4. Zweifaktorielle Varianzanalyse

Question 1

Nenne die Voraussetzungen der zweifaktoriellen Varianzanalyse.

Answer 1

• mindestens Intervallskalenniveau
• mindestens Normalverteilung innerhalb der Stichproben bei abhängigen Variablen🗻
• mindestens 20 Elemente pro Stichprobe 2️⃣0️⃣
• ähnlich stark besetzte Gruppen ⚖️
• Varianzhomogenität der abhängigen Variablen zwischen den einzelnen Stichproben

! Bei der zweifaktoriellen Varianzanalyse liegen dieselben Voraussetzungen wie bei der einfaktoriellen Varianzanalyse, sie ist lediglich ein Ausbau dieser.

Question 2

H0 und H1 für zweifaktorielle Varianzalayse aufstellen und erklären.

Answer 2

Es werden drei Nullhypothesen aufgestellt, für die jeweils eine Signifikanzprüfung erfolgt. Jeder dieser drei Effekte kann unabhängig von den beiden anderen Effekten signifikant werden:

Haupteffekt Faktor A:
• Der Haupteffekt des Faktors A ist gleich null (H0 : aj = 0 für alle j)
• Der Haupteffekt des Faktors A ist ungleich null (H1 : aj ≠ 0 für mind. ein j)

Haupteffekt Faktor B:
• Der Haupteffekt des Faktors Bist gleich null (H0 : ßk = 0 für alle k)
• Der Haupteffekt des Faktors B ist ungleich null (H1 : ßk ≠ 0 für mind. ein k)

Interaktionseffekt:
• Der Interaktionseffekt ist gleich (H0 : (aß)j,k = 0 für alle j,k)
• Der Interaktionseffekt ist ungleich null (H1 : (aß)j,k ≠ 0 für mindestens eine Kombination von j,k)

Question 3

Erklären Sie das Prinzip der Quadratsummenzerlegung in der zweifaktoriellen Varianzanalyse.

Answer 3

• Veränderungen der Strukturgleichung ändert auch die Quadratsummenzerlegung (bei einfaktorieller Varianzanalyse in 2, bei zweifaktorieller in 4 Teile)

• Die Gesamtvarianz der abhängigen Variablen lässt sich somit folgendermaßen zerlegen:

❗️SStotal = SSfaktor A + SSfaktor B + SSfaktor AxB + SSwithin ❗️

• Zusammensetzung erfolgt also zwischen Quadratsumme der beiden Faktoren A und B (SSfaktor A und SSfaktor B), der Quadratsumme des Interaktionseffekts (SSfaktor AxB) und der Quadratsumme des Fehlers (SSwithin)

• Vorteil des Interaktionseffektes: Reduzierung des Anteils der nicht-erklärbaren Varianz (Fehlervarianz) um die auf den zweiten Faktor und die Interaktion zurückgehende Varianz

Question 4

Warum ist die zweifaktorielle Varianzalayse (ANOVA) besser als die einfaktorielle?

Answer 4

Eine zweifaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) ermöglicht:

• die Untersuchung des Einflusses zweier unabhängiger Variablen (Faktoren) auf eine abhängige Variable (Merkmal) gleichzeitig
1️⃣Einfluss Faktor A Lernmethode auf Note
2️⃣Einfluss Faktor B Intelligenz auf Note

• die Untersuchung der Interaktionen zwischen den Faktoren (Interaktion = wenn der Einfluss eines Faktors auf das Merkmal von dem Einfluss des anderen Faktors abhängt)
1️⃣↔️2️⃣Lernmethode (F1) hat nur dann einen signifikanten Einfluss auf Note, wenn Schüler eine bestimmte Intelligenz (F2) haben

• die bessere Untersuchung und Interpretation von Unterschieden zwischen den Gruppen

• die Untersuchung komplexerer Fragestellungen und die Gewinnung von mehr Informationen über die Beziehungen zwischen den Variablen

❗️Die einfaktorielle ANOVA kann nur feststellen, ob es insgesamt Unterschiede zwischen den Gruppen gibt, aber nicht, welche Gruppen sich unterscheiden. Des Weiteren ermöglicht sie nur die Untersuchung des Einflusses einer unabhängigen Variablen auf eine abhängige Variable.

❗️Beispiel: Experiment, das den Einfluss von Lernmethode (Faktor 1) und Intelligenz (Faktor 2) auf die Leistung im Mathematikunterricht (Merkmal) untersucht, könnte feststellen, dass die Lernmethode nur dann einen signifikanten Einfluss hat, wenn die Schüler eine bestimmte Intelligenz haben. Eine einfaktorielle ANOVA würde diese Interaktion nicht erfassen.

Question 5

Welchen Vorteil bietet die zweifaktorielle Varianzalayse gegenüber der Durchführung zweier einfaktorieller Varianzanalysen auf denselben Datensatz?

Answer 5

1. Untersuchung der Interaktionen zwischen den beiden Faktoren und Berechnung des Interaktionseffekts
2. der Anteil der nicht-erklärbaren Varianz (Fehlervarianz) bei zweifaktorieller ANOVA wird gegenüber der einfaktoriellen ANOVA um die auf den zweiten Faktor und die Interaktion zurückgehende Varianz reduziert
3. somit ist dieses Verfahren Teststärker und ein Faktor kann signifikant werden, der in der einfaktoriellen Varianzanalyse nicht signifikant werden würde
4. zweifaktorielle Varianzanalyse kontrolliert selbstständig die aFehler-Kummulierung, während bei mehreren bzw. zwei einfaktoriellen Varianzanalysen die Gefahr eines aFehlers besteht (Durchführung mehrerer einzelner Varianzanalysen erhöht die Wahrscheinlichkeit, einen aFehler zu begehen, da Summierung dieser Fehler = aFehler-Inflation)

Bei dieser Vorgehensweise müsste man also Korrekturen einsetzen, die das Alpha-Niveau herabsetzen, wodurch auch die Chance signifikante Unterschiede zu finden, gering wird.