5° texto | Sistemas axiomaticos Flashcards
¿Qué son los sistemas axiomáticos ?¿Cómo eran los primeros conocimientos geométricos en la Mesopotamia (tiempos prehelénicos )?¿Qué cambio se da en la antigua Grecia?¿Quien fue Tales de Mileto?
Los sistemas axiomáticos es una manera de organizar las teorías científicas, mediante razonamientos deductivos.
En la Mesopotamia todos los conocimientos no tenían una relación entre si, eran cada uno aislado, y eran problemas en concreto, sin abstracciones.
En la antigua Grecia empiezan a nacer un tratamiento más general, con teorías. con la demostración y el razonamiento deductivo. Inicia tratando de explicar fenómenos naturales.
Tales de Mileto un matemático que da un tratamiento general a los problemas matemáticos
¿Quién sistematiza la geometría?¿Cuál es su finalidad? ¿Cuáles son sus principios los postulados ?
Euclides es el llamado padre de la geometría, es el primero que se encarga de sistematizar (Presenta teorías que se relacionan entre si) y usar un método deductivo. En uno de sus libros presenta axiomas es decir puntos de partidas, son enunciados los cuales se aceptan sin la necesidad de demostrarlos.
Hay 5 principios:
1- Desde un punto puede trazarse una linea
2- Las rectas son infinitas.
3- Con un punto (centro) y un segmento(radio) se puede dar un circulo
4- Los ángulos rectos son iguales entre si.
5- una linea corta dos rectas, las dos rectas se van a cortar del mismo lado.
¿Qué ocurre con el 5to postulado?¿Qué hace Saccheri?
Muchos matemáticos coincidieran que no debe considerarse un axioma, ya que sostienen que es un teorema. Por lo que muchos científicos comienzan a formular de manera distinta el 5to postulado. Saccheri trata de demostrar el quinto postulado negándolo, con el objetivo de llegar a una contradicción.
¿Qué es la geometría no euclidiana ?¿Qué dos tipos de geometría nacen?
La geometría no euclidiana es una rama de la geometría la cual entiende que el quinto postulado no se deduce de los otros cuatro. Nace
1) la geometría hiperbólica
2) la geometría elíptica
¿Qué es la geometría hiperbólica?¿Quien es su exponente?¿qué ocurre al sumar los ángulos?¿De quien retoma la hipótesis?
La geometría hiperbólica remplaza al 5to enunciado, expresa que por una recta pasan infinitas paralelas. Al sumar los ángulos el resultado es menor a 180. Su exponente es Lobalvhevski y Guss. La hipótesis la retoma de Saccheri.
¿Qué es la geometría elíptica?
La hipótesis de la geometría elíptica es creada por Riemann, matemático el cuál niega dos de los 5 postulados de Euclides. Para el no pasa ninguna paralela. La suma de los ángulos es mayor a 180. La recta no es infinita.
¿Cuál es la perspectiva contemporánea?¿Cuáles son los dos componentes de los enunciados? Desarrolle. ¿Para que se utilizan las reglas de inferencia ?
La perspectiva contemporanea, los sistemas axiomaticos son estructuras que se interpretan, poseen dos componentes los axiomas y los teoremas.
Los axiomas son enunciados que sirven de punto de partida, son principios que se aceptan.
Los teoremas son enunciados que se obtienen mediante deducciones con reglas de inferencia y teniendo en cuenta los axiomas.
Las reglas de inferencia se utilizan para demostrar los teoremas.
Así nacen las demostraciones son pasos cuando se aplican las reglas de inferencia partiendo de axiomas y teoremas.
¿De qué estan compuesto los enunciados? (axiomas y teoremas)
A su vez los teoremas se componen por terminos de dos tipos:
1) terminos logicos y-o bueno-pero
2) terminos no logicos:
primitivos se aceptan sin definicion
definidos:
¿Cuáles son las propiedades de los sistemas axiomaticos?
Los axiomas poseen 3 propiedades CIC
Consistencia no se pueden deducir o encontrar contradicciones.
Independencia todos los axiomas son independiente, no se relacionan entre si
Completitud posee toda la verdad acerca del campo
