1: Vectores en el plano Flashcards
define el vector fijo
segmento orientado
constituido de A y B, A es su origen y B es su extremo
se representa por →AB
características del vector
módulo (longitud), dirección (de la recta), sentido (va del origen al extremo)
vector libre
un conjunto de vectores fijos que tienen el mismo módulo, el sentido y la dirección
vector de posición de un punto P
es el vector que nace en el origen de coordenadas O=(0,0,0) y termina en el punto P
vector unitario
un vector con módulo uno
para hallar el vector unitario en la dirección de v(vector) se dividen las coordenadas por el módulo de v(vector)
linealmente dependientes
cuando un vector se puede expresar como la comblinación de otros vectores
linealmente independientes
cuando un vector no se puede expresar como combinación del resto de vectores
base
la forman tres vectores linealmente independientes (en espacio)
base canónica dek espacio
contiene los vectores i(1,0,0) ,j(0,1,0) ,k(0,0,1)
sistema de referencia del espacio
está formado por un punto O y una base en espacio
sístema de referencia canónica
el más simple
formado por el origen de coordenadas y la base canónica
propiedades del producto escalar
1) El producto escalar de un vector por sí mismo es un número real positivo o cero
2) conmutativa uv=vu
3) asociativa k(->uv->)=(k->u)v->=->u(k->v), keR
4) distributiva u(v+w)=uv+u*w
interpretación geométrica del producto escalar
es igual al módulo de uno de los vectores por la proyección del otro sobre él
producto vectorial
de dos vectores linealmente independientes
lo representamos u x v
producto vectorial características
1) su módulo es producto de los módulos de u y v por el seno del ángulo
2) su dirección perpendicular al plano
3) su sentido se determina con la regla de la mano derecha
propiedades del producto vectorial
1) u x u=0 (flechitas en todos)
2) u es paralelo a v – u x v =0
3) anticonmutativa u x v = -v x u
4) asociativa k(u>×v>) = (ku>)×v =u×(kv>)
5) distributiva →u x (→v+→w) =→u x →v+→u x→w.
interpretación geométrica del producto vectorial
el área del paralelogramo definido por dos vectores es el módulo del producto vectorial
área del triángulo
la mitad del módulo del producto vectorial
vector director (de una recta en el espacio)
cualquier vector que está en la recta o es paralelo a ella
determinación de una recta
queda determinada
1) dando un punto y un vector director
2) dando dos puntos
ec. de una recta dado un punto y un v director
ecuación vectorial, paramétricas (igualar las coordenadas), continua (despejando el parámetro t)
ec. de una recta que pasa por dos puntos A y B
se toma uno de los puntos y como el director AB
vectores directores (de un plano)
dos
son vectores paralelos al plano linealmente independientes entre sí
vector normal a un plano
un vector perpendicular al dicho plano
determinación de un plano
1) dando un punto y dos vectores directos
2) dando 3 puntos no alineados
3) dando un punto y un vector normal
ec. de un plano dado un punto y dps v directos
ec vectorial y paramétricas (igualar las coordenadas)
plano determinado por tres puntos
se toma un punto y dos vectores directos AB y AC
ec de un plano dado un punto y un vector normal al plano
ecuación general del plano
π ≡ ax+by+cz+d = 0
ecuación vectorial recta
r ≡ (x, y,z) = (a1,a2,a3) +t(v1, v2, v3), t ∈ R
ecuaciones paramétricas recta
x = a1 +tv1
r ≡ y = a2 +tv2, t ∈ R
z = a3 +tv3
ecuación continua recta
x−a1 y−a2 z−a3
v1 = v2 = v3
ec vectorial plano
π ≡ (x, y,z) = (a1,a2,a3)+λ(u1,u2,u3)+μ(v1, v2, v3), λ,μ ∈ R
ec parametricas plano
x = a1 +λu1 + μv1
π ≡ y = a2 +λu2 + μv2, λ,μ ∈ R
z = a3 +λu3 + μv3.
