2. Logikai szitaformula és alakjai

Question 1

Logikai szitaformula

Answer 1

Tétel: Logikai szita formula: Ha $A_1,…,A_m$ tetszőleges halmazok ($m \epsilon \N$), akkor:

$| \bigcup_{i=1}^{m} A_i | = \sum_{i=1}^{m} |A_i|- \sum_{}^{} \sum_{1 \leq i<j<k \leq m}^{} |A_i \cap A_j| + \sum_{}^{}\sum_{}^{} \sum_{1 \leq i<j<k \leq m}^{} |A_i \cap A_j \cap A_k| - + … + (-1)^{m+1}|\bigcap_{i=1}^{m}A_i|$

Ezzel számolhatjuk a halmazok közös elemeit úgy hogy ne legyen benne elemismétlés.

Question 2

Logikai szitaformula alakjai

Answer 2

Két halmazra vonatkozó alak:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Három halmazra vonatkozó alak:
$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

Tetszőleges számú halmazra vonatkozó általános alak::
$\left|\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| - \sum_{1 \leq i < j \leq n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \ldots + (-1)^{n+1} \left|\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right|$

Question 3

Logikai szitaformula 2.

Answer 3

Ha $I = \emptyset$tetszőleges halmaz, melynek $A_1,..., A_m \subseteq I$ tetszőleges részhalmazai ($m \epsilon \N$), akkor az

$N: = I / \cup_{i=1}^m A_i$ jelölés esetén

$|N| = |I| - \sum_{i=1}^{m} |A_i| + \sum_{}^{} \sum_{1 \leq i < j \leq m}^{} |A_i \cap A_j| - \sum_{}^{} \sum_{}^{} \sum_{1 \leq i < j \leq m}^{} |A_i \cap A_j \cap A_k|+- +(-1)^m |\bigcap_{i=1}^m A_i|$

Question 4

Elcserélt levelek

Answer 4

$|N|=n!*\sum^{n}_{i=2}\frac{(-1)^{i}}{i!}:= D_n$

Question 5

Euler-féle φ függvény kiszámítása

Answer 5

Ha $n= p$ prímszám, akkor $\phi (p) = p-1$

Ha $n(n=p^{\alpha})$ egy prím hatvány, akkor
$\phi (p^{\alpha}) = p^{\alpha}-p^{\alpha -1}=p^{\alpha}*(1-\frac{1}{p})$

Az eredmény megadja hogy n számnál kisebb számok közül mennyi relatív prím van.