최종 인출

Question 2

2014학년도 기출

Answer 2

프로이덴탈- 반교수학적 전도 [2점]

로그, 역사발생적 원리 [2점]

브루소 극단적인 교수현상- 토파즈효과 (교수학적 계약) [2점]

비고츠키- 비계설정 [2점]

수와연산- 음수지도모델 장단점 [3점]

기하- 분석법(대수) [3점]

확통- 교육과정 유의점 2가지, 피시바인 확률직관 (일차직관, 이차직관) [10점]

Question 3

2015학년도 기출

Answer 3

딘즈- 수학학습원리 (지각적 다양성의 원리) [2점]

라카토스- 예외배제법, 지식의 성장과정 [5점]

추론- 귀납적 추론 (특성) [5점]

수와연산- 유의사항 분석 (유한소수, 순환소수, 분수) [5점]

프로이덴탈- 사고실험 (역할, 의의2) [5점]

Question 4

2016학년도 기출

Answer 4

프로이덴탈 (수학화), 수학적 모델링 [2점]

역사발생적 원리 (의의), 삼각함수 지도방안 (재구성) [4점]

서술형 평가 (장점), 분석적 점수화 방법 (채점, 이유) [4점]

브루너 (EIS이론), 브루소 (극단적인 교수현상) [4점]

연역적 추론 (단점), 폴리아 관점 귀납과 연역추론 (역할), 반힐레 (기하학습 수준이론 시사점), 핵심역량 (추론) [10점]

Question 5

2017학년도 기출

Answer 5

기하- 분석법, 종합법 [2점]

확통- 탐색적 자료 분석, 대푯값 [4점]

추론 (귀납적 추론) (특성), 분석적 점수화 방법 (채점) [4점]

딘즈- 수학학습원리 (수학적 다양성의 원리),

프로이덴탈- 국소적 조직화 (의의) [4점]

크라벤담 (질적, 양적 접근), 폴리아 (반성단계 발문) (이유), 브루소 (극단적인 교수현상), 유의사항 (함수) [10점]

Question 6

2018학년도 기출

Answer 6

교육과정 내용체계 [2점]

브루소 (극단적인 교수현상), 비고츠키 [4점]

고등수학, 딘즈 [4점]

셈돌모델 (교수방법), 유의사항 분석 [4점]

구성주의 (사회적 구성주의, 급진적 구성주의 차이점), 수학화 (의미), 사회적 구성주의 (지식 구성과정), 수학화과정, 핵심역량 (문제해결, 의사소통) [10점]

Question 7

2019학년도 기출

Question 8

수학적 개념을 바르게 이해한다는 것

Answer 8

어떤 특정한 대상을 이미 알고 있는 개념의 사례로 인식할 수 있느냐와 관련된다.

Question 9

수학교육의 목적

Answer 9

수학의 개념, 원리, 법칙을 이해하고 기능을 습득하며 수학적으로 추론하고 의사소통하는 능력을 길러, 생활 주변과 사회 및 자연 현상을 수학적으로 이해하고 문제를 합리적이고 창의적으로 해결하며, 수학 학습자로서 바람직한 태도와 실천 능력을 기르는 것이다.

정신도야성, 실용성, 문화적 가치, 심미성

Question 10

수학교육의 특성

Answer 10

실용성, 추상성, 형식성, 계통성, 직관성과 논리성, 일반성과 특수성, 이상성

Question 11

수학교육 근대화운동 (1900년대 전후) (12기출)

Answer 11

산업혁명에 따른 노동자 계급의 실용적인 교육이 필요하게 된 것이 배경이다. (실용수학, 응용수학 ⇔ 순수수학)

① 영국의 페리**: **대수 공식을 이용하는 지식과 능력을 길러야 한다고 주장하였다.

② 독일의 클라인**: _메란 교육과정_이라는 _짐나지움의 수학 교수요목_을 작성하였다. 1908년 메란 교육과정에 따른 교과서에 _처음_으로 _함수 개념_이 **도입되었다.

(‘함수**’라는 용어는 대수적 함수 단계에 속하는 1,698년에 **Leibniz__와 Bernoulli 사이의 서신 교환**에서 최초로 나타난 것으로, ‘**변하는 것과 어떤 상수가 결합된 크기’를 의미하는 것이었다.)

③ 미국의 무어**: 학교수학의 _내용과 방법_이 **보다 풍부해져야 한다고 주장하였다.

Question 12

수학교육 현대화운동 (1955~1975)

배경, 운동의 방향 및 내용, 한계

Answer 12

배경: ① 스푸트닉 충격, ② 현대수학의 발달. (칸토어의 집합론)

운동의 방향 및 내용

• 내용적 측면: ① ♦현대수학의 내용을 조기 도입. (집합, 함수, 확률 등) (집합론의 기수개념을 강조. 12기출)

② ♦대수적 구조 강조.

③ ♦논리적 엄밀성 강조.

④ ♦전통적 교재 정비 (유클리드 기하 대폭 축소)

• 방법적 측면: 수학교육, 교육학, 심리학 연구 성과를 토대로 새로운 지도법 도입: 브루너, 피아제, 딘즈

한계:

① ♦논리적 엄밀성과 연역적 추론이 지나치게 강조되었다.

② ♦조급한 형식화와 추상화를 시도하였다.

③ ♦장래 수학자가 되기 위한 소수의 학생만을 대상으로 하였다.

Question 13

1989 NCTM 학교수학을 위한 교육과정과 평가 규준

Answer 13

문제해결, 의사소통, 추론, 연결성

Question 14

2000 NCTM 학교수학을 위한 원리와 규준

Answer 14

문제해결, 의사소통, 추론과 증명, 연결성**, **표현

Question 15

학교수학의 원리 (2000 NCTM)

Answer 15

① ♦평__등의 원리: 어려움, 개별적 추가적 지원, 특별한 재능, 도전적 풍부한 프로그램 지원.

② ♦교__육과정의 원리: 전 학년, 일관성 유지.

③ ♦교__수의 원리: 효과적, 다방면, 지속적인 노력.

④ ♦학__습의 원리: 새로운 지식의 능동적 구성과 이해, 새로운 문제 해결에 배운 것 이용.

⑤ ♦평__가의 원리: 교사와 학생 모두에게, 유용한 정보 제공, 수학 학습 지원.

⑥ ♦기__술공학의 원리: 수학 학습 능력 높여주는 필수적인 요소인 테크놀로지를 언제 어떻게 사용할 것인지 신중히 결정

Question 16

학교수학의 원리 (2000 NCTM) - 평등의 원리

Answer 16

수학 공부에 어려움을 겪는 학생들은 _개별적_으로 _추가적인 지원_을 해주고, 수학에 특별한 재능이나 관심을 가진 학생들에게는 _도전적인 풍부한 프로그램_을 _지원_해야 한다는 원리이다.

Question 17

학교수학의 원리 (2000 NCTM) - 교육과정의 원리

Answer 17

수학과 교육과정은 _전 학년_에 걸쳐 _일관성_을 유지해야 한다는 원리이다.

Question 18

학교수학의 원리 (2000 NCTM) - 교수의 원리

Answer 18

수학을 _효과적_으로 가르치기 위해 교사는 _다방면_으로 _지속적인 노력_이 필요하다는 원리이다.

Question 19

학교수학의 원리 (2000 NCTM) - 학습의 원리

Answer 19

학생들은 자신의 경험과 이전에 배운 지식을 바탕으로 _새로운 지식_을 _능동적_으로 _구성_하여 _이해하면서_ 수학을 배워야 한다는 원리이다. _이해를 통한 학습_으로 미래에 당면할 _새로운 종류_의 _문제_를 _해결_하는 데 _배운 것_을 _이용_할 수 있게 한다.

Question 20

학교수학의 원리 (2000 NCTM) - 평가의 원리

Answer 20

평가는 _단순한 시험 이상의 것_으로 _교실 활동의 일상적인 부분_이 되어 교사와 학생 모두에게 _유용한 정보_를 _제공_함으로써 _수학 학습_을 _지원_하는 것이어야 한다는 원리이다.

Question 21

학교수학의 원리 (2000 NCTM) - 기술공학의 원리

Answer 21

학생들의 _수학 학습 능력_을 _높여주는_ 테크놀로지는 수학을 가르치고 배우는데 _필수적인 요소_이므로 교사는 테크놀로지를 _언제 어떻게 사용할 것인지_를 _신중히 결정_해야 한다는 원리이다.

Question 22

개정의 중점사항

Answer 22

가. 교육과정 문서 체제의 변화

나. 내용 체계 양식의 변화: 핵심개념, 내용(일반화된 지식), 기능

다. 수학 교과 역량을 구현하는 교육과정

라. 수학 학습부담 경감을 실현하는 교육과정: 내용감축, ‘평가방법 및 유의사항’ 신설, 교수학습 방법개선

마. 학습자의 정의적 측면을 강조하는 교육과정

바. 실생활 중심으로 통계 내용을 재구성한 교육과정

사. 공학적 도구의 활용을 강조하는 교육과정

Question 23

중학교 수학 학년별 내용변화- 수와연산

Answer 23

‘최대공약수와 최소공배수 활용’ 성취취기준 삭제

Question 24

중학교 수학 학년별 내용변화- 문자와 식

Answer 24

① ‘연립일차부등식’이 고등학교로 상향 이동

② 방정식, 부등식, 함수에서 ‘활용’ 성취기준 통합 기술

③ ‘간단한 등식의 변형’ 삭제 (문자를 포함한 대수식에서 한 문자에 관해 정리하도록 하는 내용은 다루지 않는다.)

④ ‘곱셈공식’과 ‘인수분해’를 중학교 3학년에서 통합

09개정에서는 곱셈공식이 2학년, 인수분해는 3학년에 있었다. (인수분해가 곱셈공식의 전개의 역으로 도입)

Question 25

중학교 수학 학년별 내용변화- 함수

Answer 25

① 중학교 1학년 그래프 이해 강조 (함수를 배우기도 전에 그래프를 먼저 지도하겠다.)

현실 세계의 다양한 상황을 표, 식, 그래프로 나타내고, 주어진 그래프를 해석하고 설명하는 과정을 충분히 거친 후, 중2에서 함수의 개념을 도입하도록 성취기준을 변경하였다.

② ‘정비례와 반비례’를 초등학교 5~6학년군에서 중학교 1학년으로 상향이동

먼저 비정형 그래프의 작성과 해석을 충실히 다루고, 특별한 경우로 정비례와 반비례를 다룬다.

[9수03-02]다양한 상황을 그래프로 나타내고, 주어진 그래프를 해석할 수 있다.

[9수03-03]정비례, 반비례 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다.

③ ‘이차함수의 최대·최소’를 고등학교 1학년으로 상향이동 (기출)

Question 26

중학교 수학 학년별 내용변화- 기하

Answer 26

Question 27

중학교 수학 학년별 내용변화- 확률과 통계

Answer 27

① ‘도수분포표에서 자료의 평균’ 성취기준 삭제

② ‘상관관계’ 성취기준 추가 (학습부담 경감을 위해 07개정에 삭제된 내용이었지만, 실생활관련성이 높더라.)

[9수05-08]자료를 산점도로 나타내고, 이를 이용하여 상관관계를 말할 수 있다. (7차에서의 상관도)

③ ‘공학적 도구의 사용’에 관한 성취기준 추가

④ 중학교 1학년 통계 중단원명 변경: 통계적 소양 교육을 나타내기 위한 통계적 문제 해결 절차에 초점.

⑤ ‘확률과 통계’ 영역의 위치 변경: 통계 소양 교육을 강조하기 위한 다양한 수업을 위해 맨 마지막에 배치.

Question 28

고등학교 수학 학년별 내용변화 (고1)

Answer 28

단원명으로 구분 되어 있던 고1 내용이 영역별로 구분되도록 변경하였다.

① 중학교 ‘연립일차부등식’을 으로 이동 (방정식과 부등식이 한 데 모여 있다.)

‘미지수가 3개인 연립일차방정식’ 내용은 삭제 (미지수가 2개인 연립일차방정식은 중2)

② 이차함수의 최댓값과 최솟값을 에서 통합

‘이차함수의 최댓값과 최솟값은 실수 전체의 범위뿐만 아니라, 제한된 범위 a≤x≤b 에서도 구하게 한다.’

③ ‘근과 계수의 관계’ 내용 경감

‘이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하는 복잡한 문제는 다루지 않는다.’

④ 부등식의 영역 삭제: 으로 이동.

⑤ 확률과 통계 영역 추가: 공통과목으로서의 기초 소양을 강조하기 위함.

Question 29

‘수열과 극한(과 급수)’ 관련 내용 삭제 후

‘미적분’으로 이동

Answer 29

학습량 과중의 문제를 해결하기 위해 자연계열과 이공계열로 진학할 학생들이 선택할 것으로 예상되는 으로 이동하였다. 이를 통해 대부분의 학생들이 이수할 것으로 예상되는 의 학습량은 대폭 감축되고, 과 는 서로 독립적인 선택 과목이 되는 결과를 가져오게 되었다.

Question 30

정적분의 도입 및 정의방식 변화

Answer 30

Question 31

‘평가방법 및 유의사항’을 신설한 이유

Answer 31

교육과정을 벗어난 심화내용을 평가하지 않도록 안내하는 평가의 가이드라인을 제공하여 수학 학습 부담 경감을 실현하기 위한 것이다.

Question 33

수학기초론

Answer 33

(비집기노 수정모노)

수학의 엄밀성과 확실성을 포괄하는 강력한 법칙**은 몇 세기동안 _**철학적 논쟁의 대상**_이 되어왔다. _**19__세기 초**_까지는 _**플라톤주의**_와 _**유클리드 기하**_의 입지가 확고한 상태였고 _**수학의 엄밀함**은 의심할 여지가 없는 것이었지만, 그 이후 **♦비유클리드 기하학**_이 _**발견**되고 **♦****집합론**_이**창시**되면서, 수학에 대한 확고한 바탕이 흔들리게 되었다. 따라서**수학에 대한 ♦기초를 확립하고자 하는 ♦노력들이 일기 시작하는데, 이른바 수학기초론이 그것이다. 수학기초론은 크게 논리주의, 직관주의, 형식주의의 세 사조로 대표된다. 각각은 서로 다른 이론들을 내세워♦수학이 무엇인가에 대하여 각각의 방식으로 ♦_정의_하여 _수학의_ ♦무모순성을 확립하려고 ♦노력한다.

Question 34

절대주의와 상대주의

Answer 34

(참진결확 오능구형)

절대주의는 절대적으로 ♦참인 확실한 ♦진리로 ♦결과로서의 수학적 지식의** ♦**확실성에 초점을 둔다.

상대주의는 ♦오류 가능성**을 인정하고 학습자 스스로의 ♦**능동적 활동**을 통한 _**지식의** ♦구성과 **지식의** ♦형성과정_**에 초점을 둔다.

Question 35

수학기초론- 논리주의 (Russell) (Frege)

Answer 35

모든 수학은 논리학으로부터 유도될 수 있다.

(수학적 지식의 확실성은 논리의 확실성으로 대체된다.)

Question 36

수학기초론- 직관주의 (Brouwer)

Answer 36

(유직자유)

(수학기초론은 논리주의, 직관주의, 형식주의로 구분된다.)

수학적 지식의 ♦유일한 원천은 근본적인 ♦직관이며, 직관으로 인해 기본적인 수학적 개념과 정리가 ♦자명하게 되는 것이라 주장했다. 즉, 수학적 진리는 ♦유한 번의 단계로 구성가능함을 보임으로써 확립되는 것이라고 보았다. (_배중률_과 _삼분법_ 배격)

(배중률: 제 3자 배척의 원리)​​

이 수리철학은 프로이덴탈의 수학화 교수학습이론의 주장에 직접적으로 영향을 주었다.

Question 37

수학기초론- 형식주의 (Hilbert)

Answer 37

(역고위 가형**) (**무완**) (**무독)

논리주의에 의해 생겨난 ♦_역리_와 _직관주의에 의해 야기된_ ♦_고전 수학의 포기_라는 _수학적_ ♦위기를 극복하려는 시도이다.

수학에서 생각하는 공리를 하나의 ♦_가설_에 불과하다고 보았으며 수학을 _의미가 배제된_ ♦형식체계로 재조직하려고 하였다.

(수학적 지식의 확실성은 ♦무모순성과♦완전성을 의미한다.)

‘기하학기초론**’에서 제시한 공리계의 논리적 결함을 해결할 수 있는 새로운 공리계는 **공리체계의 ♦_무모순성_과 _공리들 사이의_ ♦_독립성_을 _특징_으로 한다.

Question 38

수리철학에서의 증명

Answer 38

(참정**) (**본발 절연 가발 분**) (**잘수발**) (**확의 완확경최권)

절대주의에서는 정당화의 수단, 준경험주의에서는 발견과 개선의 수단, 사회적 구성주의에서는 설명과 확신의 수단이다.

(증명의 심층: 발견의 맥락** → **정당화의 맥락** → **사회적 맥락)

① 절대주의에서의 증명은 수학적 명제가 ♦참임을 밝히는 ♦정당화의 수단이다. (종합적 방식 부각)

② _준경험주의에서의 증명_은 _두 가지 의미_를 _내포_한다.

첫 번째**, **증명의** ♦**본질**은 _**사고실험**_이라는 것이다. 즉, 증명은 ♦**발견의 수단이다. 따라서 ♦가정만 제시하여 결론을 스스로 탐색하도록 하고 추측을 형성하게 하여 명제에 대한 ♦발견경험을 제공해야 한다.

두 번째**, **증명** ♦**절차**는 _**추측을 부분 추측을 분해하여 그것을 이미 알고 있는 것과** ♦연결시키는 과정이라는 것이다. (증명이 추측을 부분 추측 또는 보조 정리로 분해하여 그것을 가능한 한 멀리 떨어져 있는 지식체에 포함시키는 것) 즉, ♦분석적 방식으로서의 증명_**을 강조한다. 따라서 증명방법을 탐색하기 위한 분석법을 도입해야 한다.

따라서 증명**은 비판을 용이하게 하기 위해 _**추측을 가능한 한 작은 부분으로 분해하여 분석하는 사고실험**_을 의미하며, 증명에 의한 비판으로부터 _**추측의** ♦잘못된 부분들을 찾고_ ♦**수정해나가는 계속적인** ♦**발견의 과정이다.

③ 사회적 구성주의에서의 증명**은 _**자기 자신을 포함해서 다른 사람을** ♦확신시키기 위한 설명이며, **수학자들 간의** ♦의사소통의 수단_**이다.

증명 교육에서**는 증명에 대한 _**사회적 관점을** ♦완화시켜 적용할 필요가 있다. 이는 **학생들**_에게 ♦**확신의 수단으로서의 증명을** ♦**경험**하도록 하고 _**타당한 증명에 대한** ♦최종 판단은 **교사의** ♦권한에 맡기는 것_**을 의미한다.

Question 39

라카토스 준경험주의의 기본입장

Answer 39

(증변반)

수학적 지식**은 ♦**증__명과 반박의 논리**에 의해 _**추측이 끊임없이 개선**_되는 ♦**변__증법적 과정**을 통해 _**성장하는 것**_으로 ♦**반__증되기 전까지만 잠정적으로 참이라고 본다. (추측-증명-반박의 논리)

Question 40

라카토스의 준경험주의 관점에서 수학적 지식의 성장 과정

Answer 40

1단계: 수학적 추측을 제기하는 단계

2단계: 추측을 부분추측으로 분해하는 증명, 곧 사고실험 단계

3단계: 반례가 등장하고 추측과 증명을 반박하는 단계

4단계: 증명을 검토하여 증명과 추측을 개선하는 단계

Question 41

라카토스 오류주의 수업모형

Answer 41

(소연 잠아연)

소__박한 추측: 문제의 ♦잠정적인 해

연__역적 추측: 증명 ♦아이디어를 발견하고 그것을 토대로 하여 ♦연역해 나감으로써 얻을 수 있는 추측

Question 42

국소적 반례와 전면적 반례

Answer 42

_국소적 반례_는 _부분추측_을 _반박_하는 것이고,

_전면적 반례_는 _원래의 추측_을 _반박_하는 것이다.

Question 43

라카토스의 전면적 반례를 다루는 방법

Answer 43

(인 정몰살 새철축)

① 반례를 받아들이고 원래의 추측이 틀렸다**고 ♦**인정하는 것이다.

② 괴물 배제법**: **추측에 포함된 개념들을 다시** ♦**정의**하여, _**반례**(괴물)를 추측이 성립하는 **영역 밖으로** ♦몰아내고, **추측을** ♦살리는_** 방법이다.

③ 예외 배제법**: ♦새로운 **반례가 나타날 때마다** 예외에 대하여 언급한 **조건절을 첨가**하여 안전한 영역으로 ♦철수하는 방법으로 원래의 추측이 성립하는 _**영역을** ♦축소하여 추측을 개선_한다. (과대 또는 과소 일반화의 위험**을 내포)

④ 보조정리 합체법**: _반례가 출현하게 된 원인_이 되는 _부분 추측_을 찾아 그것을 _원래 추측에 합체_시키고 **증명을 고치는** 방법이다. _새로운 추측을 발견하는 과정_과 _그 추측을 증명하는 과정_이 **동시에 이루어진다__.

Question 44

라카토스의 준경험주의의 의의

Answer 44

(이분)

♦이전의 일반적 견해와는 달리 발견과 정당화의 논리가 ♦분리되지 않고 하나로 통합된다는 견해를 제시한 것으로 볼 수 있다.

Question 45

발견의 맥락과 정당화의 맥락이 통합된 증명의 지도방안

Answer 45

(완가결참수)

학생들에게 증명해야 할 ♦완전한 명제를 제시하는 대신에, ♦가정에 해당하는 조건만을 제시**하고 그 조건으로부터 성립할 수 있는 ♦**결론을 발견__(__추측__)**하도록 한 다음에, 발견한 결론이 ♦참이라는 것을 밝히기 위해서 _**증명을** ♦수행_**하도록 한다.

(의미 충실한 증명교육) (증명의 필요성을 자연스럽게 인식)

Question 46

라카토스의 교육적 시사점

Answer 46

(결스연 추의탐)

① 수학적 지식**이 주어지는 ♦결과물이 아니라, ♦**스스로 만들어가는 과정**임을 인식할 수 있으므로 ♦**연역적 전개방식의 대안으로서의 가치가 있다.

② ♦추측하고 반박하는 과정에서 _수학적 지식을 ♦의미 있게 학습할 수 있고, ♦탐구하는 방법 자체_를 _학습_할 수 있게 된다.

Question 47

준경험주의에서 증명을 지도할 때, 주의해야 할 점

Answer 47

(엄주 사적 기개)

① 증명을 ♦엄밀하게 하는 활동**보다는 증명을 ♦**주의 깊게 분석하는 활동을 강조해야 한다.

② 교사가 철저한 교재연구**와 ♦**사고실험**을 통해 학생이 증명을 할 때, _**추측__, 증명의 각 단계**_에 대해 ♦**적절한 반례를 준비하고 필요할 때 제시해야 한다.

③ 추측을 반박하는 반례**가 나타났을 때도 추측을 ♦**기각하기보다**는 증명을 _**주의 깊게 분석**_해서 _**추측을** ♦개선_**하도록 하는 태도를 가져야 한다.

Question 48

준경험주의 입장에서 문제제기 활동의 수리철학적 의미

Answer 48

(제확)

따라서 문제를 ♦제기하고 이를 ♦확인하는 활동으로부터 수학적 지식의 끊임없는 변화를 경험하게 되므로, 수학적 지식은 ‘추측’이며 개선되는 과정을 통해 ‘성장’하고 발달하는 대상으로 정의된다.

Question 49

라카토스와 소크라테스 산파법의 공통점과 차이점

Answer 49

(전발돕**) (**수동**) (**추논무상**) (**추발반개)

공통점은 교사가 단순히 수학적 지식을 ♦_전달_하는 것이 아니라 _학생 스스로 지식을_ ♦발견할 수 있도록 ♦돕고 있다는 측면이다.

차이점은 산파법의 경우 학생은 ♦수동적으로 교사의 질문에 단지 ‘예’나 ‘아니오’라고 답하기만 해도 수업이 진행되며 대화의 주도권은 교사에게 있다. 이에 반해 라카토스 교수법에서는 교사와 학생 또는 학생과 학생이 모두 ♦동등한 입장으로 대화를 진행해나간다.

산파법에서는 학생에게 문제 상황과 관련된 ♦추측을 하게 하고 이와 관련한 학생의 답변의 결과가 오류거나 틀렸음을 보임으로써 ♦논박하여 학생의 ♦무지를 자각시키고 (학생들이 스스로 사고하게 하여) 새로운 답을 찾게 하는 올바른 지식의 ♦상기 과정이 진행된다. (문답식 대화법) (추측, 논박, 무지, 상기)

라카토스 교수법에서는 학생들에게 ♦추측을 형성하게 하고 그에 대한 반례에 대해서도 학생들 스스로 생각해보도록 유도하는 ♦발문을 제시하여 학생들이 반례에 대해 고민하도록 하고 ♦반박하는 과정을 경험하도록 하여 ♦개선된 추측을 얻게 한다. (추측, 발문, 반박, 개선)

Question 50

보조정리 합체법 파훼-1 (양희 4회 B형 1번)

Answer 50

Question 51

구성주의

Answer 51

(수종스의)

학습자가 지식을 ♦수동적으로 수용**하는 것이라는 ♦**종래의 통념**을 부정하고, 학습자는 ♦**스스로의 능동적인 구성 활동**을 통해 자신에게 ♦**의미 있는 지식을 구성해 나아간다고 본다.

Question 52

조작적 구성주의 (피아제)

Answer 52

(근조 반조사반)

수학적 지식은 인간의 조작 활동에 그 ♦근원을 두고 있으므로, 수학 수업에서 ♦조작활동을 강조해야 한다. 또한, 수학적 지식 구성의 과정은 ♦반영적 추상화의 과정이므로, 자신의 ♦조작 활동을 ♦사고의 대상으로 의식화하여 ♦반성하는 활동 역시 강조해야 한다.

Question 53

급진적 구성주의 기본입장

Answer 53

(주자)

지식의 ♦주관적 측면을 강조하고, 학생 개개인이 고유한 방식으로 그들 ♦자신의 지식을 구성하도록 하는 교육을 지지한다.

Question 54

급진적 구성주의 (von Glasersfeld)

Answer 54

(자생비**) (**수능 적적 경객)

첫째, 지식의 ♦자주적 구성의 원리이다. 지식은 감각을 통하거나 의사소통에 의해 ♦수동적으로 받아들여지는 것이 아니라 인식하는 주체에 의해서♦능동적으로 구성된다.

둘째, 지식의 ♦생장 지향성의 원리이다. 인식의 기능은 ♦적응적이며, 생물학적인 용어로♦적합성** 또는 **생장성을 지향하는 경향을 지닌다.

셋째, 지식의 ♦비객관성의 원리이다. 인식은 주체가 ♦경험 세계**를**조직하는 데 도움을 주는 것이지,♦객관적인 존재론적 실재를 발견하는 것을 돕는 것이 아니다. (사회적 구성주의에서는 ‘지식의 사회적 구성’으로 수정 보완)

Question 55

급진적 구성주의와 사회적 구성주의의 차이점

Answer 55

(자언 비합)

첫째, 급진적 구성주의는 지식의 ♦자주적 구성의 원리를 주장하지만, 사회적 구성주의는 지식 구성에 있어 사회와 ♦언어의 역할을 강조한다.

둘째, 급진적 구성주의는 지식의 ♦비객관성의 원리를 주장하지만, 사회적 구성주의는 객관성을 사회적 ♦합의가능성의 다른 표현이라고 본다.

Question 56

사회적 구성주의- 지식구성의 과정 (Ernest, Vygotsky)

Answer 56

개인의 주관적인 수학적 지식은 공표를 통해 사회에 알려지고 공적인 비판과 재구성 과정을 거쳐 합의를 통해 객관적인 지식이 된다.

이러한 객관적 지식은 다시 개인에게 주관적 지식으로 내면화된다. (사회적 과정) (라카토스의 증명과 반박의 논리)

Question 57

사회적 구성주의에 적합한 교수학습방법

Answer 57

(발사)

♦발표와 토론이 중시되는 ♦_사회적 상호작용 수업_을 지지하는 것으로 해석할 수 있으므로 _소집단 협력학습_이 그 한 가지 유형이 될 수 있다.

Question 58

구성주의 수학 교수·학습 원리 (박영배, 1996)

Answer 58

(학발의반**) (**주지능개 스발안적 활의지 반활반)

첫째, ♦학생 중심적 개별화의 원리**이다. 수학 학습 활동의 ♦**주체가 학생 개개인**이므로 학생 개개인의 ♦**지적 자율성에 바탕을 두어야 한다**는 것을 의미한다. 수학 교수·학습에서 _**개인의** ♦능력차 및_ ♦**개성의 차이를 고려하는 교수학습을 의미한다.

둘째, ♦_발문 중심적 상호 작용의 원리_이다. _학생이 학습의 주체가 되어 ♦스스로 지식을 구성해 갈 수 있도록 교사가 ♦발문을 중심으로 하여 학생을 ♦안내_하거나 _조력_해야 한다는 원리이다. ♦적극적으로 생각해보게 하는 다양한 발문을 해야 한다.

셋째, ♦의미 지향적 활동의 원리**이다. 학생들이 ♦**활동 속**에 _**구성한** ♦의미에 **충실한** ♦지식의 구성_**이 이루어져야 한다는 원리이다.

넷째, ♦반영적 추상화의 원리**이다. 학생 자신에 의해 내면적으로 이루어지는 ♦**반성적 활동**을 중시해야 한다는 원리이다. ♦**활동과 더불어** ♦**반성을 매우 중요하게 고려해야 한다는 것이다.

Question 60

진정한 문제

Answer 60

(목길)

♦목표는 분명하지만 그 목표에 이르는 ♦길이 즉각적으로 주어져 있지 않는 것.

Question 61

문제의 요건

Answer 61

(목장의)

♦목표, ♦장애요인, ♦해결자의 의식

Question 62

좋은 문제

Answer 62

(도전**) (**여일다실)

(93기출) ♦도전감을 주는 어려운 문제이지만 적절한 ♦전략을 사용하면 해결될 수 있다. (복잡한 처리 과정을 거쳐 해결 될 수 있는 것은 거리가 멀다.)

첫째, 문제풀이 과정에 ♦여러 가지 수학적 개념이나 기능 등을 포함해야 한다.

둘째, ♦일반화할 수 있는 것이거나 다양한 문제 장면으로 확장될 수 있어야 한다.

셋째, ♦다양한 해법이 있어야 한다.

넷째, ♦실생활 탐구문제여야 한다.

Question 63

문제를 해결함으로써 얻을 수 있는 것

Answer 63

(기고)

첫째, ♦기초적인 수학적 지식이나 기능을 보다 확실히 이해할 수 있다.

둘째, 창의적 사고, 비판적 사고, 의사 결정 능력과 같은 ♦고등 정신 기능을 신장할 수 있다.

Question 64

정형문제와 비정형문제

Answer 64

(알전 알답전독)

정형문제란 이미 제시된 ♦알고리즘을 사용하여 해결할 수 있는 문제나 ♦전형적인 예제의 풀이 방법을 그대로 적용하여 해결할 수 있는 문제를 말한다.

비정형문제란 문제를 해결하는 ♦알고리즘이나♦답을 얻는 방법**을 모르는 상태에서 _**문제해결 ♦전략**이나 **♦****독자적인 해결 방법**_을**구안하여 풀어야 하는 문제를 말한다.

Question 65

숀펠드의 문제해결행동 관련 요인- 자원

Answer 65

(문개도)

♦문제를 해결하기 위해 ♦개인이 사용할 수 있는 ♦도구와 기법을 말한다. 그 예로는 수학적 지식, 직관, 알고리즘, 법칙에 대한 이해 등이 있다.

Question 66

숀펠드의 문제해결행동 관련 요인- 발견술

Answer 66

(생비전)

♦생소하고 ♦비정형적인 문제를 해결하기 위한 ♦전략과 기술을 말한다. 그 예로는 유추, 일반화, 특수화, 보조 문제 이용하기, 거꾸로 풀기 등이 있다.

Question 67

숀펠드의 문제해결행동 관련 요인- 통제

Answer 67

(자전**) (**계감의의)

♦자원과 전략의 선택과 수행에 관한 ♦전반적인 결정 능력을 말한다. 그 예로는 ♦계획하기, ♦감시와 평가, ♦의사 결정, ♦의식적인 메타인지적 결정 등이 있다. (실수도 통제가 부족한 것이다. 해결할 수 있는 능력이 있는 데 틀리는 것이기 때문이다.)

Question 68

숀펠드의 문제해결행동 관련 요인- 신념체계

Answer 68

(가선)

학습자가 수학에 대해 가지고 있는 ♦가치관이나 ♦선입견 같은 것을 말한다.

Question 69

폴리아, 숀펠드, 버튼 문제해결단계 비교

Answer 69

(숀버 탐확)

Question 70

폴리아의 수학관

Answer 70

(완발 개발연증)

‘♦완성된 수학**’은 연역적 과학이고, ‘♦**발생 과정의 수학**’은 실험적이고 귀납적인 과학이라고 보았다. 그리고 수학적 사고 과정에서 ♦**개연적 추론과 추측**에 의해 _**증명이** ♦발견되고, 그 후 ♦연역적 추론, 즉 ♦증명이 뒤따른다고 보았다. (발견과 정당화_가 **구분되는 느낌)

귀납과 유추에 의한 _추측_을 통한 _발견적 사고_와 _문제해결 교육_의 중요성을 강조하고 그 실제적인 지도 방법론을 제시하였다.

지식: 정보+ 방법적 지식 (know that+ know how) (명제적 지식+ 절차적 지식) (방법적 지식은 대화법의 도움으로 습득 가능)

Question 71

폴리아의 문제해결 4단계- ① 문제이해 단계

Answer 71

(구용분)

♦구하려는 것과 주어진 것을 알고, ♦용어의 뜻을 파악하며, 문제를 ♦분석하는 단계이다.

미지인 것은 무엇인가?

주어진 것은 무엇인가?

그림을 그려보아라.

적절한 기호를 붙여라. (x, y의 설정? 12기출, 14기출)

조건은 무엇인가?

조건은 만족될 수 있는가?

조건은 미지의 것을 결정하기에 충분한가, 불충분한가, 과다한가?

Question 72

폴리아의 문제해결 4단계- ② 계획작성 단계 (해결계획 단계)

Answer 72

(주관보)

♦주어진 것과 구하려는 것 사이의 ♦관계를 파악하는 단계이다. 그 관련성을 즉각 파악할 수 없을 때 ♦보조문제를 고려한다.

도움이 될 것 같은 어떤 사실이나 정리를 알고 있는가?

전에 이와 유사한 문제를 본 적이 있는가?

미지인 것을 잘 살펴보아라.

문제에 필요한 조건을 모두 사용했는가?

문제에 포함된 핵심적인 개념을 모두 고려했는가?

보다 쉬운 관련된 문제를 생각해낼 수 있을까?

문제를 보다 일반적인 형태로 변형할 수 있을까?

문제를 보다 특수한 문제로 변형할 수 있을까?

문제를 부분적으로 풀 수 있는가?

친숙한 문제 중에 미지인 것이 같거나 유사한 문제를 생각해 보아라.

문제를 달리 진술할 수 있을까? 좀 더 다르게 진술할 수 있을까?

정의로 되돌아가 보자. 이 용어의 정의가 무엇이었지?

Question 73

폴리아의 문제해결 4단계- ③ 계획실행 단계

Answer 73

(해실)

♦해결계획에 따라 ♦실행하는 단계이다.

각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는가?

그것이 옳다는 것을 설명할 수 있는가?

Question 74

폴리아의 문제해결 4단계- ④ 반성 단계

Answer 74

(처다어확)

문제를 해결한 과정을 ♦처음부터 검토해보고, ♦​다른 방법으로 해결할 수는 없는지를 알아보고, 혹시 다른 방법이 있으면 ♦​어떤 방법이 더 나은지를 생각해본다. 또한 주어진 문제의 ♦​확장 가능성을 고려해야 한다.

결과를 점검할 수 있는가?

풀이과정을 점검할 수 있는가?

결과를 다른 방법으로 이끌어낼 수 있는가?

결과나 방법을 어떤 다른 문제에 활용할 수 있는가?

Question 75

폴리아가 특히 반성단계의 중요성을 강조하는 이유

Answer 75

(오획사**) (**개다단)

① ♦오류를 발견·수정하고 문제풀이를 개선할 수 있다. 풀이과정과 결과를 ♦개관하고 음미해보기 때문이다.

② ♦획득한 지식이 견고히 된다. ♦다른 문제와의 관련성과 적용가능성을 생각해보기 때문이다.

③ ♦사고양식화 되어 문제를 해결하는 능력을 발달시킨다. 풀이과정이 ♦단순화되어 한 눈에 알 수 있게 되기 때문이다.

Question 76

폴리아의 문제해결 4단계에 따른 지도시 반성단계와 관련하여 피아제의 반영적 추상화가 갖는 의미

Answer 76

(이대보수)

문제해결의 반성단계에서 결과 및 과정을 점검하여 오류를 개선하거나 미처 생각하지 못했던 아이디어를 탐색하게 하는 것은 ♦이전에 구성한 지식 및 문제해결 과정을 사고의 ♦대상으로 삼아 ♦보다 수준 높은 형식을 구성하여 ♦수준의 비약이 일어나는 반영적 추상화를 경험하게 할 수 있다.

Question 77

오류수정활동

Answer 77

(반높반수)

자신의 사고와 행동을 다시 한 번 ♦반성해봄으로써 ♦높은 사고수준으로의 발달을 모색하는 ♦반영적 추상화활동에 기여하고 ♦수학적사고력을 향상시킨다.

Question 78

메타인지적 사고

Answer 78

(자인)

♦자신의 사고 과정에 대한 ♦인지로서, 자신의 사고 과정을 모니터하거나 조절하는 정신적 활동이 메타인지의 예가 될 수 있다.

Question 79

반성단계에서의 메타인지적 활동

Answer 79

(결다다우)

♦결과와 풀이 과정의 점검, ♦다양한 방법의 모색, ♦다른 문제에의 일반화, ♦우아한 해법의 추구 등이 있다.

Question 80

폴리아의 수학학습지도 원리

Answer 80

(활최비**) (**최발생 의호기희 탐형동의)

① ♦활동적 학습의 원리란 학습하는 ♦최선의 길은 스스로 ♦발견하는 것이다. 따라서 학생이 ♦생각할 시간을 충분히 주어야 한다는 것이다.

② ♦최선의 동기유발의 원리란 학생에게 ♦의미가 있도록 문제를 선정하고 제시함으로써 학습내용 자체에 대한 지적 ♦호기심을 갖게하고 학습 그 자체에서 오는 ♦기쁨과 발견의 ♦희열을 경험하게 해야 한다는 것이다.

③ ♦비약없는 단계의 원리란 ♦탐구, ♦형식화, ♦동화단계를 거쳐서 수학 학습이 의미 있게 이루어진다는 것이다.

Question 81

실생활소재를 활용한 수업

Answer 81

수학의 필요성과 유용성을 알고, 수학의 역할과 가치를 인식할 수 있다.

Question 82

수학적 모델링

Answer 82

(비차실수)

♦비수학적 문제 상황에서 출발한다는 면에서 문제해결과는 ♦차별화되는 것으로, ♦실세계의 여러 현상을 ♦수학적인 수단에 의해 정리하고 조직하는 활동이다.

스키슬로프와 같은 실세계의 현상을, 즉 비수학적 문제상황을 함수의 그래프와 같은 수학적인 수단에 의해 정리하고 조직하는 활동이 바로 수학적 모델링 활동이다.

Question 83

수학적 모델링 도입의 필요성 (이유)

Answer 83

(새응창맥인)

(수학적 모델링을 통하여 수학교육에서 달성할 수 있는 목적)

① ♦새로운 수학적 개념과 방법을 이해한다.

② 실생활 또는 다른 교과**에서의 _**수학의** ♦응__용과 모델링의 실제를 이해_**한다.

③ ♦_창__의적 사고_와 _문제해결 태도__,_ 활동__, 능력을 기른다.

④ 수학을 활용하여 실생활 또는 다른 교과**와 _**연결된** ♦맥__락_을 **비판적이고 합리적으로 사고하려는 태도를 기른다.

⑤ 수학**이 이미 완성된 산물이 아니라 ♦**인__간 활동의 결과로 만들어진 것임을 이해한다.

Question 84

수학적 모델링 과정 (NCTM 1991)

Answer 84

(현문중 관해모 분적 결재결)

① ♦현__상을 관찰**하여 그 현상 속에 내재되어 있는 ♦**문__제 상황**을 명료히 밝히고, 문제에 영향을 미치는 ♦**중__요한 요인들을 찾는다.

② 요인들의 ♦관__계를 추측**하고 그 요인들을 _**수학적으로** ♦해__석하여 **현상에 적합한** ♦모__델_**을 구축한다.

③ 적절한 수학적** ♦**분__석**을 그 모델에 ♦**적__용한다.

④ ♦결__과**를 얻고 현상에 맞도록 그 결과를 ♦**재__해석**하여 ♦**결__론을 도출한다.

Question 85

삼각비를 활용한 건물의 높이를 구하는 수업상황에서의 수학적 모델링 과정

Answer 85

① 삼각비를 활용하여 건물의 높이를 구하는 문제를 해결하기 위해 먼저 문제 상황에 영향을 미치는 요인으로 각의 크기나 거리, 눈높이 등을 측정하는 1단계~ 3단계의 활동이 진행되었다.

이는 현상을 관찰하여 그 현상 속에 내재되어 있는 문제 상황을 명료히 밝히고 문제에 영향을 미치는 중요한 요인들을 찾는 단계에 해당된다.

② 다음으로 측정결과를 바탕으로 빌딩 높이를 구하는 식을 세워서 건물의 높이를 구하는 4단계에서는 삼각비를 이용하여 식을 세우게 된다.

이는 요인들의 관계를 추측하고 그 요인들을 수학적으로 해석하여 현상에 적합한 모델을 구축하고, 적절한 수학적 분석을 그 모델에 적용하는 단계에 해당된다.

③ 끝으로 지문의 5단계에서 실생활 건물 높이 구할 때 관련되는 요소들에 대한 결론을 도출한다.

이는 결과를 얻고 현상에 맞도록 그 결과를 재해석하여 결론을 도출하는 마지막 단계에 해당된다.

Question 86

문제제기의 유형

Answer 86

(주그탐 새주뒤)

수용: ♦주어진 것**을 ♦**그대로 유지하면서 ♦탐구하여 문제를 제기하는 것.

도전: 문제 제기의 두 번째 단계로 ♦새로운 방향**으로 _**나아가기 위하여** ♦주어진 것을 ♦뒤집어 보고_, **거꾸로 해보고**, **조금 변형해보는 단계.

Question 87

문제제기- 계획단계에서의 문제제기

Answer 87

(수유재단)

문제를 해결하기 위한 ♦수단으로써 ♦유사한 새로운 문제를 생각해보는 것으로 원래의 문제를 ♦재해석하게 되고 원래의 문제를 해결할 수 있는 ♦단서가 생기게 된다.

Question 88

문제제기- 반성단계에서의 문제제기

Answer 88

(결관의생)

♦결과를 이용하여 새로운 문제를 만들어보는 것으로 원래의 문제를 이전과는 전혀 다른 새로운 ♦관점에서 볼 수 있게 함으로써 그 ♦의미를 보다 명확하게 이해할 수 있게 할 뿐만 아니라 그로부터 새로운 ♦생각을 하게 하기도 한다.

미지인 것과 자료, 조건의 역할을 바꾸거나 일반화, 특수화, 유추 등을 통해 문제를 제기한다.

Question 89

문제제기가 갖는 수리철학적인 의미

Answer 89

준경험주의, 구성주의

Question 90

문제제기의 역할과 중요성 (기출2번) (수학교육적 의미)

Answer 90

(특탐이종낮긍)

첫째, 창의적 능력이나 ♦특별한 수학적 능력의 발현에 도움을 준다.

둘째, ♦탐구 지향적인 학습 태도를 길러준다.

셋째, 학생들의 수학에 대한 ♦이해 정도를 파악할 수 있는 수단이 된다.

넷째, 학생들에게 이미 배운 지식을 ♦종합적으로 이용할 수 있는 기회를 제공한다.

다섯째, 학력 수준이 ♦낮은 학생들에게도 의미 있는 수학 학습 활동을 제공한다.

여섯째, 수학에 대한 ♦긍정적인 성향을 함양시키는 수단이 된다.

Question 91

적절한 발문과 발문의 긍정적인 효과

Answer 91

(긴관**) (**과정 비수관)

교사는 적절한 ♦_긴장감_을 불러일으키고, _적극적인_ ♦관심을 유발시키는 질문과 조언을 해야 한다.

① 학생들은 발문에 답하는 ♦_과정_을 통하여 _자신의 생각을 분명히_ ♦정리할 기회를 얻는다.

② 다른 학생들의 생각**과 _**자신의 생각**을 **♦****비교해보고 차이점을 파악**_하여**자기 생각을 ♦수정**하고,**이미 알고 있는 것**과**새로 배우게 되는 지식사이의 ♦관계를 구성해 나갈 수 있다.

Question 92

부적절한 발문과 그 문제점

Answer 92

(구일**) (**암해미)

지나치게 ♦_구체적이고 특수한 발문_이나 _지나치게_ ♦일반적인 발문이나 권고는 가급적 사용하지 않는 것이 바람직하다.

첫째, 발문에 함의된 ♦암시를 이해하지 못하는 학생도 있다.

둘째, 학생들이 ♦해야 할 것을 거의 남겨 놓지 않는다. (토파즈 효과)

셋째, ♦미래에 다른 문제를 해결하는 데 별 도움이 되지 못한다.

Question 93

What if not 전략

Answer 93

(출속__W__제분**) (**구의새해)

① ♦출발점 선택하기

② ♦속성 열거하기란 문제를 ♦구성하고 있는 요소나 속성을 모두 열거해보는 것이다.

③ ♦What if not 전략 수행하기란 (속성 부정하기) 전 단계에서 열거한 속성이 ‘만약 그렇지 않다면 어떻게 될 것인가’라는 ♦의문을 가져보는 것이다.

④ 문제 ♦제기하기란 전 단계에서 생각한 의문을 기초로 ♦새로운 문제를 만들어보는 것이다.

⑤ 설정된 문제 ♦분석하기란 새로 만든 문제를 분석하거나 ♦해를 구하는 것이다.

Question 94

공리적 방법

Answer 94

(직공다)

인간이 ♦직관적으로 자명하게 참으로 인정하는 사실을 ♦공리와 공준으로 상정한 다음, 공리와 공준으로부터 ♦다른 모든 수학적 명제를 이끌어내는 방법이다.

Question 95

종합적 방식과 분석적 방식

Answer 95

(찾완선**) (**증풀)

실제로 증명 방법을 ♦찾고 증명을 ♦완성하는 과정은 가정에서 결론으로 ♦선형적으로 이루어지지 않는다. 분석적 방식을 도입해서 ♦증명방법을 찾을 수 있는 기회를 주고 ♦풀이계획을 발견하고 난 뒤, 그 계획을 실행하는 과정인 종합적 방식을 지도해야 한다. (증명방법 정리)

Question 96

분석적 방식

Answer 96

(결거가)

♦결론에서 시작하여, 그 결론이 참이기 위해서 성립되어야 할 선행조건들을 ♦거슬러 올라가면서 ♦가정과 연결시키는 사고방식이다.

Question 97

종합적 방식

Answer 97

(공선)

♦공준이나 공리, 정의에 근거해서 가정으로부터 결론을 이끌어내는 ♦선형적 방식이다.

Question 98

분석적 방식- 충분조건을 찾아가는 분석

Answer 98

(일)

♦일반적인 증명문제 (다만, 중고등학교의 대부분의 문제는 양방향이 다 성립)

결론이 참임을 “가정하자”로 시작해서 “이것이 성립하기 위한 충분조건은__~~~” _로 진행_하는 것이다. _“__이는 문제의 조건에 의해 성립한다__”__라고 끝맺는다__._

Question 99

분석적 방식- 필요조건을 찾아가는 분석

Answer 99

(방도)

♦방정식 풀이, ♦도형의 작도

“등식이 성립한다고 가정하자”로 시작해서 “~~~는 처음 식이 참이 되기 위한 필요조건이다”로 진행하는 것이다.

(무연근은 필요조건에만 해당하는 것)

Question 100

파푸스의 분석법이 증명을 학습하는 학생들에게 매우 큰 혼란을 야기할 가능성

Answer 100

(증다원**) (**혼오**) (**결반완신)

학생들은 ♦증명해야 할 원래 명제의 결론**을 ♦**다시 ‘__가정__’__해야 하는 상황**에서 ♦**원래 명제의 가정과 혼동하는 어려움**에 직면하게 된다. “원래 명제의 가정이 있는데, 결론을 가정한다는 것이 무슨 말인가?”하고 ♦혼란스러워 한다. 그렇지 않아도 가정과 결론을 혼동하여 결론을 증명과정에서 사용하는 ♦오류를 보이는 학생들이 많은데 이러한 “**결론이 참인 것으로 가정하면**”이라는 표현은 매우 큰 어려움을 줄 수 있다. (**‘A__이면 B__이다__.’ 형태의 명제 해석의 어려움과 관련)

따라서 “♦결론이 성립하기 위해서는 먼저 무엇이 성립해야 할까__?**”(선행조건은 무엇인가?)로 ♦**반문**하여 _**분석법을 다소** ♦완화시켜 적용할 필요가 있다. 즉, ♦신중한 교수학적 변환의 필요성_**이 있다.

Question 101

증명

Answer 101

(정 추추반의**) (**참자타일)

보통 수학에서 ‘증명**’이라는 용어는 ‘**연역적 추론을 통해 어떤 명제가 참임을 밝히는 것’으로 규정한다.

그러나 2009__개정 교육과정**부터는 ‘♦**정당화**’라는 단어로 대체하여, **성취기준**을 “**이해하고 설명할 수 있다__.**”로 서술한다. ♦**추측활동을 강조**하고 ♦**추론능력**을 신장시키는 것을 목표로 한다. (+ ♦**반성적 사고**, ♦**의사소통 능력의 향상)

(_학생들_이 증명 학습을 매우 _어려워하며_ 증명 학습의 어려움으로 인해 수학을 _포기하게 된다_는 _세간의 문제 제기를 반영_한 것)

(그러나 거의 다른 모든 국가는 중학교 기하영역에서 증명을 적극적이고 명확하게 다룬다.)

정당화**란 어떤 수학적 명제가 ♦**참임을 주장하는 것**으로, ♦**자신의 주장 또는 믿음**을 ♦**타인에게 이해시키려는 시도**를 의미한다. 따라서 이러한 시도는 ♦**일정 수준의 객관성을 담보할 수 있어야 한다.

Question 102

학생들의 증명학습 실태 (09모의-2차)

Answer 102

(증__A 정기시) 실태-원인-해결방안(대안)

(탐시 종 이암분**) (**정결문 형곧 점과결**) (**익 필정조정증**) (**신상더 점)

① ♦증명 방법의 어려움

학생들이 증명 방법을** ♦**탐색하지 못하고 증명을 전혀** ♦**시도하지 못하는 상황**은 증명을 ♦**종합적 방식으로만 지도하는 데서 그 원인을 찾을 수 있다.

이는 증명이 ♦이미 존재하는 것**이므로 ♦**암기할 수밖에 없다는 압박감을 준다.

따라서 증명 지도에서 ♦분석적 방식을 과감하게 도입하여야 한다.

② ‘**♦**A__이면 B__이다__.’ 형태의 명제 해석의 어려움

(점진적인 도입&다양한 형식의 변형) (파푸스의 분석법과 관련) (발견의 맥락과 정당화의 맥락이 통합된 증명의 지도방안과 관련)

이러한 형태에서 가정과 결론의** ♦**정확한 의미**를 알지 못하므로 ♦**결론을 증명 과정에서 임의로 이용**하거나 ♦**문장 전체를 증명과정에서 다시 진술하는 인지장애를 나타낸다.

이는 ‘A이면 B이다.’ 형태의 문장에서 가정과 결론**을 _**단지** ♦형식적으로만 ♦곧바로 지도_**하기 때문이므로

다소** ♦**점진적으로 지도할 필요**가 있다. 따라서 ♦**과정지향적인** ‘**증명 문제**’를 학생들이 익숙해져 있는 ♦**결과지향적인** ‘**보통 문제’의 조건에 해당하는 가정만을 제시하고 가정으로부터 성립될 수 있는 결론을 스스로 탐색하게 함으로써, 탐색된 결론이 어떻게 성립할 수 있는가를 조사하는 과정에서 증명이 자연스럽게 필요해지도록 하자는 것이다.

(평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기가 같음을 설명해보아라.) ⇒ (두 쌍의 대변이 평행한 사각형에서 각에 대한 사실을 말해보시오. → 그렇다면 확인해보아라.)

③ ♦정당화수단으로서의 증명의 한계

학생들은 이미 참인 것으로 알고 있는 ♦익숙한 사실을 왜 증명해야 하는가에 대해 의아해한다.

이런 상황을 극복하기 위해서는 증명의** ♦**필__요성**이 _**자연스럽게 부각**_될 수 있도록 ♦**정__당화수단으로서의 증명**과 함께 ♦**조__직화수단으로서의 증명을 지도할 필요가 있다. (국소적 조직화)

즉, ‘**♦**정의__’__가 아닌 ‘__정의하기__’**와 _**‘**♦증명__’__이 아닌_ ‘__증명하기__’**를 학생들이 경험할 수 있도록 지도해야 한다.

④ ♦기호 사용의 어려움

(van Dormolen의 구분) ‘♦신호로서의 기호**’에 익숙해져 있는 학생들에게 ‘♦**상징으로서의 기호**’인 증명에서의 기호가 그렇지 않아도 **어려운 증명을** ♦**더욱 어렵게** 하는 요인으로 작용한다. (_개념의 의미_와 _개념들 사이의 관계_까지 생각하면서 증명을 수행해야 하는 **복합적인 사고)

따라서 증명에서의 기호**를 _**더** ♦점진적으로 도입할 필요_**가 있다. 예를 들어, 가정과 결론, 증명을 말로 설명해본 다음에 그것을 다시 기호로 나타내도록 지도하는 방안이 있다.

⑤ 증명 방법 탐색** ♦**시간의 부족

Question 103

조직화수단으로서의 증명지도의 의미

Answer 103

(전 조유참 과필)

어떤 명제가 참임을 증명하기 ♦전에 명제의 ♦조건으로부터 어떠한 결론이 ♦유도되는지 그리고 그러한 결과가 ♦참임을 어떻게 확인할 수 있는 지를 논의하고 그러한 ♦과정에서 증명할 ♦필요성을 학생들이 느끼도록 도와야 한다는 것이다.

Question 104

증명지도 개선방안 (내 생각)

Answer 104

(가조결**) (**필분국종)

♦가정에 해당하는 ♦_조건_을 찾아보게 하고, 이 조건으로부터 _성립할 수 있는_ ♦_결론_을 발견하도록 한다. 이때 특정 결론에 대해 _증명의_ ♦필요성이 부각되어 인식되면, ♦분석적 방식과♦국소적 조직화를 거쳐 ♦종합적 방식으로 마무리하는 방식으로 지도한다.

Question 105

연역적 추론

Answer 105

(일정새)

♦일반적인 명제**로부터 _**특수한 명제**를 이끌어내는 추론으로, **♦****정의**,정리,공리,공준,이미 참이라고 알려진 성질_을 이용하여♦**새로운 참인 명제를 이끌어내는 것이다.

Question 106

귀납적 추론

Answer 106

(관몇전 발개참)

♦관찰, 실험, 측정, 구체적 조작 등을 통하여 ♦몇 가지 사례에 대해 어떤 명제가 참임을 보인 다음에, 이 사례들이 속한 ♦전체 범주의 대상들에 대해 그 명제가 참임을 주장하는 것이다.

수학적 ♦발견에 중요한 수단이며 ♦개연성이 높은 추론 방식이기는 하지만, 수학적 참을 절대적으로 보장하지는 못한다. 따라서 귀납추론에 의해 발견된 수학적 주장이나 수학적 추측에 대해서는 반드시 증명을 통해 수학적 ♦참임을 확인하려는 시도를 해야 한다. (정당화 과정)

(귀납추론이 참이 아닌 예로는 피보나치 수열이 있다. 2,3,5,8,13,… 계차수열이 공차가 1인 등차수열이라고 판단.)

Question 107

유비추론 (유추, 유추적 사고)

Answer 107

(연논보)

A라는 대상과 B라는 대상이 서로 유사할 때, A에서 성립하는 성질 P(A)와 유사한 성질 P(B)가 대상 B에서 성립할 것이라고 주장하는 것이다.

귀납추론과 마찬가지로 개연성이 높은 추론이지만, 절대적으로 참인 명제를 이끌어내지는 못한다. 그러므로 유추에 의해 주장한 성질에 대해서는 그 성질이 수학적으로 참인가를 ♦연역적 추론으로 증명을 수반하거나 엄밀한 ♦논리적 추론을 전개하여 ♦보완해야 한다.

Question 108

유비추론의 특징

Answer 108

(해도반일)

어떤 문제를 ♦해결하는 데 있어서 유사한 문제풀이를 통해 ♦도움을 받을 수도 있고, 여러 번의 ♦반복적 유추를 통해 ♦일반화를 가능하게 한다.

Question 109

유비추론의 보완해야 할 측면

Answer 109

(불진오)

첫째, 유추적 사고의 전개 과정이 갖고 있는 사고의 ♦불명료성과 비논리성의 측면을 보완해야 한다.

둘째, 유추적 사고를 통하여 도달한 결론의 ♦진위가 불확실한 측면을 보완해야 한다.

셋째, 유추적 사고에 의한 ♦오개념 생성 가능성의 측면을 보완해야 한다.

Question 110

유추를 폴리아의 문제해결 4단계 이론에 따른 문제해결 지도에 활용하는 방안

Answer 110

(유사 응새)

첫째, 계획수립단계에서 문제를 해결하기 위해 ‘♦유사한 문제를 생각해 보아라.’ 와 같은 유추적 ♦사고를 일으키는 발문을 할 수 있다.

둘째, 반성단계에서 주어진 문제의 ♦응용상황을 고려하여 ♦새로운 문제를 찾아 해결할 때 유추를 활용할 수 있다.

Question 111

유추의 사례

Answer 111

(11__기출__-2__차)

ⓞ 삼각뿔의 부피 (신론)

① 피타고라스정리 관련** (**유추를 통한 일반화) (신론)

② ‘평면의 삼각형의 무게중심은 중선의 교점이다.’ → ‘공간의 사면체의 무게중심은 중면의 교점이 무게중심일까?’

(_중면_은 _부피를 이등분_하는 것으로, 한 꼭짓점마다 중면은 3개가 있고 이 중면들의 교점이 중선이다. 따라서 _4__개의 중선의 교점_이 무게중심이다.)

③ _중점연결정리_와 _평행사변형_ (02기출)

④ _직각삼각형_에서 _변의 길이_ 사이의 관계 → _직각사면체_에서 _면의 넓이_ 사이의 관계

Question 112

공리적 방법, 연역적 추론, 종합적 방식

Answer 112

공리적 방법은 연역적인 추론 방식으로 기술되는 유클리드 원론의 방식을 말하는 것이다.

(방대한 내용과 함께 수학적 명제를 체계화한 방법으로, 유클리드 원론의 수학사적 의의라 할 수 있다.)

연역적인 추론은 일반적인 증명을 말하는 것으로 귀납적 추론, 유추, 은유와 같은 추론의 종류이다.

종합적 방식은 분석적 방식과 함께 연역적인 추론(증명)의 한 방식이다.

Question 113

연역적 추론 방식의 단점

Answer 113

(진기고)

학생들에게 ♦진정한 수학적 사고 활동으로서의 증명을 지도하지 못하고 증명의 기록에 불과한 ♦기성의 수학을 단지 외부적으로 부과함으로써, 형식적이고 빈약한 증명 교육을 ♦고착시킬 위험이 있다는 것이다.

(형식적 엄밀한 증명과정에서 기호 사용, 논리 규칙 사용 방법의 어려움) (정당화방법이 연역적 증명만 존재한다고 생각)

Question 114

증명 지도시 종합적 방식의 문제점

Answer 114

(왜역**) (**맥추 결제)

증명이 ♦왜 그런 모습으로 나타나게 되었는지 수학적 지식의 발생과정을 경험할 수 없으며, ♦역동적 추론 과정으로서의 증명의 심층적인 측면을 보여주지 못한다.

(유클리드 원론의 종합적 방식의 문제점은 유클리드가 원론을 저술하는 과정에서 경험하였을 즉, 발견의** ♦**맥락에서 무수한 수학적** ♦**추론 과정**을 보여주지 못하고 _**다만**, **수학적 사고의** ♦결과만을 세련된 형식으로_ ♦**제시하면서 고상하고 우아한 표현방식을 보여줄 뿐이라는 것이다.)

(⇒ _분석법_과 _국소적 조직화_를 통해 _발견의 맥락과 배경_을 충분히 드러내야 한다.)

Question 115

분석법을 고려하지 않고 종합법으로만 증명을 지도할 때 생길 수 있는 문제점

Answer 115

(주)

풀이 계획을 발견하는 과정 없이 그 계획의 실행이 이루어지므로 ♦주체의 능동적인 사고활동이 이루어지지 못할 수 있다.

Question 116

분석법과 종합법을 함께 이용하는 활동의 수학교육적 의의

(활동적인 연역적 추론으로서의 증명)

(바람직한 증명 교수·학습방법)

Answer 116

(발역)

수학적 지식의 ♦발__생과정**을 경험할 수 있으며, 분석적 방식을 통해 _**증명 방법을 찾고** 종합적 방식으로 **증명 방법을 정리**_하는 ♦**역__동적인 추론 과정**으로서의 _**증명의 심층적인 측면**_을 학생들에게 경험할 수 있게 할 수 있다. (**진정한 수학적 사고 활동**) (**증명의 수행에 대한 자신감)

Question 117

기하교육에서의 증명 교수·학습

Answer 117

(필한)

기하교육에서의 정당화는 형식적이고 엄밀한 증명 대신 추측(추론활동)을 강조한다.

그 장점은 정확한 용어와 기호의 사용, 복잡한 형식 논리 규칙의 이용의 어려움을 줄여준다.

그 단점은 증명할 ♦필요성을 인식하지 못하는 정당화수단으로서의 증명의 ♦한계를 드러낸다.

따라서 정당화수단으로서의 증명과 함께 조직화수단으로서의 증명을 지도할 필요가 있다.

Question 118

문제해결의 전략

Answer 118

(예표그 식규거 단특유간**) (**예식규**) (**답조반 모보 주어확)

♦예상과 확인, ♦표 만들기,♦그림 그리기, ♦식 세우기,♦규칙성 찾기, ♦거꾸로 풀기,♦단순화하기, ♦특수화하기,♦유추하기, ♦간접증명법 (귀류법, 분할법, 동일법)

① ♦예상과 확인**:**문제의 ♦답을 미리 예상**해보고 그 답이**문제의 ♦조건에 맞는지 확인**해보는**과정을 ♦반복하여 문제를 해결해 나아가는 전략이다.

② ♦식세우기: 거의♦모든 수학문제에서 수반되는 가장♦보편적인 문제해결전략이다.

③ ♦규칙성 찾기: 문제에♦주어진 조건이나 관계에서 분석하여 ♦어떤 규칙성**을 찾아내고**이 규칙성을 ♦확대하여 적용해 감으로써 문제를 해결하는 전략이다. (단순화하기는 규칙성 찾기와 관련되는 경우가 많다.)

Question 119

종합적 방식 ⇔ 분석적 방식

Answer 119

증명방법을 잘 모를 때 (발견과 정당화 맥락의 통합)

Question 120

전반적 조직화 ⇔ 국소적 조직화

Answer 120

증명할 필요성을 느끼지 못할 때

Question 121

베르트하이머의 형태심리학 (교육학, 수교론)

Answer 121

(부상전**) (**관 모구게내규)

학습자는 학습상황에서 ♦부분을 보는 것이 아니라** 각 **부분의** ♦**상호관계의 맥락** 속에서 ♦**전체를 지각한다.

♦관계적 결정원리**란 전체는 요소의 단순한 ♦모자이크적인 집합이 아니며 그 자체를 ♦구조화하여 ♦**게슈탈트를 형성**하고 ♦**내적관련성을 보유하며 부분은 그 전체에 의해 ♦규정되어 있다는 것이다.

Question 122

지각경향성 (교육학)

Answer 122

(근유폐연 가유미방)

첫째, ♦_근접의 법칙이다. ♦가까이에 있는 요소_들은 _멀리 떨어져있는 동일한 요소_들보다 _뭉쳐져 지각_된다. 양과 오리.

둘째, ♦_유사의 법칙이다. ♦유사한 요소_들은 _상이한 요소_들과 _등거리_에 있을 때 _유사한 것끼리_ 뭉쳐져 지각되는 경향이 있다. R과 Z.

셋째, ♦_폐쇄의 법칙이다. ♦미완성 그림_이 _완성된 그림_으로 보이는 경향이 있다. 원과 말.

넷째, ♦연속의 법칙**이다. 요소들이 _**선행요소들의** ♦방향_으로 **계속되는 것처럼** 보이며, **서로 연결된 것으로 본다. 곡선과 직각의 그림.

Question 123

생산적사고

Answer 123

(구사기통**) (**사내**) (**생구폴)

생산적사고**는 ♦**구조적 이해**를 _**기초**_로 하는 사고로서 ♦**사실**이나 _**규칙**_에 대한 ♦**기계적 암기**가 아닌 ♦**통찰에 기초한 이해를 하는 사고이다.

생산적사고과정**은 분리, 분류, 조직화 등의 ♦사고조작을 통해 문제의 ‘♦**내적인 구조적 관련성’을 파악해 나가는 것이다. (기능적 동질성 이해) (평행사변형 넓이 문제)

형태심리학에서 말하는 ♦_생산적 사고를 어떻게 불러일으킬 수 있는 것인지, ♦구체적인 지침이 바로 ♦폴리아_의 _발문과 권고_이다. 즉, 문제해결에 대한 통찰력(생산적 사고)를 활성화시킨다. (우회한다는 공통점 <=> 연합주의)

_통찰_이란 부분을 전체와 관련시켜 _목표달성_을 위한 _도구_로 사용하여 문제를 해결하는 _심리과정_을 의미한다.

Question 124

연합주의 쏜다이크 ‘효과의 법칙’ (연결주의)

Answer 124

(결만불)

어떤 자극과 반응** 사이의 ♦_결합이 형성되고, ♦만족스러운 결과_가 수반되면 자극-반응의 결합의 강도는 _증대되고, ♦불만족스러운 결과_가 수반되면 자극-반응 결합이 **약화된다. (Bond)

Question 125

연합주의와 형태주의

Answer 125

(과해 새창**) (**구창아)

연합주의자들이 ♦_과거의 경험으로부터의 ♦해결 습관들의 응용에 관심이 있는 반면에 (연결을 수립_하기 위한 _많은 문제_에 대한 반복적 훈련) (연결주의)

형태주의자들은 ♦_새로운 상황들에 대한 ♦창의적_이고 _신기한 해결_들에 관심이 있다.

결과적으로 베르트하이머의 생각은 _문제에 대한 구조적 통찰_을 통하여 _창의적_으로 _해결_할 수 있는 _아이디어를 제공_하는 것으로 해석할 수 있다. (초점은 통찰력!)

Question 126

피아제 기본입장

Answer 126

(기적환유인 능 평 동조적평인)

인간은 타고난 ♦_기본적인 쉠_을 _바탕으로 ♦적응 기능에 의하여 ♦환경과 상호작용하는 가운데 보다 ♦유연하고 포괄적인 인지 쉠을 구성함으로써 ♦인지 구조_를 _변화_시켜 간다.

(학습자는 기본적으로 인지구조를 가지고 있으며 ♦능동적이므로 사회적, 물리적 환경과 사회작용을 통해 스스로 지식을 구성한다.)

자신의 기존 인지구조**에 새로운 개념이나 지식이 들어올 때, _**같으면 평형화상태**_이고, _**다르면 불평형상태**_이다. 이 때, _**불평형상태를 해소**_하기 위해 ♦**평형화욕구가 일어난다.

자신의 기존 인지구조에 새로운 개념을 포함하는 과정**인 ♦**동화**와 자신의 인지구조를 _**변화하는 과정**_인 ♦**조절**이라는 ♦**적응기능**을 통해 ♦**평형화**가 이루어지고 ♦**인지발달이 일어난다.

Question 127

피아제의 인지발달단계

Answer 127

(감전구형**) (**대 물자 가보 추가자)

1) ♦감각운동기(~2세): ♦대__상영속성
2) ♦전조작기(2~7세): ♦물__활론적 사고**, ♦**자__기중심성 (가역성의 결여) (조작의 결여) (조작: 내면화된 가역적 행동)
3) ♦구체적조작기(7~12세): ♦가__역적사고**, ♦**보__존개념 (구체적 대상)

(전도나 부정**에 의한 가역성, _**상반**_에 의한 가역성) (**취소** 느낌, **차이 보정 느낌)

4) ♦형식적조작기(12세~) (언어적 명제)

① ♦추__상적사고(반영적추상화): 내적 성찰과정을 통해 지식을 새로운 장면에 쉽게 적용할 수 있다.

② ♦가__설__-__연역적사고: 문제해결을 위해 가설을 설정하고 그 가설 검증을 통해 결론을 도출할 수 있다.

③ ♦자__기중심적사고 (상상적 관중, 개인우화)

청소년기는 급격한 신체적 변화로 인해 자신의 외모와 행동에 지나치게 몰두한 나머지 다른 사람들도 자신에게 그만큼의 관심이

있다고 착각하는 경우가 많다.

Question 128

경험적 추상화

Answer 128

(외일)

♦외부대상이 갖는 성질로부터 ♦일반화된 지식을 끌어내는 것이다.

Question 129

의사경험적 추상화

Answer 129

(활확)

♦활동으로부터 구성이 이루어지지만 그 구성결과의 ♦확인은 외부대상에 대해 행해지는 것이다.

Question 130

반영적 추상화

Answer 130

(활일**) (**자심내**) (**조사반**) (**이대보수)

♦활동에 대한 ♦일반적 조정으로부터 이루어지는 것이다.

수학적 지식의 ♦자주적인 구성을 가능하게 해주는♦심리적 매커니즘으로, 동화와 조절에 의한♦내면화된 자주적 활동을 의미한다. (조작활동+ 반성)

• 조작적 구성주의** 관련: **자신의 ♦조__작 활동을 ♦사__고의 대상으로 의식화하여♦반__성하는 활동이다.
• 반성단계 관련: ♦이__전에 구성한 지식 및 문제해결 과정**을**사고의 ♦대__상으로 삼아 ♦보__다 수준 높은 형식을 구성하여♦수__준의 비약이 일어나는 것이다.

Question 131

반영적 추상화 과정 (메커니즘)

Answer 131

(상나)

반사와 반성이라는 두 가지 ♦상보적인 과정의 ♦_나선적 교대_에 의하여 진행되는 것으로 _내용_을 새로운 _형식_으로 구성해내는 것이다. (수준의 상승)

Question 132

반사

Answer 132

전 단계에서 얻은 것을 보다 상위의 단계로 옮긴다고 하는 것의 의미로 내면화와 주제화가 이루어진다. (_감각 운동적 움직임에서 출발_하는 _일련의 행동을 내면화_하여 _개념화의 시초인 표상으로 투사_하는 것이다.)

Question 133

반성

Answer 133

(반균형 재결 인)

♦반사된 것을 동화와 조절의 ♦균형화 과정을 통해 새로운 ‘♦형식’으로 구성하는 것이다. 전 단계에서 이전된 것을 새로운 면에서 ♦재구성하거나 혹은 거기에 이미 놓여져 있는 것과 전 단계의 요소를 ♦결합시킨다는 의미이다. (균형화과정을 통해 ♦인지적 불균형의 해소)

Question 134

내면화

Answer 134

(행어의결)

♦행동이 내면화되었다는 것은 행동과 관련된 ♦어떤 내적 구성이 이루어져서 이를 통해 행동을 ♦의식하고 그 행동을 다른 행동과 ♦결합할 수 있게 하는 것이다.

Question 135

주제화

Answer 135

(하상)

♦하위단계에서 사고의 도구였던 것이 사고의 대상이 되는 것으로, ♦상위단계**에서**반성을 가능하게 한다.

Question 136

동화

Answer 136

(기외고가)

자신의 기존 인지구조에 새로운 개념을 포함하는 과정이다. (고양이-고양이-고양이)

♦기존 인지체계에 의해 ♦외__부 자료를 해석**하는 것으로, 기존의 _**어떤 인지구조를 ♦고__수**하면서 **♦****가__능한 한 넓은 범위의 상황**_을 그에**종속시키려고 시도하는 보수적 기능이다. 즉, 기존의 인지 구조에 의한 대상의 해석이다.

Question 137

조절

Answer 137

(외참당조)

자신의 인지구조를 변화하는 과정이다. (고양이-호랑이)

♦외부자료의 구조를 ♦참__작하는 것으로,♦당__면한 문제를 해결하기 위해 자신의 스키마를 ♦조__절**,**분화**하는**적응기능이다. (인지적 불균형을 해소하기 위해서)

Question 138

지문의 학생의 수준변화를

피아제의 균형 이론의 관점에서

동화와 조절의 뜻이 드러나도록 설명하시오.

Answer 138

(기동 새학조)

학생은 교사가 제시한 그림에 대하여 ♦기존의 접선개념(인지구조)을 바탕으로 대상을 해석하는 ♦동화를 하여 그림 1만이 접선이 된다고 답하였다. 이후 교사의 지도로 인해 ♦새로운 접선개념에 대한 ♦학습을 바탕으로 당면한 문제를 해결하기 위하여 자신의 인지구조를 조절, 분화하는 ♦조절을 하게 되었다.

Question 139

피아제의 인지심리학- 수학교육에의 시사점

Answer 139

(활구갈교**) (**본학여 구 일복균동)

첫째, ♦활동적 학습이다. 모든 수학적 지식 및 사고의 ♦본질은 조작이고 조작은 행동의 내면화의 산물이므로 ♦학습은 조작의 바탕이 되는 ♦여러 가지 활동 중심으로 구성되어야 한다는 것이다.

둘째, ♦구체적 조작의 강조이다. 학습자에게 ♦구체물을 다루는 경험을 충분히 제공할 필요가 있다는 것이다. (구체적 조작기 느낌)

셋째, 학습자가 인지적 불균형을 느낄 수 있는 ♦갈등 상황을 제공할 필요가 있다. ♦일시적 균형상태에 있는 학습자의 수준보다 조금 더 ♦복잡한 상황을 경험하게 함으로써 보다 높은 수준의 ♦균형을 위한 ♦동기를 부여할 필요가 있다는 것이다.

넷째, 학습자의 반성적 사고를 촉진하기 위한 ♦교사의 의도적 노력이 필요하다.

Question 140

A의 인지발달을 고려한 피아제의 입장과 브루너의 입장

Answer 140

피아제의 입장에서는 학생의 인지발달 단계에 맞추어 적절한 학습-지도가 이루어질 때 의미있는 학습-지도가 가능하다고 본다. 따라서 A 학생은 현재 구체적 조작기이므로 형식적조작기 학생이 해결할 수 있는 추상적인 두 수의 크기 비교가 불가능하다.

브루너의 입장에서는 어떤 교과내용이든 어떤 발달단계에 있는 어떤 아동이든 표현방법만 달리하면 효과적으로 지도할 수 있다고 본다. 따라서 A 학생이 어떤 인지발달 단계 인지보다 자연수와 정수를 나열하여 짝짓는 등의 방법을 이용하여 효과적으로 지도할 수 있다.

Question 141

피아제의 브루너의 차이점

Answer 141

(추 자인 전언 교한)

피아제는 구체적 조작기의 학생들에게 ♦추상적 내용은 학생의 인지수준을 벗어난 내용이므로 가르칠 수 없다고 본 반면,

브루너는 적절한 표상을 이용하면 누구에게나 가르칠 수 있다고 하였다.

피아제는 지식의 개인에 의한 ♦_자주적 구성_과 _조작을 강조하고, 학생에게 ♦인지 불균형_을 유발할 수 있는 _적절한 자극_의 중요성을 강조하지만, 이는 아동의 _현재 수준_에 문제를 제기하는 것이며 발달의 한계 수준에 관심을 기울이지 않는다. (균형화과정)

브루너는 교육적** ♦**전달**을 강조하면서 _**전달 수단**_으로서의 ♦**언어의 역할을 강조하고 있지만, 역시나 발달의 한계 수준을 언급하고 있지는 않다. (EIS이론)

비고츠키의 입장은 성인의 도움**을 통하여 학생들의 _**발달 수준**_을 향상시킬 수 있다는 점에서 ♦**교사의 지도**에 의한 _**학교교육의 중요성**_을 뒷받침한다고 볼 수 있고, 아동의 _**능동적 활동** 못지 않게 **다른사람의 도움**_이나 _**모방**_과 이에 대한 _**내면화 활동**_을 강조하고 있으며, 잠재적 발달 수준이라는 _**발달의** ♦한계 수준_에 **관심을 기울인다는 점에서 독특하다고 할 수 있다.

Question 142

브루너

Answer 142

(지현발__E)

♦지식의 구조라는 개념을 통해 수학교육 ♦현대화 운동의 이론적 배경을 제공하였고, 이를 구현하기 위한♦_발견학습_을 주장하였으며 _피아제의 인지발달단계이론_에 기초하여 ♦EIS__이론을 제안하였다.

Question 143

브루너 수학교육의 목적

Answer 143

수학적 안목의 형성

Question 144

지식의 구조

Answer 144

각 학문의 기저를 이루고 있는 핵심적인 개념과 원리이다.

Question 145

브루너 지식의 구조 지도의 이점

Answer 145

(이기적중**) (**기파 세구 기훈 성재간)

첫째, (♦이해) ♦기본적 사항을 이해하면 내용을 훨씬 쉽게 ♦파악할 수 있다.

둘째, (♦기억) ♦세세한 사항은 ♦구조화된 패턴 안에 들어 있지 않으면 쉽게 잊어버린다.

셋째, (♦적용**) ♦기본적인 원리나 아이디어를 이해하는 것은 **적절한** ♦**훈련의 전이를 가능하게 하는 가장 주된 방법이다.

넷째, (가장** ♦**중요**) 초등학교와 중등학교에서 가르치는 **학습 자료**가 어떤 _**기본적인** ♦성격_**을 나타내고 있는가를 끊임없이 ♦재조사함으로써 고등 지식과 초보적인 지식 사이의 ♦간격을 좁힐 수 있다. (학자들이 하는 일과 본질상 동일한 일!)

Question 146

브루너의 EIS이론

Answer 146

(어__3 지교**) (**운 도그 기)

♦어떤 영역의 지식도 다음과 같은 ♦3가지 과정으로 표상해낼 수 있다. 아동의 ♦지능발달이 다음과 같은 순서로 이루어지기 때문에 ♦교수-학습 경로도 같은 순서로 이루어져야 한다.

① 활동적 표현: 적절한 ♦운동적 반응**을 통하여 표현하는 것이다. (**실물**을 통한**신체적 동작)

② 영상적 표현: ♦도식을 이용하여 표현하는 것으로,♦그림이나 모형으로 지식을 이해하는 것이다.

③ 상징적 표현: ♦기호나 문자식으로 지식을 이해하는 것이다.

Question 147

비고츠키

Answer 147

(지형재학)

♦지식**이란 한 사회 집단에 _**누적된** 역사적, 문화적 **♦****형태**_로 존재하기 때문에 다른 구성원들과의**사회적 상호작용에 의해♦재구성되며, ♦학습**또한 이러한**상호작용을 통해 이루어진다고 하였다.

Question 148

피아제와 비고츠키 (자발적 개념과 비자발적 개념 관련)

Answer 148

(노현 어결)

비고츠키는 피아제가 자발적 개념과 비자발적 개념으로 구분한 것을 매우 높이 평가하고 있다.

자발적 개념은 아동이 주로 자신의 ♦노력을 통하여 발달시킨 ♦현실에 대한 개념이다.

비자발적 개념은 ♦어른의 영향을 ♦결정적으로 받은 개념이다.

이와 관련하여 피아제는 _발달_이 _교육_보다 선행한다고 보았고, 비고츠키는 _교육_이 _발달_보다 선행한다고 보았다.

Question 149

실제적 발달 수준

Answer 149

학생이 다른 사람의 도움 없이 독립적으로 문제를 해결할 수 있는 수준이다.

Question 150

잠재적 발달 수준

Answer 150

좀 더 지식이 풍부한 교사, 성인 또는 유능한 또래의 도움을 얻어 문제를 해결할 수 있는 수준이다.

Question 151

근접 발달 영역

Answer 151

(주내역)

실제적 발달 수준과 잠재적 발달 수준의 차이이다. 스스로 문제를 해결할 수는 없지만, 유능인의 도움을 받아 문제를 해결할 수 있는 영역이다.

♦주어진 시간 내에 가장 가까운 때에 나타날 행동을 의미하며, 잠재적 발달 수준이 ♦내면화되어 실제적 발달수준이 되므로 끊임없이 변화하는 ♦역동적인 것이다.

Question 152

근접 발달 영역의 단계 (갤리모어와 탑)

Answer 152

(도과내탈)

1단계는 유능한 타인의 ♦도움을 받아 과제를 수행하는 단계이고, (순종이나 모방의 단계) (전이를 위한 새로운 기회 제공) (학생이 과제 구성의 책임)

2단계는 학생 스스로 과제를 수행하는 ♦과도기적 단계이며, (자기주도성이 준비되고 실행되기 시작)

3단계는 과제 수행이 완전히 발달되어 ♦내면화, 자동화가 이루어지는 단계이고, (타인의 도움은 오히려 부정적 영향)

4단계는 새로운 능력의 발달을 위해 반복해서 근접 발달 영역이 순환되는 ♦탈자동화의 단계이다.

Question 153

비계설정

Answer 153

학습자가 주어진 과제를 잘 수행할 수 있도록 유능한 또래나 교사의 도움을 제공하는 자원을 일컫는 것이다.

Question 154

비계설정의 의의 (목적)

Answer 154

비계설정을 통하여 학생들이 스스로 문제를 해결할 수 있도록 교사가 도움을 적절히 조절하여 제공할 수 있으며, 이로써 근접 발달 영역 내에서 학습자의 자기조절능력을 증진시켜 스스로 과제를 해결할 수 있도록 도울 수 있다.

Question 155

비고츠키- 교사의 역할

Answer 155

(역비자)

① 잠재적 발달수준 파악 (♦역동적 평가)

② 적절한 ♦비계설정

③ 근접발달영역 내에서의 학습자의 ♦자기조절능력 증진

Question 156

스켐프의 학습이론 (95기출)

Answer 156

(자계**) (**추하)

피아제의 심리학을 _수학 교육에 적용_한 것으로, 동화, 조절에 의한 _스키마의_ ♦자발적 구성과정에 근거한다.

스켐프는 개념의 ♦계층론을 주장하여 학습에서의 준비성을 강조한다.

학습의 준비성이란 ♦추상화된 상위 개념의 학습은♦하위 개념의 형성을 토대로 함을 의미한다.

Question 157

스키마틱 학습

Answer 157

(기관)

♦기존의 스키마를 새로운 지식의 획득을 위한 수단으로 사용하는 학습으로 의미 충실한 학습이며, 참된 이해, 즉 ‘♦관계적 이해’를 가능하게 하는 학습이다.

Question 158

스키마틱 학습의 장점

Answer 158

(기적공흥)

① 더욱 효과적인 학습, 즉 ♦기억 능력이 월등히 높아진다.

② 그 분야의 장래 학습 과제**에 필요한 ♦**적응력** 있는 **정신적 도구를 준비해준다.

③ 계속적으로 사용**함으로써 스키마의 _**처음 내용**_을 더욱 ♦**공고히 해준다.

④ 대부분의 학생들에게 더욱 ♦흥미가 있다.

Question 159

스키마틱 학습의 단점

Answer 159

(독맞잘)

① ♦_독립된 과제_의 학습에서는 _더 오랜 시간_이 걸린다.

② 스키마에** ♦**맞지 않는 것은 학습하기 어렵게 한다.

③ 기존의 스키마가 ♦_잘못 형성_되어 있는 경우 그 다음 학습에 _심대한 영향_을 미친다. 잘못된 스키마틱 학습은 _망각률_이 _높은_ 기계적 학습보다도 _훨씬 더 위험_하다.

Question 160

관계적 이해

Answer 160

(무일특)

♦무엇을 해야 할지 그리고 왜 그런지를 모두 알고 있으면서 ♦일반적인 수학적인 관계로부터 ♦특수한 규칙이나 절차를 연역할 수 있는 상태이다.

Question 161

도구적 이해

Answer 161

(이암문)

♦이유는 모르는 채 ♦암기한 규칙을 ♦문제해결에 적용하는 것이다.

Question 162

관계적 이해와 도구적 이해의 장단점

Answer 162

(기적자질**) (**시특능**) (**보이필**) (**잊공동확)

Question 163

관계적 학습을 도구적 학습으로 대체하는 경우

Answer 163

(목꼭과)

① 학습♦목표를 달성하는 데 너무 많은 시간이 소요되는 경우이다.

② ♦꼭 학습해야 할 내용인데 그에 맞는 인지발달수준에 도달하지 못한 경우이다.

③ ♦과학 또는 다른 학과에서 수학적 지식을 이용하여 문제해결을 하는 경우이다.

Question 164

직관적 지능

Answer 164

(외수)

♦외부에서 얻은 자료의 인식이 ‘중재사고 활동’을 거치지 않고 ♦수용기를 통하여 이루어지는 지능이다.

Question 165

반영적 지능

Answer 165

(메과중자)

♦메타인지적 사고로서 ♦과정이나 이유를 묻는 질문에 답하는 데 ♦중재 사고 활동이 ♦자기 반성적 인식의 대상이 되는 지능이다.

Question 166

딘즈의 수학학습

Answer 166

(내 놀 구응통)

아동의 ♦내발적 동기**에 근거한 학습, 수학적 상황에서의 ‘♦**놀이**’로써 조직된 수학 학습, **수학적** ♦**구조**를 내포한 학습 상황에서의 수학적 구조의 구성 및 그 ♦**응용 학습**을 통해서 ♦**통합적 인격 형성에 기여하는 학습이다.

딘즈의 수학적 다양성의 원리와 지각적 다양성의 원리는 구성주의적 수업을 구현하기 위해서 고안된 것이다. (96기출)

Question 167

딘즈 개폐연속체 (혜향5회)

Answer 167

(형반추**) (**개형닫 분열재)

딘즈가 아동들의 개념** ♦**형성과정**을 설명하기 위해 도입한 용어로, 피아제의 ♦**반영적 추상화**를 통한 _**개념의** ♦추상화 과정_**에 비유할 수 있다.

이는 ♦개념 형성의 단계**를 거쳐 일단 ♦형성된 _**수학적 개념**_은 ♦닫힌 상태(폐)로 되지만, ♦**분석과 적용 과정**에서 ♦열린 상태(개)로 변하여 보다 _**객관적**_이고 보다 _**높은 수준**_의 ♦**재구성**이 이루어진다는 것이다. (**내용**→ **반사**→ **반성**→ **형식 느낌)

(수학적 사고의 본질: 구조화되어 가는 한없이 열려진 사고)

Question 168

딘즈의 수학개념 학습 과정

Answer 168

(구구 자규 소특명 추공 자수 추여)

① 1단계 자유놀이 단계**: 아동들은 ♦**구조화되어 있지 않은 조작이나 실험 활동** 등 많은 ♦**구체적인 자료를 자유롭게 대하는 시기이다.

② 2단계 게임 단계**: 아동들은 ♦**자유롭게 놀이**를 하는 가운데 _**점차로 어떤** ♦규칙성_**이 있다는 느낌을 갖게 되는 시기이다.

③ 3단계 공통성 탐구의 단계**: **놀이의** ♦**소재가 되는 여러 구체물** 속에 공통적으로 들어 있는 ♦**특정 개념의 수학적인 구조를 파악하기 시작하며, 게임 단계에서 감지되는 규칙성이 보다 ♦명확해지는 단계이다.

(93__기출)

f(x)에 대하여 f(1)=8, f(2)=6, f(3)=4, f(4)=2, f(5)=0 임을 알고, f(6)의 값을 구하는 활동.

(적절한 방법으로 표현하는 거라고 보기는 어렵다고 추측..)

④ 4단계 표현 단계**: 아동이 ♦**추상화 과정**을 통하여 _**파악한 개념의** ♦공통성_**을 적절한 방법으로 표현하는 시기이다.

⑤ 5단계 기호화의 단계**: 아동들은 ♦**자신만의 적절한 수단**으로 표현한 개념을 ♦**수학적인 기호를 이용하여 표현하게 된다.

⑥ 6단계 형식화의 단계**: 아동이 ♦**추상한 개념의 수학적인 구조를 파악**하고, 이 개념이 갖고 있는 ♦**여러 성질을 체계화하게 된다.

(10__기출)

Question 169

딘즈의 수학학습 원리

Answer 169

(형 예구실 필**) (**불명고**) (**분구상우**) (**성유구**) (**동개다)

① 역동적 원리: 수학적 개념 ♦형성을 위하여 ♦예비놀이 단계, ♦구조화된 놀이 단계, ♦실습 놀이 단계의 각각을 순차적**으로 _**적절한 시기**에 **♦****필수적인 경험**_으로서**제공하여야 한다는 원리이다. (이러한 3단계 놀이는 상대적인 것)

예비놀이 단계란 목표가 ♦불분명하며 그 자체로 즐기는 단계이고,

구조화된 놀이단계란 좀 더 방향이 정해지고 목적을 지향하지만 추구하고 있는 것에 대한 ♦명확한 인식은 없는 단계이며,

실습놀이 단계란 형성된 개념을 ♦고정시키고 적용하기 위한 단계이다.

② 구성의 원리: 아동은 ♦분석적 사고를 하기 훨씬 이전에 ♦구성적 사고**를 발달시키므로, 아동에게 제시하는**수학적 ♦상황**은**분석보다는 구성을 요구하는 것이♦우선되어야 한다는 원리이다.

③ 수학적 다양성의 원리**: **개념의 ♦성장을 돕기 위해 개념은 변하지 않게 ♦유지하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시킴으로서♦구조화된 경험을 제공해야 한다는 원리이다. (본질, 비본질)

④ 지각적 다양성의 원리: ♦동일한 개념을 형성하는 데 존재하는 가능한 모든♦개인차를 고려하는 방법으로서, 동일한 개념적 주제에 대한 ♦다양한 수단을 사용하여 가능한 한 많은 변화를 주자는 원리이다.

Question 170

딘즈의 구성의 원리를

위의 계획된 수업 상황과 연관지어 설명하시오.

Answer 170

(직 정)

구성의 원리란 아동에게 제시하는 수학적 상황은 분석보다는 구성을 요구하는 것이 우선되어야 한다는 것이다.

⑶에서 실험단계에 따라 직접 실험을 수행하고 종이다리의 수와 바둑돌의 관계로부터 일차함수 개념을 ♦직관할 수 있는 것은 구성의 과정에 해당하며 ⑷에서 이러한 활동에 대하여 그래프와 식으로 표현하고 일차함수를 직접 ♦정의해보는 것은 분석의 과정에 해당한다.

Question 171

위 수업을

딘즈의 구성의 원리와 관련지어 설명하시오.

Answer 171

(관만 성)

정다면체를 ♦_관찰해보고 전개도와 정다면체를 ♦만들어_보도록 하는 것은 _구성의 과정이고, 정다면체 모형을 보여주고 ♦성질을 말해_보도록 하는 것은 _분석의 과정_이다.

Question 172

피아제가 구분한 추상화의 세 가지와 관련하여

딘즈의 개념학습원리에 대한 비판점

Answer 172

(반경바)

딘즈의 개념학습원리에는 피아제가 반영적 추상화의 과정에 포함한 ♦반성의 과정이 포함되었다고 말하기가 어려우며 아동 활동의 조정으로부터의 추상화라기 보다는 놀이 대상이 갖는 성질의 추상화를 말하고 있다는 점에서 피아제의 용어로는 ♦경험적 추상화 수준에 머물러 있다고 할 수 있다. (프로이덴탈 관점에서는 ♦바__닥수준 느낌)

Question 173

유의미수용학습

Answer 173

(새기포**) (**활효**) (**3__기)

♦새로운 학습내용이 학습자의 ♦기존의 인지구조와 의미 있게 연결됨으로써 그 안으로 ♦포섭될 때 일어나는 학습이다. (인지구조는 유의미 수용학습을 촉진하는 가장 중요한 변인)

브루너의 _발견학습_을 _반성_하면서 등장하였으며, 지식을 습득하고 기억하며 조직하는 과정으로 _동화이론_을 정리하였다. 그리고 동화이론에서 가장 핵심이 되는 _인지구조_ ♦활용의 ♦효율성을 높이기 위하여, 선행조직자, 점진적분화의 원리, 통합적 조정의 원리 등을 언급하였다.

유의미학습은 논리적 유의미가, 잠재적 유의미가, 유의미학습 자세의 ♦3__가지 조건을 충족해야 하고, 이 조건들 중 어느 하나라도 부족하다면 상대적으로♦기계적 학습이 일어날 가능성이 높아진다고 보았다.

Question 174

유의미 수용학습 과정 (전제조건)

Answer 174

논리적 유의미가-> 잠재적 유의미가-> 유의미 학습 (심리적 유의미가)

Question 175

유의미 수용학습 과정- 논리적 유의미가

Answer 175

(실구**) (**새학임연)

실사성과 구속성을 갖춘 학습과제를 말한다. ♦실사성이란 어떻게 표현하더라도 변하지 않는 본질적 속성을 말하고, ♦구속성이란 ♦새로 배우게 되는 학습내용과 ♦학습자의 인지구조 사이의 관계가 ♦임의적이지 않다는 것으로, ♦연결될 수 있는 가능성과 잠재력을 소유해야 한다는 것이다.

Question 176

유의미 수용학습 과정- 잠재적 유의미가

Answer 176

(자관)

학습자가 새로운 학습 과제를 구속적이고 본질적인 방식으로 관련지을 수 있는 ♦자신만의 지식인 ♦관련정착아이디어를 소유하고 있는 것을 말한다.

Question 177

유의미 수용학습 과정- 유의미 학습 (심리적 유의미가)

Answer 177

(연유유**) (**잠)

학습자가 학습과제를 자신의 인지구조 내의 관련 항목들과 실사적이고 구속적인 방식으로 ♦연결하려 노력하는 ♦유의미 학습 자세를 가지고 있다면 그 결과 ♦유의미 학습이 일어난다는 것을 말한다. (♦잠__재적 거리: 관련 정착 아이디어와 새로운 지식 사이의 거리.)

Question 178

유의믜 수용학습의 종류와 방식

Answer 178

(포일인새) (상하병 파상) (구상 확수정 비)

포섭**; ♦포괄성과 ♦일반성이 **높은** ♦인지구조 내의 지식이 포괄성과 일반성이 **낮은** ♦새로운 지식을 통합하는 것으로, _새로운 과제_가 인지구조 속에 들어올 때 인지 구조에 존재하는 _기존의 개념들_과 **화합** 또는 **통합하는 과정을 의미한다. (피아제의 동화와 유사)

① ♦상위적 학습**: 새로운 학습내용이 인지 구조 내의 관련 내용보다 **상위의 내용일 때 일어나는 학습.

② ♦하위적 학습**: 새로운 학습내용이 인지 구조 내의 관련 내용보다 **하위의 내용일 때 일어나는 학습.

♦파생적 포섭**: 새로운 학습내용이 기존 인지 구조 내 관련 개념의 ♦**구체적인 예**이거나 이를 ♦**상세화하는 것일 때.

♦상호관련적 포섭**: 새로운 학습내용이 **기존 개념**을 ♦**확장**, ♦**수정**, ♦**정교화할 때. (평행사변형을 알고 마름모가 새로운 학습내용일 때)

③ ♦병위적 학습: 상위적, 하위적 지식이 아닐 때 (♦비유적인 경우)

Question 179

유의미 수용학습을 위한 교수·학습 전략

• 선행조직자

Answer 179

(새좀적**) (**이필갭돕활**) (**구특잠일**) (**구활촉)

♦새로운 개념을 학습하기 전에 제시하는 학습내용보다 ♦좀 더 일반적인 개념을 배열한 진술문으로서 ♦적절하게 관련되고 포괄적인 개요적 자료를 말한다.

(_요약_이나 _개관_은 자료의 특정한 부분만을 강조한 것으로 학습 내용을 반복하거나 단순화한 것이기 때문에 _선행조직자와_ _구분_되어야 한다.)

학습자가 ♦이미 알고 있는 것**과**알 ♦필요가 있는 것사이의♦갭을 연결함으로써통합적 조정의 원리**와**점진적 분화의 원리를 수행하도록♦돕는 교수학적 전략으로♦활용될 수 있다.

선행조직자는 ♦구체적인 학습과제의 ♦특정한 내용과 더욱 잘 관련 가능하도록 도우면서 동시에 ♦잠재적으로 내재한 정착 아이디어의 ♦일반적인 내용과 관련 가능하도록 돕는 역할을 한다. (따라서 학습자는 정착아이디어를 수정하여 본 학습내용의 학습을 촉진하게 된다.) (설명조직자, 비교조직자)

(선행조직자 제시의 목적**: **관련 정착 지식의 ♦구축** (정착 아이디어의 역할 수행), **스키마의 ♦활성화**, **유의미 학습의 ♦촉진) (중10-17) (초01-47)

Question 180

유의미 수용학습을 위한 교수·학습 전략

• 점진적 분화의 원리

Answer 180

(학일)

♦학습할 새로운 개념을 포함하는 더욱 ♦일반화된 구조를 제시한 다음 그것으로부터 점점 구체적이고 세부적인 내용으로 접근하는 것을 말한다.

Question 181

유의미 수용학습을 위한 교수·학습 전략

• 통합조정의 원리

Answer 181

(새유의)

♦새로운 학습 내용과 이미 학습된 내용의 ♦유사성과 차이점을 분명하게 하여 새로운 학습 내용이 인지 구조 내에서 ♦의식적으로 조정되고 통합되도록 해야 한다는 원리이다.

Question 182

유의미 수용학습과 인지적 영역 요소와의 관계

Answer 182

(지이적문창)

♦지식-♦이해-♦적용-♦문제해결-♦창의성 (인지구조의 위계성 바탕)

(지식= 표현학습, 아는 학습) (이해= 개념학습, 개념을 아는 학습) (적용= 명제학습, 개념 사이의 관계를 아는 학습)

Question 183

가네의 수업이론

Answer 183

(목과분 목방설)

(학습에 있어 _정보처리이론_을 많이 _반영_하고 있으며, 학습영역을 세분화하여 제시한 _메릴의 내용요소 제시이론_의 _토대_가 되었다.)

학습♦_목표_에 따라 _학습_♦_과제_가 달라지므로, _학습과제의_ ♦_분류체계_를 만드는데 핵심이 있다고 보고, _5__가지 학습된 능력_인 _학습_♦_목표_에 따라서 _수업_♦방법을 다르게 ♦설계해야한다고 보았다. (학습목표는 수업이 추구하는 학습의 결과유형)

(_교수목표_에 따라 _학습조건_은 달라져야 한다고 보았다.) (중04-23)

Question 184

가네 학습위계 장점

Answer 184

(순부)

① 학습 활동의 ♦순서 계획에 효율적

② 학습♦부진 원인 분석 가능

Question 185

가네의 수업이론- 학습의 조건 (학습의 요인) (독립변인)

Answer 185

(외내**) (**인활다 선인**) (**강접반 선학자주)

① ♦외적조건**: 학습자의 **내적** ♦**인지과정**을 ♦**활성화**시켜주는 교사의 ♦**다양한 수업방법.

♦강화**, ♦**접근**, ♦**반복의 원리.

② ♦내적요인**: 학습자의 ♦**선수학습 능력**과 정보를 처리하는 ♦**인지과정.

♦선행학습**, ♦**학습동기**(내재적 동기), ♦**자아개념**(긍정적 자아개념), ♦**주의력(집중력)

Question 186

가네의 수업이론- 9가지 수업사태

Answer 186

(교내맞 내유외계**) (**주기장선의 재강인일**) (**주학선자학 수피수파)

외부에서 정보가 주어진다고 학생들의 학습이 이루어지는 건 아니다. ♦교수활동**은 인간의 ♦**내적인 학습 과정**에 ♦**맞추어** 이루어져야한다고 보고 ♦**내적 학습과정**을 ♦**유발**(지원)하기 위한 일련의 ♦**외적인 학습조건**을 ‘**9__가지 교수 사태’라고 명명하고 ♦계열화하여 제시하였다.

(각 단계의 구체적인 내용들은 학습이 의도하고 있는 능력(5가지 영역)에 따라 다르다.) (수업을 계획할 때 수업사태의 순서를 변경하거나 생략할 수 있다.)

Question 187

가네의 수업이론- 인간의 학습된 능력 (학습결과) (종속변인) (5가지 학습영역)

Answer 187

(언지인태운**) (**학진 상환 문통 선정 수몸**) (**변개원문)

① ♦언어정보**: 특정한 명칭, 정보, 사실, 명제를 ♦**학습하여 기억한 다음** 이를 ♦**진술할 수 있는 능력이다. (=선언적 지식) (=~에 관한 지식) (=~임을 안다) (주로 명제적 지식의 형태) (주로 군집분석)

② ♦지적기능**: 학습자가 언어, 숫자 등 ♦**상징을 이용**하여 ♦**환경과 상호작용하는 능력이다. (=방법적 지식) (=절차적 지식) (=~할 줄 안다) (주로 위계분석)

학습위계가 존재하므로 선행학습이 더욱 중요하다. (♦변별**, ♦**개념**, ♦**원리**, ♦**문제해결학습)

③ ♦인지전략**: 비교적 오랜 기간에 걸쳐 습득되는 창조적 능력으로, 다양한 상황에서의 ♦**문제해결 경험**을 통해 개발되는 학습이나 사고에 대한 ♦**통제 및 관리능력이다.

④ ♦태도: 학습자의 ♦선택에서 드러나는 ♦정신적, 내적 경향성이다. (주로 통합분석)

⑤ ♦운동기능: 어떤 일을 ♦수행하기 위한 ♦몸의 움직임이다. (주로 위계분석)

Question 188

가네- 인지학습의 8가지 수준의 학습 유형 분류

Answer 188

(신자연 언다개 규문)

① ♦신호 학습**: 가장 기본적인 형태의 학습으로 본질적으로 **무의식적인 정서적인 반응**, 어떤 신호나 자극에 대한 **반사적인 반응이다.

② ♦자극__-__반응 학습**: 학습자가 _식별된 자극_에 대하여 **어떤 정확한 반응을 보이는 것이다.

③ ♦연쇄**: _둘 이상의 자극__-__반응_이 **연결된 운동행위가 이루어지는 것이다.

④ ♦언어적 연합**: _연쇄_는 운동에 관한 학습인데, 그와 비슷한 **언어에 관한 학습이다.

⑤ ♦다중식별__(__변별__, 식별__)**: _여러 가지 자극_에 대하여 **바른 반응을 보이는 것이다.

⑥ ♦개념 학습**: _서로 다른 자극_에 대하여 **공통된 반응을 보이는 것이다.

⑦ ♦규칙 학습**: 규칙이란 _둘 이상의 개념_의 **연쇄를 말하는 것이다.

⑧ ♦문제해결**: _둘 이상의 규칙_을 관련지어 **보다 높은 수준의 규칙을 형성하는 것이다.

Question 192

프로이덴탈의 수학화 교수·학습론

Answer 192

(현비 인활수 현**) (**응비 수어수직 출구)

프로이덴탈은 ♦현대화운동의 반교수학적전도**에 대한 ♦**비판**하면서 _**수학을** ♦인간의 활동으로 보고 ♦활동주의적 교육관에 기인하여 ♦수학화를 주장하였다. (직관주의 수리철학적 입장을 기초로 **인간 활동으로서의** ‘♦현실주의적 수학교육_’ **이념을 구현하고자 하였다.) (‘교수학적 현상학’으로 체계화)

학생들이 수학을 현실적인 문제해결**에 ♦**응용**하지 못하는 것을 ♦**비판**하면서, ♦**수학자가 하는 활동**을 ♦**어린 학습자**라도 _**자신의** ♦수준에 맞는 대상들을 통해 ♦직접 경험할 수 있도록 **수학 학습의** ♦출발점이 가능한 한 ♦구체적인 학생의 현실_**이어야한다고 주장한다.

(수학을 ‘수학화’라는 개념 하에 _인간의 정신적 활동_으로 보고, 학생들이 _세계를 이해_하는 데 도움이 되는 _진정한 이해와 안목_을 형성하고 _수학의 유용성을 인식_하여 _학습자 인격의 한 부분_이 될 수 있다고 보았다.)

Question 193

교수학적 현상학

Answer 193

(수본현)

♦수학적 개념과 구조라는 ♦본질을 그 본질이 조직의 수단으로 작용하는 어떤 ♦현상과 관련하여 기술하고 교수학적으로 적용하는 것이다.

Question 194

수학화

Answer 194

현상을 수학자의 필요에 맞게 적절히 손질하여 본질로 조직해내는 조직화 활동이다.

수평적 수학화와 수직적 수학화가 서로 교대로 일어나는 과정 (Treffers)

Question 195

수학화 과정

Answer 195

(교상불)

현상과 본질의 ♦교대 작용에 의해 수준 ♦상승이 이루어지는 ♦불연속적인 과정이다. (이때 현상이란 현실적인 경험일수도 있고 수학적인 경험일 수도 있다.)

Question 196

현실과 결부된 수학 (문맥 수학) 수학화 과정 (De Lange&Verhage)

Answer 196

(직개형적)

첫 번째 단계: 현실 세계의 문맥을 ♦직관적으로 탐구하는 단계이다.

두 번째 단계: 현실 상황으로부터 수학적 ♦개념을 추출해내는 수평적 수학화의 단계이다. (수학화 과정에 대한 반성이 필수)

세 번째 단계: ♦형식화와 추상화가 중심인 수직적 수학화의 단계이다. (수학적인 개념, 형식적인 정의가 뒤따른다.)

네 번째 단계: 개념을 새로운 문제에 ♦적용함으로써 개념을 강화하고 일반화하는 응용적 수학화의 단계이다.

Question 197

현실과 결부된 수학 (문맥 수학)

Answer 197

(현우 출 구열)

학생들에게 ♦현실을 수학화하는 경험을 ♦우선적으로 제공해야 한다는 것이다.

즉, 문맥은 수학 학습-지도의 ♦출발점이어야 한다는 것이다. 문맥이란 어떤 ♦구체적인 수업 과정에서 학생들에게 ♦열려 있는 수학화가 되어야 할 현실의 영역을 말한다.

Question 198

프로이덴탈의 기하영역에서의 수학화

Answer 198

(재중국**) (**정연첫**) (**현성국전존**) (**어기 체)

다음 각 단계는 _반힐레의 기하적 사고수준과 대응_되는 것으로, 프로이덴탈은 학생들의 _기하_ ♦재발명에서 ♦중심적인 활동으로 제안하는 것이 바로 ♦국소적 조직화활동이다.

수학자들이 일상적으로 행하는 것을 학생들의 수준에서도 경험하게 하자**는 것이 프로이덴탈의 수학과 교수·학습이론의 핵심이므로 학생들에게 _**수학자들의** ‘**♦****정의하기**’활동_**을 경험하게 해야 한다는 것이다.

즉, 정의는 대상의 여러 성질에 대한 ♦연역적 조직화의 수단이며♦첫 번째 단계라는 것을 경험하게 된다.

① 주변 ♦현상을 도형이라는 본질로 조직: 정의를 제시해서는 안 된다.

② 도형의 ♦성질 발견

③ ♦국소적 조직화: 정의하기와 증명하기

정의하기: 대상의 여러 성질 중에서 ♦어느 하나를 다른 것들을 이끌어내는 ♦기본 성질로 설정하는 것이다.

증명하기: 성질들의 관계를 ♦체계적으로 정리하는 것이다. (엄밀한 연역적 증명x)

④ ♦전체적 조직화: 공리화

⑤ ♦존재론적 결합 끊기

Question 199

국소적 조직화의 의의 (수학화의 필요성)

Answer 199

(명필부의 안실**) (**수자수)

학생들이 스스로 ♦명제를 만드는 경험**을 할 수 있고, _**조직화수단으로서의 증명의** ♦필요성이 **자연스럽게** ♦부각되며 **증명의** ♦의미를 이해할 수 있다. 이렇게 지도된 증명만이 **수학적 ‘**♦안목__’이 되어 일상생활 및 과학의 도구로서 ♦실제적인 응용성_**을 갖게 된다. (역사발생의 발견과정을 경험해야 수학적 안목을 가질 수 있다.)

수학화를 중요시하는 이유**는 학생들에게 수학화 경험을 통해서 _**수학에 대한 보다** ♦수준 높은 이해와 ♦자신의 세계를 이해하는 데 **수학적** ♦수단_을 **사용할 줄 알도록 하려는 것이다. (이는 곧, 현실 세계에 대한 관점에 영향을 미친다.)

Question 200

수학화 과정에서 교사의 역할

Answer 200

(스발반)

① 학생들 ♦스스로 활동할 기회를 제공해야 한다.

② 적절한 순간**에 _**적절한** ♦발문_을 통해서 _학생들의 사고활동_을 **촉진시켜야 한다.

③ 학생들이 _자신의 활동을 ♦반성_하게 하고 _종합_할 수 있도록 안내해야 한다.

Question 201

수평적 수학화, 수직적 수학화

(수학화의 두 가지 수준)

Answer 201

(현추 추기**) (**현형 세)

프로이덴탈**은 수평적 수학화를 ♦**현실적인 것으로 체험된 세계**에서 _**좀 더** ♦추상화된 기호의 세계로 이행되는 것으로, 수직적 수학화를 ♦추상화된 기호의 세계에서 ♦기호들이 계속 형성_되고, **이해되고 반성되는 것으로 보았다.

_트레퍼스__Treffers는 수평적 수학화를 ♦현실 내의 문제 장면을 ♦형식적인 수학적 처리_가 _가능하도록_ _변환하는 것으로, 수직적 수학화를 ♦세련된 좀 더 높은 수학적 처리_가 _가능하도록_ 하는 것으로 보았다.

Question 202

수평적 수학화와 수직적 수학화 구분의 의의

Answer 202

(절이구 마적명)

수평적 수학화, 수직적 수학화의 구분이 ♦절대적인 것은 아니지만, ♦이전에 수학 수업에서 도외시되었던 수평적 수학화 특성이 강한 활동인 실험하기, 관찰하기, 귀납적추론, 분류하기 등과 같은 좀 더 ♦구체적인 활동이 수직적 수학화 특성이 강한 활동인 기호화, 일반화, 형식화와 ♦마찬가지로 수학화활동에 ♦적합하다는 것을 ♦명백히 하는 데 도움이 된다.

Question 203

기성수학과 실행수학

Answer 203

(결 초학**) (**인 발비)

기성수학이란 수학적 활동의 ♦결과로서의 수학을 말한다.

실행수학이란 수학적 활동에 ♦초점을 둔 수학으로 학생들이 ♦학습해야 하는 수학을 말한다. (♦인간 활동으로서의 수학의 측면) (폴리아 ‘♦발생 상태로서의 수학’) (라카토스 ‘♦비형식적 수학’)

Question 204

폴리아의 수학관

Answer 204

(완발 개발연증)

‘♦완__성된 수학**’은 연역적 과학이고, ‘♦**발__생 과정의 수학**’은 실험적이고 귀납적인 과학이라고 보았다. 그리고 수학적 사고 과정에서 ♦**개__연적 추론과 추측**에 의해 _**증명이** ♦발__견되고, 그 후 ♦연__역적 추론, 즉 ♦증__명이 뒤따른다고 보았다. (발견과 정당화_가 **구분되는 느낌)

귀납과 유추에 의한 _추측_을 통한 _발견적 사고_와 _문제해결 교육_의 중요성을 강조하고 그 실제적인 지도 방법론을 제시하였다.

지식: 정보+ 방법적 지식 (know that+ know how) (명제적 지식+ 절차적 지식) (방법적 지식은 대화법의 도움으로 습득 가능)

Question 205

발전적 조작가능성

Answer 205

(재적관적기)

수학의 ♦재창조 가능성**과 ♦**적용 가능성**으로, 수학은 ♦**관계가 풍부한 현실**에서 _**발생**_해야 개인적으로나 역사적으로나 그것들이 _**창조된 후에** ♦적용가능하고 **다음의 재창조를 위한** ♦기반_**이 된다는 것이다.

Question 206

반교수학적 전도

Answer 206

(본부연초**) (**논자)

반교수학적 전도= 연역적 추론방식= 현재의 증명교육= 정의, 정리, 증명 순서

프로이덴탈은 ♦본질을 단지 학습자에게 ♦부과하는 접근 방식 즉, 수학의 ♦연역적인 체계만을 중시하고 그것을 ♦초등화하여 지도하는 것을 반교수학적 전도라고 비난했다. (현상으로부터 본질에 이르도록 하는 방향과 반대) (공리와 정의로부터 시작하여 연역적 증명 부과)

(연역**은 _**부과되는 것이 아니라** ♦논리적 조직화 과정에서 ♦자연스럽게 드러나게_ 되는 것이고, _정의_는 대상의 **여러 성질에 대한 연역적 조직화의 수단이라는 것을 경험할 수 있도록 해야 한다.)

Question 207

반교수학적 전도의 단점

Answer 207

(발완)

수학적 ♦발__생과정을 알 수 없고 수학을 처음부터 ♦완__전한 형태로 주어진 것으로 생각하게 되는 문제점이 발생한다.

Question 208

반교수학적 전도 대안

Answer 208

(발발역 교안현점**) (**수연격 정증)

수학을 ♦_발__생된 것으로 파악_하고 학습자가 학습과정에서 _수학의_ ♦발__생을 경험하게 하려는 원리인 ♦역사발생적 원리를 반영해야 한다. 즉, ♦교수학적 현상학을 바탕으로 하여, ♦안내된 재발명법에 의해 아동이 직접 ♦현실적인 문맥을 통하여 ♦점진적 수학화를 경험할 수 있도록 지도해야 한다. (국소적 조직화)

(♦수학화의 도구로서♦연역을 재발명하는 학습이 이루어지도록 학생들을 ♦격려해야 하며, ‘정의’보다는 ‘♦정의하기’를 ‘증명’보다는 ‘♦증명하기’를 학생들이 경험할 수 있도록 지도해야 할 것이다.)

(_정의_는 처음부터 제시되는 것이 아니라 여러 명제들을 연결하기 위한 _연역의 고리_로서 _가장 나중에 필요한 것_이고 _증명_은 여러 성질들을 조직하기 위한 활동이며, _정리_는 이러한 조직화 활동의 결과물임을 주장한다.)

Question 209

수학화 교수·학습의 원리

Answer 209

(수제**) (**안역반현심전)

프로이덴탈이 ♦수학화의 경험**을 ♦**제공하기 위해** 주장한 것으로, ♦**안내된 재발명**, ♦**역사발생적 원리**, ♦**반성적 사고** (학습수준이론), ♦**현실과 결부된 수학** (문맥 수학), ♦**심상의 구성**, ♦**전형적인 보기의 활용이 있다.

Question 210

안내된 재발명

Answer 210

(인재)

학습자는 ♦인류의 학습과정을 수정된 방식으로 재현하므로 학습자에게 수학적 활동의 ♦재발명 과정을 경험시켜야 한다는 것이다.

(역사발생적 원리와 그 맥을 같이 한다.)

Question 211

역사발생적 원리의 배경과 그 개념

(클레로Clairaut, 클라인Klein, 퇴플리츠Toeplitz)

Answer 211

(연발완 발발)

(이것 또한 _반교수학적 전도의 문제점_과 _대안_이 될 수 있는 거겠네..)

(수학을 완성된 산물로 보고 최종적인 내용을 논리적 전개 순서에 따라 연역적 방식으로 지도하는 것은)

(기성의 수학을 ♦연역적 방식으로 단지 외부적으로 부과하는 것은)

수학적 ♦발생과정을 알 수 없고, 수학을 처음부터 ♦완전한 형태로 주어진 것으로 생각하게 되는 문제점이 발생한다.

따라서 수학을 ♦발생된 것으로 파악하고 학습자가 학습과정에서 수학의 ♦발생을 경험하게 하려는 원리이다.

Question 212

역사발생적 원리에 근거한 수업의 의의

Answer 212

(발귀 어이맥재)

첫째, 수학적 지식이 ♦발견의 과정을 통해 ♦귀납적으로 이루어져 왔다는 것을 경험하게 할 수 있다.

둘째, 수학자가 겪은 ♦어려움을 고려하여 학생들의 어려움도 ♦이해할 수 있으므로 발생 ♦맥락에 따라 수학을 ♦재발명할 수 있다.

Question 213

‘발생적 원리’를 경험시키고 ‘대화와 토론 방법’에 따른 수업을 위해 교사가 수행해야 할 준비활동

Answer 213

(안교교학자개**) (**미대)

‘발생적 원리’를 경험시키고 ‘대화와 토론 방법’에 따른 수업을 위해 교사가 수행해야 할 준비활동은 사고실험이다.

프로이덴탈의 사고실험은 ♦안내된 재발명 원리**를 _**구현**_할 수 있는 것으로, ♦**교사의 입장**에서 ♦**교실수업에서 학생들의 재발명을 돕기 위해** ♦학생의 입장과 반응을 고려함과 동시에 ♦**자신의 입장에서 ♦개인 수학자의 마음에 대해 추측하는 것이다.

즉, 교사는 적절한 발문을 미리 준비하고 학생들의 가능한 모든 반응에 대응할 수 있도록 사전에 준비를 해야 한다. 따라서 이를 위해서는 교사의 충분한 ‘사고실험’이 필요하다.

(다음은 윤양동 답안)

① 가르치고자 하는 수학적 지식에 대한 ♦수__학적 분석이 필요하다.

② 수학적 지식의 ♦역__사적 발생과 발전 과정에 대한 분석을 요구한다.

③ 관련된 내용을 학습하는 데 따르는 학생들의 학습** ♦**심__리적 요소에 대한 분석이 필요하다.

④ 수학적 지식의 발견의 문맥을 ♦교__수학적으로 재구성하여 지도 단원을 구체적으로 구성한다.

⑤ 대화와 토론 방법에 따라 수업을 설계하기 위한 준비활동으로서 교사는 지도에 앞서 학생들과 대화하고 토론하는 수업을 상상 속에서 진행하는 ♦사__고실험을 통해 수업과 관련된 모든 사고를 미리 점검해야 한다.

Question 214

고전적 역사발생적 원리 (Klein, Poincare)

Answer 214

(재평동)

해켈의 ♦재현의 법칙에 충실하게 수학의 역사적 발달과 개인의 수학학습 사이의 ♦평행성을 어느 정도 인정하고 역사발생과 ♦동일한 순서로 지도할 것을 주장한다.

Question 215

현대적 역사발생적 원리 (Freudenthal)

Answer 215

(역재현)

♦역사발생을 중요시하지만, 역사적 발달 과정을 그대로 ♦재현하는 것이 아니라 그것을 학습자의 ♦현실적 문맥을 통해 재구성해야 한다고 주장한다.

Question 217

사고실험을 라카토스와 프로이덴탈 이론의 관점에서 비교

Answer 217

(증원 안교교학자개)

라카토스의 사고실험은 ♦증명으로서, ♦원래 추측을 더 많은 부분추측으로 분해하는 것이다. (사고실험은 머릿속에서 어떤 대상들을 다루면서 사고 활동의 결과를 관찰함을 의미한다.)

프로이덴탈의 사고실험은 ♦안내된 재발명 원리**를 _**구현**_할 수 있는 것으로, ♦**교사의 입장**에서 ♦**교실수업에서 학생들의 재발명을 돕기 위해** ♦학생의 입장과 반응을 고려함과 동시에 ♦**자신의 입장에서 ♦개인 수학자의 마음에 대해 추측하는 것이다.

Question 218

사고실험의 의의

Answer 218

(적예 증마다이)

첫째, 교실 수업에서 학생들에게 ♦적절한 질문을 하거나 ♦예상치 못한 궁금증에 대해서도 적절한 답을 줄 수 있다.

둘째, 수학적 ♦증명방법을 생각해낸 수학자의 ♦마음에 대하여 추측해봄으로서 ♦다양하고 적절한 증명방법을 이용하여 학생들의 ♦이해를 도울 수 있다.

Question 219

수학적 사고 수준 (수학 학습 수준 이론은 반힐레)

Answer 219

(바탐무오점**) (**바탐예반시**) (**수정반**) (**알결기)

크게 ♦바닥수준과 ♦탐구수준으로 구분하고, 바닥 수준을** ♦**무시**하는 것이 _**전통적인 수학교육**_의 _**가장 커다란** ♦오류임을 지적하면서 **바닥 수준으로부터**_의 ♦**점진적인 수학화를 주장한다.

♦바닥수준은 ♦탐구수준에서의 수학적 활동을 준비하는 ♦예비수학적 활동으로 파악하고, 바닥수준의 활동이 탐구수준에서 ♦반성됨으로써 비로소 학생의 학습과정에서 수학이 ♦시작된다.

프로이덴탈은 수학화 과정에서 근본적으로 ♦수준의 상승**을 _**가능하게 하는 중요한** ♦정신적 활동이 바로 ♦반성적 사고라고 보았다. 그러나 **수학교육의 현실**_은 ♦**알고리즘적인 성향**을 강조하고 _**현실과의 관련성이** ♦결여된 수학을 학습하기 때문에 아동들은 **자신의 활동에 대한 반성을 해보려는 어떤** ♦기회_**도 제공받지 못한다.

(_브루너_와 _딘즈_에 대해 _반성적 사고가 결여_되어있어 _바닥수준에 머물러있다_고 비판한대.)

Question 220

귀납적 이해와 각지(즉각적 이해)

Answer 220

(수여귀 전구각)

프로이덴탈은 ♦수학적 개념이나 원리나 법칙이 ♦여러 가지 보기의 관찰**로부터 _**귀납적으로 획득**_된다고 보는 ♦**귀납의 논리**(귀납적 이해)를 거부하고, ♦**전형적인 보기로부터 곧바로** 그 ♦**구조를 파악하여 획득된다고 보는 ♦각지(즉각적 이해)를 주장한다.

(_라카토스_도 귀납의 논리를 거부한다고 볼 수 있다.) (다만, _폴리아_는 귀납의 논리를 거부하지 않는다.)

Question 221

전형적인 보기(예)

Answer 221

(구통동신전)

곧바로 그 ♦구조에 대한 깊은 ♦통찰을 제공해주면서 ♦동형인 다른 상황에 ♦신속하고 정확하게 ♦전이 가능한 예를 말한다.

Question 222

심상

Answer 222

(어__1 심개우**) (**개맥심사**) (**현많)

프로이덴탈은 ♦어떤 현상을 조직하는 ♦1차적인 수단은 심상이며, 이 ♦심상의 형성이 ♦개념 획득보다도 ♦우선되어야 한다고 주장한다.

즉, ♦개념의 형식화에 앞서 학습자로 하여금 개념이 발생한 ♦맥락을 경험하게 하고, 개념에 대한 ♦심상을 구성하게 한 후, 계속적으로 ♦사고가 비약되도록 해야 한다. (맥락 → 심상구성 → 개념정의)

따라서 심상을 구성하고 개념화할 수 있는 ♦현상을 ♦많이 다루어보게 하는 것이 중요하다.

Question 223

국소적 조직화와 전반적 조직화

Answer 223

(학학부 정공)

♦학습자가 접하고 있는 영역에서 참이라고 인정되는 사실, 즉 ♦학습자의 실제로부터 시작해서 ♦부분적으로 조직화하는 것이다. (전문적인 수학자들이 수학을 창조하고 적용할 때 행하는 활동)

♦정의와 공리로부터 출발하는 ♦공리체계로 조직하는 것이다.

Question 224

국소적 조직화의 의의 (수학화의 필요성)

Answer 224

(명필부의 안실**) (**수자수)

학생들이 스스로 ♦명제를 만드는 경험**을 할 수 있고, _**조직화수단으로서의 증명의** ♦필요성이 **자연스럽게** ♦부각되며 **증명의** ♦의미를 이해할 수 있다. 이렇게 지도된 증명만이 **수학적 ‘**♦안목__’이 되어 일상생활 및 과학의 도구로서 ♦실제적인 응용성_**을 갖게 된다. (역사발생의 발견과정을 경험해야 수학적 안목을 가질 수 있다.)

수학화를 중요시하는 이유**는 학생들에게 수학화 경험을 통해서 _**수학에 대한 보다** ♦수준 높은 이해와 ♦자신의 세계를 이해하는 데 **수학적** ♦수단_을 **사용할 줄 알도록 하려는 것이다. (이는 곧, 현실 세계에 대한 관점에 영향을 미친다.)

Question 225

프로이덴탈의 수학화 과정으로서 ‘국소적 조직화’에 관련 지어 위 수업에서 나타난 교수·학습 과정을 설명하시오.

Answer 225

교사가 준비한 정다면체인 입체도형과 그렇지 않은 입체도형의 상황에서 학생들은 ‘정다면체는 모든 면이 정다각형이다’라는 특성을 찾아 참이라 인정하고 있다. 이후 모든 면이 정다각형인 입체도형 중에 정다면체가 아닌 것도 있음을 구분하고 ‘한 꼭짓점에 모인 모서리의 개수가 모두 같다’라는 새로운 특성을 발명하면서 ‘모든 면이 정다각형이다’라는 특성에 추가하였다. 즉 ‘모든 면이 정다각형이다’라는 특성에서 부분적으로 ‘한 꼭짓점에 모인 모서리의 개수가 모두 같다’라는 특성을 추가하여 최종적으로 정다면체의 정의를 조직하는 활동은 국소적 조직화 활동에 따른 것이다.

Question 227

반힐레의 기하학습 수준

Answer 227

(증이다 수언의)

♦증명을 지도함에 있어서 ♦이해하지 못하는 상황**을**분석하였더니 기하 학습에는♦다섯 수준이 존재하며,♦수준에 따라** **서로 다른** **독특한 ♦언어 구조가 있어 ♦의사소통**에 많은**어려움을 겪더라는 것이다.

이는 인류의 학습 과정과 개인의 학습 과정에는 _동형성_이 있다고 본 프로이덴탈의 학습 수준 이론이 _입증되고_ _더욱 명백_해졌다고 볼 수 있다.

Question 228

반힐레의 기하학습 수준

Answer 228

(전인주**) (**주분인**) (**논추필여 간정**) (**연논공연형**) (**전여형)

① 시각적 인식 수준**: ♦**전체적인 모양새로 도형을** ♦**인식하며 도형의 성질에 ♦주목하지 않는 수준이다.

② 기술적__/__분석적 인식 수준**: **도형의 성질에** ♦**주목**하며 도형의 성질을 ♦**분석할 수 있지만, 도형들 사이의 포함관계는 거의 ♦인식하지 못하는 수준이다. (도형은 성질의 모임이다.)

③ 관계적__/__추상적 인식 수준** (비형식적 연역 수준): **도형의 성질이나 도형 자체가** ♦**논리적으로 정렬되어 개념에 대한** ♦**추상적 정의를 형성**하고, _**개념의 성질에 대한** ♦필요조건과 충분조건을 구분하는 수준이다. 또한, ♦여러 도형 사이의 관계와 한 도형의 여러 성질 사이의 관계를 이해한다. 연역적 추론은 소규모로 또는 국소적으로 파악된다. 즉, ♦간단한 연역적 추론을 할 수 있다. (개념의_ ♦**정의를 비로소 올바르게 사용할 수 있다.)

④ 형식적 연역 수준**: ♦**연역의 의의**가 전반적으로 이해된다. 무정의 용어, 공리, 정의, 정리 사이의 ♦**논리적인 차이점**을 인식하고, ♦**공리적 방법의 의의**와 ♦**연역적 추론**을 이해하며 ♦**형식적 증명을 구성할 수 있는 수준이다. (중학교 교과서에서는 무정의 용어나 공리를 다루지 않는다.)

⑤ 엄밀한 수학적 수준: ♦전문적인 수학자의 수준으로 ♦여러 수학체계에 대하여 ♦형식적으로 추론할 수 있는 수준이다.

Question 229

반힐레 이론이 주는 시사점

Answer 229

(관연 증__3__충**) (**귀)

제 3수준에서의 ♦관계망 구축은 제 4수준에서의 ♦연역적 추론의 필연적인 전제 조건이라고 할 수 있다. 따라서 ♦_증명을 도입하기 이전에 학생들의 사고를 수준♦3에 이르게 하기 위한 ♦충분한 교수__·__학습 활동_이 _선행_되어야 한다.

(_4__수준_에서의 _형식적인 연역추론을 지도하기 전에 ♦귀납추론_과 같은 _3__수준_에서의 _비형식적인 연역추론_을 통한 정당화를 먼저 지도하는 것이 바람직하다.) (16기출- 양동)

Question 230

수준 2에서 수준3으로 이행하도록 하는 효과적인 교수활동

Answer 230

(출처가 어디지.. 구별과 분류.. 구분을 못하겠는데;)

① 어떤 도형의 예인 것과 아닌 것을 구별하기

② 분류하기

예를 들어** ‘**여러 사각형** 중에서 **평행사변형**을 모두 찾아내기’, ‘**여러 평행사변형** 중에서 **마름모를 모두 찾아내기’가 있다.

Question 231

반힐레와 프로이덴탈의 기하와 증명 교수·학습론

Answer 231

Question 232

반힐레의 기하학습 수준이론의 특징

Answer 232

(상불순**) (**발나교**) (**전수대**) (**수언**) (**서자요)

첫째, 수학적 사고는 ♦상대적인 수준**이 있는 ♦**불연속적인 활동**으로, 모든 수준을 ♦**순차적으로 거쳐서 발달하게 된다.

둘째, 한 수준에서 다음 수준으로의 ♦발달은 ♦나이나 신체의 성숙보다 ♦교육의 내용이나 방법에 더 많이 의존한다.

셋째, 수단의 대상화이다. ♦전 수준에서는 사고의 ♦수단이었던 것이 다음 수준에서는 사고의 ♦대상이 된다. 대상이 분석의 대상이 되어 수단에 의해 파악하고 사고한다. 이러한 사고의 비약**은 수학을 _**수학화**_로 규정한 _**프로이덴탈의 관점**과 일맥상통한 면이 있다. (주변** 사물, _도형, _성질_, _명제_, _논리_)

넷째, ♦수준의 상승은 ♦언어의 확장과 관계된다. (각 수준을 언어와 연결해서 해석하고 있다.)

다섯째, ♦서로 다른 수준에서 추론하는 두 사람은 서로를 이해할 수 없다. 이것은 교사**와 _**학생** 사이에서 ♦자주 발생하는 현상이며 **학습 지도**_를 _**어렵게 만드는** ♦요인_**이 되고 있다. (반힐레의 결론)

Question 233

반힐레의 교수·학습 단계

Answer 233

(가층처 촉각계**) (**스**) (**머되**) (**대선 신탐 표용 명정 관그개비)

반힐레의 학습 수준 이론의 ♦가치**는 학생의 사고가 어떤 수준에 있는가 하는 학생 사고의 ♦**층별화 보다**는 _**교수를 위한** ♦처방_**에 있다.

따라서 교사가 한 수준에서 다음 수준으로의 이행을** ♦**촉진**시키기 위해서 ♦**각 수준 안에서 교수를 ♦계열화하기 위한 교수학적 수단을 처방하였다.

(이를 통한 수준의 비약**은 교사의 _**일방적인 설명**_이 아니라 _**학습자** ♦스스로의 탐구 활동_**이 가장 중요한 요인이다.)

(교사**는 _**필요에 따라 몇 시간동안**_을 계속해서 _**특별한 단계**_에 ♦머무를 수도 있고, 또한 _**여러 단계**_를 몇 번이고 ♦**되풀이할 수 있다.)

① 1__단계 질의__/__안내단계**: 교사와 학생 사이의 ♦_대화를 통해_서 _새로운 학습주제를 소개_하고, _교사는 학습할 주제에 관한 학생의 ♦선행 지식_을 **파악한다.

② 2__단계 안내된 탐구 단계**: 학생은 ♦_신중하게 계열화된 활동_을 통해 _새로운 학습주제의 특징에 익숙해지고, ♦탐구 분야의 구조_를 _점진적으로 파악_한다. 이때 _교사의 역할_은 학생의 행동을 _적절한 탐구_로 이끌면서 _학생 활동_을 **지시하는 것이다. 여기에서의 대부분의 활동은 특별한 반응을 유도하는 단일 단계의 과제이다.

③ 3__단계 발전__/__명료화 단계**: 안내된 탐구 단계에서 **익숙해진 새로운 과제**를 ♦**표현하는 활동**을 통하여 _**전문적인** ♦용어를 **학습**_한다. (**교사의 개입 최소)

④ 4__단계 자유 탐구 단계**: 학생은 **문제해결적 성격**을 갖는 보다 _**복잡한 과제에 도전**_하게 된다. 다중 단계의 과제나 여러 가지 방식으로 완수될 수 있는 과제이다. 그럼으로써 _**탐구 대상 사이**_의 _**많은 관계**_들이 학생들에게 _**더욱** ♦명확해지고, **탐구 분야의 구조**_에 ♦**정통하게 된다.

⑤ 5__단계 통합 단계**: 학생은 **자신의** ♦**관찰을 재검토하고 요약**하며, _**대상과 관계의 새로운** ♦그물망 형성을 위해 그동안 배운 **개념들의 관련성을 통합**_한다. 결국 학생은 _**탐구 활동을** ♦개관하여 **전체를 조망**_하게 되면서 _**사고 수준의** ♦비약_에 이르게 된다. _교사_는 학생이 이전의 활동을 반성하고 관찰한 것을 명료하게 정리할 수 있도록 _전체적인 개관_을 **제시하면서 돕는다.

(10__기출)

Question 234

반힐레와 피아제 공통점

Answer 234

(행항나역)

① 수학적사고의 ♦_행동적 기원_에 대한 _해석_ (반힐레는 _구조개념_이 _행동_으로부터 나오며 _행동_에 내재하여 _분석과 명료화_에 의해 _보다 높은 사고 수준_에 이른다고 지적한다.)

② 수학적 사고 수준의 ♦항존성을 가정하고 있다.

③ 인지적 발달 과정이 ♦나선적 교대작용**을 통하여 이루어지는 것으로 파악하고 있다. 이 과정을 반힐레는 ‘**수단의 대상화**’로, 피아제는 ‘**반사와 반성의 교대’로 설명하고 있다.

④ 복잡한 체계로 조직되는 비언어적 지식의 발달뿐만 아니라 자기 자신의 지식**을 _**활동적으로 구성**_하는 _**학생의 ♦역할**_을 _**강조**_한다. 이때 활동에 의해 조직되는 체계를 피아제는 ‘**쉠**’으로, 반힐레는 ‘**관계망’으로 나타내었다고 본다.

Question 235

반힐레와 피아제 차이점

Answer 235

(내관더교 어적독새**) (**정)

반힐레는 ♦_내용에 관한 것을 강조하면서 ♦관계망_이 _충분히 형성되었을 때, ♦더 높은 사고 수준으로 진전하므로 ♦교수__·__학습 과정_이 수준의 발달에 _지대한 영향_을 끼친다고 보았다.

반면에 피아제는 ♦어떤 논리적인 조작**은 그것이 ♦**적용되는 내용과**는 ♦**독립적으로 발달하며 이러한 조작을 통해서 ♦새로운 수학 지식이 세워진다고 하였다.

(예를 들어, 직사각형과 정사각형의 포함관계를 피아제**는 그 각각의 ♦**정의만 안다면** 연역해서 내면화할 수 있다고 본 반면, _반힐레_는 **정의만으로는 충분하지 않으며** 그 사이의 **관계망이 충분히 형성되고 난 후에야 알 수 있다고 보았다.)

Question 238

교수학적 변환론 (쉐발라드)

Answer 238

(수이표지**) (**체삼현이 의변의손)

_학문수학_의 내용을 _학교수학_에 도입할 때 _학생들의_ ♦수준을 고려하여 ♦이해를 돕기 위해♦표현을 변환하여 도입하고 ♦지도하는 과정에 주목하는 학문이다. 교수학적 변환론의 핵심적인 문제는 다음과 같다.

① 교수♦체계**를 교사, 학생의 이원적 관계가 아니라 _**교사**,_ 학생, 지식의 ♦삼원적 관계_로 고려할 때만,_교육♦현상_을_올바르게 ♦이해**할 수 있다.

② 지식의 파손성**: **가르치려는 ♦_의__도_에 따라 _지식이_ ♦_변__형_될 때 _지식의_ ♦_의__미_가 _상당히_ ♦손__상될 수 있음에 주목해야 한다.

Question 239

교수학적 변환 과정

Answer 239

(선조 변)

Question 240

교수학적 상황론- 지식의 변형과정

Answer 240

(이표전)

브루소는 지식을 ♦이해하고 ♦표현하고 ♦전달하는 과정 즉, 지식의 전달이나 공유의 과정을 개인화/배경화, 탈개인화/탈배경화의 과정으로 설명하였다.

개인화/배경화: 개개인 나름대로의 지식 이해 과정

탈개인화/탈배경화: 정돈된 지식의 표현 과정

개인화/배경화는 지식을 깨닫는 과정에서 주체가 스스로에게 행하는 ‘인식론적 투자**’로 **자신의 특정한 배경 속**에서 _**개인적인 방법으로 지식을 이해하는 것** 즉, **개인에게 의미 있는 지식이 형성되는 과정**_을 말한다. 다시 말해서 개인화/배경화는 _**수학적 지식의 이면에 들어있는 아이디어**_를 살려내어 다루는 것으로 ‘**형식적 수학 지식**’이라는 _뼈대 위에 살_을 입혀서 _수학 지식의 맥락과 의미_를 **보다 풍부하게 하는 것이다. (수학 교실)

탈개인화/탈배경화는 특정 수학지식을 이해하는데 기여한 _개인적 사고 과정_이나 _배경_을 _숨기면서_ 자신이 인식한 지식을 _형식적으로 표현_하는 것 즉, _방만하게 확장된 지식_이 _형식적으로 안정된 형태_로 _정돈되는 과정_을 말한다. 다시 말해서 탈개인화/탈배경화는 _이면의 아이디어를 살려낸 지식_을 _구조적으로 정돈_하는 것으로 _여러 가지 맥락_과 _개인적 의미_를 _제거_함으로써 개인화/배경화된 지식을 _형식적인 수학적 지식으로_ 이해하는 것을 의미한다. (수학 교실

(10__기출)

Question 241

함수의 연속에 대한 학생의 개인화/배경화를 돕기 위한 교사의 수업 방식

Answer 241

(형함배의)

함수의 연속에 대한 ♦형식적인 정의를 지도하기 전에 일상어와 그래프를 ♦함께 ♦배경화함으로써 함수의 연속의 ♦의미를 분명하게 이해하도록 돕고 있다. 그 결과 학생은 함수의 연속에 대한 탈개인화/탈배경화하여 x=a에서 함수의 연속의 정의를 말할 수 있게 지도하였다.

Question 242

교수학적 변환론- 교사의 역할

Answer 242

(바올균)

♦바람직한 교수학적 변환의 방향은 개인화/배경화, 탈개인화/탈배경화 과정에 대한 ♦올__바른 이해를 바탕으로♦균__형 있게 조화시켜 나가는 것이다.

Question 243

극단적인 교수현상

Answer 243

(수교수교**) (**교공논곧 탈혼어본**) (**교교힌스**) (**사특과잘)

① 메타__-__인지 이동

♦수학적 지식의 개인화__/__배경화에 주목한 나머지 ♦교__수학적 노력의 초점이♦수__학적 지식 자체로부터 ♦교__수학적 고안물**로 옮겨가는 것을 의미한다. (**문제해결 지도**에서**발견술 자체가 지도 목적이 되는 것도 유사한 현상으로 이해할 수 있다.) (09-05기출)

② 형식적 고착

♦교수의 개인화__/__배경화 과정을 무시하고 ♦공__식화된 지식의 논리적 표현에만 의존하는 교수현상으로,♦논리적, 형식적으로 표현된 지식을♦곧__바로 제시하고 연습시키는 것을 의미한다.

형식적 고착은, 교사가 논리적 과정이 압축된 ♦탈__배경화된 지식을 형식적인 방법으로 제시하여 학생들에게 있어서 ♦혼__란의 여지를 최소화하고자 할 때**,**발생할 위험이 있다.

형식적 고착은 학생들의 탈개인화__/__탈배경화 과정에서 생기는 ♦어__려움을 덜어줄 수**는 있지만, 학생들이**귀납적 탐구 활동**과**다양한 사고 실험의 결과**로**형성된 수학 지식의 ♦본__질**을**이해하는 데는 장애가 될 수 있다.

③ 토파즈식 외면치레 (탈배경화/탈개인화 측면 강조) (or 무시)

♦교사는 가르쳐야 하고 _학생은 배워야 한다_는 소위 _‘_♦교수학적 계약__’__에 의한 압박에서 일어나는 전형적인 현상으로, ♦힌트나 유도질문을 제시하여 학습자 ♦스__스로 지식 구성하는 걸 방해하는 현상이다. (학생이 학습할 수 있는 환경을 교사가 제거)

(힌트, 정답 버튼)

④ 조르단식 외면치레 (탈배경화/탈개인화 측면 간과)

학생의 ♦사__소한 행동을 보고 학생이 ♦특정한 수학 지식을 형성했다고 ♦과__대평가하여♦잘__못 판단하는 경우를 말한다.

Question 244

극단적인 교수현상의 의의

Answer 244

(교수이분)

♦교과서 저자가 교과서를 개발할 때, 그리고 ♦수학교사**가 자신의 수업을 계획하고 반성할 때,**훌륭한 ♦이론적 준거및♦분석 틀로 기능할 수 있다.

Question 245

극단적인 교수현상- 교사의 역할

Answer 245

(경성발이)

인식론적 ♦경각심을 갖고서 자신의 수학 수업을 ♦성찰함으로써, 자신의 수학 수업에서 극단적인 교수현상이♦발생하고 있는지**, 발생하고 있다면 **그 ♦이유는 무엇인지에 대해 지속적으로 성찰할 필요가 있다.

Question 246

인식론적 장애

Answer 246

(어새개더)

♦어떤 특정한 맥락에서는 성공적이고 유용한 지식으로서 학생의 인지구조의 일부가 되어 있지만, ♦새로운 문제해결이나 ♦개념 이해의 상황이나 ♦더 넓어진 문맥 등에서는 부적합해진 지식을 말한다.

Question 247

자연수에서 성립하는 성질이 음수에서는 성립하지 않는 성질에 대한 인식론적 장애

Answer 247

(크)

수 개념을 ‘♦크기’와 연관짓는 것은 자연수를 학습하는 상황에서는 유용한 생각이지만, (양, 개수?)

음수를 학습하는 상황에서는 부적합해진 지식이 된다.

Question 248

실수에서 성립하는 성질이 복소수에서는 성립하지 않는 성질에 대한 인식론적 장애

Answer 248

(대)

수의 ♦대소 관계를 비교할 수 있다는 것은 실수를 학습하는 상황에서는 유용한 생각이지만,

복소수를 학습하는 상황에서는 부적합해진 지식이 된다.

Question 249

용재가 겪고 있는 수열의 진동에 대한 개념의 장애

Answer 249

(개운)

용재는 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나므로 수열이 진동한다는 ♦개념이미지를 먼저 떠올린다.

또한 좌표평면 그래프에 나타난 수열의 각 항이 반복되어 나타나는 상황을 ♦운동은유에 의해 진동한다고 하는 인식론적 장애를 겪고 있다.

Question 250

무한급수의 합에 관한 ‘무한’의 입장에서 인식론적 어려움과 해결책

Answer 250

(아직 예실수)

♦아무리 작은 양이지만 계속 무한히 더하다보면 한없이 커질 것이라는 ♦직관에 의해 인식론적 어려움을 겪게될 것이다.

이때 교과서의 ♦예를 통해 무한급수의 합의 ♦실체가 존재한다는 것을 인식하게 하여 기존의 직관을 ♦수정하는데 도움을 줄 수 있다.

Question 251

인식론적 장애의 기원

Answer 251

(자새부 이관일**) (**직논무 어논형이**) (**무이일논**) (**화수운)

① 일상어의 영향

♦자생적 관념인 용어의 일상적인 의미가 ♦새__롭게 도입된 수학적 개념과 뒤섞여서 ♦부__적절한 개념이미지를 형성하게 되어 수학학습에 장애로서 작용하게 되는 것이다.

자생적 관념이란 교사의 지도 ♦이전에 학습자가 가지고 있는 ♦관__념, 직관, 이미지, 지식, 사용될 용어의 구어적 의미와 같이 ♦일__상생활을 통한 경험에서 오는 많은 생각을 말한다.

② 직관의 영향

실제적인 여러 가지 수학적 사고는 직관적으로 이뤄지지 않을 수 없다고 하더라도, 수학은 ♦직__관을 배제하고♦논__리적__, 형식적으로 전개되는 사고 패턴으로 특히 직관은 ♦무한 개념이나 극한 개념의 학습에 장애가 된다.

수학에서는 ♦어__떤 대상의 존재성을 인정할 때 ♦논__리적 무모순성이 기준이 됨을 알게 하여, 학생들이♦형__식적인 수학적 가치를 알게 하는 과정이 필요하다. 피셔바인은 이것을 ♦이__차적 직관의 형성**이라고 하였다. (**일차직관**을 통해**인식론적 장애를 가진 학생)

③ 과도한 일반화의 영향

유한적인 인간이 경험할 수 없는 ♦무__한의 세계**에**접근하여♦이__해하기 손쉬운 방법의 하나가 ♦일__반화와 유추**이지만, 정작 무한의 세계에는 일반화와 유추가 성립하지 않으며**무한은‘♦논__리적으로**’ **이해되어야 하는 개념이다.

(_유한에서만 성립하는 성질_의 _무한으로의 일반화와 유추_는 장애의 요인으로 작용한다.)

④ 은유의 영향

은유는 일상적인 사고에서와 마찬가지로 수학에서도 의미를 이해하고 전달하는데 중요한 수단이다. 특히, 함수와 수열의 극한에서는 운동에 대한 은유로부터 많은 의미를 전달받고 있다.

가령, ♦화살표를 사용하여 극한 명제를 표현하고 있고, ‘♦수렴한다’, ‘발산한다’, ‘증가한다’, ‘일정하다’, ‘변화한다’ 등과 같은 ♦운동은유가 역할을 한다.

Question 252

인식론적 장애 시사점 (개인적인 생각으로 정리)

Answer 252

(발장보원수**) (**자불반배)

첫째, 수학적 사고의 ♦발달 과정은 ♦장애의 극복 과정이라고 할 수 있으며, 장애를 극복함으로써 ♦보다 높은 새로운 차원의 이해가 가능해지므로, 교사는 ♦원활한 교수학적 의사소통**을 위해서**인식론의 ♦수정**이**필요하다.

(인식론적 장애 형성에 영향을 미치는 요인은 _지식의 본질과 관련_하여 _불가피한 것일 수_ 있으므로 이를 인식, 조절, 제어, 극복 등을 통한 _교수학적 처치_는 _중요한 사안_이다.)

(수학의 역사적 발생과정에서 나타난 인식론적 장애가 학생들에게도 _매우 유사_하게 나타나고 있으므로, 수학사에서 나타난 _인식론적 장애를 분석_하는 것은 _수학 학습 지도를 개선_하는데 도움이 될 수 있다.)

둘째, 교사는 ♦자신의 교수 결과가 ♦불완전할 뿐만 아니라♦반박될 수 있는 지식이라는 점을 받아들여 자신의 풍부한♦배경화를 구축해가야 한다.

Question 253

브루소의 교수학적 상황의 4단계

Answer 253

(행공타제 암의정승)

Question 254

개념적 지식과 절차적 지식

Answer 254

(핵관명 목요)

관계적 이해와 도구적 이해와 비슷하다.

개념적 지식은 ♦핵심 개념들과 각 개념들 간의 ♦관계성을 ♦명확하게 이해하는 것이다.

절차적 지식은 어떤 특정한 ♦목표를 달성하는데 ♦요구되는 절차에 관한 지식이다.

Question 255

프로젝트 평가와 개방형 문제 (열린반응 문제)

Answer 255

(해관여)

수학학습을 토대로 특정한 과제나 주제에 대해서 자료를 수집하고, 분석, 종합, 해결하는 과정과 결과를 평가하는 방법으로

열린반응을 요구하는 개방형 문제의 수행과제를 제시한다.

이때 개방형 문제란 ♦해답이 정해져 있지 않고, 문제해결자의 ♦관점에 따라 ♦여러 가지 답이 나올 수 있는 문제를 말한다.

Question 258

공학적 도구가 수학교육 목적의 추구에 기여하는 점(방법론적 측면)

Answer 258

(실구다사**) (**수과현**) (**구이 수발새구**) (**복다어다반**) (**산대신본 오반)

첫째, ♦실제경험의 연결이다. (제한적이었던 문제의 영역으로 인해 수학을 현실과는 유리된 것으로 잘못 파악하게 되었다.) 실생활 문제해결의 ♦수단이 되는 복잡한 ♦과정은 공학적 도구를 이용하여 해결할 수 있으므로 ♦현실과의 관련성이 충만한 문제를 다룰 수 있게 된다. (수학적 안목) (통계) (지필환경에서 다루기 어려운 현상에 대한 탐구가 가능하므로 개념의 의미를 더 잘 이해할 수 있다.)

둘째, 수학적 대상과 관계의 ♦구체화이다. 수학적 대상과 관계를 공학적 도구를 통해 ♦구체화하여 보여줌으로써 개념의 ♦이해를 도울 수 있다. 이는 딘즈가 주장하는 ‘♦수학적 다양성의 원리’와 관련된다. (♦발라세프 ‘♦새로운 경험적 수학 현실주의’라고 명명)

(컴퓨터의 탐구학습 환경의 가장 큰 특징 중의 하나는 ‘♦구체적__-__추상적 대상**’이다. 컴퓨터 화면에서 **실제로 존재하는 것처럼** 볼 수 있고 다룰 수 있다는 의미에서 _구체적_이라고 할 수 있으며, 컴퓨터 구현에 따른 산출물 내지 결과가 _수학적 구성물_이라는 의미에서 **추상적이라고 할 수 있다.)

셋째, ♦다양한 표현체계의 연결이다. ♦복잡한 수학 아이디어**의 ♦**다양한 측면**을 드러낼 수 있다는 것과 ♦**어떤 표현 체계에서의 행동의 결과**를 ♦**다른 표현 체계를 통해서 보여줌**으로써 그 _**행동의 의미를** ♦반성_**하도록 할 수 있다.

(대수적 표현과 기하적 표현 등이 한 화면에서 연결되어 다양하게 변화시켜봄으로써 이들 사이의 관계를 이해할 수 있다.)

넷째, ♦사고력 중심의 수학교육 추구이다. ♦산술적인 계산과 ♦대수적인 문자식의 처리를 ♦신속하게 수행해줌으로써 ♦본질적인 사고력 중심의 교수·학습 활동에 전념할 수 있게 해준다. 또한 ♦오류수정활동은 ♦반영적 추상화 활동에 기여하여 수학적 사고력을 향상시킨다.

(컴퓨터 프로그래밍 활동은 학생이 가지고 있는 수학 지식을 절차적 지식 형태로 변환하는 과정)

Question 259

공학적 도구의 수학적 지식의 변환 가능성 (변형시키고 왜곡할 위험성) (내용상의 변화)

Answer 259

(의공부**) (**개활의변)

① ♦의도된 내용상의 변화**로서, ♦공학적 도구로 인해 _**새롭게** ♦부각된 전문 수학의 내용_**을 말한다. (위험성 미미)

(컴퓨터는 _이론_과 _실험_이라는 전통적인 학문의 _두 패러다임_에 _계산_이라는 _새로운 패러다임_을 추가하였는데, 이는 수학자가 _수학적 모델을 이용한 시뮬레이션을 통해_서 세계를 _수학적으로 해석하는 관점을 얻는 방식_을 말한다.)

② 수학교육용 컴퓨터 소프트웨어를** ♦**개발**할 때나 _**개발된 프로그램을 실제로** ♦활용할 때 ♦의도되지 않은 곳에서 수학교육의 내용이나 성격이 ♦변할 수 있다는 것을 말한다. (프로그래머의 전문적 식견_**이 문제가 된다.)

Question 260

컴퓨터를 이용한 수학 교수·학습 양식

Answer 260

(방정주허)

교육용 컴퓨터 소프트웨어는 교수 ♦방향을 어느 정도 ♦정해놓았는가와 학생의 학습 ♦주도권을 어느 정도 ♦허용하느냐에 따라 분류된다. 크게 ‘개인 교사형’, ‘학생 주도형’, ‘보조도구형’의 세 가지로 분류되어 왔는데, 최근에는 학생주도형과 보조도구형이 결합된 ‘탐구 학습형’ 소프트웨어가 널리 사용되고 있다. (컴퓨터 보조학습 CAI Computer Assistant Instruction)

Question 261

개인 교사형

Answer 261

(역대__G 보 본)

전통적인 교사의 ♦_역할_을 _컴퓨터가_ ♦_대신_하는 양식으로서 여기에서 컴퓨터는 _정교한 교수 기계_로 사용된다. 대부분의 컴퓨터 보조학습용 소프트웨어가 여기에 속한다, ♦Geometry Tutor (기하문제에 대한 수학적인 증명과정)

학생들의 학습은 ♦_보장_하지만, 지식에 대한 학생들의 _견해를 표현할 수 없고_, _명확한 이해 없이도 학습이 진행_될 수 있기 때문에 _지식 이면에 들어있는 의미의_ ♦본질에 대한 이해를 보장하지는 못한다는 단점이 있다.

Question 262

학생 주도형

Answer 262

(지__LB 프결반나)

학생이 컴퓨터를 ♦_지도_하는 역할을 한다. 학생은 _자신이 구성하여 입력_하는 _일련의 논리적인 단계_를 통해 컴퓨터가 행동을 수행하도록 컴퓨터를 ♦프로그램__(__지도__)__하고그♦_결과를 살펴봄_으로써 자신의 _사고 과정을_ ♦반성하게 하고, ♦나중의 수학 학습에 도움을 얻게 된다. (♦LOGO, ♦BASIC 과 같은 간단한 프로그래밍 언어를 이용)

Question 263

LOGO, BASIC 등 프로그래밍 과정의 바람직한 효과 (수학적 문제해결력 신장 등) (96기출)

Answer 263

(알구 탐창 오메)

① ‘♦알고리즘**’적으로 사고하고, ♦**구조적으로 사고하는 것을 학습한다.

② ♦탐구학습**을 통하여 ♦**창의적 사고를 형성할 수 있다.

③ ♦오류수정활동**을 통하여 ♦**메타 인지적 능력을 향상시킨다.

Question 264

보조 도구형

Answer 264

(그문데절__MMC 기수숙장)

이용 범위가 가장 넓고 현재 가장 활발한 연구가 진행되고 있는 분야로, ♦그래프**를 그릴 수 있고 ♦**문자 연상**이 가능하며 ♦**데이터를 분석**하고 _**수학적인** ♦절차_**를 수행하는 소프트웨어를 사용하는 상황을 말한다.

(♦Maple이나 ♦Mathematica와 같은 기호 조작 소프트웨어 ♦CAS Computer Algebra system)

(스프레드시트, 워드프로세서, 데이터베이스, 그래픽 패키지 등의 일반적인 소프트웨어도 이용 가능하지만 성인들의 업무용이므로 교육적 이용에는 한계) (엑셀은 스프레드시트의 하나)

컴퓨터가 수행해주는 ♦기호 조작**이 _**교수__·__학습의 목적에 도달하기 위한** ♦수단으로 작용하는 경우에만 사용해야 하며, 학생들이 **기호 조작**_과 같은 기능을 _**충분히** ♦숙달하기 전에는 오히려 **학습에** ♦장애_**가 될 수 있다.

Question 265

탐구학습형

Answer 265

(학보__LCG)

♦학생 주도형과 ♦보조 도구형이 결합된 양식이다. (♦LOGO) (♦Cabri-Geometry,♦Geometer’s SketchPad(GSP)는 학습자가 새로운 대상과 도구를 구성할 수 있게 해주는 컴퓨터기반 기하 탐구학습 환경이다.)

Question 266

공학적 도구 활용시 유의점

Answer 266

(구시형연**) (**목어한토**) (**성감 책역 적바)

♦구체적이고 ♦시각적인 활동은 반드시 ♦형식적 증명과 ♦연결되어야 한다. (그렇지 않으면 형식적 증명의 내용과 성격을 _구체적이고 귀납적인 것_으로 _변질시키는 결과_를 _초래_할 것이다.)

첫째, 공학적 도구를 수학 교수·학습에 도입함에 있어서 그 ♦목적을 명확하게 할 필요가 있다. 즉, 수학 지식의 ♦성격을 변형하거나 왜곡할 위험성은 없는지에 대해 끊임없이 ♦감독하고 통제해야 한다.

둘째, 수학 교수·학습의 어느 단계에서 어떤 공학적 도구를 ♦어떻게 사용할 것인가의 문제가 중요한 문제로 부각된다. 이 문제를 가장 구체적으로 고민하고 판단해야 할 ♦책임이 교사에게 주어지므로 교사의 ♦역할이 더욱 중요하게 부각된다.

셋째, 공학적 도구의 교육적 ♦한계를 분명하게 인식해야 한다. 그 ♦적용이 타당하지 않는 영역에까지 공학적 도구를 무리하게 활용하려는 시도는 교육적으로 ♦바람직하지 못하다는 것을 인식해야 한다.

(학교수학의 내용 자체를 공학적 도구에 맞게 재조직**하자는 _**극단적인 주장**_으로까지 연결될 수 있다.) (**분수보다는 소수**) (연속수학이 아닌 **이산수학 중심**) (_목적과 수단_을 **혼동하는 오류를 범할 수 있다.)

(원주율 ㅠ와 같은 _무리수의 참값_을 컴퓨터에 _입력할 수 없다_는 사실을 인식하도록 함으로써 _무리수 개념_을 _암묵적으로 도입_할 수 있다.)

넷째, 가르치고자 하는 수학 지식에 ♦토대를 두고 이루어져야 한다.

Question 267

시각화 자료 활용의 긍정적, 부정적 효과

Answer 267

(직탐 형**) (**직오)

폴리아가 제시하고 있는 문제이해 단계의 발문과 권고인 ‘그림을 그려 보아라’는 그림을 그려서 문제 상황에 대한 이해를 돕기 위한 것이다.

이처럼 시각화 자료 활용의 긍정적인 효과는 문제 혹은 수학적 개념에 대한 ♦직관적 이해를 도울 수 있을 뿐만 아니라 다양한 문제해결 전략을 ♦_탐색_하는 데에도 도움을 줄 수 있다. (단, _구체적이고 시각적인 활동은_ 반드시 ♦형식적 증명과 연결되어야 한다.)

반면 시각화 자료 활용의 부정적인 효과는 ♦직관적인 판단의 상황에서 ♦오류를 일으킬 수 있는 가능성을 내포하고 있다는 것이다.

그림 A에서는 위쪽의 선분이 더 길어보이고 그림 B에서는 가운데 두 직선이 서로 평행하지 않은 것으로 보인다. 따라서 이 경우 논리 수학적인 분석과 확인이 요구된다.

Question 268

기호 조작 소프트웨어의 특징 (이점) (Maple, Mathematica)

Answer 268

(이반중효)

수학적 개념을 ♦이해하기 위하여 ♦반복적인 과정을 필요로 하는 경우에 그러한 반복적인 ♦중간 과정을 신속하게 처리해줌으로써 학생들이 시간을 ♦효율적으로 사용할 수 있게 해준다.

Question 269

기호 조작 소프트웨어 사용시 유의점

Answer 269

(자목원)

기호 조작 그 ♦자체가 교수학습의 ♦목적인 경우에는 사용해서는 안된다. 계산하는 능력 배양, 즉 계산♦원리를 바탕으로 한 기호 조작학습을 고려해야 한다.

Question 270

공학적도구- 프로이덴탈

Answer 270

(반국사)

공학적도구의 활용은 본질(개념이나 정의)을 처음부터 학생들에게 제시하는 ♦반__교수학적 전도의 대안**으로서 또는 ♦**국__소적 조직화 활동을 위한 도구나 수단**으로서 의미를 갖는다. _**수학적** ♦사__고력 증진_**이라는 수학교육의 목적 추구를 위한 강력한 수단이다.

Question 273

‘평가방법 및 유의사항’을 신설한 이유

Answer 273

(벗가경)

교육과정을 ♦벗어난 심화내용을 평가하지 않도록 안내하는 평가의 ♦가이드라인을 제공하여 수학 학습 부담 ♦경감을 실현하기 위한 것이다.

Question 274

진단평가 (민아 662) (교육과정 해설서)

Answer 274

(시선효)

수업의 ♦시작 단계에서 학생의 ♦선수학습 내용을 확인하는 데에 목적이 있는 것으로, 교사가 학습을 위한 가장 ♦효율적인 시작점에 학생을 배치할 수 있도록 도움을 준다.

Question 275

형성평가

Answer 275

(진안확올)

수업을 ♦진행하고 있는 과정에서 교수·학습을 ♦안내하는데 목적이 있는 것으로, 교사가 학생들의 진행정도나 향상 상태를 ♦확인하고 수업을 ♦올바른 방향으로 진행하는 데 도움을 준다.

Question 276

총괄평가

Answer 276

(마발결)

수업을 ♦마무리한 상황에서 학생의 ♦발전 상태를 확인하는데 목적이 있는 것으로, 한 단원의 교수 활동에서 목표로 한 바를 학생들이 도달했는가를 ♦결정하기 위해 수행된다.

Question 277

수학과 평가의 원리

Answer 277

(발다문정)

① ♦발달적 교육관을 중시하는 평가 (준거지향평가) (선발적 교육관)

② ♦다양한 평가 방법을 수반하는 평가

③ ♦문제해결 과정을 중시하는 평가

④ ♦정의적 영역 능력을 중시하는 평가

Question 278

평가의 2가지 의미

Answer 278

(ae**) (**결정비형 결가)

① ♦a__ssessment**의 의미는 _**교수학적** ♦결__정을 내리기 위해 학생들에 대한 ♦정__보를 수집하는 과정을 말하는 것으로, 관찰, 대화, 토론과 같은 ♦비__형식적인 방법과 시험, 과제와 같은 ♦형__식적인 방법_**을 통해서 가능하다.

② ♦e__valuation**의 의미는 ♦**결__정을 내리고**, ♦**가__치를 부여하고, 가치 있는 것이 무엇인지 결정하는 과정을 의미하는 것으로, 시험을 보는 것은 assessment라고 하더라도 이에 대해 성적을 부여하여 이 학생의 성취도 수준을 결정하는 것은 evaluation에 해당한다.

Question 279

평가도구

Answer 279

(인정**) (**문채예 요기)

♦인지적 영역의 평가에서는 주로 지필검사를 위한 평가 ♦문항 개발, ♦채점 기준 및 ♦예상 답안 작성을 말하며,

♦정의적 영역의 평가에서는 주로 관찰 및 면담을 위한 평가 ♦요목 개발, ♦기록 방법작성 등을 일컫는다.

Question 280

평가틀

Answer 280

(과제지)

평가도구의 개발 ♦과정에서 고려해야 할 ♦제반 항목에 대한 ♦지침, 안내, 준거가 되는 사항을 말한다.

Question 281

일반적인 수학과의 평가 과정 (95기출)

Answer 281

(skip)

① 수학과 행동 분류표 작성

② 과제 분석

③ 이원 분류표 작성

④ 목표의 상세화

⑤ 평가 문항 개발

Question 282

수학과 평가의 절차

Answer 282

(목영 틀도 실가채)

① 평가 ♦목적 설정

② 평가 ♦영역 및 목표 선정

③ 평가♦틀 개발 (평가 방법 선정)

④ 평가♦도구 개발

⑤ 평가 ♦실시

“♦가채점”

⑥ ♦채점 및 결과 보고

Question 283

서술형 문항의 채점 절차

Answer 283

(모실가검)

① ♦모범답안 및 채점 기준 작성

② 평가 ♦실시

③ ♦가채점 실시

④ 채점 기준 ♦검토 및 수정

Question 284

객관식문항과 서술형 문항

Answer 284

(사문과푸 억고 고)

지필검사로 학생들의 ♦사고력, 또는 ♦문제해결력 향상을 위해서는 풀이♦과정에 중점을 두어 문제를 ♦푸는 활동이 필요하고 이러한 풀이과정의 평가는 서술형 검사 양식에 의해 보다 적절히 이루어질 수 있다.

객관식 문항의 지필검사는 학생들의 비판적, 창의적 사고의 함양을 ♦억제하고 잘못된 학습 방법을 ♦고착시킬 가능성이 높은 반면, 서술형 문항의 지필 검사는 분석, 비판, 종합 등의 ♦고등 정신 기능들을 평가하는 데 유리하다.

Question 285

서술형 평가의 장점

Answer 285

(고피개)

첫째, 주어진 문제를 해결하는데 필요한 다양한 종류의 지식과 자료**를 _**수집**_하고 _**분석**, **비판**, **종합**_하는 등의 ♦**고등정신 기능들을 평가하는데 유리한다.

둘째, 학생들의 오개념이나 어려움을 파악하여 적절한** ♦_피드백_을 **제공할 수 있다.

셋째, 학생들의 오개념이나 어려움을 파악하여 자신의 수업**을 ♦**개선할 수 있다.

Question 286

분석적 점수화하기

Answer 286

(주필단점**) (**간내 많)

♦주어진 문제를 해결하는데 있어서 ♦필요한 단계(과정)을 구체화하여 각 ♦단계별로 채점 요소를 세우고 ♦점수를 배당하는 방법이다.

장점은 채점자 ♦간의 평점 차를 줄이고, 동일한 채점자 ♦내에서도 일관성 및 객관성을 유지할 수 있다는 것이고,

단점은 학생 개개인의 답안지를 면밀히 분석해야 하므로 채점하는 데 ♦많은 시간을 필요로 한다는 것이다.

(문제이해, 계획실행, 답구하기) (계획실행=해결과정=문제해결)

Question 287

분석적 점수화하기 유의점

Answer 287

(영세)

첫째, 어떤 특정요소에 대한 채점 결과가 다른 요소에 대한 채점 결과에 ♦영향을 주어서는 안된다.

둘째, 각 문항마다 채점 요소를 너무 ♦세분화하지 않도록 한다.

Question 288

총체적 점수화하기

Answer 288

(전하**) (**신날)

분석적 점수화하기와 다른 방법으로, 풀이 ♦전반에 걸쳐 ♦하나의 점수를 부여하는 방법이다.

장점은 학생들의 답안에 대하여 비교적 ♦신속한 평가를 할 수 있다는 것이고,

단점은 학생의 특정한 장점이나 단점을 ♦날카롭게 지적하지 못한다는 것이다.

(첨부된 사진은 각각 17기출, 03기출)

Question 289

가채점을 하는 이유

Answer 289

(요생부미)

채점 기준의 ♦요소 중에서 채점자가 ♦생각하지 못했던 채점 요소나 또는 ♦부적절하게 배당된 요소별 점수가 있는지를 검토하고 ♦미비한 부분을 보완하고 수정할 수 있다.

Question 290

수학에 대한 정의적 특성의 요소

Answer 290

(정신동**) (**흥호불 수가귀 목효조)

♦정서: ♦흥미**, ♦**호기심**, **수학**♦**불안

♦신념: ♦수학관**, ♦**가치인식**, ♦**귀인

♦동기: ♦목표 지향성**, **자기** ♦**효능감**, **자기** ♦**조절력

Question 291

프로젝트 평가

Answer 291

(열개**) (**해관여)

수학 학습을 토대로 특정한 주제나 과제에 대해서 자료를 수집하고, 분석, 종합, 해결하는 과정과 결과를 평가하는 방법으로 ♦열린반응을 요구하는 ♦개방형 문제의 수행과제를 제시한다.

이때 개방형 문제**란 ♦**해답이 정해져 있지 않고**, **문제해결자의** ♦**관점에 따라** ♦**여러 가지 답이 나올 수 있는 문제를 말한다.

Question 292

프로젝트 평가의 특징

Answer 292

(주개 연가 협의)

① ♦주제 및 진행 과정**을 _**개별화 또는 차별화**_하여 ♦**개성에 맞게 다룰 수 있다.

② 다른 교과 내용과의** ♦**연계성**에 따라 _**수학적** ♦가치의 인식_**이 가능하다.

③ 소그룹** ♦**협동학습**을 통해 ♦**의사소통 능력을 신장시킬 수 있다.

Question 293

포트폴리오 평가

Answer 293

일정기간 동안 수학학습 수행과 그 결과물을 평가하는 방법으로, 학생의 학습내용 이해와 수학교과 역량을 종합적으로 판단하고 학생의 성장에 대한 정보를 얻는데 활용할 수 있다.

Question 294

포트폴리오 평가의 특징

Answer 294

(점원총진 자맹 다의)

① 시험 ♦점수에만 의존**하기보다는 _**평가의 다양한 ♦원천**을 토대로 학습자를 **♦****총체적으로 평가**_하기 위한 방법으로**기존의 평가에 비해♦진일보한 평가방법이 될 수 있다.

② 학생들의 ♦자기평가 기능**을**발전**시켜 줌으로써**학점을 ♦맹신하지 않도록 해줄 수 있다.

③ 교실에서 발생하는 ♦다양한 수학학습에 관하여 학생, 학부모, 교사 간의 훌륭한 ♦의사소통 수단이 될 수 있다.

Question 295

포트폴리오 평가결과의 처리방법

Answer 295

(점불 특구전진논)

♦점수화, 수량화하는 방법**은 _**현실적으로 ♦불가능**하므로, **♦****특정한 행동측면**_을**중심으로 포트폴리오의♦구성물들을 검토하여 학생의 진전, 발달 정도를 교사의 ♦전문적 판단에 따라♦진술문의 형태로 기술하는 ♦논평으로 처리하는 방법을 이용한다.

Question 296

관찰 및 면담 평가

Answer 296

(독다보)

우리나라 교육현실을 감안할 때, ♦독자적인 평가기법으로서의 역할보다**는 ♦**다른 평가기법에 의한 결과**를 _**점검하고 보완하는** ♦보조역할_**의 의미가 더 크다.

Question 297

관찰 및 면담 장점

Answer 297

(인정 양심)

첫째, 수학적인 수행 능력과 같은 ♦인지적 영역뿐만 아니라 수학에 대한 태도와 신념 등 ♦정의적인 영역까지도 평가할 수 있다.

둘째, 검사를 통해 ♦양적으로 확인할 수 있는 학생의 수학적 능력이나 사고에 대하여 보다 ♦심화된 자료를 얻을 수 있다.

Question 298

관찰 및 면담의 기록방법

Answer 298

(일체평**) (**행간 분표 척분)

① ♦일화기록법**: 한 개인을 대상으로 **구체적인** ♦**행동 사례**를 ♦**간략하게 기술하는 방법이다.

② ♦체크리스트**: 관찰 또는 면담하려는 **행동 단위**를 _**미리** ♦분류하고, 이것을 기초로 그러한 행동이 나타났을 때 ♦표시_**하는 방법이다.

③ ♦평정척도법**: 관찰 또는 면담하는 대상을 **일정한** ♦**척도**에 따라 ♦**분류하고 측정하는 방법을 말한다.

Question 299

이차원 구조와 삼차원 구조

Answer 299

(내인정**) (**계이추문의)

이차원 구조: 수학적 내용, 인지적 행동 영역 (행동영역: ♦계__산**, ♦**이__해**, ♦**추__론**, ♦**문__제해결**, ♦**의__사소통)

삼차원 구조: 수학적 ♦내용, ♦인지적 행동 영역, ♦정의적 행동 영역

Question 303

과거의 수 개념을 지도하는 방법 (산술 교수법) (수 개념은 어디에서 추상되는 것인가)

Answer 303

(사기 사본포경 선출추관)

① ♦사물에 의한 방법**: 수 개념을 ♦**사물 자체**가 가지고 있는 ♦**본질적인 특성**이라 보고, 인간이 _**그것을** ♦포착하기만 하면 추상화될 수 있는 것이라 생각하는 ♦경험론_적인 방법이다. (학습자의 _사고 활동_이 _사물이나 그림에 고착_될 위험이 있다는 한계 → **수동적인 관찰)

② ♦기호에 의한 방법**: 수를 이루는 **기초적인 개념**은 ♦**선천적으로 타고나는 것**이라 보고, _**이를** ♦출발점으로 하는 **추상적인** ♦추론과정만 있으면 수 개념을 형성할 수 있을 것이라 생각하는 ♦관념론_적인 방법이다. (수 개념이 _현실과는 유리된 공허한 기호_로만 학습될 가능성이 있다는 한계 → 숫자를 _맹목적_이고 **기계적으로 다루는 것을 강조)

Question 304

듀이와 피아제

Answer 304

(원사인활)

수 개념이 추상화되는 ♦원천을 ‘♦사물 자체**’로 보거나 ‘♦**인간의 정신**’만으로 보는 대신 ‘**사물에 대한 인간의** ♦**활동’으로 보았다.

Question 305

피아제

Answer 305

(속추인추 분서)

수 개념은 사물의 ♦속성**을 _**♦****추상_함**으로써 얻어지는 것이 아니라**_사물에 대한 ♦인간의 활동**_을**♦_추상_함으로써 형성되는 것으로 보았다. (수 개념의 구성에서 필수적인 역할을 하는 활동은 구체적인 대상에 대한 _분__류 활동_, _서__열화 활동_이다.)

(수 개념 지도에서 _포함관계에 의한 집합_의 _분류 활동_과 _서열화 활동_에 대한 _반영적 추상화_를 강조한다. 12기출)

Question 306

듀이

Answer 306

(한측 추수제 측반성**) (**모명변관)

수 개념은 ♦한계 상황의 인식에서 비롯**되는 ♦**측정활동에 의해 생겨난다고 보았다.

수 개념을 처음부터 ♦추상화된** ♦**수학적 대상**으로 ♦**제시**하는 것이 아니라 ♦**측정활동**을 통하여 ♦**반성되고** ♦**성장되는 것으로 지도해야 한다고 보았다.

측정활동이란 ‘♦모호한 전체**’를 ‘♦**명확한 전체**’로 만드는 과정이고, 그 과정은 ♦**변별**(분석)과 ♦**관계짓기(종합)의 두 하위조작을 포함한다고 설명한다. (두 가지 활동의 상보적인 수행과 변증법적인 통합이 요구)

Question 307

듀이의 산술 지도 방법 (구성적 활동의 방법)

Answer 307

(모 도단 명측**) (**저의한 능 반재정)

① ♦모호한 전체**(명확히 규정될 필요가 있는 한정된 크기나 양): 생활 중에 인간의 활동이 **어떤** ♦_저항을 겪게될 때 ♦의식하게 되는 ♦한계상황_이다. (문제해결에서의 첫 단계 즉, _탐구_와 _사고_를 _발생_시키는 **문제 상황)

② 전체를 (__명확하게__) 구성하는 데** ♦**도움이 되는 부분**(♦단위): 전적으로 **주체의** ♦**능동적인 관점과 활동에 달려있다.

③ ♦명확한 전체를 구성하는** ♦**측정의 과정**(수 값의 결정): 수는 **단위의** ♦**반복**을 통해 _**전체를** ♦재구성하는 ♦정신적인 활동_을 의미한다. (추상적인 상태가 아닌 측정활동으로 도입) (문제해결에서의 마지막 단계 즉, **문제가 해결된 상태)

Question 308

고정단위방법

Answer 308

(질개)

듀이가 잘못된 수 개념 지도방법**으로 _**강하게 비판**_하는 것으로, 개개의 사물이 ♦**질적으로 구별된다는 것**을 _**전제**_로 하여 ♦**개별 사물을 단위로 고정하는 방법이다.

Question 309

음수와 인식론적 장애

Answer 309

음수 개념과 그 연산의 의미를 크기 또는 양과 관련지어 파악하기 때문에 음수를 수로 받아들이기 어려워한다.

① 작은 수에서 큰 수를 빼는 것이 어떻게 가능한가?

② 작은 수의 제곱이 어떻게 큰 수의 제곱보다 클 수 있는가?

③ 1:-4=-5:20

④ (-4)*3의 직관적 인식, 4*(-3)의 직관적 무의미

(_피승수_가 음수인 경우는 직관적으로 이해하지만, _승수_가 음수인 경우는 직관적으로 이해하기 어려워한다.)

Question 310

음수지도 (+ 사칙연산_)_

Answer 310

직관적 모델과 형식적 모델의 장단점을 고려하여 두 모델이 조화되는 음수지도가 필요하다.

덧셈과 뺄셈은 대체로 수직선 모델, 셈돌 모델 등을 이용하여 설명한다.

알고리즘의 숙달을 위해 뺄셈을 덧셈의 역연산으로 설명하여 ‘빼는 수의 부호를 바꾸어 더하는 것’으로 형식화한다.

곱셈은 수직선 모델, 셈돌 모델, 귀납적 외삽법 등을 이용하여 설명한다.

나눗셈은 곱셈의 역연산으로 설명하여 ‘같은 부호를 가진 수를 나눈 결과는 양수, 다른 부호를 가진 수를 나눈 결과는 음수’라는 알고리즘을 형식화한다.

Question 311

정수의 나눗셈의 원리

Answer 311

부호가 다른 두 정수의 나눗셈의 몫은 두 정수의 절댓값의 나눗셈의 몫에 음의 부호 –를 붙인 것과 같다.

Question 312

(-a)+(-b)=?

Answer 312

x+a=0 의 해로 –a를 도입하고, y+b=0 의 해로 –b를 도입하여 두 식의 양변을 더하고 교환법칙과 결합법칙에 의해 유도된다. (형식불역의 원리)

(-a)+(-b)=-(a+b)

Question 313

Answer 313

a/b, d/c를 a×x=b, c×y=d로 정의하고 각 식에 c와 a를 곱해주고 두 식의 양변을 더하고 _곱셈의 교환법칙_과 _결합법칙_, 덧셈의 곱셈에 대한 분배법칙에 의해 유도된다.

Question 314

직관적 모델(구체적 모델)의 장단점

Answer 314

(장한단프)

♦장점은 음수의 풍부하고 실제적인 가치를 의미 있게 경험할 수 있도록 할 수 있다는 것이다.

♦한계는 음수가 물리적 세계의 구체적 대상으로부터 추상화된 것이 아니라 방정식과 그 해집합의 구조를 완전하게 하려는 형식적인 요구로부터 생겨난 것이라는 데 어느 정도 기인한다.

♦단점은 일관성이 결여되고 임의적이고 협약적인 취약성을 갖는다는 것이다.

♦프로이덴탈은 음수의 형식적인 본질에 입각하여 자연수 체계의 확장으로 음수와 그 연산을 지도할 것을 주장하였다. 이는 자연수 a에 대하여 x+a=0의 해로 음수 –a를 정의하고, 자연수에서 성립하는 계산 법칙이 음수에서도 성립하도록 음수를 정의하는 방식이다.

Question 315

형식적 모델의 장단점

Answer 315

(역 자출 형익)

장점은 음수의 정의가 방정식의 해를 구하는 문제 상황에서 출발하여 도입되므로 음수의 ♦역사적 발생과도 부합한다는 것이다.

따라서 학생들에게 익숙한 ♦자연수 연산의 기본 성질로부터 ♦출발하여 음수 개념을 설명함으로써 음수의 ♦형식적인 본질에 ♦익숙하게 하며, 일관성이 결여된 물리적 모델이 갖는 임의적이고 협약적인 취약성을 극복할 수 있다.

단점은 음수의 풍부하고 실제적인 가치를 의미 있게 경험할 수 없다는 것이다.

Question 316

직관적 모델 비교

Answer 316

Question 317

수직선 모델

Answer 317

(수음곱나)

♦수는 방향과 크기를 갖는 화살표로 설명될 수 있다. ‘크기’외에도 ‘방향’이라는 요소가 ♦음수 개념에 포함되어야 한다.

♦곱셈을 설명하는 방법은 여러 가지가 있는데, 그 중 한가지는 반복되는 덧셈으로 곱셈을 설명하는 것이다. 단, 음수를 곱할 때에는 음의 부호를 ‘방향을 바꾸는 것’으로 이해한다.

♦나눗셈은 약간 복잡한데, 반복되는 뺄셈을 통하여 피제수를 나타내는 화살표를 원점으로 줄이는 과정으로 설명된다. 단, 줄이는 방향이 제수의 반대 방향일 때 그 결과를 양으로 간주한다.

Question 318

수직선 모델의 장단점

Answer 318

장점은 첫째, 수직선상에서 정수가 배열되는 방식은 ‘순서 구조’를 그대로 유지하고 있다는 것과 둘째, 두 정수 사이의 대소 관계는 다른 어떤 모델보다 수직선 모델에서 가장 명확하게 잘 드러난다는 것이다.

단점은 음의 부호가 다중적인 의미를 갖는다는 것이다. (음수 개념 자체에 내재된 본질적인 다의성) (왼쪽, 반대방향, 뺄셈)

Question 319

셈돌 모델

Answer 319

생성의 법칙(부활의 법칙)은 검은 돌 하나와 흰 돌 하나는 같이 생성할 수 있다는 것이다.

소멸법칙은 검은 돌 하나와 흰 돌 하나는 같이 없앨 수 있다는 것이다.

(자연수의 순서쌍들의 집합과 같이 동치류로 정수를 정의하는 것과 같은 구조)

Question 320

셈돌 모델의 장단점

Answer 320

장점은 자연수의 개념을 물건의 개수와 관련짓는데 익숙한 학생들에게 무리 없이 정수의 덧셈과 뺄셈을 지도할 수 있다.

단점은 곱셈과 나눗셈을 설명하는 데에는 한계를 갖는다는 것이다. 부호규칙을 특별한 이유 없이 선언해야만 하는데, 이건 그냥 받아들이게 해서 외우게 하는 것과 다르지 않다.

Question 321

우체부 모델

Answer 321

(곱피승)

나눗셈은 자연스럽지 않지만 ♦곱셈은 설명 가능하다. ♦피승수를 고지서와 어음으로 해석하고 ♦승수는 우체부가 가져온 것의 개수나 가져간 것의 개수로 해석하는 것이다.

Question 322

우체부 모델의 장단점

Answer 322

장점은 음수의 연산에 대한 실용적인 맥락을 학생들에게 제공하고자 하는 모델이다.

단점은 나눗셈이 자연스럽지 않다는 것이다.

Question 323

‘용기’를 사용한 집합개념의 지도의 이점과 문제점

Answer 323

(공 공부집원 자)

아무런 대상을 담지 않는 용기를 ♦공__집합**으로 개념화하고, ♦**공__집합**이 _**모든 집합의** ♦부__분집합임을 개념화하는 경우나 ♦집__합이 **다른 집합의** ♦원__소_**가 된다는 것을 효율적으로 지도할 수 있다. (은유) (유추x)

그러나 ‘♦자__신의 원소인 집합’ 이라는 표현은 문제점이 있다.

Question 324

수의 소수 표현과 분수 표현의 장단점

Answer 324

(덧대 곱비순 곱 통대)

Question 325

형식불역의 원리

Answer 325

(대기기인 음지)

(기존의 체계에서 _인정된 성질_이 그대로 유지되도록 하면서 _체계를 확장_하는 원리) (역사상 _수 체계의 확장_에 유용하게 활용되었다.)

어떤 ♦대수적 구조**나 ♦**기하적 구조**를 확장할 때에는 ♦**기존의 체계**에서 ♦**인정된 성질이 유지되도록 해야한다는 것이다.

교과서적으로 드러난 적용의 대표적인 예는 ♦음수의 연산법칙의 유도**, ♦**지수의 확장이다.

Question 326

귀납적 외삽법의 원리

Answer 326

부호규칙이 자연스럽게 설명가능하므로 음수의 곱셈지도에 용이하다.

Question 327

기하학적- 대수학적 형식 불역의 원리

Answer 327

(조확구)

대수적으로 이루어지는 ♦조작의 타당성이 기하적으로 ♦확인될 수 있다면 그 ♦구조에 대한 확신은 배가 된다는 것이다.

Question 328

추상적인 식을 시각화한 자료의 유용성

Answer 328

첫째, 식을 직관적으로 이해하게 해준다.

둘째, 대수와 기하의 연결성을 인식하는 데 도움이 된다.

Question 329

지수법칙

Answer 329

_중__2_에서 등장하는 것으로, _고__2_ 수학__1에서 정수, 유리수, 실수로 확장해간다.

Question 330

지수의 범위 확장- 정수

Answer 330

Question 331

지수의 범위 확장- 유리수

Answer 331

Question 332

지수의 범위 확장- 무리수

Answer 332

Question 333

자연수의 지수법칙이 정수에서도 성립함을 보여라.

Answer 333

Question 334

정수의 지수법칙이 유리수에서도 성립함을 보여라.

Answer 334

Question 335

유리수 개념의 발생과 관련되는 다양한 맥락

Answer 335

(부분비곱)

① ♦부분과 전체: 하나를 5등분한 피자의 2조각.

② ♦분배결과의 몫: 5명의 사람에게 2개의 피자를 분배한 결과.

③ ♦비율**: 5:2=10:4, 5:10=2:4. ‘**동치관계라는 본질적인 아이디어’

(다양한 상황을 의미 있게 구조화하는 수단)

④ ♦곱셈 연산자: 유리수에서 정의되는 함수 f(x)=(2/5)x

Question 336

유리수

Answer 336

(1__유정 바같 사제효)

♦15__개정**에는 _**♦****유__리수 개념**_이**♦정__수의 나눗셈**을 배우지 않은 상태에서 도입되므로 수학적으로 조금 더 _**♦****바__람직한 유리수의 정의**_인 ②번과 같이 유리수를 정의하면,**(a/-b)__와 (-a/b)가 ♦같__은 유리수라는 것을 논리적으로 설명하기가 어렵다는 단점이 있다.

하지만 정수와 유리수를 분리해서 따로 지도하는 것은 ‘♦사__칙연산**’ 지도 등에서_♦_제__한점_이 많으며 _♦**효__율성**이 낮기 때문에 정수와 유리수의 계산에서**부호가 같은 두 정수의 덧셈의 원리**를 이해시키고,**유리수의 덧셈에도 그 원리가 적용됨**을 알게 함으로써**사칙연산을 보다 효율적으로 지도할 수 있다는 장점이 있다.

문제) ①번과 ②번의 정의는 결국 같은 것임을 설명하라.

답) 정수의 나눗셈의 원리에 의해 부호가 같은(다른) 두 정수의 나눗셈의 몫은 두 정수의 절댓값의 나눗셈의 몫에 양(음)의 부호 +(-)를 붙인 것과 같으므로 다음이 성립한다.

Question 337

무한소수와 무리수, 유리수 (feat. 수의 체계)

Answer 337

(무순두귀**) (**유무무 유유순**) (**소 순 유순분)

⑴ ♦무리수**는 ♦**순환하지 않는 무한소수**로 도입하는데, 좀 더 엄밀한 정의는 ♦**두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수**이다. 이렇게 도입하는 이유는 ♦**귀류법이 중3 수준에서 도입하는 것은 어렵다고 보기 때문이다.

귀류법을 사용해서 증명하는 것은 고등학교 1__학년 명제단원에서 다룬다. (루트2)

⑵ 이러한 이유로 ♦유리수__(__중__1)**와 ♦**무리수__(__중__3)** 사이에 ♦**무한소수** 개념을 다루게 된다. ♦**유리수**를 ♦**유한소수 및** ♦**순환소수로 생각할 수 있음을 다루면서 다음 명제를 차례로 정당화한다.

① _유리수를 ♦소수_로 나타내면 _유한소수 또는 무한소수_의 형태이다.

② 유한소수로 나타낼 수 없는 유리수는 항상 ♦순환소수인 무한소수로 나타낼 수 있다.

③ 역으로, ♦유한소수 또는** ♦_순환소수는 항상 ♦분수_로 나타낼 수 있으므로 **유리수가 된다.

Question 340

대수학습을 통해 학생들이 기를 수 있는 능력

Answer 340

(수 양형 구)

첫째, _여러 가지 문제 상황을 ♦수식으로 표현_하여 _해결하는 능력_을 기를 수 있다.

둘째, ♦양 사이의 관계**를 _**탐구**_하고 _**문제**_를 ♦**형식화하거나 일반화하는 능력을 기를 수 있다.

셋째, _문제를 ♦구조적 관점_에서 _다룰 수 있는 능력_을 기를 수 있다.

Question 341

대수학습의 기본이 되는 문자와 식의 역할

Answer 341

(의추일)

① _수학적 ♦의사소통_에 _필수적인 언어_이다.

② ♦추상화의 단계**에서**개념**을**조작하고 적용**할 수 있는**수단이다.

③ ♦일반화와 통찰**을**용이하게 하는 방법**을**제공하는 도구이다.

Question 342

학교수학에서 변수개념의 등장

Answer 342

우리나라 교육과정에서 명시적으로 변수를 다루는 건 “함수를 정의할 때”이다. 변수를 먼저 정의하고 함수를 정의한다.

매개변수 언급은 미분에서 처음 등장한다.

Question 343

대수의 발달단계

Answer 343

(언생기 일미주)

① ♦언어적 대수 단계**(Diophantus 이전 시대): 미지수나 계산의 전체적인 과정이 ♦**일상 언어로 기술되던 단계이다.

② ♦생략적 대수 관계**(Diophantus 시대 3c~ 16c): ♦_미지수를 표현_하기 위해 **문자를 사용하기 시작하는 단계이다.

③ ♦기호적 대수 단계**(Viete 16c): **문자**가 _**미지인 양** 뿐 아니라 ♦주어진 양_**까지도 나타내는데 사용되는 단계이다.

Question 344

대수의 발달단계

Answer 344

(절대 산대) 절차적인 관점에서 대수적인 관점으로의 발달

① ♦절__차적인 관점**: 수치를 얻기 위해 수를 가지고 행하는 ♦**산__술적 연산**을 주로 의미한다. (**수를 대입)

② ♦대__수적인 관점**: 수에 대해서가 아니라 ♦**대__수식 자체**에 대해 행해지는 여러 연산. (**식을 간단히)

Question 345

변수개념의 본질

Answer 345

(동정 변운 동**) (**다 여특가 다정) 변수개념 변화에 관한 가장 중요한 근원적인 두 가지 측면

① 변수의 ♦동__적인 측면**: 실제로 변하거나 _♦_변하는 것으로 가정되는 대상의 **♦운동학적 상태를 나타내는 것이다. (변한다.)

예) ‘x가 0에 수렴한다.’, ‘점 p는 평면 S위에서 움직인다.’

② 변수의 ♦정__적인 측면**: **♦동치인 여러 대상을 동시에 나타내는 것이다. (대신한다.) (다가이름)

예) a+b=b+a

* ♦다__가이름**: 하나의 대상이 연속적으로 변해가는 실제적 변화를 나타내는 것이 아니라_♦_여__러 개의 개별 대상을 동시에 칭하면서_ _♦특__정문맥과 연결되면 특정한 대상**을 취한다는 의미에서 실제적 변화라기보다는**♦가__상적 변화_를 나타낸다. 이는 변하는 대상에 대한 동적 변화와 비교하여 ‘변화’의 의미가 _♦다__소 덜 동적**이라는 의미에서**♦정__적 변화로 설명**된다.

Question 346

변수개념의 본질- 프로이덴탈

Answer 346

(동정 동세설대 수일다수)

① 변수의 ♦동__적인 측면**: 변수의 동적인 측면을 강조해야 하는 이유는 변수의 **♦동__적인 측면**을 현대의 추상수학이 아무리 없애려 해도 그렇게 될 수는 없다는 데 있다. 이는 우리가**변화하는 ♦세__계**속에서 살고 있고 그러한 세계를 설명하는 것은**변화를 ♦설__명**하는 것이며 이를 위해서 우리는**변하는 ♦대__상을 다루어야하기 때문이다.

② 변수의 ♦정__적인 측면**: 다가이름으로서의 변수는 **♦수__학적 사고**에서 중요한 의미를 가지는 ‘**♦일__반화**’를 **표현하는 도구**로서 대수적인 표현을 의미있게 경험하기 위해서는 _**♦****다__가이름으로서의 변수 개념의 본질**_이 강조되어야 한다고 본다. 그리고**다가이름으로서의 변수 사용법**을**지도하는 방법**으로 문자에 수를 대입하는 것이 아니라**♦수__에 문자를 대입해보는 방법을 소개한다.

Question 347

변수의 다양한 의미 (Usyskin)

Answer 347

(문산양구 방패독어 덧일 인증)

① ♦문제해결 과정의 학습이다. 이는 변수가 ♦방정식의 해에 대한 자리지기인 미지수로 생각된다는 것이다.

예) 5x+3=4

② ♦산술의 일반화의 학습이다. 이는 변수가 ♦패턴을 일반화하는 요, 즉 다가이름으로서의 부정소라는 것이다.

예) ♦덧셈의 교환법칙** a+b=b+a, ♦**일차방정식의 일반형 y=ax+b (a,b는 부정소)

③ ♦양 사이의 관계 학습이다. 이는 변수가 ♦독립변수, 종속변수, 매개변수로 고려된다는 것이다.

예) _함수개념_과 _함수식_을 다룰 때 y=ax+b (a,b는 매개변수)

④ ♦구조의 학습이다. 이는 변수가 ♦어떤 성질을 만족하는 임의의 대상을 나타내는 기호라는 것이다.

예) 다음 이차식을 ♦인수분해** 하여라, 실수체의 기본 성질을 바탕으로 한 ♦**증명학습

Question 348

칸트Kant의 개념의 이해

Answer 348

(어이)

♦어떤 특정한 대상을 ♦이미 알고 있는 개념**의**사례**로**인식할 수 있다는 것을 의미한다.

Question 349

피셔와 프로이덴탈의 변수 개념의 이해에 관한 주장

Answer 349

(안본 본현참) ♦안목의 형성을 위해 개념의 ♦본질로부터 출발한 지도 방법이 효과적이라고 보고, 수학적 개념을 지도하는 과정에서 개념의 ♦본질, 그 본질로 조직되는 ♦현상, 학습자의 능동적인 ♦참여를 모두 강조한다.

Question 350

피셔의 열린수학, 닫힌 수학

Answer 350

(이실주)

닫힌 수학이란 ♦이론이 ♦실제와 ♦주체로부터 완전히 분리되어 있는 상태를 말한다.

열린 수학이란 새로운 수학 내용을 학습하는 과정에서 학습자인 주체의 참여와 수학적 개념의 토대가 되는 실재를 고려하는 것을 말한다. (이론, 주체, 실재)

Question 351

개념정의, 개념이미지

Answer 351

(V__동의거오**) (**상 완직직)

_개념 정의_란 개념을 정확히 설명하는 언어적 정의이고, _개념 이미지_란 개념과 정신적으로 관련된 모든 성질과 과정 및 심상들로 이루어진 인지구조이다.

♦_Vinner_에 따르면 개념 정의를 이해하고 기억할 때 _개념 이미지를_ ♦_동__원하는 것이 효과적_이므로 학생들은 형식화된 개념 정의보다 _개념 이미지에_ ♦의__존하는 경향이 있는데, 개념 이미지를 ♦거치는 과정에서 여러 가지 ♦오__류가 나타날 수 있다고 보았다. 그에 따르면 개념 정의와 개념 이미지가 ♦상__호작용하는 방식에는 다음과 같이 네 가지 경우가 있다.

Question 352

학교 수학에서의 대수학습의 문제점

Answer 352

(자리지기) (문자선택) (특수화)

(모__3__방 자형도다 간값필선변아 일대구특동다)

수학적 ♦모델링**과 관련해서는 수학적 모델링 과정의 _**♦__3__번째 단계**_에 해당하는 _**♦****방정식의 풀이**_에만 초점을 맞추어**수식을 변환**하여**답을 구하는 기능을 가르치는데 치우쳐 있다. (96기출)

① 변수 개념의 의미를 적절히 다루지 않은 채 단순한 ♦자리지기로 제시되는 경향**이 있어, 단지 _**♦****형식적 조작의 대상**_으로 다루는**♦도구적 이해 수준**에 머물러 있다는 것이다. 변수는 몇 가지 패러다임을 통해서 _**♦****다각도로 접근**_되어야**의미가 풍부**하게 살아날 수 있는**다차원적인 개념이다.

② 문자를 사용하여 식을 ♦간단히 하고 식의 ♦값을 구하는** 학습 내용이 주로 제시되고 있어, 학생들이 **문자사용의 ♦필요성**을 느끼고 스스로 _**문자를 ♦선택하여 나타내는 경험**_을 제공하지 못한다. 따라서 적절하게 _**문제를 ♦변형하여 제시**_할 필요가 있다. (그렇지 않다면 주어진 변수의 문자가 ‘**♦아직 정해져 있지 않은 값**’을 나타낸다는_의미로 충분히 설명_**되어야 한다.)

③ ♦일반화된 식**에서**변수에 값을 ♦대입**시키는 과정을 주로 경험하는 반면, 다가이름으로서의 변수 개념의 본질인 구체적인 상황을 변수로 구성하여**일반화된 식을 ♦구성**해내는 과정을 경험하는 경우는 많지 않다는 것이다. 따라서**일반화/♦특수화**에 대한 직접 경험의 과정은**♦_동일한 정도_로 다루어져야 하고 그 과정은 _♦_다양한 문제 상황에서 주어져야 한다. (다각형의 내각의 크기의 합, 이차방정식의 근의 공식 등)

Question 353

대수에서의 오개념의 유형

Answer 353

(길지만 자연스럽고 필요한 말들이다. 그대로 읽으면서 외우면 외워질거다.)

(임범불**) (**유다같 수변문문변 산)

① 변수의 ♦임의성에 대한 이해 결여: 변수를 표시하는 기호가 변화하면 변수가 나타내는 대상도 변화한다고 생각하는 경향이 있다는 것이다. 어떤 대상을 나타내기 위해서 변수기호를 임의로 선택할 수 있다는 것을 이해하지 못하는 것이다.

예) x+y+z=x+p+z 는 결코 참인 문장이 될 수 없다고 생각하는 경우

예) y=2x와 y=2w가 정의역이 같을 때도 문자 표현이 다르므로 같은 함수로 보지 않는 경우

원인**이 변수를 일차방정식의 하나의 해처럼 _**어떤 ♦유일한 대상**_을 _**구하는 학습경험**_을 많이 한 상황이므로, _**대안**_으로는 수학수업에서 교사가 때때로 _**♦****다른 문자**_에**♦같은값**을 취해보면서 학생들의**인지장애**를**완화시켜줘야 한다.

② 변수가 나타내는 대상 ♦범위의 제한**: 대부분의 학습자는 변수를 접할 때 즉각적으로 _♦_수를 대신하는 것이라는 생각을 한다는 것이다. 하지만 변수가 나타내는 대상은 **수__, 점__, 명제 내의 조건__, 함수__, 행렬__, 연산__, 관계 등이 있다.

_♦변수_가 항상 _♦_문자로 표현되는 것도 아니고 (O, ㅁ, 세모)

_♦문자_가 항상 _♦_변수가 되는 것도 아니다. (i, ㅠ, e)

③ 변수를 포함한 대수식을 ♦불완전한 것으로 받아들임**: _연산의 결과_에 의해 _하나의 수_로 _대치_된다는 **♦산술경험에 의존하여 더 이상 간단히 되지 않는 대수식을 완성되지 않은 불완전한 것으로 생각한다는 것이다. (조작적 관점에서 구조적 관점으로의 대수학습의 진전이 필요하다.) (절차적인 관점을 뜻하는 듯)

예) x+7=7x, 2x+1=2x

Question 354

500a+ 1200b= 1700ab 라고 풀이한 학생은 ‘+’ 기호를 어떻게 인식했는지 설명하고,

대수학습을 성공적으로 하기 위하여 ‘+’ 기호를 어떻게 인식해야 하는가를 기술하시오.

Answer 354

완결되지 않은 대수식**으로 인식했다. 이는 대수에서 _**a+b**_가 _**a__와 b__를 더하는 과정__(__절차__)**_이 되기도 하지만, _**a__와 b__의 합 그 자체라는 대상**_이 되기도 한다는 것을 인식해야 한다. (주의!! “**500__과 1200__을 더하여 1700__을 쓰고 a__와 b__를 연이어 ab__를 쓴 것이다__.” 포함)

Question 355

등호를 비대칭적으로 해석할 때 학생들이 범하는 오류

Answer 355

2+3-1을 구하라 했을 때, 2+3=5-1=4 라고 풀이하는 경우.

x+3=7의 해를 구하라 했을 때, x+3=7 =7-3 =4

Question 356

[문제1]과 같은 유형의 문제해결의 경험이 학생에게 초래할 수 있는 문제점

Answer 356

Question 357

문자와 수의 유사점과 차이점

Answer 357

(약대 동임곱부)

_유사점_은 i, ㅠ, e와 같이 수로 ♦약속되어 있거나, 수 ♦대신 쓸 수 있다는 것이고 _차이점_은 다음과 같다.

① 수는 단 하나의 수를, 문자는 ♦동시에 많은 수를 표현할 수 있다.

② 고유 표시 수는 특정한 원소, 문자는 ♦임의의 원소이다.

③ 347의 자리 값 해석, 3mn의 ♦곱으로 해석.

④ 문자에 붙은 ♦부호는 자신의 값과 일치하진 않는다.

Question 358

문자와 일상 언어의 공통점

Answer 358

(자약)

① 임의의 식**에서 ♦**자리지기로서 기능할 수 있다.

② 문자**가 종종 _**일상 언어의** ♦약어_**로서 제시되기 위해서 사용된다.

Question 359

문자 사용의 일반성과 유연성 (수학 언어로서의 특징) (Wagner)

Answer 359

(일유 동한선)

① 문자 사용의 ♦일반성

첫째, ♦동시 표현의 성질이다. 동시에 (그러나 개별적으로) 많은 수를 표현할 수 있다는 것이다.

둘째, ♦한계 결정의 자유성이다. 문자가 나타내는 범위의 한계를 우리가 원하는 방식으로 자유롭게 정할 수 있다는 것이다.

② 문자사용의 ♦유연성

문자♦선택의 자유성이다. 주어진 대상을 지칭하기 위해서 거의 아무거나 임의로 문자를 선택할 자유가 있다는 것이다.

Question 360

Peacock

Answer 360

(산기형 일연 산적)

‘♦산술대수’법칙이 ‘♦기호대수’로 확장되는 것을 ‘♦형식불역의 원리’라고 불렀다. (산술의 일반화 → 연산의 일반화)

① 산술대수**: ♦**일상적인 양의 수를 나타내는 기호**와 _**덧셈__, 뺄셈 같은** ♦연산기호_**를 사용해서 얻어지는 학문으로 이때 뺄셈은 큰 수에서 작은 수를 빼는 것이어야 한다.

② 기호대수**: 기호 연산이 ♦**산술과 유사한 연산에서 유도**되었다 하더라도 _**연산의** ♦적용범위에 제한_**을 두지 않는 학문으로 이때 뺄셈은 항상 적용될 수 있다.

Question 361

문제해결과 방정식

Answer 361

(예기방 오새바크 일형)

① ♦_예상과 확인 전략은 각각의 시도가 이전의 ♦오류를 수정하고 ♦새로운 예측으로 향하여 ♦바라는 최종 결과_에 점점 가까워진다는 _장점이 있지만, ♦크고 복잡한 수_로 된 문제라면 _시도를 더 많이_ 해야 한다는 _단점_이 있다.

② ♦_기발한 착상 전략_은 _좀 더 큰 수_로 된 문제라도 _적용가능_하다는 장점이 있지만, 번쩍이는 아이디어가 떠오르는 _행운_이 있어야 한다는 _단점_이 있다.

③ ♦_방정식 전략_은 예상과 확인, 기발한 착상 전략의 _단점을 보완하고, ♦일반적인 문제의 해결방법으로 ♦형식화_할 수 있다는 _장점_이 있다.

Question 362

방정식을 풀기 위한 기본적인 원리

Answer 362

연산법칙 (교환법칙, 결합법칙, 분배법칙) (덧셈, 곱셈, 덧셈, 곱셈, 덧곱) (덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙)

Question 363

이항의 개념적 이해

Answer 363

등식의 성질을 이해하는 것

Question 364

데카르트의 발견술

Answer 364

(파 모수대방)

♦파푸스의 분석법을 현대적으로 부활시켰다. ♦모든 문제 → ♦수학 문제 → ♦대수 문제 → ♦방정식 문제 (분석법 내포)

Question 365

프로이덴탈의 학교대수와 대수적 사고요소- 대수적 원리

Answer 365

(문산 일바**) ♦**문__자와 식 영역**이 ♦**산__술**과 _**어떤 관계**_가 있는지를 드러내주면서 _**‘**♦일__반화__’__학습의 ♦바__탕을 제공_**하는 기본적인 사고 원리이다.

(산술의 일반화: 대수는 산술을 일반화하면서 도입된다.)

(프로이덴탈은 형식불역의 원리가 대수에서 워낙 유용하게 활용이 되다 보니까 그것을 강조하는 측면에서 대수적 원리라고도 했다.)

Question 366

대수적원리 활용의 의의

Answer 366

(형발창끊**) 학생들이 수학의 ♦**형__식주의적인 모습** 이면에 감춰진 ♦**발생적인 모습**을 경험하게 되어 수학의 _**발__생적이고** ♦창__조적인 면을 인식하고 수학이 ♦끊__임없이 성장_**한다고 인식이 변하게 된다는 것이다.

Question 367

프로이덴탈의 학교대수와 대수적 사고요소- 대칭성 알아보기

Answer 367

(등 산하 대동연**) ♦**등호에 대한 해석**은 대수 학습에서 매우 중요한데, ♦**산술에서는 등호가 왼쪽의 식에서 오른쪽의 결과를 얻는 ♦하나의 과정으로 해석되는 반면, ♦대수에서는 등호개념**이 _**동치개념의 이해와 연결**_되어 방정식은 양변에 있는 서로 다른 형태의 대수식을 ♦**동치관계를 의미하는 등호**를 _**사용하여** ♦연결_**한 것으로 본다. (등호의 대칭성)

대칭식의 예) x+y+z, (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(대칭식을 전개하면 대칭식) (복잡한 전개의 수월한 해결) ((a,b)가 해이면 (b,a) 역시 해)

Question 368

프로이덴탈의 학교대수와 대수적 사고요소- 관계 파악 및 양적 추론 능력

Answer 368

(주여서등**) ♦주어진 자료와 조건 속에 숨어 있는 ♦**여러 가지 양들 사이의 관계**를 파악하여 ♦**서로 같을 것으로 기대되는 두 양을 찾아 ♦등호를 이용하여 해결한다.

Question 369

프로이덴탈의 학교대수와 대수적 사고요소- 분석적사고

Answer 369

방정식의 풀이는 _주어진 방정식이 이미 풀린 것으로 가정_하고 _등식의 성질을 이용_하여 _방정식을 변형_하여 _해를 구하는 과정_이므로 _방정식의 풀이_에는 본질상 _분석적 사고_가 _내재_되어 있다.

Question 370

프로이덴탈의 학교대수와 대수적 사고요소- 가역적사고

Answer 370

(방풀**) ♦**방정식과 관련된 중요한 사고 중 하나로, 방정식의 ♦풀이과정과 결과를 확인하는 것이다. (반성적인 추론) (방정식 풀이의 검산과정)

Question 371

대수적 증명을 시각화한 기하적 접근

Answer 371

(반연**) **문제해결의 ♦반성단계**에서 행할 수 있는 적절한 시도이며, 동시에 _**NCTM**_과 _**우리나라 교육과정**_에서 강조하는 ‘**수학적 ♦연결성**’을 **구현할 수 있는 훌륭한 지도 사례이다.

Question 372

문자식의 지도

Answer 372

(그말간문**) (**수 언더 문지)

학생들이 주체가 되어 문자사용의 필요성을 느끼고 문자를 사용하는 것의 유용성을 체험할 수 있도록 지도해야 한다.

다음과 같은 해결 방법의 _장단점_에 대해서 생각해보고 _의사소통 과정_을 거치면서 논의를 유도한다.

① 문제의 구조를 ♦그__림**으로 나타내어 표현: ♦**수__치가 복잡해지는 등의 복잡한 문제는 그림으로 나타내기가 쉽지 않다.

② 문제의 구조를 ♦말**로 표현: ♦**언__어적인 이해 수준이 낮은 학생**이나 ♦**더 복잡한 문제의 경우 (기호 표현에 비해) 문제의 구조가 분명하게 파악되지 않는 현상이 나타날 수 있다.

③ 문제의 구조를 ♦_간__단한 기호를 사용한 식으로 표현: ♦문__제 상황이 복잡해지고, ♦지__칭해야 할 대상이 많아_지면 _몇 가지 기호_만으로는 _주어진 대상_을 모두 나타낼 수 없는 한계가 있다.

④ 문제의 구조를 ♦문__자를 사용한 식으로 표현

Question 373

문자를 이용한 식의 표현의 장점

Answer 373

(문간동)

① ♦_문__자 선택의 자유성_이다. 주어진 _대상을 지칭_하기 위해서 거의 아무거나 _임의로_ 문자를 _선택_할 자유가 있다는 것이다.

② ♦_간__단명료_하게 나타낼 수 있다. 식이나 문장을 _간결_하면서도 _정확_하게 표현할 수 있다. (+ _계산 조작_을 쉽게 할 수 있다.)

③ ♦_동__시표현의 성질_이다. _수_는 _하나의 수_만 나타내지만 _문자_는 동시에 (그러나 개별적으로) _많은 수를 표현할 수 있다는 것이다. (일반적인 표현_이나 _일반적인 처리_가 가능하다.)

Question 374

수량 사이의 관계를

문자를 사용한 식으로 표현하는 일반적인 방법

Answer 374

(말대문식)

① 먼저 ‘♦말__로 된 식’을 만들어본다.

② 아직 정해져 있지는 않지만 _나타내야 하는 수량의 값을 찾고 이를 ♦대__신 나타낼 문자_를 _결정_한다.

③ 문제에 제시된 조건을 이용하여 말로 된 부분**을 ♦**문__자나 수로 바꾸어 놓는다.

④ 문자를 사용한 ♦식을 간단하게 나타낸다.

Question 379

최근 함수 교육과 관련하여 강조되고 있는 부분

Answer 379

함수의 직관적 도입과 관련된 _질적 접근_과 _수학적 연결성_ 등과 관련된 _함수의 응용_이나 _수학적 모델링_, _테크놀로지의 활용_ 등이다.

Question 380

함수의 역사발달 단계

Answer 380

(전기대 논집) 전 함수 단계 → 기하적 함수 단계 (17c) → 대수적 함수 단계 (18c) → 논리적 함수 단계 (19c) → 집합적 함수 단계 (20c)

Question 381

함수의 역사발달 단계- 전 함수 단계

Answer 381

(함천함비)

원시적 함수개념으로, ♦함수가 무엇인가에 대한 논의는 없었고 ♦천체운동을 관찰**하기 위해 ♦**함수표**를 사용했다. 함수를 ♦**비례관계로서 기술한 시기이다.

Question 382

함수의 역사발달 단계- 기하적 함수 단계 (17c)

Answer 382

(운곡시변개 다**) 함수가 _의식화되어 사용_되고 _정의되며 발달하기 시작하였다. 함수에 대한 연구는 ♦운__동을 그래프로 표현하고 그 결과로 나타나는 ♦곡__선들과 관련해서 ♦시__간과 거리와 같은 ♦변__량 사이의 관계로서 ♦개__념화되었다. 곡선과 관련된 함수의 정의는 대부분 ♦다__가 대응_이었다. (이 _동적인 관점_이 대수적 함수 단계에서 **정적인 관점으로 변화가 이루어진다네.)

Question 383

함수의 역사발달 단계- 대수적 함수 단계 (18c)

Answer 383

(일제 한다음여**) (**모정제 독대)

오일러는 함수**를 _**변량 사이의 관계를 나타내는 해석적인 표현__(__식__)**_이라 정의했다. 이때 함수는 ♦**일가 대응으로 ♦제한하여 정의했는데 그 이유**는 ♦**한 변수의 다른 변수에 대한 종속 관계**가 ♦**다가 대응이 되는 경우**나 ♦**음함수와 같은 함수식**에서 한 변수를 다른 변수로 나타낼 때 ♦**여러 개의 식이 나오게 되는 경우 등의 혼란을 막기 위함이었다.

<d’Alembert__의 진동현 문제**> ‘양 끝점이 고정된, 탄력이 있고 끈이 초기 모양으로 변형되면서 진동이 줄어드는 끈이 있다. 시간에 따른 끈의 모양을 나타내는 함수를 결정하여라.’에서 함수가 **전 구간에서 하나의 해석적 표현**, 즉, **하나의 식으로 주어질 것이라 기대했었다. 그러나 오일러는 _단 하나의 해석적 표현이 존재하지 않는다_는 것을 밝히고, _해석적 표현이 가능한 함수_를 _연속함수_, 그렇지 않은 함수를 _불연속함수_라고 생각하면서 결국 하나의 해석적 표현으로 나타낼 수 없는 함수를 받아들임으로써 _함수개념을 확장_하게 되었다.

한편, 오일러는 변수 개념 자체가** ♦**모호**하기 때문에 _**함수의** ♦정의에서 **변수를** ♦제거하기를 희망하고 1755년 그의 원래의 정의를 ‘만약 어떤 양이 다른 양에 종속된다면 전자를 후자의 함수라 부른다__.’라고 새롭게 대치하여 표현하였다. 이 과정에서 ♦독립변수와 종속변수_에 대한 _구분이 명확_해졌을 뿐만 아니라 _함수가 기하학적 원천과는 관계없이 ♦대수적인 조작_이 **가능하게 되었다. (합성함수와 역함수 구하는 것 포함)

(함수가 연속적으로 변하는 양의 문제를 연구하는 과정에서 발생하였지만, 당시의 수학자들은 _수학의 대상이 정적인 것_으로 생각했기 때문에 결국은 _함수의 핵심적인 부분_이라고 할 수 있는 _변수_를 _제거_하고 함수개념을 다루고자 하였다.)

Question 384

함수의 역사발달 단계- 논리적 함수 단계 (19c)

Answer 384

(관점의 변화가 이루어지는 단계이므로 중요하다. 종속 → 대응**) (또한, _규칙적인 것_에서 **임의적인 것으로 변화도 이루어진다네.)

(대대**) (**없일임 함구 표규형묘임)

함수 개념이 더 이상 ♦대수식에 관련된 것이 아니라, 다만 두 변수가 ♦대응이라는 논리적 조건에만 관련되어 있다고 보는 시기이다.

_해석적 표현이 가능한 불연속함수_인 _Fourier_ _급수_나 _Dirichlet_ _함수_의 출현으로 _Euler__의 함수 개념_을 _재고할 필요성_이 생겼다.

_푸리에급수_는 임의의 주기함수를 삼각함수로 구성되는 급수로 전개한 것이고, _디리클레함수_는 연속함수에 적절한 연산을 적용해서 만든 불연속함수이다.

이에 Dirichlet**는 ‘**주어진 구간에서 x__의 각 값에 y__의 유일한 값이 대응할 때__, y__는 x__의 함수**’라고 정의하여 **논리적 조건**에만 관심을 갖게 되었다. 그럼으로써 함수에서 _**변수 개념을** ♦없앴을 뿐만 아니라 ♦일가성과 ♦임의성_**을 강조하게 되었다. (함수의 가장 본질적 특성)

일가성**이란 정의역의 각 원소에 대해 치역이 단 하나의 원소가 대응된다는 조건으로 ♦**함수와 함수가 아닌 것**을 ♦**구분하는 기준이 되는 것이다.

임의성**이란 함수는 _**어떤 특별한** ♦표현에 의해 기술되거나 또는 **어떤** ♦규칙성을 따르거나 **특별한** ♦형태를 가진 그래프에 의해 ♦묘사될 필요가 없고 ♦임의의 대응의 개념_**으로 정의되어야 한다는 것이다.

Question 385

함수의 역사발달 단계- 집합적 함수 단계 (20c)

Answer 385

논리적 함수에 포함시켜 생각해도 무방하지만 _좀 더 엄밀한 의미의 공리론적 집합론_을 _기초_로 함수를 정의하는 것을 의미한다.

Bourbaki**는 ‘**두 집합의 변수 사이의 특정한 관계**’를 **함수적 관계**로 정의하였다. ‘**순서쌍의 집합의 부분집합’으로 정의하기도 하였다.

(Dedekind는 체계, 사상) (사상=함수) (수학은 사상의 학문)

Question 386

99학년도 기출

Question 387

학교수학에 함수개념의 도입

Answer 387

(2KM)

♦20세기 초 독일에서 ♦Klein이 수학교육개혁(독일의 수학교육 근대화 운동)을 주장한 이후이다. ‘♦Meran 교육과정’ (최초의 수학과 교육과정이라 할 수 있다.)

Question 388

함수가 수학적으로 중요한 이유

Answer 388

(대기통)

수학의 발전이나 통합에 핵심적인 역할, 즉 수학이 이전에는 ♦대수와 ♦기하**라는 두 개의 분야로 발전해왔는데 이**두 분야의**♦**통합을 가능하게 하였다.

Question 389

Freudenthal의 교수학적 현상학에 따른 함수 지도

Answer 389

현상을 어떻게 활용하는지 두 관점을 비교하는게 중요하다.

(구교 대정특응 다종표구함)

① ♦구조주의적 관점에 따른 함수 지도

♦대응을 통해 함수를 정의 → ♦정의역, 치역, 공변역 → ♦특정한 함수들 → ♦응용문제로 몇 가지 함수 현상

② ♦교수학적 현상학에 따른 함수 지도

♦다양한 현상에 대한 직관적 경험 → ♦종속성의 특성 → ♦표, 그래프, 식 등과 연결 → ♦구체적인 함수 이름 → ♦함수 개념 도입

Question 390

학교수학에서의 함수정의의 변화

Answer 390

(동__7__비역 충__07__종)

함수가 두 집합 사이의 대응관계로 정의되면 변수의 ♦동적인 의미**가 부각되기 어렵기 때문에 _**제** ♦**7__차 교육과정**_에서 ♦**비례관계를 이용하여 함수를 도입**하는 것은 ♦**역사발생적 원리에 따라** 학생들이 함수를 받아들이고 이해하는 데 _더욱 효과적_이라는 생각을 반영한 것이다. 이렇게 좀 더 쉬운 방식으로 도입하는 것은 내용의 양이라는 측면에서 변화를 주진 못하지만, **내용의 난이도는 다소 낮아졌다고 할 수 있다.

그러나 대응개념을 완전히 배제한 이러한 함수개념이 이후 고__1__에서 대응을 중심으로 한 함수의 정의**(변수 개념은 사라짐)와 ♦**충돌하는 문제점** 때문에 **20♦07__개정 교육과정**에서는 비례관계 맥락에서만 함수개념을 제한하지 않고 상위학년에서 배우는 여러 가지 함수의 개념지도에 용이하도록 _**변화하는 양 사이의 종속관계**_와 _**두 집합의 원소 사이의 대응관계**_라는 두 가지 개념을 ♦**종합한 정의를 함수의 정의로 제시하고 있다.

Question 391

다양한 함수 현상

Answer 391

(증포주 지대)

① ♦증가와 감소**에 관련된 현상: _**시간에 따른 온도**, **나이**, (키__,_ 몸무게_), (_부피__, 높이__, 표면의 넓이_), (_속도__, 거리_)의 _변화_ 등이다. _시간에 따른 예측_활동이나 _그래프의 교점**, 위치관계 등의 해석활동이 가능하다.

② ♦_포물선 운동_과 관련된 현상: _분수대의 물줄기_나 _스포츠_, _포물면 거울_, _아치형 다리_ 등이다. _공기저항을 고려하여 예측_하는 활동이 가능하다.

③ ♦주기적 변화**와 관련된 현상: _**밀물과 썰물의 변화에 따른 수면의 변화**, **바퀴 위의 한 동점의 자취**, **비행기의 프로펠러의 움직임**, **달의 모양 변화**,_ 하루, 한 달, 일 년, _계절_의 **반복** 등이다. _달이나 태양의 운동 경로_에 대한 탐구나 **미래의 기상에 대해 예측해보는 활동이 가능하다. (매미의 생애주기)

④ ♦지수적 성장**과 관련된 현상: 지수적 성장이란 _**시간이 지날수록** ‘점점 더 빠르게’, ‘점점 더 느리게_’와 같은 표현되는 것이다. **은행 예금의 복리**, **인구의 증가**, **방사선 물질의 반감기 성질을 이용한 화석의 연대파악 등이다.

⑤ ♦대응과 사상**에 관련된 현상: _**퍼즐 맞추기**, **물건의 개수 세기**, **물건 나누어 주기**, **빛에 의해 스크린에 투사되는 그림자**, **축척에 의한 지도의 확대와 축소**, **점에서 점으로 이동시키는 사상** 등이다. (대응_, **닮음이나 합동**, **함수의 합성과 역)

(이러한 현상들을 함수로 인식하기 위해 좀 더 의식적인 반성의 단계가 필요)

Question 392

함수의 여러 측면

Answer 392

(종그공 행과대 순대**) (**연 구임순 구식합)

(함수를 처음 접하면 _함수의 여러 측면간_의 _전환능력이 결여_되어 있다네)

① ♦_종속성_이란 변화하는 현상에서 _두 변수 사이의 종속관계_를 의미한다.

② ♦_그래프_란 함수를 표현하는 _시각적 이미지_를 말한다.

함수를 그래프로 생각하는 학생은 ♦_연속적인 곡선_은 함수로 받아들이지만 _불연속적인 곡선_을 함수로 받아들이기는 쉽지 않다.

③ ♦_공식_이란 주로 변수 사이의 _종속 관계_를 독립변수를 포함한 _대수식_으로 나타내는 것을 의미한다.

함수를 공식으로 생각하는 학생은 구간에 따라 ♦​두 개 이상의 공식**으로 표현되는 함수나 ♦**임의의 대응**이나 ♦**순서쌍으로 제시되는 함수를 이해하기는 어려울 것이다.

④ ♦_행동_이란 _대상에 대한 반복 가능한 조작_을 의미하는 것으로 함수를 나타내는 _대수식_에 _수나 식_을 대입해서 _계산할 수 있는 능력_과 관련된다.

함수를 행동으로 생각하는 학생은 함수가 하나의 대수식이 아니라 ♦구간에 따라 다른 식**으로 표현되거나 ♦**식으로 제시되지 않는 경우**에는 _**함수로 이해**_하거나 ♦**합성과 역을 구하는 일이 쉽지 않을 것이다.

⑤ ♦_과정_이란 컴퓨터 프로그램이 자료를 처리하듯이 함수를 _입력__,_ 변환__, 출력의 처리 과정으로 보는 것을 의미한다.

⑥ ♦대응이란 두 집합 X, Y가 있을 때, X의 임의의 원소 x에 대하여 유일한 y가 존재하는 것을 의미한다.

⑦ ♦_순서쌍_이란 _Bourbaki_가 정의한 함수개념을 의미한다.

⑧ ♦_대상_이란 함수 자체를 _하나의 실체로 파악_하는 것을 의미한다.

학생들은 _함수 연산_을 할 때나 _도함수_를 구할 때 대상으로서의 함수를 인식해야 하지만 _별로 성공적이지 못하다_.

Question 393

Krabbendam의 질적 접근에 따른 함수 그래프 지도

Answer 393

(공수 점국전 양질**) (**비질표 사대설실)

그래프를 지도하는 방식은 다음과 같이 두 가지 기준에 따라 분류할 수 있다.

① ♦공간에서 초점을 어디에 두느냐**에 따라 ♦**점별 접근**, ♦**국소적 접근**, ♦**전체적 접근으로 구분할 수 있다.

② ♦수치적인 값에 초점을 두는지**에 따라 정확한 수치적 자료를 이용하는 ♦**양적 접근**과 어떤 상황을 수량화되지 않은 상태로 개략적으로 표현하고 설명하는 ♦**질적 접근으로 구분할 수 있다.

그래프를 의미 있게 사용하려면 여러 가지 접근방식의 통합**이 필요하다. _**그래프를 처음 다루는 단계**_에서는 좌표평면이나 모눈종이와 같은 고정된 틀이 제시되기 이전에 ♦**비수치적이고 개략적인 형태의 그래프**를 그려보고, 이를 _**해석하는 활동**_에 주목하는 ♦**질적인 접근으로 시작**하고, _**그 이후의 정교화 단계**_에서 _**수치적이고 좀 더 정확한** ♦표현의 단계로 전환_**하는 것이 바람직하다.

질적 접근의 예로는 이산적인 변화 상황으로 운동장의 시간별 학생 수 조사, 연속적인 변화 상황으로 식물의 성장 관찰, 다양한 모양의 용기에 일정한 속도로 물을 담을 때 물의 높이의 변화 등이 있다. (♦사고실험으로 추측** → ♦**대략적인 그래프 작성** → ♦**설명__, 비교__, 토론** → ♦_실제적인 측정활동_이나 _컴퓨터 시뮬레이션을 통한 측정활동_을 이용하여 **결과 확인)

Question 394

함수표현 양식간의 번역활동

(Janvier의 번역활동에 따른 함수 지도)

Answer 394

(표는 개정 전) (밑에 내용은 2017 개정)

(하그고폭 기함문해)

같은 방식의 번역 활동도 포함되는 데, 이를 호환이라 부른다.

이와 같은 함수의 여러 가지 표현들 사이의 번역은 함수**를 ♦**하나의 규칙**이나 ♦**그래프**에 ♦**고착시켜서 생각하지 않고** 함수를 ♦**폭넓게 이해하는 데 도움이 된다.

대수적 모델링은 함수 지도에서 가장 어려운 부분일 수도 있는데 다음과 같이 진행된다.

주어진 상황에서 변수를 인식하여** ♦**기호화** → 변수 사이의 ♦**함수 관계 찾기** → ♦**문제 해결** → **문제 상황에 적합하게** ♦**해석

♦일반적으로 함수에 대한 ‘식 제시** → **표 작성** → **그래프 개형 그리기**’로 이루어진다. (**계산하기** → **점 찍기 이겠네.)

1. ‘함수 그래프 개형그리기**’, ‘**해석하기**’란 어떤 상황이나 언어적 표현을 개략적인 그래프로 나타내고 해석하는 ♦**질__적 접근이다.

(상황·언어적 표현 → 그래프 → 상황·언어적 표현)

Question 395

함수학습에 대한 인지장애

Answer 395

(변비상 체한 동변혼)

① 변화 현상에 대한 _종속♦변수_와 _독립변수_를 _불명확하게 파악_한다.

② 함수의 정의에서 _독립변수_와 _종속변수_의 _♦__비__대칭성을 잘 인식_하지 못한다. (대칭적: 일대일 대응)

③ (전 함수단계**) _함숫값_은 독립변수에 따라 _변화되어야 한다는 선입관_을 가지고 있어서 _♦__상__수함수_를 함수로 받아들이는데 어려움이 있다. 그 이유는 _변화성에 주목_해서 _비례관계_나 _인과관계_와 같은 **특수한 경험에만 집착하기 때문이다.

④ (대수적 함수단계**) 함수를 ♦_체__계적인 규칙이나 대수식으로 보는 경향_이 강하며, _종속변수의 값_을 구하기 위해 _독립변수에 실행된 조작_이라고 생각하는 경향이 있다. 따라서 **식으로 표현할 수는 없지만 함수인 경우를 제시한다. (대응)

⑤ (대수적 함수단계**) 함수를 함수의 **모든 정의역에서 ♦한 가지 규칙이나 대수식으로 표현되어야 한다고 생각하는 경향이 있다. 이러한 현상은 함수의 역사에서도 수학자들에게 많은 충격을 주었던 것이며 d’Alembert의 진동현 문제 이후로 본격적인 논의를 거쳐 해결되었던 문제이다.

⑥ 함수**를 _**다양한 표현**, 즉 표, 대수식, 곡선으로서의 그래프 등과 ♦동__일시_**하는 경향이 있다.

⑦ 함수에서 중요한 ♦_변__수 개념_을 _이해하는 데 어려움_이 있다. 함수가 _다양한 대상의 변화_를 _기술하기 위한 수단_으로 발생한 것이지만, _미적분의 발달_로 인해 다양한 함수를 다루게 되면서 _동적인 변화의 개념_은 사라지고 _정적인 관계의 개념_이 강조되었다.

⑧ 함수의 정의에서 나타나는 일가성**, **일대일 함수**, **일대일 대응**의 _**의미를** ♦혼__동_**하기가 쉽다.

따라서 교사는 함수를 지도할 때는 _적절한 순간_에 _다양한 함수_를 _경험_시킴으로써 이러한 _어려움들을 극복_하고 _함수의 의미를 확장_시켜나갈 수 있도록 하는 것이 중요하다.

Question 396

함수의 교수·학습 실제

Answer 396

중학교**에서는 연령에 따른 키의 변화 등 _**비례관계가 아닌 일상생활의 상황**_을 통해 _**변수**_와 _**함수**_를 각각 ‘**x, y__와 같이 변하는 양을 나타내는 문자**’, ‘변수 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계가 성립할 때 y’ 와 같이 _종속의 관점_에서 **정의하고 있다.

고등학교**에서는 _**X__에서 Y__로의 대응**_과 _**함수**_를 각각 ‘두 집합 X, Y가 주어졌을 때, 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소를 짝지어 주는 것’, ‘**집합 X__의 각 원소에 집합 Y__의 원소가 오직 하나씩만 대응할 때__, 이 대응 f__를 집합 X__에서 집합 Y__로의 함수라 하고__, 기호로 f: X → Y 와 같이 나타낸다__.**’ 로 정의하여 **변수 개념이 사라지면서 _집합 사이의 임의의 대응_을 _강조_한다.

(중__2**- 일차함수, **중__3**- 이차함수, **수학**- 합성함수, 역함수, 유리함수, 무리함수, **수학__1- 지수함수, 로그함수, 삼각함수)

① 일차함수

② _이차함수_와 관련된 현상은 _다이버의 낙하 거리와 시간_, _자동차의 속력과 브레이크를 밝은 후의 진행 거리_, _눈썰매를 타고 내려올 때 시간과 위치_ 등이 있다.

③ _합성함수와 관련된 현상은 원화에 대한 엔화의 가치와 달러에 대한 엔화의 가치를 알 때 달러에 대한 원화의 가치 계산, 태양광 패널의 넓이와 관련된 태양광 에너지의 전기에너지로의 변환 등이 있다. (환율_과 _태양광 패널_)

_합성함수의 정의_에 이어 몇 개의 함수에 대한 _합성함수를 구하는 문제_를 다루는데, 이는 주로 _함수_를 _과정으로 이해하는 정도까지_ 다루고 있다.

④ 역함수

⑤ 유리함수** (**분수함수**는 ‘유리함수를 기약 분수식으로 고쳤을 때, 분모가 상수가 아닌 함수’로 _**정의**_한다.) (**점근선**은 ‘**곡선 위의 점이 한없이 가까워지는 직선을 그 곡선의 점근선이라고 한다__.**’와 같이 **정의한다.)

⑥ _무리함수_와 관련된 현상은 _급제동 시에 생기는 바큇자국인 스키드 마크의 길이와 자동차의 추정 속력_ 등이 있다.

⑦ 지수함수

⑧ _로그함수_는 _지수함수의 역함수_로 도입한다.

⑨ _삼각함수_와 관련된 현상은 _태양의 위치와 관련한_ _24__절기의 구분_, _삼각방정식과 삼각부등식과 관련한 빛의 굴절 현상_ 등이 있다.

(중3에서 삼각비는 _직각삼각형의 닮음의 성질_을 바탕으로 _직각이 아닌 한 예각_에 대한 _두 변의 길이의 비_로 정의하여 다룬다.)

(삼각함수는 _삼각비의 정의를 확장_하여 좌표평면에서 _원주 위의 점의 좌표_를 이용하여 정의한다.) (삼각비를 일반각으로 확장)

Question 400

기하학의 종류

Answer 400

(유해비변) (유아사위**) (**데좌 도대방 여새 평대**) (**5__평타쌍)

Question 401

사영기하 (95기출)

Answer 401

Desargues- 사영기하

(쌍서어**) 다음 두 명제가 성립하고, ♦**쌍대원리가 성립한다.

① ♦서로 다른 두 점을 지나는 직선은 오직 하나이다.

(⇔ 서로 다른 두 직선은 반드시 만나고 오직 한 점에서 만난다.)

② ♦어느 세 점도 동일 직선상에 있지 않은 네 점이 존재한다.

Riemann- 비유클리드기하

Archimedes- 구와 원기둥에 관한 연구

Question 402

비유클리드 기하학의 태동배경과 수학사적 의미 (96기출)

Answer 402

(5__종유다모**) (**어무공확**) (**집수)

수학자들은 유클리드 원로의 _제 ♦5__공준_인 _평행선 공준_이 다른 4개의 공준에 ♦종속적인가를 의심하면서 다른 4개의 공준으로부터 제 5공준을 ♦유도하고자 시도하였다. 이러한 연구가 계속된 결과, 제 5공준(평행선 공준)과 ♦다른 새로운 명제를 공준으로 내세우면♦모순 없는 새로운 기하 체계를 형성할 수 있음을 발견하였다. (비유클리드 기하학)

비유클리드 기하의 출현으로 인해 수학자들은 ♦어떤 공리라도 ♦무모순의 조건만 만족한다면**,**그것으로 하나의 ♦공리계를 세울 수 있음을 ♦확신하게 되었다. 비유클리드 기하의 출현은♦집합론의 형성과 함께 ♦수학기초론에 대한 논쟁을 촉발시켰다. 수학기초론 논쟁은 이후의 준경험주의, 구성주의로 연결되는 수리철학 논의의 중요한 한 축을 형성한다.

Question 403

원뿔곡선

Answer 403

_직원뿔_을 그 _꼭짓점을 지나지 않는 평면_으로 잘랐을 때 생기는 단면의 평면곡선의 총칭으로 _원추곡선_이라고도 한다.

Question 404

유클리드 원론과 중학교 교과서의 연역적 추론방식

Answer 404

(전국 정학)

프로이덴탈의 전반적 조직화와 국소적 조직화.

♦전반적 조직화는 ♦정의와 공리로부터 출발하는 공리체계로 조직하는 것이다.

♦국소적 조직화는 ♦학습자가 접하고 있는 영역에서 참이라고 인정되는 사실, 즉 학습자의 실제로부터 시작해서 부분적으로 조직화하는 것이다. (예로는 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 한 점을 통과함을 보일 때)

Question 405

변환기하 관련 내용의 지도 ‘도형의 이동’

Answer 405

(중고**) (**일**) (**직도형점**) (**공비재형)

♦중학교에서 평행이동은 ‘도형의 이동’이라는 변환기하적 관점에서 다루는 것이 아니라 ♦일반적인 함수의 그래프를 지도하는 수단으로 다루고 있다.

♦고등학교에서** ‘**도형의 이동**’은 특히 도형의 방정식 f(x, y)=0에서 평행 이동된 **도형의 방정식 f(x-a, y-b)=0가 ♦직관적으로 모순되어 보이는데서 많은 어려움을 겪는다. 이것은 관계적 이해보다는♦도구적 이해를 추구하는 많은 학생들에게 큰 어려움이 된다. 이는 ♦형식화의 속도가 매우 빠르기 때문에♦점진적인 과정으로 개선할 필요가 있다.

♦공학적 도구를 활용한 평행이동 직접 관찰 → 도형의 방정식 ♦비교→ f(x-a, y-b)=0와 같음을♦재발견 → ♦형식적인 설명과 이해

Question 406

스켐프의 개념 형성

Answer 406

(개추분개)

♦_개념_을 _공통 성질에 대한 상징적 표현_으로 규정한다.

♦추상화는 공통 성질을 인식하는 활동이고, ♦분류는 이러한 공통 성질에 근거하여 경험들을 모으는 활동이다.

♦_개념 형성_을 일상생활 경험과 다루고자 하는 대상에서 공통 성질을 _추상화_하고 _분류_하는 정신 작용으로 주장하였다.

Question 407

칸트Kant의 개념의 이해

Answer 407

(어이**) ♦_어떤 특정한 대상을 ♦이미 알고 있는 개념_의 _사례_로 **인식할 수 있다는 것을 의미한다.

Question 408

Sfard의 수학적 개념 형성 과정

Answer 408

(대구과조 계추직형**) (**내압실 실조일새)

수학적 개념**은 _**대상**_과 _**과정**_의 두 가지 측면이 있으며, 이는 동전의 양면과 같이 _**상호보완적**_이라고 보았는데, 이는 _**APOS__이론과 상통**_하는 바가 있다. (♦**대상으로서의** ♦**구조적 방법**과 ♦**과정으로서의** ♦**조작적 방법이 교대로 나타나면서 개념이 구성)

♦계산적인 조작**을 ♦**추상적인 대상**으로 전이시키는데 유용하고, 고등학교의 ♦**직관적인 정의**를 대학교의 ♦**형식적인 정의로 전이시키는데 시사점을 제공한다.

① ♦내면화** 단계에서는 ♦**실제로 수행한 행동을 통해** ♦**조작이 구성되도록 한다.

② ♦압축**단계에서는 _**더** ♦일반화된 경우를 생각_**한다.

③ ♦실재화** 단계에서는 이제까지 다루어오던 것을 ♦**새로운 시각에서 조망하여 이해하게 된다.

Question 409

개념체계를 형성하기 위한 개념들 사이의 ‘수직적 관련성’과 ‘수평적 관련성’ 구축

Answer 409

(직평**) (**개개논종**) (**어여독상)

① 수♦직적 관련성이란 ♦개념들 간의 위계구조, 즉 ♦개념들 간의 계통성을 일컫는다. 이때 개념들은 서로 ♦논리적인 ♦종속 관계를 갖는다.

수직적 관련성은 skemp가 주장한 학습의 준비성과 관련된다. (스키마틱 학습)

학습의 준비성이란 추상화된 상위 개념의 학습은 하위 개념의 형성을 토대로 함을 의미한다.

② 수♦평적 관련성이란 ♦어떤 대상이나 현상을, ♦여러 개념을 통해 동시에 파악하는 것이다. 이때 개념들은 ♦독립적이면서도 ♦상호보완적인 관계를 갖는다. 특히 _기하 문제를 해결하기 위해서_는 문제에 제시된 _그림을 해석하는 능력_이 필요한데, 이때 그림에 포함되어 있는 여러 개념을 동시에 파악하는 능력이 필요하다.

Question 410

장애의 원인- 개념의 개별화의 의미와 그 대안

Answer 410

(각분 새관의여사)

학생들이 ♦각각의 개념을 ♦분리된 것으로 파악한다는 것이다.

즉, 학생들이 ♦새로운 개념**을 이미 확립되어 있는 개념들의 ♦**관계망과 연결**할 수 있을 때, 새로운 개념은 _**관계망에 통합**_되어 ♦**의미충실한 지식**이 되므로 ♦**여러 개념들 간의 관련성을 구축**할 수 있는 ♦**사고 활동이 필요하다.

Question 411

장애의 원인- 개념의 고착화의 의미와 그 대안

Answer 411

(개특본구 비다분딘)

학생들이 ♦개념을 개념사례와 같은 ♦특정 맥락에만 고착시키는 경향으로, 개념의 ♦본질적 요소와 비본질적 요소를 ♦구분하지 못하게 한다.

대안으로 ♦비본질적인 성질의 ♦다양한 변형을 제시함으로써 본질적인 성질과 비본질적인 성질을 ♦분리해낼 수 있게 하는 ♦딘즈의 수학적 다양성의 원리의 구현이 필요하다.

Question 412

장애의 원인- 선행 개념의 방해

Answer 412

(어다__D__중**) (**기똑두곤)

♦어떤 대상에서 두드러지는 개념은 그 대상을 ♦다른 개념으로 해석하는 것을 방해하기도 한다는 것이다. 이는 ♦Duval이 제시한 ‘♦중복장애’와 일관된다.

(중복장애란 ♦기하문제를 해결할 때, 변, 각, 꼭짓점 등 ♦똑같은 요소를 ♦두 번 이상 존재하는 것처럼 고려해야 할 때 ♦곤란을 겪는 현상을 말한다.)

Question 413

사각형의 성질

Answer 413

Question 414

Answer 414

Question 416

미적분학

Answer 416

고등학교에서 핵심이 되는 _무한의 개념을 본격적_으로 다루고, _함수적 사고의 절정_에 해당하며, _일차 산업혁명의 원동력_이었던 _연속수학의 대표적 주제_이다. (이산수학은 정보 산업혁명이라는 이차 산업혁명을 뒷받침하고 있다. 비물질적인 세계)

Question 417

미분방정식

Answer 417

어떤 함수와 그 함수를 미분한 도함수 사이에 성립하는 방정식이다.

Question 418

미적분의 역사적 발달

Answer 418

(고__161718**) (**A__구적수실**) (**K__포미 C__불무) (N물역미유 L__곡기미계**) (**C__극이산 W__엄)

① ♦고대그리스

• ♦Archimedes**(BC 287~ 212): ♦**구적법**을 이용해 _**포물선의 넓이**_를 구함. _**오늘날의** ♦적분법과 유사한 아이디어를 이용함. (♦수렴하는 급수의 합을 최초로 구한 사람) (무한등비급수_**) (포물선과 현으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하기 위하여 포물선과 현에 모두 내접하는 삼각형을 무한히 잘라 이를 더해나가겠다는 심산이다.)

(♦실진법**: 실진exhaustion의 뜻은 말 그대로 _지치는 것_인데, _영역을 나누는 과정_을 지칠 때까지 **무한히 반복하는 것이다.)

② ♦16~ 17c

• ♦Kepler**: ♦**포도주통의 부피를 계산하는 과정**에서 ♦**미분의 아이디어를 발전시킴.
• ♦Cavalieri**: ♦**불가분양이라는** ♦**무한소를 이용해서 넓이와 부피를 계산.

③ ♦17c

• ♦Newton**: ♦**물체의 운동과 그 변화**를 나타내기 위한 ♦**역학적인 관점**에서 ♦**미분의 아이디어**를 생각해냄. 수학자이자 과학자인 Newton에게 있어 수학은 물리학을 연구하기 위한 수단이었으므로 변화하는 양을 소재로 하는 ♦**유율법에 의해 미분을 생각해냄.
• ♦Leibniz**: ♦**곡선에 접선**을 긋는 ♦**기하학적 관점**에서 ♦**미분의 아이디어**를 생각해냄. _**현대적인** 적분기호 ∫와 dx. dy 등의 **기호**_를 _**처음 사용**. 미적분을 ♦계산 기술로 발전_**시키는 데 크게 기여함.

④ ♦18c 이후

• ♦Cauchy**: ♦**극한**을 _**미적분학의 기초**_로서 그 ♦**이론적 근거**를 부여하였으며, 미적분학은 이러한 _**극한 방법**_을 사용하여 상당한 발전을 이루었다. _**현재의 ε__-__δ 방법에 가까운 방법**_을 전개하고 있다. ε-δ는 _**해석학의** ♦산술화_**에 기여했다.
• ♦Weierstrass**: ε-δ 방법의 도입으로 ♦**엄밀한 전개를 함.

Question 419

미분과 적분 개념의 역사적 발생 맥락

Answer 419

(기물 곡기)

미분은 ♦기하의 접선문제와 ♦물리의 속도문제를 다루면서 생겨났고, 적분은 ♦곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 데 있어 ♦기본도형을 이용하는 문제상황에서 생겨났다.

Question 420

우리 수학과 교육과정에서 미적분 개념을 발생적 배열과는 반대로 도입하는 이유

Answer 420

(계 역적미미연어 구 난일함)

“♦_계산의 효율적인 측면을 강조_하기 위해” (참고로 고등학교에서 도입되는 _미분_은 _평균변화율의 극한값_으로 설명된다.)

♦역사발생적 원리**를 미적분 지도에 직접적으로 적용하려면, ♦**적분**을 먼저 다루고 ♦**미분**을 이후에 도입한 후 ♦**미적분학의 기본정리**에 의해 이 _**두 가지 개념을** ♦연결_ 지어야 하는데 이러한 도입 순서는 **현실적으로 많은** ♦**어려움이 따른다.

① ♦_구분구적법_으로 _적분을 구해야_ 하는데, 이 과정은 _상당히 복잡하고 번거롭다_.

② 적분이 미분에 비해 전반적인** ♦**난이도**가 높다. ♦**일반적인 방법이 존재**하는 _**미분**_과는 달리 _**적분의 경우**_는 ♦**함수식의 형태에 따라 적분 방법이 달라지기 때문이다.

Question 421

고등학교에서 미분을 도입하고 적분을 미분의 역의 과정으로 도입하는 문제점

Answer 421

(개계 발유)

미분과 적분에 대한 ♦개념, 원리의 이해보다 ♦계산학습에 치중하게 되는 문제점이 있다. 또한 ♦발생맥락을 알 수 없어 미적분의 ♦유용성을 깨닫지 못한다.

Question 422

미분, 적분 순서로 도입시 발생하는 문제점에 대한 대안

Answer 422

(발문개)

미적분의 역사적 ♦발생맥락을 반영한 ♦문제상황을 도입하여 ♦개념과 원리의 이해에 초점을 두고 지도한다.

Question 423

미분과 적분 실생활 맥락을 강조한 수Ⅱ 교수학습 방법 및 유의사항 ④

Answer 423

미분법을 단순히 적용하기보다는 미분의 의미를 이해하고, 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.

Question 424

개념정의, 개념이미지

Answer 424

(V__동의거오**) (**상 완직직)

_개념 정의_란 개념을 정확히 설명하는 언어적 정의이고, _개념 이미지_란 개념과 정신적으로 관련된 모든 성질과 과정 및 심상들로 이루어진 인지구조이다.

♦Vinner에 따르면 개념 정의를 이해하고 기억할 때 개념 이미지를 ♦_동원하는 것이 효과적_이므로 학생들은 형식화된 개념 정의보다 _개념 이미지에_ ♦의존하는 경향이 있는데, 개념 이미지를 ♦거치는 과정에서 여러 가지 ♦오류가 나타날 수 있다고 보았다. 그에 따르면 개념 정의와 개념 이미지가 ♦상호작용하는 방식에는 다음과 같이 네 가지 경우가 있다.

Question 425

Dubinsky의 APOS이론

Answer 425

(개대 대반반내 조연하)

(함수를 예로 들면)

① 행동**: ♦**개념을 익히기 위해**서는 우선 ♦**대상에 대한 변환을 적용해보게 되는데 이러한 낱낱의 변환을 행동이라고 한다. (함수식의 변수에 값을 대입해 보는 것, 혹은 정의역의 원소를 공역의 원소로 대응시키는 것)

② 과정**: ♦**대상에 대한 행동을** ♦**반복**하면서 ♦**반성**함으로써 ♦**내면화되어 하나의 정신적인 과정이 된다. (함수를 입력과 출력으로 인식)

③ 대상**: **과정을 전체적으로 인식하기 시작하면서 과정은 대상화되어 하나의 대상이 된다. (함수를 하나의 집합으로 간주하면서 집합에 대한 조작을 하는 것)
④ 스키마**: 행동, 과정, 대상이 ♦**조직화되고** ♦**연결**됨으로써 ♦**하나의 일관성 있는 구조가 되면 스키마가 된다. (함수에 대한 체계적 틀)

Question 426

Sfard의 수학적 개념 형성 과정

Answer 426

(대구과조 계추직형**) (**내압실 실조일새)

수학적 개념**은 _**대상**_과 _**과정**_의 두 가지 측면이 있으며, 이는 동전의 양면과 같이 _**상호보완적**_이라고 보았는데, 이는 _**APOS__이론과 상통**_하는 바가 있다. (♦**대__상으로서의** ♦**구__조적 방법**과 ♦**과__정으로서의** ♦**조__작적 방법이 교대로 나타나면서 개념이 구성)

♦계__산적인 조작**을 ♦**추__상적인 대상**으로 전이시키는데 유용하고, 고등학교의 ♦**직__관적인 정의**를 대학교의 ♦**형__식적인 정의로 전이시키는데 시사점을 제공한다.

① ♦내__면화** 단계에서는 ♦**실__제로 수행한 행동을 통해** ♦**조__작이 구성되도록 한다.

② ♦압__축**단계에서는 _**더** ♦일__반화된 경우를 생각_**한다.

③ ♦실__재화** 단계에서는 이제까지 다루어오던 것을 ♦**새__로운 시각에서 조망하여 이해하게 된다.

Question 427

대상수준과 메타수준 (Sfard)

Answer 427

(구직 대수포반)

대상수준이란 ♦구__체적인 수학적 대상들**에 ♦**직__접적으로 관여하는 수준이다.

메타수준이란 ♦대상수준보다 상위에 있는 것으로, ♦수__학적 대상들을 파악하고 조절**하는 ♦**포__괄적 활동에 관련되는 수준을 뜻하고, 이는 대상수준의 학습을 ♦반성하도록 촉진함으로써 이루어진다.

Question 428

교과서 속의 미분과 적분- 수열

Answer 428

(어도수인 함)

수열은 ‘♦어떤 규칙에 따라 수를 차례로 나열한 것’으로 ♦도입하기 때문에 학생들은 ♦수의 나열이라는 측면에서만 수열을** ♦**인식**하는 경향이 있다. 그러나 _**수열은** ♦함수_**이며, 학생들에게 이런 점을 강조할 필요가 있다.

Question 429

규칙성을 파악하여 수열의 일반항을 구하는 귀납적인 추론의 한계

Answer 429

처음 k개의 항은 1,2,…,k로 공차가 1인 등차수열이지만, k항 이후에는 달라지는 수열을 만들 수 있다.

Question 430

교과서 속의 미분과 적분- 무한 개념

Answer 430

(무유정하**) (**유무연결)

⑴ Zeno__제논의 역설 (패러독스)

거북이가 아킬레스보다 100m 앞서서 출발한다면, 결코 거북이는 아킬레스에게 역전당하지 않을 것이라고 생각하는 것이다.

아킬레스의 속도가 거북이의 속도보다 10배 빠르다고 하면, _아킬레스_가 _거북이의 지점에 도달할 때마다_ _거북이_는 _항상 아킬레스보다 앞서게 되므로_ 거북이와 아킬레스 사이의 간격이 점점 좁혀지기는 하지만, 거북이는 아킬레스보다 항상 조금이라도 앞서게 된다는 것이다. (그 지점을 각각 100m, 10m, 1m, 0.1m, …라 할 수 있다.)

이에 내재된 논리적 오류를 정확히 지적하여 반박하는 것은 쉽지 않은 일이다. 수학에서 양수를 무한 번 더해도 그 합이 유한할 수 있다는 것이 밝혀진 후, 이 패러독스를 설명할 수 있었다.

즉, _무한등비급수의 합_을 배운 후에는 아킬레스가 처음 100m 달리는데 10초가 걸린다고 할 때, _아킬레스가 거북이를 추월하기 위해 달린 총 시간_을 계산하면 10+1+0.1+0.01+…=100/9 초가 되므로 100/9 초 이후에는 아킬레스가 거북이를 추월할 수 있다.

⑵ 정적인 관점과 동적인 관점

① 0.9999__…__=1 이해의 어려움 (2015개정에서는 다루지 않는다.)

(_순환소수_가 _무한소수_가 되는 경우만 다루고, _유한소수_가 되는 거 자체를 다루지 않는 거 같네.) (무한소수와 유한소수 구분의 혼동)

(과정과 결과** 즉, _동적인 관점_에서 _정적인 관점_으로 이행하는 가운데 **여러 가지 장애를 경험하게 되기 때문으로 보인다.)

(참고로 수에는 기수와 서수라는 두 가지 측면이 있다. 이 중 _기수_는 _정적인 관점의 수_이고, _서수_는 _동적인 관점의 수_라고 할 수 있다.)

(기수**는 _**사물의 개수나 양을 나타내는 수**_이므로 “**하나__, 둘__, 셋__, ~~**”으로 읽어야 하고, **서수**는 _**사물의 순서를 나타내는 수**_이므로 “**첫째__, 둘째__, 셋째__,~~**” 또는 “**일__, 이__, 삼__, ~~”으로 읽어야 한다.)

고등학교에서 극한개념을 이용한 _무한등비급수의 합_을 배운 후에는 수학적으로 _더 정확하게 이해_할 수 있지만, 중학교에서는 _직관적으로 이해_하는 것을 요구하는 수준이기 때문에 학생들에게 _체감 난이도_는 높다. (순환소수를 분수로 고치는 엄밀한 방법도)

② ♦무한급수의 합은** ♦**유한부분합의 극한이다__. (무한급수의 합= 무한급수의 값) (급수= 무한급수)

무한급수의 값을 유한부분합의 극한으로 보지 않고, ♦정적인 관점의 ‘결과’로 간주하여 ♦하나의 값으로 놓게 되면 다음 ⓐ와 같이 모순인 결과를 가져온다.

⑶ ♦유한에서 성립하는 여러 가지 성질을** ♦**무한에 적용

식을 더하고 빼는 ♦_연산을 적용하거나 ♦결합법칙_을 적용하는 등의 _유한에서 성립하는 여러 가지 성질_을 _무한에서 사용_하면 다음 ⓑ와 같이 _모순적인 결과_를 얻을 수 있다. 심지어 ⓒ와 같이 _오일러도 무한과 관련된 오류_를 범했다.

Question 431

교과서 속의 미분과 적분- 자연로그의 밑 e

Answer 431

대부분의 교과서에서는 자연로그 e를 함수의 극한으로 정의하기에 앞서** 다음의 _은행 이자 문제_와 같은 **구체적인 상황을 제시한다.

연이율 _100%__인 금융상품_이 있다고 하자. 이자를 _1__년에 한 번_이 아니라 _여러 번 나누어 복리_로 지급할수록 원리합계가 무한히 늘어날 것 같지만, 사실은 특정한 값에 수렵한다. 그 값이 바로 e=2.7182…이다. 즉, 이자를 지급하는 횟수를 아무리 늘려도 원리합계는 e를 넘기지 않는다는 것이다.

(학생들은 ‘부자연스러운’ 수 e를 밑으로 하는 로그를 ‘자연로그’라고 하는 것이 아이러니로 여길 수 있다. 이 경우 e__의 출현과정을 약식으로나마 설명하고 이를 통해 e가 ‘자연스럽게’ 도출되는 값이라는 것을 알려주면 도움이 될 것이다.)

Question 432

로그의 역할

Answer 432

(단코)

곱셈과 나눗셈**을 각각 _**덧셈과 뺄셈**_으로 ♦**단순화**한다. _**17__세기 초**_에 발달했던 천문학에서 수반되는 _**큰 수의 복잡한 계산을 간편화**_하려고 실제적인 필요성에서 창안되었다. (로그 발명 이전에는 ♦**코사인의 덧셈공식을 이용)

Question 433

교수학적 변환의 관점에서 고등학교 직관적 정의와 대학교의 형식적 정의 설명

Answer 433

(직형인이)

고등학교의 ♦직관적 정의는 대학교의 ♦형식적 정의를 학생들의 ♦인지 수준을 고려하여 ♦이해를 돕기 위한 측면에서 교수학적 변환을 한 것이다. 즉 학문적 지식에 해당하는 형식적 정의를 교수학적 지식인 직관적 정의로 교수학적 변환을 하여 다루는 것이다.

(_수열의 극한에 대한 인지장애_를 극복하는 방안으로 _소크라테스식의 대화법_을 중심으로 제시할 수 있다.)

Question 434

극한 개념의 학습에서 직관적 정의에서의 일상어적인 표현의 사용

Answer 434

(수가상직)

일상적 표현이 갖고 있는 일상적인 의미 즉 비수학적인 자생적 관념은 극한 개념의 학습에서 인식론적 장애로 작용하기도 한다. ♦수열의 극한의 정의에서 사용된 “♦가까워진다”는 표현의 일상적 의미는 같지는 않으면서 둘 사이의 차이가 줄어든다는 의미를 갖는다.

예로는 ♦상수수열에 대해 뭔가에 가까워지는 것은 아니니까 극한값이 없다고 생각하는 것을 들 수 있다.

또한 수열 {n/n+1}**의 극한값은 1이지만, ♦**직관적인 정의를 따를 때에는 1.01, 1.001도 극한값이 될 수 있다.

Question 435

은유 (함수와 수열의 극한)

Answer 435

(화극 수발증일변 운)

♦화살표를 사용한 ♦극한 명제 표현, ‘♦수렴한다’, ‘♦발산한다’, ‘♦증가한다’, ‘♦일정하다’, ‘♦변화한다’ 등과 같은 ♦운동은유가 역할을 한다.

Question 436

수열의 극한(수열의 수렴)의 정의의 차이

Answer 436

(함변무과논**) ♦**함__수의 관점**, ♦**변__수의 관점**, ♦**무__한의 관점**, ♦**과__정과 결과**, ♦**논__리적 전개의 순서

Question 437

수열의 극한(수열의 수렴)의 정의의 차이- 함수의 관점

Answer 437

(종대**) (**변변조존)

직관적 정의에서는 n이 ♦변__화함**에 따라 _**an이 ♦변__화**_하는 ‘**함수의 ♦종__속적 관점’을 취하는데 반해,

형식적 정의에서는 각 n에 대해 정해진 ♦조__건**을 만족시키는 _**an이 ♦존__재**_한다는 식으로 ‘**함수의 ♦대__응적 관점’을 취한다.

Question 438

수열의 극한(수열의 수렴)의 정의의 차이- 변수의 관점

Answer 438

(동정**) (**커가존관)

직관적 정의에서는 독립변수 n이 ♦커__질 때**, **종속변수 an이 일정한 값에 ♦가__까워지는** **‘♦동__적인__’ 특성을 지니는데 반해,

형식적 정의에서는 수열의 항들이 이미 ♦_존__재한다고 가정_하고 _항들과 극한 사이의_ ♦_관__계_를 보는 _‘_♦정__적인__’ 특성이 강하다.

Question 439

수열의 극한(수열의 수렴)의 정의의 차이- 무한의 관점

Answer 439

(가실**) (**한어)

직관적 정의에서는 ‘♦한__없이 커지면 한없이 가까워진다__.’는 표현에서 알 수 있듯이 항이 끝없이 계속된다는

‘**♦**가__능적 무한__’__을 기초로 한다.

형식적 정의에서는 수열이 무한하게 계속되지만 ♦어__느 순간 완결된 값을 갖는다고 생각하는

‘**♦**실__무한__’ 개념을 바탕으로 한다.

Question 440

수열의 극한(수열의 수렴)의 정의의 차이- 과정과 결과

Answer 440

(과결**) (**발보**) (**계정)

직관적 정의는 n의 변화에 따른 an의 변화 ‘♦과__정__’__에 초점을 맞추는데 반해,

형식적 정의는 ∣an-a∣‘♦_결__과__’__로서의 극한값 a__에 주목_한다.

또한 직관적 정의는 극한값을 ‘♦발__견__’__하는데 초점을 두고 있지만,

형식적 정의는 발견된 수가 극한값임을 ‘♦보__증__’__하는데 초점을 맞춘다.

따라서 직관적 정의는 극한값을 ♦_계__산하는데 유용_하고, 형식적 정의는 _극한값을_ ♦정__당화하는데 유용하다.

Question 441

수열의 극한(수열의 수렴)의 정의의 차이- 논리적 전개의 순서

Answer 441

(원결**) (**자논어)

직관적 정의는 독립변수 n이 커지는 원인에 의해 종속변수 an이 a에 가까워지는 결과를 생각하므로,

논리적 전개의 순서가 ‘♦원인 → 결과’이다.

이에 반해, 형식적 정의는 종속변수가 ∣an-a∣

‘♦결__과 → 원인’의 역순서이다.

이처럼 수열을 ε-Ν 방법으로 정의할 때에는 ♦자__연스러운 사고 방향을 역행하는 ♦논__리적인 반전이 뒤따라야 하므로,

이해에 있어 ♦어__려움이 따른다.

Question 442

미분계수 개념 교수학습 순서

(프로이덴탈, 역사발생적원리를 토대로)

Answer 442

(접속 순접 평)

① 미분개념의 근원 문제인 ♦접선문제나 ♦속도문제 상황을 제시한다.

② ♦순간속도의 정의와 ♦접선의 기울기를 다룬다.

③ 미분계수를 ♦평균변화율의 극한 개념으로 정의한다.

Question 443

접선개념 (라카토스 준경험주의에 기초)

Answer 443

반례의 출현에 의해 기존 개념을 끊임없이 수정하고 개선해나간다. 결국 수학적으로 정확한 접선의 정의**는 ‘**할선의 극한’이다.

Question 444

Cavalieri의 불가분량법의 활용

Answer 444

원의 둘레와 원의 넓이, 구의 겉넓이와 구의 부피

(_평면도형_과 _입체도형_의 _불가분량_은 각각 _‘__현__’_과 _입체도형을 절단한_ ‘__단면__’이다.)

Question 445

함수의 정의

Answer 445

Question 446

수열의 수렴(극한)의 정의

Answer 446

Question 447

함수의 극한의 정의

Answer 447

Question 448

극값에 대한 성질

Answer 448

Question 449

연속의 정의

Answer 449

Question 450

미분가능

Answer 450

Question 451

롤의 정리

Answer 451

Question 452

평균값 정리

Answer 452

Question 456

확률과 통계

Answer 456

(불자의소유)

총론, 신은주 6대 역량 확인

♦불확실성에 대한 수학적 접근 과정에서 만들어진 것으로 초등학교에서는 ♦자료와 가능성**이라는 영역명 사용하고 있으며, 우리나라 교육과정에서는**확률과 통계지도의 ♦의의를 ‘다양한 자료를 수집, 분류, 정리, 해석하고 생활 속의 가능성을 이해함으로써, 미래를 예측하고 합리적인 의사결정을 하는 민주 시민으로서의 기본 소양을 기를 수 있다’ 와 같이 설명한다. (확률과 통계 교육의 목적이♦소양의 교육**이라는 점을 분명하게 알 수 있다.) (**통계의 ♦유용성 인식)

Question 457

확률과 통계영역 유의사항

Answer 457

(관통충공 수근 실표올모기 자실유)

(근원사건의 등확률성)
② 통계적 확률과 수학적 확률의 ♦관계를 이해하고 ♦통계적 확률을 다룰 때 ♦충분히 많은 횟수의 시행을 구현하기 위하여 ♦공학적 도구를 이용할 수 있다.

③ ♦수학적 확률을 다룰 때, ♦근원사건의 발생 가능성이 동등하다는 것을 가정한다는 점에 유의한다.

③ ‘♦실제적인 예를 통하여 ♦표본조사의 필요성을 알게 하고, ♦올바른 표본추출이 ♦모집단의 성질을 예측하는 ♦기본조건임을 이해하게 한다.’

⑦ ♦자료를 수집하고 정리하여 결과를 분석하는 활동을 통해 통계와 관련된 ♦실생활 문제를 해결함으로써 통계의 ♦유용성과 가치를 인식하게 한다.

Question 458

줄기와 잎 그림

Answer 458

(혼있탐**) (**언어 공줄)

통계자료를 표와 그래프가 ♦혼합된 형태로 정리한 것으로 자료를 ♦있는 그대로보는 데 중점을 두는♦탐색적 자료 분석방법이다.

① 장점: 원래 자료의 손실 없이 ♦언제든지 원래의 자료를 확인할 수 있고, 변량을 크기순으로 나열하기 때문에♦어떤 특정한 위치에 있는 값을 쉽게 구할 수 있다. (중앙값, 평균, 표준편차 등을 구할 수 있다.)

② 단점: 자료의 크기가 클 때에는 변량을 일일이 나열하기에 ♦공간상의 제약이 있다.♦줄기의 개수를 정할 때 제약이 따른다.

Question 459

도수분포표

Answer 459

(초분 많)

통계 분석의 ♦_초기 단계_에서 _자료를 정리할 때 자주 사용_되는 것으로 자료의 ♦분포의 특성을 쉽게 파악할 수 있게 해준다. 계급의 개수가 너무 적거나 많으면 자료의 분포 상태를 알아보기 어렵기 때문에 계급의 개수는 보통 5~ 15개 정도로 한다.

① 장점**: **자료의 수가 ♦많아** 자료를 _체계적으로 정리_하지 않으면 정보를 얻기 어려울 때 특히 유용하다. _줄기와 잎 그림_에서는 _줄기의 간격_을 _원하는 만큼 다양_하게 정하기 어렵지만, _도수분포표_에서는 _계급의 크기_를 **다양하게 하기 용이하다.

Question 460

히스토그램과 막대그래프

Answer 460

(직붙 세가)

둘 다 그래프의 형태가 ♦직사각형의 형태**를 띠지만, 각 직사각형이 ♦**붙어있느냐 떨어져있느냐 차이**가 있다. 둘 다 ♦**세로가 도수를 의미**하지만, ♦**가로는 연속형 변량과 이산형 변량이라는 차이가 있다.

Question 461

도수분포다각형

Answer 461

(변 여)

히스토그램의 직사각형의 윗변의 중점을 선분으로 이은 것으로 도수의 ♦변동 상태를 잘 나타내어 준다.

① 장점: ♦여러 분포들**을**같은 계급**으로 나누어**한 장에 작성하여 비교할 때 자주 사용한다.

Question 462

히스토그램보다 줄기와 잎그림이 더 적절한 경우

Answer 462

(소모)

♦소규모 자료의 정리와 해석에서 히스토그램은 계급의 크기에 따라 그 ♦모양이 현저하게 달라질 수 있지만, 줄기와 잎 그림은 자료 분포의 전체적인 모양을 쉽게 가늠할 수 있다. (지도서)

Question 463

수학적 귀납법의 원조

Answer 463

(파이수)

폴리아는 ♦파스칼삼각형**(산술삼각형)에서 ♦_이항계수 공식_을 **도출한 것이 ♦수학적 귀납법을 사용한 최초의 예라고 주장하였다.

Question 464

경우의 수, 확률, 통계

Answer 464

다양한 상황과 맥락에서 경우의 수를 구하는 체계적인 방법이 존재한다.

사건이 일어날 가능성을 수치화한 확률은 정보화 사회의 불확실성을 이해하는 중요한 도구이다.

자료를 수집, 정리, 해석하는 통계는 합리적인 의사결정을 위한 기초 자료를 제공한다.

Question 465

확률에 대한 고전적 관점 (수학적 확률) (선험적 확률) (Laplace)

Answer 465

(어일사사 가무애무)

♦어떤 실험이나 관찰에서 각 경우가 일어날 가능성이 같을 때, (전제조건: 각 경우는 일어날 가능성이 같은 정도로 기대된다.)

♦일어날 수 있는 모든 경우의 수를 n, ♦사건 A가 일어날 경우의 수를 a라고 하면 ♦사건 A가 일어날 확률 p는 p=a/n이다.

문제점: 각 결과가 나올 ♦가능성이 같은가, 모든 경우의 수가 ♦무한히 많은 경우, 모든 경우의 수의 ♦애매성, ♦무리수표현.

Question 466

확률에 대한 빈도적 관점 (통계적 확률) (경험적 확률)

Answer 466

(이반어이 기진확)

♦이와 같이 같은 조건에서 실험이나 관찰을 여러 번 반복할 때, (전제조건: 각각의 사건에 대하여 시행에서의 무작위성을 가정한다.)

♦반복 횟수가 많아짐에 따라 ♦어떤 사건 A가 일어나는 상대도수가 일정한 값에 가까워지면 ♦이 일정한 값을 사건 A가 일어날 확률이라고 한다.

수학적 확률에서 해결할 수 없는 문제를 설명할 수 있게 해준다.

문제점: ♦기본적인 확률개념을 알고 있어야 한다, 유한 번 시행의 추측값 ♦진위 판단 어려움, 상대도수의 극한 결과 ♦확인 및 일치의 어려움.

Question 467

대수적 약법칙 (큰 수의 법칙)

Answer 467

(관개이 어__pnX__임 표일확)

Bernoulli의 업적으로, 성공과 실패의 두 가지 가능성을 가정하는 Bernoulli 시험에서 ♦관찰 횟수를 늘리면 미지의 확률에 대한 ♦개연적 확실성을 얻을 수 있다는 내용이다.

학교수학에서는 큰 수의 법칙이라고 하며, 통계적 확률의 ♦이론적 정당성을 부여해주는 것이다.

♦어떤 시행에서 사건 A가 일어날 수학적 확률이 ♦p이고, ♦n회의 독립시행에서 사건 A가 일어나는 횟수를 ♦X라고 하면, ♦임의의 양수 h에 대하여 를 만족하는 것이다.

이는 ♦표본의 크기 n**이 _**충분히 큰 경우 경험적 확률**_과 _**수학적 확률 p**_가 ♦**일치할 가능성**이 ♦**확률적으로 _1이 됨을 의미한다. (상대도수_와 _모비율_)

Question 468

수학적 확률과 통계적 확률의 관계

Answer 468

(수시상__P 가차)

큰 수의 법칙에 의하면 시행횟수 n을 충분히 크게 하면 상대도수 X/n는 수학적 확률에 가까워지는 경향이 있으므로 ♦수학적 확률을 모를 때**에는 ♦**시행횟수를 충분히 크게 하여 얻은 사건 A의 ♦상대도수 X/n를 사건 A가 일어날 확률 ♦P(A)로 사용할 수 있다. 그러므로 자연현상이나 사회현상에서 수학적 확률을 구하기가 곤란한 경우에는 통계적 확률을 사용할 수 있다. 이 때, 통계적 확률이 수학적 확률에 ♦가까워진다고 지도하기보다는 _통계적 확률_과 _수학적 확률의 ♦차이_가 _작아질 가능성이 커진다_고 이해하도록 지도해야 한다.

(출처 모름) (엄밀xxxx 직관o)

Question 469

압정, 직육면체, 로또 등의 확률을 1/2로 파악하는 경우

Answer 469

(컴실결통)

♦컴퓨터 시뮬레이션 등을 통해 ♦실험을 하고 ♦결과를 관찰하게 한다. 각 경우가 발생할 가능성이 같은 경우는 수학적 확률을 적용할 수 있지만, 직육면체와 같은 경우 넓은 면이 나올 가능성이 더 많으므로 수학적 확률을 적용하는 것이 아니라 ♦통계적 확률을 적용해야 함을 이해하게 한다.

Question 470

중심극한 정리

Answer 470

(L__이시정 우점정 유핵)

♦Laplace의 업적으로, ♦이항분포에서 ♦시행 횟수가 무한히 커지면 ♦정규분포에 가까워진다는 것을 나타낸다. 그 예시로는 Galton보드가 있다.

♦우연 현상, 즉 알려지지 않았거나 또는 전혀 알려지지 않은 과정이 어떻게 ‘♦점차적으로’ 잘 알려진 ♦정규분포를 이루는지 알 수 있게 한다.

(_정규분포_는 역사적 발달 과정에서 _확률과 통계의_ ♦유용성을 널리 인식하게 한 ♦핵심적인 개념)

Question 471

베이즈의 업적

Answer 471

(이사관증새사 관어확명)

♦이미 알고 있는 확률, 곧 ♦사전 확률에서 출발하여 ♦관찰 또는 실험에서 얻은 ♦증거를 반영하여 ♦새로운 확률, 곧 ♦사후 확률을 만드는 과정을 나타낸다.

♦관찰결과는 일종의 정보이며, ♦어떤 사건에 대한 정보가 추가되면 그 ♦확률도 달라진다는 것을 ♦명확하게 하였다.

Question 472

확률개념의 지도

Answer 472

(통수극상명직 수종수계 엄깊이고직)

현재 중학교에서는 ♦통계적 확률**을 먼저 고려한 후, 이어서 ♦**수학적 확률**을 도입하는데 중학생들은 ♦**극한개념을 모르기 때문**에 ♦**상대도수의 극한**이라는 것을 ♦**명시적으로 언급**해서는 _**안 되며**, ♦직관적으로만 그 의미를 파악하도록_ 해야 한다. ♦수학적 확률의 뜻은 **상대도수의 극한으로 도입한 통계적 확률**의 뜻과 ♦**종합하여 확률의 뜻을 파악하도록 하고 있다. 그리고 이후의 대부분의 내용은 ♦수학적 확률에 의해 확률을 구하고 ♦계산하는 내용으로 이루어져 있다.

그러나 중학생들에게 두 관점을** ♦**엄격하게 구분**하거나 _**각 관점의 특징에 대해** ♦깊이 지도해서는 **안 된다**. 학생들의 ♦이해 수준을 넘어 서기 때문이다. ♦고등학교에서조차_ 이 문제에 대해서는 ♦**직관적인 수준에서만 파악하도록 지도한다.

Question 473

통계적 확률의 지도 (신뢰구간 관련)

Answer 473

(통어극 실신 물통실신)

학생들은 ♦통계적 확률**이 _**상대도수의 극한으로 정의**_되므로 ♦**어떤 상황에서나** ♦**극한값이 존재한다고 가정**할 것이다. _**그러나** ♦실제로는_ 무한 번의 시행 또는 관찰을 할 수 없으므로 ♦**신뢰구간에 의해 통계적 확률을 다루게 된다**. 윷과 같이 ♦_물리적 대칭성을 만족하지 않는 소재_를 _이용하면 ♦통계적 확률이 ♦실제적인 현상을 다루는 데 활용되는 정의이지만, ♦신뢰구간에 의해 다루어질 수밖에 없음_을 **인식시키는 데 도움을 줄 수 있다.

Question 474

확률과 통계 영역의 수업에 대한 교사들의 부담

Answer 474

(정생직)

교육과정과 교과서에서 해당 내용들을 ♦정확하게 다루기보다** 관련 지식을 ♦**생략하고** ♦**직관적으로 다루고 있기 때문이다. 이는 해당 학교급의 수준을 넘어서는 지식이 많기 때문에 제한점이 따른다.

Question 475

확률교육에 대한 피아제의 주장 (&Inhelder)

Answer 475

(일직판거자)

♦일상적인 행동과 사고에 확률 ♦직관이 요구되고 확률적 ♦판단이 요구되는 문제 상황에 ♦거듭 접하게 되므로 아동들의 확률적 사고는 ♦자발적으로 발달해간다.

Question 476

확률교육에 대한 피셔바인의 주장

Answer 476

(구학확확자 확자의 일**) (**연확귀이균 이**) (**인인중)

① 학교에서 확률에 대한 ♦구체적인 교육을 받기 이전에 ♦학생들이 발전시키는 직관은 ♦확률 개념을 이해하는데 방해가 되는 경우가 있으므로, ♦확률 개념을 이해하기 위해서는 ♦자연스러운 사고 과정을 거부하는 태도가 필요하다. 즉, ♦확률 개념이나 직관은 인지발달에 따라 ♦자발적으로 발달되는 것이 아니라 ♦의도적인 확률 교육을 통해서만이 발달될 수 있는 것이라 보았다. (♦일차직관의 방해)

② 확률을 가르칠 때, ♦연역적 사고방법만 가르친다면 확률의 의미를 진정으로 다룰 수 없다. ♦확률교육을 통해서는 무엇보다 ♦귀납적 사고의 가치와 역할을 가르쳐야 하며, ♦이미 발달시킨 직관의 한계를 이해하고 수정하여 ♦균형을 추구하는 것이 중요하다. (♦이차직관의 형성)

③ ♦인간의 행동 자체가 확률적이므로, ♦인간의 행동을 연구하는 관점이 확률교육에서 ♦중시되어야 한다.

Question 477

Fischbein의 직관과 관련된 용재가 가진 문제점과 이를 개선하기 위한 교사의 노력

Answer 477

일차직관 (초보적인 직관) 에 의해 함수의 연속을 그래프가 연결되어 있는지 먼저 파악해야 된다는 것은 학습에서 오개념이 발생할 수 있으므로 함수의 연속에 대한 이차직관인 함수연속의 형식적인 정의를 지도하였다. (_함수의 연속_을 _수__Ⅱ_에서 배우니까 _디리클레함수_가 반례로 제시될 수 있겠네.)

Question 478

일차 직관과 이차 직관

Answer 478

(체개인 개학신)

일차 직관이란 ♦체계적인 교육과 무관하게 ♦개인적인 경험의 결과로 발달하는 ♦인지적 신념이다. (14기출)

이차 직관이란 ♦개인의 자연스러운 정상적인 경험에 의해 생성되는 것이 아니라 ♦학습된 개념으로부터 ♦신념으로 전환된 것이다.

Question 479

일차 직관을 통해 인식론적 장애를 가진 학생의 이차직관 형성과정

Answer 479

수학에서 어떤 대상의 존재성을 인정할 때 논리적 무모순성이 기준이 됨을 알게하여 학생들이 형식적인 수학의 가치를 알게하는 과정이 필요하다. 이를 이차적 직관의 형성이라고 한다.

Question 480

확률 판단 전략

Answer 480

(대정조결인**) (**표모표무 개정 최초 일특 도인)

① ♦대표성 전략**: ♦**표본의 크기에 관계없이** ♦**모집단과 유사할 것을 기대**하거나, ♦**표본을 추출하는 과정**이 ♦**무작위성을 반영하기를 기대하는 것이다.

② ♦정보의 이용가능성 전략**: ♦**개인적으로 이용할 수 있는** ♦**정보에 영향을 받는 것을 가리킨다.

③ ♦조정과 고정 전략: ♦최종적인 답을 얻기 위하여 최초의 값을 조정하되, ♦초기 값을 어떻게 정했는가에 따라 다른 값을 얻는 현상이다.

④ ♦결과 중심 판단**: ♦**일어날 가능성이 얼마나 되는가**를 추정하기 보다는 ♦**특정한 결과가 실제로 일어날 것인가 여부를 결정하는 것이다.

⑤ ♦인과적 정보에 의한 판단**: ♦**도수에 관한 정보**보다는 ♦**인과적 정보에 주목하여 판단하는 현상이다.

Question 481

패러독스와 확률교육

Answer 481

(역 부종 B__다)

확률 교육에서 패러독스는 확률 개념의 ♦역사 발생을 경험하게 하는 자료로 활용될 수 있다.

① 대부분의 문제 상황에서는 부분에 대한 논의를 종합하여 전체에 대한 결론을 얻는 것이 합리적이고 타당하다. 하지만 확률 문제에서 ♦부분으로 분해하여 논의한 후** ♦**종합하는 전략을 적용할 때에는 주의해야 한다.

② ♦Bertrand__의 현**은 확률이 수학의 ♦**다른 영역과 어떻게 차별되는지 알게 한다.

Question 482

Shaughnessy의 확률적 사고 수준 이론

Answer 482

(비원발실**) (**우주신단 과우판초 간적초차 우의차적)

이들 여러 개념 수준은 반드시 선형적으로, 베타적으로 존재하는 것은 아니다.

① ♦비확률적 사고 수준**: ♦우연 현상이나 무작위 사건에 대하여 주목하지 않으며, ♦주목한다고 해도 잘 이해하지 못하고, **수학적인 판단이 아니라** ♦**신념에 근거하여 판단**하거나 또는 ♦**단일한 결과만을 예측하고 확인하는 수준이다.

② ♦원시 확률적 사고 수준**: ♦**과거의 경험에 기초하여 판단**하고 ♦우연이나 무작위 사건의 의미를 불완전하게 이해하며, 대표성, 이용 가능성 등의 ♦**판단 전략을** ♦**초보적이고 직관적으로 사용하는 수준이다.

③ ♦발생 단계의 확률적 사고 수준**: ♦**간단한 문제 상황에 수학적 확률 또는 통계적 확률 개념을** ♦**적용하는 단계**를 의미하는 것으로 _**확률 교육을 받은** ♦초기 단계에 도달_**하는 수준으로 볼 수 있다. 신념과 수학적 모델 간에는 ♦차이가 있음을 인지하기도 한다.

④ ♦실제적인 확률적 사고 수준**: ♦**우연__에 대한 여러 수학적인 관점**, 곧 통계적 확률과 수학적 확률 등의 ♦**의미**와 _**전제조건**, **제한점**_을 이해하며 이들 사이의 ♦**차이점을 알고 적절하게** ♦**적용하는 능력을 가지는 단계이다.

Question 483

확률과 통계에서의 가짜수학

Answer 483

(해답인공현극)

학교수학에서, ♦해결과정이 간단하거나 그 ♦답이 비교적 간단한 수치로 나오는 문제를 다루면서 현실과 관련없는 ♦인위적인 문제를 다루게 되었는데, 이는 ♦공학적 도구를 이용하여 ♦현실과의 관련성이 충만한 문제로 그 영역을 확대함으로써 ♦극복할 수 있다.

Question 484

프로이덴탈이 생각한 확률과 통계 교육의 문제점과 주장

Answer 484

(현수 학자)

문제점으로는 첫째, ♦현실과 단절된 추상 체계로서 다룬다는 것이다. 둘째, ♦수량적인 자료로 가득한 계산 패턴 체계로서 다룬다는 것이다.

주장으로는 첫째, ♦학습자의 현실을 고려하여 문제 상황을 구성해야 한다는 것이다. 둘째, 아동은 인류의 학습과정을 재현하기 때문에, 역사연구를 통하여 ♦자연스러운 상황을 개발해야 한다는 것이다.

Question 485

투키의 탐색적 자료 분석의 관점

Answer 485

(간자)

♦간단한 계산과 간단한 그림에 대한 해석에 기초하여 ♦자료 이면에 들어 있는 의미를 파악하는 시도이다. 자료를 표로 정리하고 자료의 추세와 분포에 주목하는 것은 탐색적 자료 분석의 주요한 방법이다.

Question 486

투키가 중요시하는 탐색적 자료 분석의 2가지 요소

Answer 486

(저현**) (**일비중 그다)

첫째, ♦저항성이다. 이는 ♦일부 자료가 파손되어도 자료 전체에 대하여 ♦비교적 합리적인 해석을 내릴 수 있다는 의미이다. 그러므로 탐색적 자료 분석의 관점에서는 평균보다 ♦중앙값을 선호한다.

둘째, ♦현시성이다. 이는 자료를 ♦그래프로 나타냈을 때 그 그래프를 해석함으로써 ♦다양한 의미를 도출할 수 있다는 것이다.

Question 487

컴퓨터 시뮬레이션의 이점

Answer 487

(많상수 많간직)

첫째, 주사위를 ♦많이 던질수록 주사위의 각 눈이 나온 ♦상대도수가 각 눈이 나올 ♦수학적 확률에 가까워진다는 것을 확인할 수 있다.

둘째, ♦많은 횟수의 실험을 ♦간접적으로 경험하게 함으로써 수학적 확률과 통계적 확률 사이의 관계를 ♦직관적으로 파악하는 기회를 제공한다.

Question 488

중학생들에게 확률을 상대로수로서의 의미로 다룰 때 (직관적), 발생할 수 있는 확률에 대한 오개념

Answer 488

(여정아 실가상일불)

(출처가 신론도 아니고 민아도 아니고.. 모고인가?) (09-2차기출)

첫째, ♦여러 번 되풀이한다는 의미가 어느정도인지 ♦정확하게 판단할 수 없기 때문에 ♦아무거나 선택할 가능성이 있다. (횟수에 대해)

둘째, ♦실무한 개념이 아직 형성되지 않고 ♦가무한 관점에 머물러 있으므로 ♦상대도수가 ♦일정한 값에 가까워진다는 의미를 ♦불완전하게 이해할 가능성이 있다. (0.50001 이라고도 답할 수 있다.)

Question 489

표본공간에 대한 개념 발달 (Jones et al)

Answer 489

(수적 수판**) (**주이비수**) (**단불 단제복 전복 전둘)

학생들의 ♦수__준을 파악**하고 그에 따라 ♦**적__절한 지도방안**을 탐색해야 한다. 각 ♦**수__준**과 그 ♦**판__단준거는 다음과 같다.

① ♦주__관적 사고: ♦단일 사건의 모든 경우를 ♦불완전하게 나열한다.

② ♦이__행기: ♦단일 사건의 모든 경우를 나열하고, ♦제한적이거나 체계적이지 않은 전략을 사용하여 ♦복합 사건의 모든 경우를 나열한다.

③ ♦비__형식적 양적 사고: ♦전략을 일부 활용하여 ♦복합 사건의 모든 경우를 나열한다.

④ ♦수__치적 사고: ♦전략을 활용하여 ♦둘 또는 세 사건으로 이루어진 복합 사건의 모든 경우를 나열한다.

Question 490

조건부확률

Question 491

Sfard의 수학적 개념 형성 과정

Answer 491

(대구과조 계추직형**) (**내압실 실조일새)

수학적 개념**은 _**대상**_과 _**과정**_의 두 가지 측면이 있으며, 이는 동전의 양면과 같이 _**상호보완적**_이라고 보았는데, 이는 _**APOS__이론과 상통**_하는 바가 있다. (♦**대__상으로서의** ♦**구__조적 방법**과 ♦**과__정으로서의** ♦**조__작적 방법이 교대로 나타나면서 개념이 구성)

♦계__산적인 조작**을 ♦**추__상적인 대상**으로 전이시키는데 유용하고, 고등학교의 ♦**직__관적인 정의**를 대학교의 ♦**형__식적인 정의로 전이시키는데 시사점을 제공한다.

① ♦내__면화** 단계에서는 ♦**실__제로 수행한 행동을 통해** ♦**조__작이 구성되도록 한다.

② ♦압__축**단계에서는 _**더** ♦일__반화된 경우를 생각_**한다.

③ ♦실__재화** 단계에서는 이제까지 다루어오던 것을 ♦**새로운 시각에서 조망하여 이해하게 된다.

Question 492

대상수준과 메타수준 (Sfard)

Answer 492

(구직 대수포반)

대상수준이란 ♦구체적인 수학적 대상들에 ♦직접적으로 관여하는 수준이다.

메타수준이란 ♦대상수준보다 상위에 있는 것으로, ♦수학적 대상들을 파악하고 조절하는 ♦포괄적 활동에 관련되는 수준을 뜻하고, 이는 대상수준의 학습을 ♦반성하도록 촉진함으로써 이루어진다.

Question 493

대상수준의 학습에 머물러있는 전형적인 사례

Answer 493

(덧왜)

확률의 ♦덧셈정리를 적용하여 답을 구하면서도 ♦왜 그렇게 하는지를 모르는 경우.

Question 494

정수에서 유리수로의 지수법칙 확장에서 대상수준과 메타수준의 비교

Answer 494

(정적제 어)

학생 A는 유리수 지수에 대한 ♦정의를 바탕으로 구체적인 문제 상황에 ♦적용할 수는 있으나 유리수 지수는 밑이 0보다 큰 경우에 대하여 정의된다는 ♦제한조건을 이해하지 못하고 있다. 이는 구체적인 수학적 대상들에 직접적으로 관여하는 수준으로 대상수준에 해당한다.

반면 학생 B는 ♦어떤 조건에서 유리수 지수를 정의할 수 있는지를 알 수 있는 상태로 메타수준에 해당한다. 메타수준은 대상수준보다 상위에 있는 것으로, 수학적 대상들을 파악하고 조절하는 포괄적인 활동에 관련되는 수준을 뜻하고, 이는 대상수준의 학습을 반성하도록 촉진함으로써 이루어진다.

Question 495

표본 지도와 관련한 다음 자료 활용의 목적-1

Answer 495

(전일모표)

(가)의 ♦전수조사는 비경제적이므로 이러한 경우에는 ♦일부를 뽑아 조사하고 그 결과로부터 ♦모집단에 대하여 추정하는 것이 바람직하다. 이로부터 ♦표본추출의 필요성을 이해하도록 할 수 있다.

Question 496

표본 지도와 관련한 다음 자료 활용의 목적-2

Answer 496

(표편올)

(나)는 모집단에서 ♦표본을 추출할 때 ♦편향되지 않게 추출하는 방법을 생각해보도록 하여 ♦올바른 표본추출 방법을 생각해보도록 하는 것이 목적이다.

Question 497

대푯값

Answer 497

(가 모모두)

① 평균: 자료 전체의 변량을 모두 더해서 자료의 총 개수로 나눈 값이다. (by me)

② 중앙값**: 자료의 개수가 _홀수인 경우_에는 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하여 _한가운데에 있는 값_이고, _짝수인 경우_에는 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 _한가운데 있는 값_이 두 개이므로 **이 두 값의 평균값이다.

③ 최빈값**: 변량 중 ♦**가장 많이 나타나는 값**이다. _**변량이** ♦모두 다르거나_ 서로 다른 변량의 각각의 개수가_ ♦_모두 같은 경우_에는 최빈값이 존재하지 않는다. 또, 자료에 따라서는 _최빈값이_ ♦_두 개 이상일수도** 있다.

Question 498

대푯값이 필요한 이유

Answer 498

(요비부 각하)

자료의 분포 상태를 ♦_요__약_하거나 _두 개 이상의 자료를_ ♦_비__교_하고자 할 때에는 분포 상태를 나타내는 _그래프만으로는_ ♦부__족할 때가 있으므로 이런 경우 ♦각 자료 전체의 중심적인 경향이나 특징을 대표할 수 있는 값을♦하__나의 수로 나타낼 필요가 있기 때문이다.

Question 499

적절한 대푯값의 선택

Answer 499

(모극선**) (**평)

평균은 실생활에서 자료의 ♦모든 값을 사용하여 대푯값을 정해야 하는 경우에 적절하다.

중앙값은 자료에서 ♦극단적인 값이 있어서 극단적인 값이 대푯값에 영향을 미치지 않게 해야 하는 경우에 적절하다. (줄기와 잎그림) (♦평균만 특이값에 영향을 많이 받음)

최빈값은 ♦선호도, 지지도, 인기도 등을 측정하여 대푯값을 정해야 하는 경우에 적절하다. (변량의 개수가 너무 적으면** **자료 전체의 특징을 반영하지 못할 수도 있다는 단점이 있다.)

Question 500

대푯값에 대한 깊은 사고를 제공하는 지도방안

Answer 500

(변 WM 주조생**) (**의주 가탈과)

_교과서 과제를 일부 ♦변형_할 필요가 있다. _♦_Watson과 ♦Mason__이 제안한 과제는♦주어진 자료의 대푯값을 구하는 것이 아니라♦조건을 제시하고 그조건에 맞는 자료집합을 ♦생성하도록 한다는 특징이 있다. 그♦의의는 다음과 같은 효과로학생들이 ♦주체적으로 대푯값을 배우도록 한다는 점에 있다.

① ♦가역적 사고의 촉진

② 메타수준의 학습을 유도하여 ♦탈배경화와 탈개인화의 촉진

③ ♦과정 중심 평가를 실행하는데 매우 적합한 과제

Question 501

통계적 사고

Answer 501

(M 이경관우**) (**자모인**) (**자규)

(♦Moore는 통계학**이 ♦**이론적이기보다는** ♦**경험적**이며, 그렇기 때문에 _**자료를** ♦관찰하는 과정이 ♦우선적으로 전제_**되어야 한다고 보았다.)

통계적 사고**는 ♦**자료의 변이성**이 우리 주변에 그리고 우리가 행동하는 ♦**모든 것에 존재하고 있음을** ♦**인식하는 사고 과정이다.

통계적 사고 과정**은 이러한 ♦**자료의 변이성 속에서** ♦**규칙성을 찾는 것이다.

Question 502

탐구 활동으로서의 통계적 사고 (Wild&Pfannkuch)

(통계적 문제해결 활동의 단계 (지도서))

Answer 502

(문계자__분결**) (**정형 측표자예결 수관정 자계계가 결결새상)

① ♦문제 단계**: 체계적으로 ♦**정보를 확인**하여 _**문제로** ♦형식화_**하게 된다.

② ♦계획 단계**: ♦**측정 방법**을 결정하고, ♦**표본 추출 방법**을 선택하며, ♦**자료 관리 체계와** ♦**예비 조사 방법** 그리고 ♦**결과를 분석하는 방법을 결정하게 된다.

③ ♦자료 단계**: 필요한 자료를 ♦**수집**하고, ♦**관리**하며, ♦**정돈한다.

④ ♦분석 단계**: ♦**자료 검토**, ♦**계획했던 대로 하는 자료 분석**, ♦**계획하지 않았던 방식으로 하는 자료 분석**, 그리고 **이에 근거하여** ♦**가설을 생성한다.

⑤ ♦결론 단계**: ♦**결과 해석**, ♦**결론 도출**, ♦**새로운 아이디어 모색**, ♦**상호 의견 교환을 한다.

Question 503

탐구 활동 과정에서 주로 활용하는 기본적인 통계적 사고 (Wild&Pfannkuch)

Answer 503

(자수자통통)

♦자료의 필요성 인식, ♦수량화,♦자료의 변이성 탐구, ♦통계 모델에 따른 추론,♦통계와 맥락의 통합

Question 504

통계적 소양

Answer 504

(실통문)

♦실세계에서 통계적인 문제 상황에 부딪혔을 때, ♦통계적인 정보를 바탕으로 그 ♦문제 상황을 해석, 이해, 비판, 평가, 해결할 수 있는 그런 능력이다. (기통__수맥비 태신비)

Question 505

통계적 소양의 지식 요소

Answer 505

(기통수맥비**) (**말학통적)

첫째, ♦기본소양이다. 이는 ♦말하고, 읽고, 쓰고, 간단히 계산하는 능력을 말한다.

둘째, ♦통계적 지식이다. 이는 ♦학교 수학의 통계 단원에서 다루는 내용을 말한다.

셋째, ♦수학적 지식이다. 이는 ♦통계적 지식을 다룰 때 활용하는 내용을 말한다.

넷째, ♦맥락적 지식이다.

다섯째, ♦비판적 질문이다. 이는 ♦적합, 타당, 신뢰성, 정확, 왜곡여부 등을 확인하는 것을 말한다.

Question 506

통계적 소양의 성향 요소

Answer 506

(태신비**) (**통더통)

첫째, 태도와 신념이다. ♦태도는 ♦통계 관련 내용, 행동, 주제 등에 대한 느낌과 관련된 것이고, ♦신념은 ♦더 오랜 시간 동안 형성되는 것으로 태도보다 더 변화하기 어려운 면이 있다.

둘째, ♦비판적 자세다. 이는 ♦통계와 더불어 주어지는 정보를 무조건 거부하거나 수용하지 않고 비판적으로 검토하는 태도를 가리킨다.

Question 507

각뿔대의 부피

Answer 507