1.1 Algebra och polynom Flashcards
Allting om det första delkapitelt i kapitel ett av mattematik kursen 3C
Vad är ett polynom?
Ett polynom är en summa av termer av typen a⋅x^n, där x
är en variabel, exponenten n
ett naturligt tal och a
en konstant som ofta kallas koefficient.
Vad är ett gradtal?
Den största exponenten i ett polynom i en variabel anger polynomets gradtal.
Hur kan man skirva ett polynom av första graden?
p(x)=ax+b
Hur kan man skriva ett polynom av andra graden?
p(x)=ax^2+bx+c
Parentesreglerna- Vad finns det för olika typer?
(a+b)+(c−d)=a+b+c−d
(a+b)−(c+d)=a+b−c−d
(a+b)−(c−d)=a+b−c+d
Distributiva lagen- vad finns för olika typer?
a(b+c)=ab+ac
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
Konjugatregeln- hur skriver man den?
(a+b)(a−b)=a²−b²
Kvadreringsreglerna- vad finns det för olika typer?
(a+b)2=a²+2ab+b²
(a−b)2=a²−2ab+b²
Vad är en potens?
En potens består av en bas och en exponent. Basen är det tal som ska multipliceras med sig självt och exponenten anger hur många gånger basen ska multipliceras.
Vad finns det för potenslagar?
För reella exponenter x
och y med samma positiva bas a gäller:
a^xa^y=a^(x + y)
(a^x)/(a^y) =a^(x-y)
(a^x)^y=a^(x*y)
För positiva baser a och b
med samma reella exponent x
gäller:
(a^(x)*b^(x))= (ab)^x
(a^(x))/(b^(x))= (a/b)^x
Vad finns det för andra definitioner kring potenslagar?
Basen är positiv och exponenten är ett reellt tal.
a^0=1 a^-x= (1)/(a^x) a=/ 0
Vad har kvadratrötter och absolutbelopp gemensamt?
√ x²= |x|= ( x om x≥0 och −x om x<0
Detta beskriver lagen om att √x² kan skrivas samma som absolutbeloppet av x. Då absolutbeloppet av x är avståndet till origo i en graf.
Hur kan absolutbelopp uttryckas?
Det kan uttryckas med hjälp av begreppet absolutbeloppet av x
, som skrivs |x|
Vad finns det för lagar kring kvadrattrötter?
√a*√b= √ab , där är a≥0 och b≥0
(√a)/(√b)= √(a)/(b) , där a≥0 och b>0
Definition av kvadratroten. Vad säger den?
Med kvadratroten ur a
menas det positiva tal,
vars kvadrat är a
(√a)² = √a*√a= a a≥0
Polynomekvationer - ge exempel på två stycken , en av första graden och en av andra graden.
Förstagradsekvationen 4x+7=0
och andragradsekvationen x²+2x−3=0
är exempel på polynomekvationer.
Hur kan man allmänt skriva om en polynomekvation?
Allmänt kan en polynomekvation skrivas p(x)=0 där p(x) är ett polynom.
Hur kan man skriva allmänt om andragradspolynom ekvationer?
Polynomekvationer av andra graden kan allmänt skrivas
ax²+bx+c=0
eller
k(x²+px+q)=0
(k≠0)
Hur löser man dessa
polynom ekvationerna?
Ekvationen x²+px+q=0
har lösningarna:
x=- (P)/(2) ±√((P)/(2))^2 - q
När saknar Andragrads polynomekvationerna reella rötter?
Andragradsekvationen saknar reella rötter om
((P)/(2))² - q , <0 dvs om vi får ett negativt tal under rottecknet.
Vi har tidigare använt två metoder för att faktorisera polynom.Utbrytning av största möjliga faktor och “Omvänd” användning av konjugat- och kvadreringsreglerna. Vad är den tredje nya metoden att faktorisera?
Omvänt så kan vi faktorisera ett polynom om vi vet samtliga nollställen. Vill vi faktorisera polynomet p(x)=x²+2x−15
så börjar vi med att lösa ekvationen x²+2x−15=0
med lösningsformeln. Rötterna är -5 och 3.
p(x)=x²+2x−15=(x−(–5))(x−3)=(x+5)(x−3)
När kan ett polynom inte faktoriseras?
När polynomet saknar nollställen.
Hur kan vi skriva sambandet för andragradspolyoms i faktor form?
Ett andragradspolynom p(x)
med nollställena a och b
kan skrivas.
p(x)=k(x−a)(x−b)
där k är en konstant
Vad används pascals triangel för?
Pascals triangel är ett sätt att enkelt ta reda på koefficienterna när binom (Algebraiska uttryck med 2 termer) utvecklas. I Pascals triangel ges hela tiden koefficienterna genom att addera de två närmaste talen ovanför. Varje rad påbörjas och avslutas med en etta. Dessa två ettor är alltså koefficienterna framför den först och den sista termen.
