si intersecano
c) Se e solo se H e L sono paralleli
d) Solo se L non è inclusa in H
D - Sono rette sghembe se non sono contenute in un piano comune, e di conseguenza non hanno punti in comune nè sono parallele.
Quale di queste affermazioni equivale al fatto che n vettori di R^m siano linearmente indipendenti?
a) La matrice con vi come vettori riga ha determinante non nullo
b) La matrice con vi come vettori riga possiede una sottomatrice n×n invertibile
c) Esiste una combinazione lineare dei vettori vi che mi dia il vettore nullo
d) La matrice con vi come vettori colonna ha rango m
B
Sia k un numero reale. Si consideri il seguente sistema di equazioni:
{3x-2y+z=0
{kx+y+z=1
{x+ky-z=-1
a) Per k=−1 il sistema ha almeno una soluzione
b) per k= 6 il sistema ha infinite soluzioni
c) Per ogni valore di k il sistema ammette esattamente una soluzione
d) Per ogni k diverso da 0 il sistema ha una e una sola soluzione
A
Dati i vettori v1= (2,−1,0,3), v2= (1,0,0,3), v3= (0,2,1,4), v4= (2,−4,−4,−2), quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a) v1, v2, v3, v4 sono tra loro indipendenti
b) v4 è combinazione lineare di v1 e v2
c) v4 è combinazione lineare di v3 e v2
d) v3 è combinazione lineare di v1 e v2
A
Sia Id(A) l’insieme costituito dai seguenti vettori di R^4:ID(A)={v1= (1,−1,α,−1), v2= (1,α−2,(α−1)·2,0), v3= (−1,−1,1,0.1)}∈R4. Allora:
a) Per a= 0 i vettori di Id(A) sono linearmente dipendenti
b) I vettori di Id(A) sono linearmente dipendenti per qualche A, ma se sostituisco v1 con v1+v2+v3 ottengo un sistema di vettori linearmente indipendente per ogni A
c) Id(A)∪(0,−2,0,2) costituisce una base di R^4 per ogni a >0
d) Per qualche A, i vettori I(A) sono linearmente dipendenti
C
Per quali valori di t la matrice At
{1,0,-1,1}
{1,t,-1,2}
{1,t,t^2-3,3}
non ha sottomatrici di ordine 3, invertibili
a) Tutti i valori di t
b) Nessun valore di t
c) Solo per t = 0 e t = √2
d) Solo per t = 0
B
Dati i vettori v1= (1,1,1), v2= (0,0,2), v3= (a,a,b), v4= (−1,−1,1), quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a) v3 e v1 sono indipendenti per ogni scelta di a e b
b) v1 e v2 sono tra di loro indipendenti
c) v1, v2, v3, v4sono tra loro indipendenti
d) I vettori sono complanari, cioè sono contenuti in un piano passante per l’origine
B
Si considerino le matrici: A e B
{1, 1, -1} — {1,-1,0,0}
{1, 3, 1} — {2,1,1,2}
{-2,-2,1} — {-4,-2,-1,-3}
a) Nessun minore di ordine 3 di B è uguale a A^−1
b) I vettori colonna di B sono linearmente indipendenti
c) A^−1 · B ha rango 2
d) Il rango della matrice B non è massimo
A
Data la seguente matrice:
{1,0,2,3,-1}
{0,1,-1,0,2}
{2,-1,5,6,-4}
quale delle seguenti affermazioni è corretta?
a) Nessuna sottomatrice 2×2 è invertibile
b) I determinanti di tutte le sottomatrici 3×3 sono nulli
c) I vettori colonna sono linearmente indipendenti
d) I vettori riga sono linearmente indipendenti
B
Un sistema si dice lineare se:
a) Le sue soluzioni giacciono su una linea
b) Ammette il vettore nullo come soluzione
c) L’insieme delle sue soluzioni costituisce uno spazio vettoriale
d) E’ descritta da equazioni di primo grado nelle variabili
D
Siano A e B due matrici n×m diverse. E’ possibile che esista una matrice quadrata C tale che C·A=C·B?
a) se la dimensione dello spazio vettoriale generato dai vettori riga di A è minore di n
b) se e solo se Det(C) != 0
c) Risposte no
d) solo se Det(C) = 0
D - Non è la B perchè se Det(C) != 0 potremmo riscrivere C·A = C·B come A=C·B·C^(−1)·CC^(−1) può essere riscritto come Id perciò avremmo A = B·Id .Ma non può essere perchè A e B sono due matrici diverse.
Sia A= (aij) una matrice reale tale che aij=aji per ogni i,j e con polinomio caratteristico pA(x) = (x−2)^3 · (x−1)^2 · (x−5)^3 Si scelga l’affermazione corretta:
a) Gli autospazi hanno dimensione 3,2,3
b) Non si può concludere la diagonalizzabilità di A dai dati formati
c) Ci potrebbe essere un vettore non nullo v tale che Av = 3v
d) Gli autospazi hanno dimensione 2,1,5
A
Sia R[x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti in R e Vt il sottoinsieme costituito dai polinomi di grado 0,1 e di grado minore o uguale a 2t. Per quali valori di t Vt è un sottospazio vettoriale di R[x]
a) Ogni valore
b) Nessun valore
c) Solo V0 e V1
d) Solo V1
A
Sia M= (mij) una matrice quadrata di ordine 7. Nelle seguenti situazioni, quando M potrebbe non essere invertibile?
a) Quando det(aM) può essere un numero reale qualsiasi, per opportuna scelta di a∈R
b) Quando AM può essere una qualunque matrice quadrata di ordine 7, per una opportuna scelta della matrice A
c) Quando esistono dei vettoriv1,…,vi∈R7tali che (Mvi)i sono linearmente indipendenti
d) Quando M ha un minore di ordine 6 con determinante non nullo e mi,j != 0
B
Sia A una matrice con 5 righe e 3 colonne. Quali delle seguenti operazioni può aumentare il rango, assumendo che la matrice non abbia rango massimo?
a) Moltiplicare una colonna per un numero positivo e sottrarla ad un’altra colonna
b) Ridurre a scala A
c) Sommare ad una colonna di A un vettore i di R^5
d) Sommare ad una riga di A altre due righe appositamente scelte
C
Una compagnia aerea decide restrizioni sulle valigie trasportate. Tali restrizioni sono rappresentate da condizioni lineari su: larghezza, altezza, profondità, peso e sono scelte in modo tale che esistono infinite misure soddisfacenti le suddette condizioni. In particolare, se l, a, p, w stanno a indicare rispettivamente larghezza, altezza, profondità e peso, queste quantità devono soddisfare 4 equazioni del tipo
αa+βl+γp+νw=δ con α, β, γ, ν∈R.
Un impiegato distratto sbaglia nel scrivere un coefficiente dell’ultima condizione nei regolamenti pubblicati. Cosa accadrà?
a) Se le prime tre condizioni iniziali sono linearmente indipendenti, ci sarà una sola misura che le soddisfa
b) Se le nuove condizioni sono linearmente indipendenti allora esiste una sola soluzione
c) Esisterà un solo tipo di misura che soddisfa le nuove condizioni
d) Se la matrice dei coefficienti delle condizioni ha rango 2 ed esiste una valigia che soddisfa le nuove condizioni, allora sicuramente ci sono infinite misure che le soddisfano
D
Sia A una matrice quadrata di ordine 4 con tutti gli autovalori λi(i= 1,…,4) reali non necessariamente distinti tra loro e sia P(x) il suo polinomio caratteristico. Quale tra i seguenti P(x), mi garantisce che A sia diagonalizzabile:
a) (x−2)^4
b) (x−2)^2(x+ 5)^2
c) (x−1)x(x+ 1)(x−5)
d) (x−2)^2(x−3)x
C - Se tutti gli autovalori fossero diversi tra loro, allora avrei sicuramente una matrice diagonalizzabile. Se ciò non fosse il caso (come le altre opzioni, dove la molteplicità degli autovalori>= 1) dovrei controllare che gli autovettori siano linearmente indipendenti.
Sia v∈R^5e {wi}i=1,…,n un sistema di generatori di R^5 tali che v=∑i=1 n aiwi =∑i=1 n biwi con aj!=bj per qualche j. Cosa concludiamo?
a) {wi}i è una base diR5
b) n > 5
c) E’ impossibile che ciò accada, poichè {wi}i sono generatori di R^5
d) I vettori v∪{wi}i sono linearmente indipendenti
A
Una società di assicurazioni vuole determinare delle condizioni lineari del tipo αe+βs+γr−δ = 0(α,β,γ,δ∈R), da soddisfare da parte dei potenziali sottoscrittori, su: età =e, livello di sismicità del luogo di residenza = s, variazione del reddito =r dell’anno 2010. Per regolamento interno, le condizioni possono essere solo 1 o 2, le persone con e >70 non possono sottoscrivere e deve esistere almeno una tripla (e, s, r) che soddisfi le condizioni. Quali delle seguenti affermazioni è corretta?
a) sono obbligati ad usare 2 condizioni
b) ogni scelta di 2 condizioni linearmente indipendenti andrà bene
c) sono obbligati ad usare solo 1 condizione
d) se vogliono usare una sola condizione e vogliono che (30,3,10) la soddisfi, allora esiste un’unica scelta per tale condizione
B
