2 Aufbau des Zahlensystems Flashcards
R 09:
Motivation für die Entstehung?
x² = a, für a in Q keine Lösung
R 09:
Definition: Dedekindsche Schnitte
Ein Punkt P in Q zerlegt den Zahlenstrahl in 2 Hälften, L und R. Die Zerlegung heißt dedekindscher Schnitt wenn:
- L, R ≠ Nullmenge
- x in L und y in R -> x < y
- q in L, wenn fA x in L: x <= q und fA x in R: x >= q - -> rationaler Schnitt
R 09:
Was sind Betrag und Signum?
Betrag: Betrag einer Zahl x gibt immer die Zahl mit positivem Vorzeichen zurück: |x| = x oder |x| = -x
Signum: Gibt das Vorzeichen einer Zahl x: x = sgn(x)|x|
Dez 10:
Was ist die b-adische Dezimaldarstellung und welche Aussagen kann man über die Dezimalentwicklung rationaler Zahlen treffen?
Darstellung: sum(i = 0, inf) b^-i * a_i
Jede periodische/abbrechende Dezimalzahl ist eine rationale Zahl.
(Für eine eindeutige Darstellung ist Periode Neun verboten)
Dez 10:
Was ist Dichtheit?
Jede reelle Zahl kann in einer noch so kleinen Schranke e > 0 durch eine rationale Zahl approximiert werden.
Dez 10:
Was ist Mächtigkeit und warum ist R mächtiger als Q?
N, Z, Q sind gleich mächtig. Q kann man, wenn man die rationalen Zahlen der Größe nach sortiert nicht abzählen.
Dennoch kann man Q abzählen und R überabzählen, daher ist R mächtiger.
Trig 11:
Bild(sin) = Bild(cos) = …
Bild(sin) = Bild(cos) = [-1, 1]
Trig 11:
sin²a + cos²a = …
sin²a + cos²a = 1, fA a Element R (Pythagoras)
Trig 11:
Wie spiegelt man sin und cos?
sin(-a) = -sin(a) | cos(-a) = cos(a), fA a Element R
Trig 11:
Spiegle sin und cos an der Winkelhalbierenden.
sin(pi/2 - a) = cos(a) | cos(pi/2 - a) = sin(a)
Trig 11:
Spiegle sin und cos am Nullpunkt.
sin/cos(pi +/- a) = -sin/cos(a)
Trig 11:
Wie lautet die Umkehrfunktion der beiden bijektiven Funktionen sin und cos?
sin: [-(pi/2), +(pi/2)] –> [-1, 1]
- -> arcsin: [-1, 1] –> [-(pi/2), +(pi/2)]
cos: [0, pi] –> [-1, 1]
- -> arccos: [-1 ,1] –> [0, pi]
Trig 11:
Nenne die Wertetabelle für Cosinus:
0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5*π/6, π
0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π
1 | (1/2)sqrt(3) | (1/2)sqrt(2) | 1/2 | 0 | -1/2 | -(1/2)sqrt(2) | -(1/2)*sqrt(3) | -1
Trig 11:
Nenne die Wertetabelle für Sinus:
0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5*π/6, π
0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π
0 | 1/2 | (1/2)sqrt(2) | (1/2)sqrt(3) | 1 | (1/2)sqrt(3) | (1/2)*sqrt(2) | 1/2 | 0
Trig 11:
Nenne die Symmetrie, Periodizität, die Umkehrfunktion sowie die Wertetabelle des Tangens.
0, π/6, π/4, π/3.
- tan(-a) = -tan(a)
- π-periodisch
- tan: (-(π/2), +(π/2)) –> R
- -> arctan: R –> (-(π/2), +(π/2))
0 | π/6 | π/4 | π/3
0 | 1/sqrt(3) = (1/3)*sqrt(3) | 1 | sqrt/3
Trig 11:
Nenne die Additionstheoreme von Sinus und Cosinus.
sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
cos(a + b) = cos(a)sin(b) - sin(a)cos(b)
C 12:
Was ist i²? Wie ist eine komplexe Zahl aufgebaut? Wie wird sie veranschaulicht?
i² = -1 (in R nicht möglich)
z = a * ib, wobei a der Realteil Re(z) und b der Imaginärteil Im(z) ist.
Eine komplexe Zahl ist also durch 2 Punkte (a, b) in einer komplexen Ebene RxR festgelegt.
C 12:
Wie wird die Addition und Multiplikation bei komplexen Zahlen
C := RxR veranschaulicht?
Addition: (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + b2, a2 + b2)
Multiplikation: (a1, b1) * (a2, b2) = (a1b1 - a2b2, a1b1 + a2b2)
–> z1 * z2 = r1 * r2, arg(z1 * z2) = φ1 + φ2; wenn z1 = r1 * (cos(φ1) + i * sin(φ1)), für r1, r2 > 0 (z2 analog)
C 12:
Wie wird eine KZ definiert? Nenne das Konjugat sowie den Betrag und das Argument einer KZ.
Eine KZ besteht aus einem Real- und Imaginärteil: Re(z) + i * Im(z).
Konjugat: (/z) := a - ib
Betrag: |z| = sqrt(a² + b²) –> Länge
Argument: arg(z) = φ
–> Winkel zwischen pos. x-Achse und Ursprungsvektor der KZ; durch (modulo 2π) bestimmt und im Bogenmaß gemessen
Hauptwert ist dieses φ, welches im Intervall [0, 2π) liegt.
C 12:
Was sind Polarkoordinaten?
Jedes z el C{0} durch |z| und arg(z) festgelegt –> (|z|, arg(z))
C 12:
Wann sind zwei KZ gleich?
- gleich, wenn Re(z1)/Im(z1) = Re(z2)/Im(z2)
2. gleich, wenn |z1| = |z2| und arg1(z1) = arg2(z2) für z1, z2 != 0
C 12:
Wie rechnet man von PK zu Re/Im um?
Re(z) = |z| * cos(φ) Im(z) = |z| * sin(φ)
–> z = |z| * [cos(arg(z)) + i * sin(arg(z))]
C 12:
Wie rechnet man von Re/Im zu PK um?
|z| = sqrt(Re(z)² + Im(z)²) tan(φ) = Im(z)/Re(z)
–> φ el {kπ + arctan(b/a)|k el Z}
C 12:
Wie potenziert man eine KZ?
|z^n| = |z|^n arg(z^n) = n * arg(z)
–> z^n = r^n * [cos(n * φ) + i * sin(n * φ)]
C 12:
Wie ziehe ich die n-te Wurzel einer KZ?
2 Zahlen genau dann gleich, wenn |w^n| = |z| und arg(w^n) = arg(z).
–> |w| = sqrt(n, |z|), arg(w) = 1/n * arg(z) + k2
