7. Analyse de variance (ANOVA)

Question 1

Pourquoi ne pas répèter les t-tests?

Answer 1

Nombre comparaison augmente façon géométrique

• Pas linéaire
• Plus nombre échantillon augemente plus nombre comparaison augmente vite
• Formule : (n − 1) + (n − 2) + … + 1 = nombre comparaison pour n échantillons

Augmentation nombre test augmente erreur type 1 (α)

• α pas juste choisi pour 1 test -> devient fonction nombre comparaison
• Puisque évènement indépendant -> probabilité 0,95^n pas rejeter H0 pour n comparaison
• Formule : α = 1 - 95^n

Question 2

Correction de Bonferroni

Answer 2

Permet procéder comparaisons multiples
Corrige inflation risque erreur type 1
Réduit αi pour α < seuil choisi

Choisi seuil αi = α/n pour n compraraison
Donc rejette H0 si p-value individuelle compariason < α/n

Question 3

ANOVA

Answer 3

Méthode comparaison moyenne
Permet tester hypothèe nulle globale
H0 : échanitllons viennent même population/moyennes égales
H1 : échantillons viennent pas même population/au moins une moyenne différente

Partage variance totale en;

• Variance entre valeurs dans échantillons
• Variance entre moyennes échantillons

Mesure vairnace basé sur moyennes des carrés des écarts

Question 4

Erreur standard (SE)

Answer 4

Permet mesurer variabilité moyennes de plusieur séchantillons issus même population
2 SE permet estimer intervalle confiance 95%

Question 5

Principe ANOVA

Answer 5

Revient à comprendre que;
1. Peut estimer à partir échantillon intervalle de confiance autour moyenne devrait contenir
moyenne de population, à seuil confiance 1 - α
2. Décision moyenne estimé significativement différente valeur revient vérifier si incluse dans intervalle de confiance

Donc comparer 2 moyenne = vérifier si intervalle de confiance recoupe

Question 6

Procédure : ANOVA

Answer 6

1. Résultat attendu (moyenne identique ou non)
2. Définir H0/H1
   H0 : moyennes égales (μ1 = μ2= … = μ)
   H1 : au moins une moyenne différentes
3. Calcul statistique de test F (fisher)
4. Choisi α
5. Trouve F critique pour seuil α
   Dans table F, selon dl f et r (dl f < dl r)
6. Conclu
   Fcal > Fcrit ou p-value < α
7. Calcul R^2 (si désiré)

Rstudio : aov () et summary ()
- Donne p-value

Question 7

Calcul statistiques de test F

Answer 7

1. Calcul somme des carrés (SCEt = SCEf + SCEr)
   SCEt : somme carré totale
   SCEf : somme carré factorielle
   Calcul : ∑i = ni (Yi¯ − Y¯ )^2 -> prend moyenne pondéré si n diffère entre échantillons
   SCEr : somme carré résiduelle
   Calcul : ∑i ∑j = (Yi,j − Yi¯)^2 ou ∑i = si^2 (ni - 1)
2. Faire tableau ANOVA
   Factoriel : dl = k - 1, CMf = SCEf / dl
   Résiduel : dl = N - k, CMr = SCEr / dl
   Totale : N - 1 ou dlf + dlr
3. Calcul F-ratio
   Formule : F = CMf / CMr

Rstudio : utilise qf (alpha, df1 = , df2 = , lower.tail = FALSE)

Question 8

SCEf vs SCEr

Answer 8

SCEf : compare moyenne groupe avec moyenne totale

SCEr : compare valeur avec moyenne propre groupe

Question 9

Résidu

Answer 9

Écart entre vlauer et sa moyenne

Formule : ( Yi,j − Yi¯ )

Question 10

F ou F-ratio

Answer 10

Suit loi densité de Fischer sous H0

Estime égalité entre 2 variances en faisant rapport
Numérateur : CMf
Dénominateur : CMr

Si H0 vrai -> CMf tend vers 0 -> F rend vers 0

Question 11

R^2

Answer 11

Quantifie contribution variance factorielle à varianc totale
Indique propotion variabilité total due différences entre groupes

Formule : R = SCEf/SCEt

Si peut pas rejeter H0, calcul R^2 fait pas de sens
- Variance égale donc pas besoin savoir qui contribue plus

Question 12

granovaGG

Answer 12

.lw -> ANOVA pour comparer moyennes plusieurs groupes en réponse à un facteur
Permet utiliser une commande pour résumer analyse

Fait pour nous;
1. Résumé données (section 1)
2. Test ANOVA (section 2)
Regarde dernièr eligne pour : F, dlf, dlr, p-value
3. Résume infos dans gaphique
Effectif, moyenne générale, moyenne des groupe, représentation variance (couleur
carré varie selon signification, F)
Groupe séparé selon contraste -> écart entre moyenne générale et moyenne groupe

Question 13

Test post-hoc de Tukey HSD

Answer 13

Utilisé si conditions application ANOVA respecter
Plus puissant : plus rejeter H0 si fausse, sans augmenter erreur type 1
- Seuil rejet globale reste α = 0.05

Question 14

Test post-hoc

Answer 14

Nom tests réalisés suite ANOVA (a posteriori)

Tests comapraisons multiples permettent de savoir;

• Quelle/s moyenne/s sont différentes?
• Quelle est l’amplitude de la différences?

Question 15

Procédure : test de Tukey

Answer 15

Utilise fonction R : TukeyHSD()
Compariaosn paires de moyennes
Retrouve : nom traitement compare, moyenne différence, intervalle confiance autour moyenne différence, p-value

p-value répond H0 : moyennes différences pas différentes de 0
Si intervalle confiance inclu 0 : p-value > α

Question 16

Effets fixe

Answer 16

Étude où catégories variable explicative pré-déterminé pour expérience

Donc facteur à effet fixe si groupes;
- Prédéfinis
- Répétables
- Intérêt majeur pour étude
Ex : dose fixe toxine, goupes individus par sexe/âge, traiytement médicaux test clinique, ...

Test : ANOVA type 1
Résultats ne peuvent pas être généralisés à toute le population
- Dû groupes fixés par expérimentateur
- Juste valide groupes étude

Question 17

Effets aléatoire

Answer 17

Donc facteur à effet aléatoire si groupes;
- Peuvent pas être prédéfinis
- Peuvent pas être répétés
Ex : famille étude épidémiologique, banc de poisson, individu étude à mesure répétées

Test : ANOVA type 2 -> pas mêmes calculs
Résultats peuvent être généralisés à toute population
- Dû aléatoire

Question 18

Conditions application ANOVA

Answer 18

Même que t-test 2 échantillons indépendants

1. Échantillonnage indépendant/aléatoire
2. Variables distribuées normalement
3. Variance échanitllons similaire

Vérifie 2. et 3. sur résidu si après, possible faire directement sur données

Question 19

Analyse des résidus

Answer 19

Résidus : écarts entre valeur et sa moyenne (ϵi = Yi,j − Yi¯)
- Donc doit faire après ANOVA

Peut évaluer Normalité visuellement avec box plot;
- Quartiles symétriques
- Peu/pas valeur dépassé moustache
Plus facile compare étendue variance groupes avec résidus
- Puisque moyenne chaque groupe proche 0 -> distribution directement comparable

Test formel

• Test Shapiro-Wilk pour normalité
• Test Levene pour homogénéité variance

Question 20

Fonction tapply()

Answer 20

Permet appliquer fonction test à plusieurs groupes en même temps
Ex : tapply ( X = data.set,
INDEX = data.set$facteur.évalué,
FUN = shapiro.test )

Question 21

Violations conditions

Answer 21

1. Ignore violations
   ANOVA robust malgré violation -> grâce théorème central limite
   Besoin données ;
   
   • ~Symétriquee
   • Sans valeurs extrèmes
   • Beaucoup d’observations (dizaines)
   • ~Égales
     Tolère différences variance jusqu’à facteur ~10
2. Transforme données
   Log, racine carré, arcsin
   
   • Assure applique à tous groupes
3. Utilise test non-paramétrique : test de Kruskall-Wallis
   Utilise si ≤5 mesures par groupe -> pas assez puissant rejet H0 pour Shapiro/Levene

Question 22

Test de Kruskall-Wallis

Answer 22

Test non-paramétrique permet tester échanitllons viennent même population
- Compare médianne échantillons
Intuitivement si distribution ~symétrique, unimodale, même médiane -> identique seuil α

H0 : médianes distrubiton égales
H1 : médiane pas égales

Formule : H = 12 / (N(N+1) * ∑i (Ri^2 / ni) − 3(N + 1)
Où, N : nombre total observation
k : nombre groupe
ni : effectif traitement i
Ri : somme rang observations traitement i

Rstudio : kruskal.test() -> obtient p-value

Question 23

Vérification formelle

Answer 23

Test Kruskall-Wallis permet par vérification formelle

Doit utiliser Mann-Whitney (tests comparaison 2 à 2 répétés) ou correction Bonferroni si veut conlure formellement