2 Aufbau des Zahlensystems

Question 1

R 09:

Motivation für die Entstehung?

Answer 1

x² = a, für a in Q keine Lösung

Question 2

R 09:

Definition: Dedekindsche Schnitte

Answer 2

Ein Punkt P in Q zerlegt den Zahlenstrahl in 2 Hälften, L und R. Die Zerlegung heißt dedekindscher Schnitt wenn:

• L, R ≠ Nullmenge
• x in L und y in R -> x < y
• q in L, wenn fA x in L: x <= q und fA x in R: x >= q - -> rationaler Schnitt

Question 3

R 09:

Was sind Betrag und Signum?

Answer 3

Betrag: Betrag einer Zahl x gibt immer die Zahl mit positivem Vorzeichen zurück: |x| = x oder |x| = -x

Signum: Gibt das Vorzeichen einer Zahl x: x = sgn(x)|x|

Question 4

Dez 10:
Was ist die b-adische Dezimaldarstellung und welche Aussagen kann man über die Dezimalentwicklung rationaler Zahlen treffen?

Answer 4

Darstellung: sum(i = 0, inf) b^-i * a_i

Jede periodische/abbrechende Dezimalzahl ist eine rationale Zahl.

(Für eine eindeutige Darstellung ist Periode Neun verboten)

Question 5

Dez 10:

Was ist Dichtheit?

Answer 5

Jede reelle Zahl kann in einer noch so kleinen Schranke e > 0 durch eine rationale Zahl approximiert werden.

Question 6

Dez 10:

Was ist Mächtigkeit und warum ist R mächtiger als Q?

Answer 6

N, Z, Q sind gleich mächtig. Q kann man, wenn man die rationalen Zahlen der Größe nach sortiert nicht abzählen.

Dennoch kann man Q abzählen und R überabzählen, daher ist R mächtiger.

Question 7

Trig 11:

Bild(sin) = Bild(cos) = …

Answer 7

Bild(sin) = Bild(cos) = [-1, 1]

Question 8

Trig 11:

sin²a + cos²a = …

Answer 8

sin²a + cos²a = 1, fA a Element R (Pythagoras)

Question 9

Trig 11:

Wie spiegelt man sin und cos?

Answer 9

sin(-a) = -sin(a) | cos(-a) = cos(a), fA a Element R

Question 10

Trig 11:

Spiegle sin und cos an der Winkelhalbierenden.

Answer 10

sin(pi/2 - a) = cos(a) | cos(pi/2 - a) = sin(a)

Question 11

Trig 11:

Spiegle sin und cos am Nullpunkt.

Answer 11

sin/cos(pi +/- a) = -sin/cos(a)

Question 12

Trig 11:

Wie lautet die Umkehrfunktion der beiden bijektiven Funktionen sin und cos?

Answer 12

sin: [-(pi/2), +(pi/2)] –> [-1, 1]
- -> arcsin: [-1, 1] –> [-(pi/2), +(pi/2)]

cos: [0, pi] –> [-1, 1]
- -> arccos: [-1 ,1] –> [0, pi]

Question 13

Trig 11:
Nenne die Wertetabelle für Cosinus:
0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5*π/6, π

Answer 13

0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π
1 | (1/2)sqrt(3) | (1/2)sqrt(2) | 1/2 | 0 | -1/2 | -(1/2)sqrt(2) | -(1/2)*sqrt(3) | -1

Question 14

Trig 11:
Nenne die Wertetabelle für Sinus:
0, π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3, 3π/4, 5*π/6, π

Answer 14

0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π
0 | 1/2 | (1/2)sqrt(2) | (1/2)sqrt(3) | 1 | (1/2)sqrt(3) | (1/2)*sqrt(2) | 1/2 | 0

Question 15

Trig 11:
Nenne die Symmetrie, Periodizität, die Umkehrfunktion sowie die Wertetabelle des Tangens.
0, π/6, π/4, π/3.

Answer 15

• tan(-a) = -tan(a)
• π-periodisch
• tan: (-(π/2), +(π/2)) –> R
  
  • -> arctan: R –> (-(π/2), +(π/2))

0 | π/6 | π/4 | π/3
0 | 1/sqrt(3) = (1/3)*sqrt(3) | 1 | sqrt/3

Question 16

Trig 11:

Nenne die Additionstheoreme von Sinus und Cosinus.

Answer 16

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

cos(a + b) = cos(a)sin(b) - sin(a)cos(b)

Question 17

C 12:

Was ist i²? Wie ist eine komplexe Zahl aufgebaut? Wie wird sie veranschaulicht?

Answer 17

i² = -1 (in R nicht möglich)

z = a * ib, wobei a der Realteil Re(z) und b der Imaginärteil Im(z) ist.

Eine komplexe Zahl ist also durch 2 Punkte (a, b) in einer komplexen Ebene RxR festgelegt.

Question 18

C 12:
Wie wird die Addition und Multiplikation bei komplexen Zahlen
C := RxR veranschaulicht?

Answer 18

Addition: (a1, b1) + (a2, b2) = (a1 + b2, a2 + b2)

Multiplikation: (a1, b1) * (a2, b2) = (a1b1 - a2b2, a1b1 + a2b2)

–> z1 * z2 = r1 * r2, arg(z1 * z2) = φ1 + φ2; wenn z1 = r1 * (cos(φ1) + i * sin(φ1)), für r1, r2 > 0 (z2 analog)

Question 19

C 12:

Wie wird eine KZ definiert? Nenne das Konjugat sowie den Betrag und das Argument einer KZ.

Answer 19

Eine KZ besteht aus einem Real- und Imaginärteil: Re(z) + i * Im(z).

Konjugat: (/z) := a - ib

Betrag: |z| = sqrt(a² + b²) –> Länge

Argument: arg(z) = φ
–> Winkel zwischen pos. x-Achse und Ursprungsvektor der KZ; durch (modulo 2π) bestimmt und im Bogenmaß gemessen
Hauptwert ist dieses φ, welches im Intervall [0, 2π) liegt.

Question 20

C 12:

Was sind Polarkoordinaten?

Answer 20

Jedes z el C{0} durch |z| und arg(z) festgelegt –> (|z|, arg(z))

Question 21

C 12:

Wann sind zwei KZ gleich?

Answer 21

1. gleich, wenn Re(z1)/Im(z1) = Re(z2)/Im(z2)

2. gleich, wenn |z1| = |z2| und arg1(z1) = arg2(z2) für z1, z2 != 0

Question 22

C 12:

Wie rechnet man von PK zu Re/Im um?

Answer 22

Re(z) = |z| * cos(φ)
Im(z) = |z| * sin(φ)

–> z = |z| * [cos(arg(z)) + i * sin(arg(z))]

Question 23

C 12:

Wie rechnet man von Re/Im zu PK um?

Answer 23

|z| = sqrt(Re(z)² + Im(z)²)
tan(φ) = Im(z)/Re(z)

–> φ el {kπ + arctan(b/a)|k el Z}

Question 24

C 12:

Wie potenziert man eine KZ?

Answer 24

|z^n| = |z|^n
arg(z^n) = n * arg(z)

–> z^n = r^n * [cos(n * φ) + i * sin(n * φ)]

Question 25

C 12:

Wie ziehe ich die n-te Wurzel einer KZ?

Answer 25

2 Zahlen genau dann gleich, wenn |w^n| = |z| und arg(w^n) = arg(z).
–> |w| = sqrt(n, |z|), arg(w) = 1/n * arg(z) + k2