최종 인출 Flashcards

Question

중학교 수학 학년별 내용변화- 함수

Answer 1

① **_중학교 1학년 그래프 이해 강조_** (함수를 배우기도 전에 그래프를 먼저 지도하겠다.) 현실 세계의 다양한 상황을 표, 식, 그래프로 나타내고, 주어진 그래프를 해석하고 설명하는 과정을 충분히 거친 후, 중2에서 함수의 개념을 도입하도록 성취기준을 변경하였다. ② **_‘정비례와 반비례’를 초등학교 5~6학년군에서 중학교 1학년으로 상향이동_** 먼저 비정형 그래프의 작성과 해석을 충실히 다루고, 특별한 경우로 정비례와 반비례를 다룬다. [9수03-02]**_다양한 상황_**을 그래프로 나타내고, 주어진 그래프를 해석할 수 있다. [9수03-03]**_정비례, 반비례_** 관계를 이해하고, 그 관계를 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다. ③ **_‘이차함수의 최대·최소’를 고등학교 1학년으로 상향이동_** (기출)

Answer 2

① **_‘도수분포표에서 자료의 평균’ 성취기준 삭제_** ② **_‘상관관계’ 성취기준 추가_** (학습부담 경감을 위해 07개정에 삭제된 내용이었지만, 실생활관련성이 높더라.) [9수05-08]자료를 **_산점도_**로 나타내고, 이를 이용하여 상관관계를 말할 수 있다. (7차에서의 **_상관도_**) ③ **_‘공학적 도구의 사용’에 관한 성취기준 추가_** ④ **_중학교 1학년 통계 중단원명 변경_**: 통계적 소양 교육을 나타내기 위한 통계적 문제 해결 절차에 초점. ⑤ **_‘확률과 통계’ 영역의 위치 변경_**: 통계 소양 교육을 강조하기 위한 다양한 수업을 위해 맨 마지막에 배치.

Answer 3

**_단원명으로 구분_** 되어 있던 고1 내용이 **_영역별로 구분_**되도록 변경하였다. ① 중학교 **_‘연립일차부등식’을 으로 이동_** (방정식과 부등식이 한 데 모여 있다.) **_‘미지수가 3개인 연립일차방정식’ 내용은 삭제_** (미지수가 2개인 연립일차방정식은 중2) ② **_이차함수의 최댓값과 최솟값을 에서 통합_** ‘이차함수의 최댓값과 최솟값은 실수 전체의 범위뿐만 아니라, 제한된 범위 a≤x≤b 에서도 구하게 한다.’ ③ **_‘근과 계수의 관계’ 내용 경감_** ‘이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하는 복잡한 문제는 다루지 않는다.’ ④ **_부등식의 영역 삭제_**: 으로 이동. ⑤ **_확률과 통계 영역 추가_**: 공통과목으로서의 기초 소양을 강조하기 위함.

Answer 4

학습량 과중의 문제를 해결하기 위해 **_자연계열_**과 **_이공계열로_** **_진학_**할 학생들이 선택할 것으로 **_예상_**되는 으로 이동하였다. 이를 통해 **_대부분의 학생들이 이수_**할 것으로 **_예상_**되는 의 학습량은 대폭 감축되고, 과 는 **_서로 독립적인 선택 과목_**이 되는 결과를 가져오게 되었다.

Answer 5

교육과정을 벗어난 **_심화내용을 평가하지 않도록_** 안내하는 평가의 **_가이드라인을 제공_**하여 **_수학 학습 부담 경감을 실현_**하기 위한 것이다.

Answer 6

(**_비집기노_ _수정모노_**) 수학의 엄밀성과 확실성을 포괄하는 **_강력한 법칙**_은 몇 세기동안 _**철학적 논쟁의 대상**_이 되어왔다. _**19__세기 초**_까지는 _**플라톤주의**_와 _**유클리드 기하**_의 입지가 확고한 상태였고 _**수학의 엄밀함_**은 의심할 여지가 없는 것이었지만, 그 이후 **♦_비유클리드 기하학**_이 _**발견_**되고 **♦****_집합론**_이_**창시**_되면서, 수학에 대한 확고한 바탕이 흔들리게 되었다. 따라서_**수학에 대한_ ♦_기초를 확립하고자 하는_ ♦_노력들_**이 일기 시작하는데, 이른바 수학기초론이 그것이다. 수학기초론은 크게 논리주의, 직관주의, 형식주의의 세 사조로 대표된다. 각각은 서로 다른 이론들을 내세워**♦****_수학이 무엇인가에 대하여 각각의 방식으로_ ♦_정의**_하여 _**수학의_ ♦_무모순성을 확립하려고_ ♦_노력_**한다.

Answer 7

(**_참진결확_ _오능구형_**) 절대주의는 절대적으로 ♦참인 확실한 ♦진리로 ♦결과로서의 **_수학적 지식의**_ ♦_**확실성_**에 초점을 둔다. 상대주의는 ♦**_오류 가능성**_을 인정하고 학습자 스스로의 ♦_**능동적 활동**_을 통한 _**지식의**_ ♦_**구성**_과 _**지식의**_ ♦_**형성과정_**에 초점을 둔다.

Answer 8

모든 수학은 논리학으로부터 유도될 수 있다. (수학적 지식의 확실성은 **_논리의 확실성_**으로 대체된다.)

Answer 9

(**_유직자유_**) (수학기초론은 논리주의, 직관주의, 형식주의로 구분된다.) **_수학적 지식의_** **♦****_유일한 원천_**은 **_근본적인_** **♦****_직관_**이며, 직관으로 인해 기본적인 수학적 개념과 정리가 **♦**자명하게 되는 것이라 주장했다. 즉, **_수학적 진리는_** **♦****_유한 번의 단계로 구성가능_**함을 보임으로써 확립되는 것이라고 보았다. (**_배중률**_과 _**삼분법_** 배격) (**_배중률_**: 제 3자 배척의 원리) 이 수리철학은 **_프로이덴탈_**의 수학화 교수학습이론의 주장에 **_직접적으로 영향_**을 주었다.

Answer 10

(**_역고위_ _가형**_) (_**무완**_) (_**무독_**) **_논리주의에 의해 생겨난_ ♦_역리**_와 _**직관주의에 의해 야기된_ ♦_고전 수학의 포기**_라는 _**수학적_ ♦_위기를 극복하려는 시도_**이다. 수학에서 생각하는 공리를 **_하나의_ ♦_가설**_에 불과하다고 보았으며 수학을 _**의미가 배제된_ ♦_형식체계로 재조직_**하려고 하였다. (수학적 지식의 확실성은 **♦****_무모순성_**과**♦_완전성_**을 의미한다.) ‘**_기하학기초론**_’에서 제시한 공리계의 논리적 결함을 해결할 수 있는 새로운 공리계는 _**공리체계의_ ♦_무모순성**_과 _**공리들 사이의_ ♦_독립성**_을 _**특징_**으로 한다.

Answer 11

(**_참정**_) (_**본발_ _절연_ _가발_ _분**_) (_**잘수발**_) (_**확의_ _완확경최권_**) 절대주의에서는 **_정당화의 수단_**, 준경험주의에서는 **_발견_****_과 개선의_** **_수단_**, 사회적 구성주의에서는 **_설명과 확신의 수단_**이다. (증명의 심층: **_발견의 맥락**_ → _**정당화의 맥락**_ → _**사회적 맥락_**) ① **_절대주의에서의 증명_**은 수학적 명제가 ♦참임을 밝히는 ♦정당화의 수단이다. (종합적 방식 부각) ② **_준경험주의에서의 증명**_은 _**두 가지 의미**_를 _**내포_**한다. **_첫 번째**_, _**증명의**_ ♦_**본질**_은 _**사고실험**_이라는 것이다. 즉, 증명은 ♦_**발견의 수단_**이다. 따라서 ♦가정만 제시하여 결론을 스스로 탐색하도록 하고 추측을 형성하게 하여 **_명제에 대한_** ♦**_발견경험_**을 제공해야 한다. **_두 번째**_, _**증명**_ ♦_**절차**_는 _**추측을 부분 추측을 분해하여 그것을 이미 알고 있는 것과**_ ♦_**연결시키는 과정**_이라는 것이다. (증명이 추측을 부분 추측 또는 보조 정리로 분해하여 그것을 가능한 한 멀리 떨어져 있는 지식체에 포함시키는 것) 즉, ♦_**분석적 방식으로서의 증명_**을 강조한다. 따라서 증명방법을 탐색하기 위한 **_분석법_**을 도입해야 한다. 따라서 **_증명**_은 비판을 용이하게 하기 위해 _**추측을 가능한 한 작은 부분으로 분해하여 분석하는 사고실험**_을 의미하며, 증명에 의한 비판으로부터 _**추측의**_ ♦_**잘못된 부분들을 찾고**_ ♦_**수정해나가는 계속적인**_ ♦_**발견의 과정_**이다. ③ **_사회적 구성주의에서의 증명**_은 _**자기 자신을 포함해서 다른 사람을**_ ♦_**확신시키기 위한 설명**_이며, _**수학자들 간의**_ ♦_**의사소통의 수단_**이다. **_증명 교육에서**_는 증명에 대한 _**사회적 관점을**_ ♦_**완화시켜 적용할 필요**_가 있다. 이는 _**학생들**_에게 ♦_**확신의 수단으로서의 증명을**_ ♦_**경험**_하도록 하고 _**타당한 증명에 대한**_ ♦_**최종 판단**_은 _**교사의**_ ♦_**권한에 맡기는 것_**을 의미한다.

Answer 12

(**_증변반_**) **_수학적 지식**_은 ♦_**증__명과 반박의 논리**_에 의해 _**추측이 끊임없이 개선**_되는 ♦_**변__증법적 과정**_을 통해 _**성장하는 것**_으로 ♦_**반__증되기 전까지만 잠정적으로 참_**이라고 본다. (추측-증명-반박의 논리)

Answer 13

1단계: 수학적 **_추측을 제기_**하는 단계 2단계: **_추측을 부분추측으로 분해_**하는 **_증명_**, 곧 **_사고실험_** 단계 3단계: **_반례_**가 **_등장_**하고 추측과 증명을 반박하는 단계 4단계: 증명을 검토하여 **_증명과 추측_**을 **_개선_**하는 단계

Answer 14

(**_소연_ _잠아연_**) **_소__박한 추측_**: 문제의 ♦잠정적인 해 **_연__역적 추측_**: 증명 ♦아이디어를 발견하고 그것을 토대로 하여 ♦연역해 나감으로써 얻을 수 있는 추측

Answer 15

**_국소적 반례**_는 _**부분추측**_을 _**반박_**하는 것이고, **_전면적 반례**_는 _**원래의 추측**_을 _**반박_**하는 것이다.

Answer 16

(**_인_ _정몰살_ _새철축_**) ① 반례를 받아들이고 **_원래의 추측이 틀렸다**_고 ♦_**인정_**하는 것이다. ② **_괴물 배제법**_: _**추측에 포함된 개념들을 다시**_ ♦_**정의**_하여, _**반례**_(괴물)를 추측이 성립하는 _**영역 밖으로**_ ♦_**몰아내고**_, _**추측을**_ ♦_**살리는_** 방법이다. ③ **_예외 배제법**_: ♦새로운 _**반례가 나타날 때마다**_ 예외에 대하여 언급한 _**조건절을 첨가**_하여 안전한 영역으로 ♦철수하는 방법으로 원래의 추측이 성립하는 _**영역을**_ ♦_**축소하여 추측을 개선_**한다. (**_과대 또는 과소 일반화의 위험_**을 내포) ④ **_보조정리 합체법**_: _**반례가 출현하게 된 원인**_이 되는 _**부분 추측**_을 찾아 그것을 _**원래 추측에 합체**_시키고 _**증명을 고치는**_ 방법이다. _**새로운 추측을 발견하는 과정**_과 _**그 추측을 증명하는 과정**_이 _**동시에 이루어진다__._**

Answer 17

(**_이분_**) ♦이전의 일반적 견해와는 달리 **_발견과 정당화의 논리_**가 ♦분리되지 않고 하나로 **_통합된다는 견해_**를 제시한 것으로 볼 수 있다.

Answer 18

(**_완가결참수_**) 학생들에게 증명해야 할 ♦완전한 명제를 제시하는 대신에, ♦**_가정에 해당하는 조건만을 제시**_하고 그 조건으로부터 성립할 수 있는 ♦_**결론을 발견__(__추측__)**_하도록 한 다음에, 발견한 결론이 ♦참이라는 것을 밝히기 위해서 _**증명을**_ ♦_**수행_**하도록 한다. (의미 충실한 증명교육) (증명의 필요성을 자연스럽게 인식)

Answer 19

(**_결스연_ _추의탐_**) ① **_수학적 지식**_이 주어지는 ♦결과물이 아니라, ♦_**스스로 만들어가는 과정**_임을 인식할 수 있으므로 ♦_**연역적 전개방식의 대안_**으로서의 가치가 있다. ② ♦추측하고 반박하는 과정에서 **_수학적 지식**_을 ♦_**의미 있게 학습**_할 수 있고, ♦_**탐구하는 방법 자체**_를 _**학습_**할 수 있게 된다.

Answer 20

(**_엄주_ _사적_ _기개_**) ① 증명을 ♦**_엄밀하게 하는 활동**_보다는 증명을 ♦_**주의 깊게 분석하는 활동_**을 강조해야 한다. ② 교사가 **_철저한 교재연구**_와 ♦_**사고실험**_을 통해 학생이 증명을 할 때, _**추측__,_ _증명의 각 단계**_에 대해 ♦_**적절한 반례_**를 준비하고 필요할 때 제시해야 한다. ③ **_추측을 반박하는 반례**_가 나타났을 때도 추측을 ♦_**기각하기보다**_는 증명을 _**주의 깊게 분석**_해서 _**추측을**_ ♦_**개선_**하도록 하는 태도를 가져야 한다.

Answer 21

(**_제확_**) 따라서 **_문제를_** **♦****_제기_**하고 이를 **♦**확인하는 활동으로부터 **_수학적 지식의 끊임없는 변화_**를 경험하게 되므로, **_수학적 지식은 ‘추측’이며 개선되는 과정을 통해 ‘성장’하고 발달하는 대상_**으로 정의된다.

Answer 22

(**_전발돕**_) (_**수동**_) (_**추논무상**_) (_**추발반개_**) 공통점은 교사가 단순히 **_수학적 지식을_ ♦_전달**_하는 것이 아니라 _**학생 스스로 지식을_ ♦_발견할 수 있도록_ ♦_돕고 있다는 측면_**이다. 차이점은 **_산파법_**의 경우 학생은 **♦****_수동적으로_** 교사의 질문에 단지 ‘**_예_**’나 ‘**_아니오_**’라고 답하기만 해도 수업이 진행되며 대화의 주도권은 교사에게 있다. 이에 반해 **_라카토스 교수법_**에서는 교사와 학생 또는 학생과 학생이 **_모두_** **♦****_동등한 입장_**으로 대화를 진행해나간다. **_산파법_**에서는 학생에게 문제 상황과 관련된 **♦****_추측_**을 하게 하고 이와 관련한 학생의 답변의 결과가 **_오류거나 틀렸음을 보임으로써_** **♦****_논박_**하여 학생의 **♦****_무지를 자각_**시키고 (학생들이 스스로 사고하게 하여) 새로운 답을 찾게 하는 **_올바른 지식의_** **♦****_상기 과정_**이 진행된다. (문답식 대화법) (추측, 논박, 무지, 상기) **_라카토스 교수법_**에서는 학생들에게 **♦****_추측_**을 형성하게 하고 그에 대한 **_반례에 대해서도_** **_학생들 스스로 생각해보도록 유도하는_** **♦****_발문_**을 제시하여 학생들이 반례에 대해 고민하도록 하고 **♦****_반박하는 과정_**을 경험하도록 하여 **♦****_개선된 추측_**을 얻게 한다. (추측, 발문, 반박, 개선)

Answer 23

(**_수종스의_**) 학습자가 지식을 ♦**_수동적으로 수용**_하는 것이라는 ♦_**종래의 통념**_을 부정하고, 학습자는 ♦_**스스로의 능동적인 구성 활동**_을 통해 자신에게 ♦_**의미 있는 지식_**을 구성해 나아간다고 본다.

Answer 24

(**_근조_ _반조사반_**) **_수학적 지식_**은 인간의 **_조작 활동에_** 그 ♦**_근원_**을 두고 있으므로, 수학 수업에서 ♦**_조작활동을 강조_**해야 한다. 또한, **_수학적 지식 구성의 과정은_** ♦**_반영적 추상화의 과정_**이므로, **_자신의_** ♦**_조작 활동_**을 ♦**_사고의 대상으로 의식화_**하여 ♦**_반성하는 활동 역시 강조_**해야 한다.

Answer 25

(**_주자_**) 지식의 ♦**_주관적 측면_**을 강조하고, 학생 개개인이 고유한 방식으로 **_그들_** ♦**_자신의 지식_**을 구성하도록 하는 교육을 지지한다.

Answer 26

(**_자생비**_) (_**수능_ _적적_ _경객_**) 첫째, **_지식의_ ♦_자주적 구성의 원리_**이다. 지식은 감각을 통하거나 의사소통에 의해 **♦****_수동적_**으로 받아들여지는 것이 아니라 인식하는 주체에 의해서**♦****_능동적_**으로 구성된다. 둘째, **_지식의_ ♦_생장 지향성의 원리_**이다. 인식의 기능은 **♦****_적응적_**이며, 생물학적인 용어로**♦****_적합성**_ 또는 _**생장성_**을 지향하는 경향을 지닌다. 셋째, **_지식의_ ♦_비객관성의 원리_**이다. 인식은 주체가 **♦****_경험 세계**_를_**조직_**하는 데 도움을 주는 것이지,**♦****_객관적인 존재론적 실재_**를 발견하는 것을 돕는 것이 아니다. (사회적 구성주의에서는 ‘지식의 사회적 구성’으로 수정 보완)

Answer 27

(**_자언_ _비합_**) 첫째, **_급진적 구성주의_**는 **_지식의_** **♦****_자주적 구성의 원리_**를 주장하지만, **_사회적 구성주의_**는 지식 구성에 있어 **_사회와_** **♦****_언어의 역할_**을 강조한다. 둘째, **_급진적 구성주의_**는 **_지식의_** **♦****_비객관성의 원리_**를 주장하지만, **_사회적 구성주의_**는 객관성을 **_사회적_** **♦****_합의가능성_**의 다른 표현이라고 본다.

Answer 28

**_개인의 주관적인 수학적 지식_**은 **_공표_**를 통해 사회에 알려지고 **_공적인 비판과 재구성 과정_**을 거쳐 **_합의를 통해_** **_객관적인 지식_**이 된다. 이러한 객관적 지식은 다시 개인에게 **_주관적 지식으로 내면화_**된다. (사회적 과정) (라카토스의 증명과 반박의 논리)

Answer 29

(**_발사_**) **♦_발표와 토론_**이 중시되는 **♦_사회적 상호작용 수업**_을 지지하는 것으로 해석할 수 있으므로 _**소집단 협력학습_**이 그 한 가지 유형이 될 수 있다.

Answer 30

(**_학발의반**_) (_**주지능개_ _스발안적_ _활의지_ _반활반_**) 첫째, ♦**_학생 중심적 개별화의 원리**_이다. 수학 학습 활동의 ♦_**주체가 학생 개개인**_이므로 학생 개개인의 ♦_**지적 자율성에 바탕을 두어야 한다**_는 것을 의미한다. 수학 교수·학습에서 _**개인의**_ ♦_**능력차 및**_ ♦_**개성의 차이를 고려_**하는 교수학습을 의미한다. 둘째, ♦**_발문 중심적 상호 작용의 원리**_이다. _**학생이 학습의 주체**_가 되어 ♦_**스스로 지식을 구성**_해 갈 수 있도록 교사가 ♦_**발문을 중심**_으로 하여 학생을 ♦_**안내**_하거나 _**조력_**해야 한다는 원리이다. ♦적극적으로 생각해보게 하는 다양한 발문을 해야 한다. 셋째, ♦**_의미 지향적 활동의 원리**_이다. 학생들이 ♦_**활동 속**_에 _**구성한**_ ♦_**의미**_에 _**충실한**_ ♦_**지식의 구성_**이 이루어져야 한다는 원리이다. 넷째, ♦**_반영적 추상화의 원리**_이다. 학생 자신에 의해 내면적으로 이루어지는 ♦_**반성적 활동**_을 중시해야 한다는 원리이다. ♦_**활동과 더불어**_ ♦_**반성_**을 매우 중요하게 고려해야 한다는 것이다.

Answer 31

(**_목길_**) ♦목표는 분명하지만 그 목표에 이르는 ♦길이 즉각적으로 주어져 있지 않는 것.

Answer 32

(**_목장의_**) ♦목표, ♦장애요인, ♦해결자의 의식

Answer 33

(**_도전**_) (_**여일다실_**) (93기출) ♦**_도전감_**을 주는 어려운 문제이지만 **_적절한_** ♦**_전략_**을 사용하면 해결될 수 있다. (**_복잡한 처리 과정_**을 거쳐 해결 될 수 있는 것은 거리가 멀다.) 첫째, **_문제풀이 과정_**에 ♦**_여러 가지 수학적 개념이나 기능 등을 포함_**해야 한다. 둘째, ♦**_일반화할 수 있는 것_**이거나 **_다양한 문제 장면으로 확장_**될 수 있어야 한다. 셋째, ♦**_다양한 해법_**이 있어야 한다. 넷째, ♦**_실생활 탐구문제_**여야 한다.

Answer 34

(**_기고_**) 첫째, ♦기초적인 **_수학적 지식_**이나 **_기능_**을 보다 확실히 이해할 수 있다. 둘째, 창의적 사고, 비판적 사고, 의사 결정 능력과 같은 ♦**_고등 정신 기능_**을 신장할 수 있다.

Answer 35

(**_알전_ _알답전독_**) 정형문제란 **_이미 제시된_ ♦_알고리즘_**을 사용하여 해결할 수 있는 문제나 **♦****_전형적인 예제의 풀이 방법_**을 그대로 적용하여 해결할 수 있는 문제를 말한다. 비정형문제란 문제를 해결하는 **♦****_알고리즘_**이나**♦****_답을 얻는 방법**_을 모르는 상태에서 _**문제해결_ ♦_전략_**이나 **♦****_독자적인 해결 방법**_을_**구안_**하여 풀어야 하는 문제를 말한다.

Answer 36

(**_문개도_**) **♦****_문제를 해결하기 위해_** **♦**개인이 **_사용할 수 있는_** **♦****_도구와 기법_**을 말한다. 그 예로는 수학적 지식, 직관, 알고리즘, 법칙에 대한 이해 등이 있다.

Answer 37

(**_생비전_**) **♦****_생소하고_** **♦****_비정형적인 문제를 해결하기 위한_** **♦****_전략과 기술_**을 말한다. 그 예로는 유추, 일반화, 특수화, 보조 문제 이용하기, 거꾸로 풀기 등이 있다.

Answer 38

(**_자전**_) (_**계감의의_**) **♦****_자원과 전략의 선택과 수행_**에 관한 **♦****_전반적인 결정 능력_**을 말한다. 그 예로는 **♦**계획하기, **♦**감시와 평가, **♦**의사 결정, **♦**의식적인 메타인지적 결정 등이 있다. (실수도 통제가 부족한 것이다. 해결할 수 있는 능력이 있는 데 틀리는 것이기 때문이다.)

Answer 39

(**_가선_**) 학습자가 **_수학에 대해 가지고 있는_** ♦**_가치관_**이나 ♦**_선입견_** 같은 것을 말한다.

Answer 40

(**_숀버_ _탐확_**)

Answer 41

(**_완발_ _개발연증_**) ‘♦**_완성된 수학**_’은 연역적 과학이고, ‘♦_**발생 과정의 수학**_’은 실험적이고 귀납적인 과학이라고 보았다. 그리고 수학적 사고 과정에서 ♦_**개연적 추론과 추측**_에 의해 _**증명이**_ ♦_**발견**_되고, 그 후 ♦_**연역적 추론**_, 즉 ♦_**증명이 뒤따른다**_고 보았다. (_**발견과 정당화**_가 _**구분_**되는 느낌) **_귀납과 유추에 의한_ _추측**_을 통한 _**발견적 사고**_와 _**문제해결 교육_**의 중요성을 강조하고 그 실제적인 지도 방법론을 제시하였다. 지식: 정보+ 방법적 지식 (know that+ know how) (명제적 지식+ 절차적 지식) (방법적 지식은 **_대화법의 도움_**으로 습득 가능)

Answer 42

(**_구용분_**) **♦****_구하려는 것과 주어진 것_**을 알고, **♦****_용어의 뜻_**을 파악하며, **_문제를_** **♦****_분석_**하는 단계이다. 미지인 것은 무엇인가? 주어진 것은 무엇인가? 그림을 그려보아라. 적절한 기호를 붙여라. (x, y의 설정? 12기출, 14기출) 조건은 무엇인가? 조건은 만족될 수 있는가? 조건은 미지의 것을 결정하기에 충분한가, 불충분한가, 과다한가?

Answer 43

(**_주관보_**) **♦****_주어진 것과 구하려는 것_** 사이의 **♦****_관계를 파악_**하는 단계이다. 그 관련성을 즉각 파악할 수 없을 때 **♦****_보조문제를 고려_**한다. 도움이 될 것 같은 어떤 사실이나 정리를 알고 있는가? 전에 이와 유사한 문제를 본 적이 있는가? 미지인 것을 잘 살펴보아라. 문제에 **_필요한 조건_**을 모두 사용했는가? 문제에 포함된 **_핵심적인 개념_**을 모두 고려했는가? 보다 쉬운 관련된 문제를 생각해낼 수 있을까? 문제를 보다 **_일반적인 형태_**로 변형할 수 있을까? 문제를 보다 **_특수한 문제_**로 변형할 수 있을까? 문제를 **_부분적_**으로 풀 수 있는가? 친숙한 문제 중에 미지인 것이 같거나 유사한 문제를 생각해 보아라. 문제를 달리 진술할 수 있을까? 좀 더 다르게 진술할 수 있을까? **_정의로 되돌아가 보자. 이 용어의 정의가 무엇이었지?_**

Answer 44

(**_해실_**) **♦****_해결계획에 따라_** **♦****_실행_**하는 단계이다. 각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는가? 그것이 옳다는 것을 설명할 수 있는가?

Answer 45

(**_처다어확_**) **_문제를 해결한 과정_**을 ♦**_처음부터 검토_**해보고, ♦**_다른 방법_**으로 해결할 수는 없는지를 알아보고, 혹시 다른 방법이 있으면 ♦**_어떤 방법이 더 나은지_**를 생각해본다. 또한 주어진 문제의 ♦**_확장 가능성을 고려_**해야 한다. 결과를 점검할 수 있는가? 풀이과정을 점검할 수 있는가? 결과를 다른 방법으로 이끌어낼 수 있는가? 결과나 방법을 어떤 다른 문제에 활용할 수 있는가?

Answer 46

(**_오획사**_) (_**개다단_**) ① ♦**_오류를 발견·수정_**하고 **_문제풀이를 개선_**할 수 있다. 풀이과정과 결과를 ♦개관하고 음미해보기 때문이다. ② ♦**_획득한 지식이 견고히 된다_**. ♦다른 문제와의 관련성과 적용가능성을 생각해보기 때문이다. ③ ♦**_사고양식화 되어_** **_문제를 해결하는 능력을 발달_**시킨다. 풀이과정이 ♦단순화되어 한 눈에 알 수 있게 되기 때문이다.

Answer 47

(**_이대보수_**) 문제해결의 반성단계에서 결과 및 과정을 점검하여 오류를 개선하거나 미처 생각하지 못했던 아이디어를 탐색하게 하는 것은 ♦**_이전에 구성한 지식 및 문제해결 과정_**을 **_사고의_** ♦**_대상으로 삼아_** ♦**_보다 수준 높은 형식을 구성_**하여 ♦**_수준의 비약_**이 일어나는 **_반영적 추상화를 경험_**하게 할 수 있다.

Answer 48

(**_반높반수_**) **_자신의 사고와 행동을 다시 한 번_** **♦****_반성_**해봄으로써 **♦****_높은 사고수준으로의 발달을 모색_**하는 **♦****_반영적 추상화활동에 기여_**하고 **♦****_수학적사고력을 향상_**시킨다.

Answer 49

(**_자인_**) **♦****_자신의 사고 과정에 대한_** **♦****_인지_**로서, 자신의 사고 과정을 모니터하거나 조절하는 정신적 활동이 메타인지의 예가 될 수 있다.

Answer 50

(**_결다다우_**) **♦****_결과와 풀이 과정의 점검_**, **♦****_다양한 방법의 모색_**, **♦****_다른 문제에의 일반화_**, **♦****_우아한 해법의 추구_** 등이 있다.

Answer 51

(**_활최비**_) (_**최발생_ _의호기희_ _탐형동의_**) ① ♦**_활동적 학습의 원리_**란 학습하는 ♦**_최선의 길_**은 **_스스로_** ♦**_발견_**하는 것이다. 따라서 학생이 ♦**_생각할 시간_**을 충분히 주어야 한다는 것이다. ② ♦**_최선의 동기유발의 원리_**란 학생에게 ♦의미가 있도록 **_문제_**를 **_선정하고 제시_**함으로써 학습내용 자체에 대한 **_지적_** ♦**_호기심_**을 갖게하고 **_학습 그 자체에서 오는_** ♦**_기쁨_**과 **_발견의_** ♦**_희열_**을 경험하게 해야 한다는 것이다. ③ ♦**_비약없는 단계의 원리_**란 ♦**_탐구_**, ♦**_형식화_**, ♦**_동화단계_**를 거쳐서 수학 학습이 의미 있게 이루어진다는 것이다.

Answer 52

수학의 필요성과 유용성을 알고, 수학의 역할과 가치를 인식할 수 있다.

Answer 53

(**_비차실수_**) **♦****_비수학적 문제 상황에서 출발_**한다는 면에서 문제해결과는 **♦**차별화되는 것으로, **♦****_실세계의 여러 현상_**을 **♦****_수학적인 수단에 의해 정리하고 조직하는 활동_**이다. 스키슬로프와 같은 실세계의 현상을, 즉 비수학적 문제상황을 함수의 그래프와 같은 수학적인 수단에 의해 정리하고 조직하는 활동이 바로 수학적 모델링 활동이다.

Answer 54

(**_새응창맥인_**) (수학적 모델링을 통하여 수학교육에서 달성할 수 있는 목적) ① ♦새로운 수학적 개념과 방법을 이해한다. ② **_실생활 또는 다른 교과**_에서의 _**수학의**_ ♦_**응__용과 모델링의 실제를 이해_**한다. ③ ♦**_창__의적 사고**_와 _**문제해결 태도__,_ _활동__,_ _능력_**을 기른다. ④ 수학을 활용하여 **_실생활 또는 다른 교과**_와 _**연결된**_ ♦_**맥__락**_을 _**비판적이고 합리적으로 사고하려는 태도_**를 기른다. ⑤ **_수학**_이 이미 완성된 산물이 아니라 ♦_**인__간 활동의 결과로 만들어진 것_**임을 이해한다.

Answer 55

(**_현문중_ _관해모_ _분적_ _결재결_**) ① ♦**_현__상을 관찰**_하여 그 현상 속에 내재되어 있는 ♦_**문__제 상황**_을 명료히 밝히고, 문제에 영향을 미치는 ♦_**중__요한 요인_**들을 찾는다. ② 요인들의 ♦**_관__계를 추측**_하고 그 요인들을 _**수학적으로**_ ♦_**해__석**_하여 _**현상에 적합한**_ ♦_**모__델_**을 구축한다. ③ 적절한 **_수학적**_ ♦_**분__석**_을 그 모델에 ♦_**적__용_**한다. ④ ♦**_결__과**_를 얻고 현상에 맞도록 그 결과를 ♦_**재__해석**_하여 ♦_**결__론_**을 도출한다.

Answer 56

① 삼각비를 활용하여 건물의 높이를 구하는 문제를 해결하기 위해 먼저 문제 상황에 영향을 미치는 요인으로 각의 크기나 거리, 눈높이 등을 측정하는 1단계~ 3단계의 활동이 진행되었다. 이는 현상을 관찰하여 그 현상 속에 내재되어 있는 문제 상황을 명료히 밝히고 문제에 영향을 미치는 중요한 요인들을 찾는 단계에 해당된다. ② 다음으로 측정결과를 바탕으로 빌딩 높이를 구하는 식을 세워서 건물의 높이를 구하는 4단계에서는 삼각비를 이용하여 식을 세우게 된다. 이는 요인들의 관계를 추측하고 그 요인들을 수학적으로 해석하여 현상에 적합한 모델을 구축하고, 적절한 수학적 분석을 그 모델에 적용하는 단계에 해당된다. ③ 끝으로 지문의 5단계에서 실생활 건물 높이 구할 때 관련되는 요소들에 대한 결론을 도출한다. 이는 결과를 얻고 현상에 맞도록 그 결과를 재해석하여 결론을 도출하는 마지막 단계에 해당된다.

Answer 57

(**_주그탐_ _새주뒤_**) 수용: ♦**_주어진 것**_을 ♦_**그대로 유지_**하면서 ♦탐구하여 문제를 제기하는 것. 도전: 문제 제기의 두 번째 단계로 ♦**_새로운 방향**_으로 _**나아가기 위하여**_ ♦_**주어진 것**_을 ♦_**뒤집어 보고**_, _**거꾸로 해보고**_, _**조금 변형해보는_** 단계.

Answer 58

(**_수유재단_**) **_문제를 해결하기 위한_** **♦****_수단_**으로써 **♦****_유사한 새로운 문제를 생각해보는 것_**으로 원래의 문제를 **♦****_재해석_**하게 되고 원래의 문제를 해결할 수 있는 **♦****_단서가 생기게 된다_**.

Answer 59

(**_결관의생_**) **♦****_결과를 이용하여_** **_새로운 문제를 만들어보는 것_**으로 원래의 문제를 이전과는 전혀 다른 **_새로운_** **♦****_관점_**에서 볼 수 있게 함으로써 그 **♦****_의미를 보다 명확하게 이해_**할 수 있게 할 뿐만 아니라 그로부터 **_새로운_** **♦****_생각_**을 하게 하기도 한다. 미지인 것과 자료, 조건의 역할을 바꾸거나 일반화, 특수화, 유추 등을 통해 문제를 제기한다.

Answer 60

준경험주의, 구성주의

Answer 61

(**_특탐이종낮긍_**) 첫째, **_창의적 능력_**이나 ♦**_특별한 수학적 능력의 발현_**에 **_도움_**을 준다. 둘째, ♦**_탐구 지향적인 학습 태도_**를 길러준다. 셋째, **_학생들_**의 수학에 대한 ♦**_이해 정도를 파악_**할 수 있는 수단이 된다. 넷째, 학생들에게 이미 배운 지식을 ♦종합적으로 이용할 수 있는 기회를 제공한다. 다섯째, 학력 수준이 ♦낮은 학생들에게도 의미 있는 수학 학습 활동을 제공한다. 여섯째, 수학에 대한 ♦긍정적인 성향을 함양시키는 수단이 된다.

Answer 62

(**_긴관**_) (_**과정_ _비수관_**) 교사는 **_적절한_ ♦_긴장감**_을 불러일으키고, _**적극적인_ ♦_관심_**을 유발시키는 질문과 조언을 해야 한다. ① 학생들은 **_발문에 답하는_ ♦_과정**_을 통하여 _**자신의 생각을 분명히_ ♦_정리할 기회_**를 얻는다. ② **_다른 학생들의 생각**_과 _**자신의 생각_**을 **♦****_비교해보고 차이점을 파악**_하여_**자기 생각을_ ♦_수정**_하고,_**이미 알고 있는 것**_과_**새로 배우게 되는 지식_****_사이의_ ♦_관계를 구성_**해 나갈 수 있다.

Answer 63

(**_구일**_) (_**암해미_**) **_지나치게_ ♦_구체적이고 특수한 발문**_이나 _**지나치게_ ♦_일반적인 발문이나 권고_**는 가급적 사용하지 않는 것이 바람직하다. 첫째, **_발문에 함의된_** **♦****_암시를 이해_**하지 못하는 학생도 있다. 둘째, **_학생들이_** **♦****_해야 할 것_**을 거의 남겨 놓지 않는다. (토파즈 효과) 셋째, **♦****_미래에 다른 문제를 해결_**하는 데 별 도움이 되지 못한다.

Answer 64

(**_출속__W__제분**_) (_**구의새해_**) ① ♦출발점 선택하기 ② ♦속성 열거하기란 **_문제를_** ♦**_구성_**하고 있는 **_요소나 속성_**을 **_모두 열거해보는 것_**이다. ③ ♦What if not 전략 수행하기란 (속성 부정하기) **_전 단계에서 열거한 속성_**이 ‘**_만약 그렇지 않다면 어떻게 될 것인가_**’라는 ♦**_의문을 가져보는 것_**이다. ④ 문제 ♦제기하기란 **_전 단계에서 생각한 의문을 기초_**로 ♦**_새로운 문제를 만들어보는 것_**이다. ⑤ 설정된 문제 ♦분석하기란 새로 만든 문제를 분석하거나 ♦해를 구하는 것이다.

Answer 65

(**_직공다_**) 인간이 ♦**_직관적으로_** **_자명하게 참으로 인정하는 사실_**을 ♦**_공리와 공준으로 상정_**한 다음, 공리와 공준으로부터 ♦**_다른 모든 수학적 명제_**를 이끌어내는 방법이다.

Answer 66

(**_찾완선**_) (_**증풀_**) 실제로 증명 방법을 ♦찾고 증명을 ♦완성하는 과정은 가정에서 결론으로 ♦선형적으로 이루어지지 않는다. **_분석적 방식을 도입_**해서 **♦****_증명방법을 찾을 수 있는 기회_**를 주고 **♦****_풀이계획을 발견_**하고 난 뒤, 그 **_계획을 실행하는 과정_**인 종합적 방식을 지도해야 한다. (**_증명방법 정리_**)

Answer 67

(**_결거가_**) **♦****_결론에서 시작_**하여, 그 **_결론이 참이기 위해서 성립되어야 할 선행조건_**들을 **♦****_거슬러 올라_**가면서 **♦****_가정과 연결_**시키는 사고방식이다.

Answer 68

(**_공선_**) ♦공준이나 공리, 정의에 근거해서 **_가정으로부터 결론_**을 이끌어내는 ♦**_선형적 방식_**이다.

Answer 69

(**_일_**) **♦_일반적인 증명문제_** (다만, 중고등학교의 대부분의 문제는 양방향이 다 성립) 결론이 참임을 “**_가정하자_**”로 시작해서 _“_**_이것이 성립하기 위한 충분조건은__~~~”_ _로 진행**_하는 것이다. _**“__이는 문제의 조건에 의해 성립한다__”__라고 끝맺는다__._**

Answer 70

(**_방도_**) **♦****_방정식 풀이_**, **♦****_도형의 작도_** “**_등식이 성립한다고 가정하자_**”로 시작해서 **_“~~~는 처음 식이 참이 되기 위한 필요조건이다”로 진행_**하는 것이다. (무연근은 필요조건에만 해당하는 것)

Answer 71

(**_증다원**_) (_**혼오**_) (_**결반완신_**) 학생들은 ♦**_증명해야 할 원래 명제의 결론**_을 ♦_**다시_ _‘__가정__’__해야 하는 상황**_에서 ♦_**원래 명제의 가정과 혼동하는 어려움**_에 직면하게 된다. “원래 명제의 가정이 있는데, 결론을 가정한다는 것이 무슨 말인가?”하고 ♦혼란스러워 한다. 그렇지 않아도 가정과 결론을 혼동하여 결론을 증명과정에서 사용하는 ♦오류를 보이는 학생들이 많은데 이러한 “_**결론이 참인 것으로 가정하면**_”이라는 표현은 매우 큰 어려움을 줄 수 있다. (_**‘A__이면_ _B__이다__.’_ _형태의 명제 해석의 어려움_**과 관련) 따라서 “♦**_결론이 성립하기 위해서는 먼저 무엇이 성립해야 할까__?**_”(선행조건은 무엇인가?)로 ♦_**반문**_하여 _**분석법을 다소**_ ♦_**완화시켜 적용할 필요**_가 있다. 즉, ♦_**신중한 교수학적 변환의 필요성_**이 있다.

Answer 72

(**_정_ _추추반의**_) (_**참자타일_**) 보통 수학에서 ‘**_증명**_’이라는 용어는 ‘_**연역적 추론을 통해 어떤 명제가 참임을 밝히는 것_**’으로 규정한다. 그러나 **_2009__개정 교육과정**_부터는 ‘♦_**정당화**_’라는 단어로 대체하여, _**성취기준**_을 “_**이해하고 설명할 수 있다__.**_”로 서술한다. ♦_**추측활동을 강조**_하고 ♦_**추론능력**_을 신장시키는 것을 목표로 한다. (+ ♦_**반성적 사고**_, ♦_**의사소통 능력_**의 향상) (**_학생들**_이 증명 학습을 매우 _**어려워하며**_ 증명 학습의 어려움으로 인해 수학을 _**포기하게 된다**_는 _**세간의 문제 제기를 반영_**한 것) (그러나 거의 다른 모든 국가는 중학교 기하영역에서 증명을 적극적이고 명확하게 다룬다.) **_정당화**_란 어떤 수학적 명제가 ♦_**참임을 주장하는 것**_으로, ♦_**자신의 주장 또는 믿음**_을 ♦_**타인에게 이해시키려는 시도**_를 의미한다. 따라서 이러한 시도는 ♦_**일정 수준의 객관성_**을 담보할 수 있어야 한다.

Answer 73

(**_증__A_ _정기시_**) 실태-원인-해결방안(대안) (**_탐시_ _종_ _이암분**_) (_**정결문_ _형곧_ _점과결**_) (_**익_ _필정조정증**_) (_**신상더_ _점_**) ① ♦**_증명 방법의 어려움_** 학생들이 **_증명 방법을**_ ♦_**탐색하지 못하고_ _증명을 전혀**_ ♦_**시도하지 못하는 상황**_은 증명을 ♦_**종합적 방식으로만 지도하는 데서 그 원인_**을 찾을 수 있다. 이는 증명이 ♦**_이미 존재하는 것**_이므로 ♦_**암기할 수밖에 없다는 압박감_**을 준다. 따라서 증명 지도에서 ♦**_분석적 방식을 과감하게 도입_**하여야 한다. ② **_‘**_♦_**A__이면_ _B__이다__.’_ _형태의 명제 해석의 어려움_** (점진적인 도입&다양한 형식의 변형) (파푸스의 분석법과 관련) (발견의 맥락과 정당화의 맥락이 통합된 증명의 지도방안과 관련) 이러한 형태에서 **_가정과 결론의**_ ♦_**정확한 의미**_를 알지 못하므로 ♦_**결론을 증명 과정에서 임의로 이용**_하거나 ♦_**문장 전체를 증명과정에서 다시 진술_**하는 인지장애를 나타낸다. 이는 ‘A이면 B이다.’ 형태의 문장에서 **_가정과 결론**_을 _**단지**_ ♦_**형식적으로**_만 ♦_**곧바로 지도_**하기 때문이므로 **_다소**_ ♦_**점진적으로 지도할 필요**_가 있다. 따라서 ♦_**과정지향적인**_ ‘_**증명 문제**_’를 학생들이 익숙해져 있는 ♦_**결과지향적인**_ ‘_**보통 문제_**’의 조건에 해당하는 가정만을 제시하고 가정으로부터 성립될 수 있는 결론을 스스로 탐색하게 함으로써, 탐색된 결론이 어떻게 성립할 수 있는가를 조사하는 과정에서 증명이 자연스럽게 필요해지도록 하자는 것이다. (평행사변형의 두 쌍의 대각의 크기가 같음을 설명해보아라.) ⇒ (두 쌍의 대변이 평행한 사각형에서 각에 대한 사실을 말해보시오. → 그렇다면 확인해보아라.) ③ ♦**_정당화수단으로서의 증명의 한계_** 학생들은 이미 참인 것으로 알고 있는 ♦**_익숙한 사실을 왜 증명해야 하는가_**에 대해 의아해한다. 이런 상황을 극복하기 위해서는 **_증명의**_ ♦_**필__요성**_이 _**자연스럽게 부각**_될 수 있도록 ♦_**정__당화수단으로서의 증명**_과 함께 ♦_**조__직화수단으로서의 증명_**을 지도할 필요가 있다. (국소적 조직화) 즉, **_‘**_♦_**정의__’__가 아닌_ _‘__정의하기__’**_와 _**‘**_♦_**증명__’__이 아닌_ _‘__증명하기__’_**를 학생들이 경험할 수 있도록 지도해야 한다. ④ ♦**_기호 사용의 어려움_** (van Dormolen의 구분) ‘♦**_신호로서의 기호**_’에 익숙해져 있는 학생들에게 ‘♦_**상징으로서의 기호**_’인 증명에서의 기호가 그렇지 않아도 _**어려운 증명을**_ ♦_**더욱 어렵게**_ 하는 요인으로 작용한다. (_**개념의 의미**_와 _**개념들 사이의 관계**_까지 생각하면서 증명을 수행해야 하는 _**복합적인 사고_**) 따라서 **_증명에서의 기호**_를 _**더**_ ♦_**점진적으로 도입할 필요_**가 있다. 예를 들어, 가정과 결론, 증명을 말로 설명해본 다음에 그것을 다시 기호로 나타내도록 지도하는 방안이 있다. ⑤ **_증명 방법 탐색**_ ♦_**시간의 부족_**

Answer 74

(**_전_ _조유참_ _과필_**) **_어떤 명제가 참임을 증명하기_** **♦****_전에_** **_명제의_** **♦****_조건_**으로부터 **_어떠한 결론_**이 **♦****_유도_**되는지 그리고 **_그러한 결과_**가 **♦****_참_**임을 **_어떻게 확인_**할 수 있는 지를 **_논의_**하고 **_그러한_** **♦****_과정_**에서 **_증명할_** **♦****_필요성을 학생들이 느끼도록 도와야 한다_**는 것이다.

Answer 75

(**_가조결**_) (_**필분국종_**) **♦_가정에 해당하는_ ♦_조건**_을 찾아보게 하고, 이 조건으로부터 _**성립할 수 있는_ ♦_결론**_을 발견하도록 한다. 이때 특정 결론에 대해 _**증명의_ ♦_필요성이 부각_**되어 인식되면, **♦****_분석적 방식_**과**♦****_국소적 조직화_**를 거쳐 **♦****_종합적 방식_**으로 마무리하는 방식으로 지도한다.

Answer 76

(**_일정새_**) **♦_일반적인 명제**_로부터 _**특수한 명제_**를 이끌어내는 추론으로, **♦****_정의**_,_**정리**_,_**공리**_,_**공준**_,_**이미 참이라고 알려진 성질_**을 이용하여**♦****_새로운 참인 명제_**를 이끌어내는 것이다.

Answer 77

(**_관몇전_ _발개참_**) ♦관찰, 실험, 측정, 구체적 조작 등을 통하여 ♦**_몇 가지 사례_**에 대해 **_어떤 명제가 참_**임을 보인 다음에, 이 사례들이 속한 ♦전체 범주의 대상들에 대해 그 명제가 참임을 주장하는 것이다. **_수학적_** ♦**_발견에 중요한 수단_**이며 ♦**_개연성이 높은 추론 방식_**이기는 하지만, 수학적 참을 절대적으로 보장하지는 못한다. 따라서 귀납추론에 의해 발견된 수학적 주장이나 수학적 추측에 대해서는 **_반드시 증명을 통해 수학적_** ♦**_참임을 확인하려는 시도를 해야 한다_**. (정당화 과정) (귀납추론이 참이 아닌 예로는 피보나치 수열이 있다. 2,3,5,8,13,... 계차수열이 공차가 1인 등차수열이라고 판단.)

Answer 78

(**_연논보_**) **_A라는 대상과 B라는 대상이 서로 유사할 때_**, A에서 성립하는 성질 **_P(A)와 유사한 성질 P(B)_**가 대상 B에서 성립할 것이라고 주장하는 것이다. 귀납추론과 마찬가지로 개연성이 높은 추론이지만, 절대적으로 참인 명제를 이끌어내지는 못한다. 그러므로 유추에 의해 주장한 성질에 대해서는 그 성질이 수학적으로 참인가를 ♦**_연역적 추론으로 증명을 수반_**하거나 **_엄밀한_** ♦**_논리적 추론을 전개_**하여 ♦**_보완_**해야 한다.

Answer 79

(**_해도반일_**) **_어떤 문제를_** **♦****_해결_**하는 데 있어서 유사한 문제풀이를 통해 **♦****_도움_**을 받을 수도 있고, 여러 번의 **♦_반복적 유추_**를 통해 **♦****_일반화를 가능_**하게 한다.

Answer 80

(**_불진오_**) 첫째, 유추적 사고의 전개 과정이 갖고 있는 **_사고의_** **♦****_불명료성과 비논리성의 측면_**을 보완해야 한다. 둘째, 유추적 사고를 통하여 도달한 **_결론의_** **♦****_진위가 불확실한 측면_**을 보완해야 한다. 셋째, 유추적 사고에 의한 **♦****_오개념 생성 가능성의 측면_**을 보완해야 한다.

Answer 81

(**_유사_ _응새_**) 첫째, **_계획수립단계_**에서 문제를 해결하기 위해 ‘♦**_유사한 문제를 생각해 보아라._**’ 와 같은 **_유추적_** ♦**_사고를 일으키는 발문_**을 할 수 있다. 둘째, **_반성단계_**에서 주어진 문제의 ♦**_응용상황을 고려_**하여 ♦**_새로운 문제_**를 찾아 해결할 때 **_유추를 활용_**할 수 있다.

Answer 82

(**_11__기출__-2__차_**) ⓞ **_삼각뿔의 부피_** (신론) ① **_피타고라스정리 관련**_ (_**유추를 통한 일반화_**) (신론) ② ‘평면의 삼각형의 무게중심은 중선의 교점이다.’ → ‘공간의 **_사면체의 무게중심_**은 중면의 교점이 무게중심일까?’ (**_중면**_은 _**부피를 이등분**_하는 것으로, 한 꼭짓점마다 중면은 3개가 있고 이 중면들의 교점이 중선이다. 따라서 _**4__개의 중선의 교점_**이 무게중심이다.) ③ **_중점연결정리**_와 _**평행사변형_** (02기출) ④ **_직각삼각형**_에서 _**변의 길이**_ 사이의 관계 → _**직각사면체**_에서 _**면의 넓이_** 사이의 관계

Answer 83

**_공리적 방법_**은 **_연역적인 추론 방식_**으로 기술되는 유클리드 원론의 방식을 말하는 것이다. (방대한 내용과 함께 수학적 명제를 체계화한 방법으로, **_유클리드 원론의 수학사적 의의_**라 할 수 있다.) **_연역적인 추론_**은 일반적인 증명을 말하는 것으로 귀납적 추론, 유추, 은유와 같은 추론의 종류이다. **_종합적 방식_**은 분석적 방식과 함께 **_연역적인 추론_**(증명)의 **_한 방식_**이다.

Answer 84

(**_진기고_**) 학생들에게 ♦**_진정한 수학적 사고 활동으로서의 증명_**을 지도하지 못하고 **_증명의 기록에 불과한_** ♦**_기성의 수학_**을 **_단지 외부적으로 부과_**함으로써, **_형식적이고 빈약한 증명 교육을_** ♦**_고착시킬 위험_**이 있다는 것이다. (형식적 엄밀한 증명과정에서 기호 사용, 논리 규칙 사용 방법의 어려움) (**_정당화방법_**이 **_연역적 증명_**만 존재한다고 생각)

Answer 85

(**_왜역**_) (_**맥추_ _결제_**) 증명이 ♦**_왜 그런 모습으로 나타나게 되었는지_** 수학적 지식의 **_발생과정_**을 경험할 수 없으며, ♦**_역동적 추론 과정_**으로서의 **_증명의 심층적인 측면_**을 보여주지 못한다. (유클리드 원론의 종합적 방식의 문제점은 유클리드가 원론을 저술하는 과정에서 경험하였을 즉, **_발견의**_ ♦_**맥락에서 무수한 수학적**_ ♦_**추론 과정**_을 보여주지 못하고 _**다만**_, _**수학적 사고의**_ ♦_**결과만을 세련된 형식으로**_ ♦_**제시_**하면서 고상하고 우아한 표현방식을 보여줄 뿐이라는 것이다.) (⇒ **_분석법**_과 _**국소적 조직화**_를 통해 _**발견의 맥락과 배경_**을 충분히 드러내야 한다.)

Answer 86

(**_주_**) **_풀이 계획을 발견하는 과정_** 없이 그 계획의 실행이 이루어지므로 ♦**_주체의 능동적인 사고활동_**이 이루어지지 못할 수 있다.

Answer 87

(**_발역_**) 수학적 지식의 ♦**_발__생과정**_을 경험할 수 있으며, 분석적 방식을 통해 _**증명 방법을 찾고**_ 종합적 방식으로 _**증명 방법을 정리**_하는 ♦_**역__동적인 추론 과정**_으로서의 _**증명의 심층적인 측면**_을 학생들에게 경험할 수 있게 할 수 있다. (_**진정한 수학적 사고 활동**_) (_**증명의 수행에 대한 자신감_**)

Answer 88

(**_필한_**) **_기하교육에서의 정당화_**는 형식적이고 엄밀한 증명 대신 추측(추론활동)을 강조한다. 그 **_장점_**은 정확한 용어와 기호의 사용, 복잡한 형식 논리 규칙의 이용의 어려움을 줄여준다. 그 **_단점_**은 **_증명할_** **♦****_필요성을 인식하지 못하는_** **_정당화수단으로서의 증명의_** **♦****_한계_**를 드러낸다. 따라서 **_정당화수단으로서의 증명과 함께_** **_조직화수단으로서의 증명_**을 지도할 필요가 있다.

Answer 89

(**_예표그_ _식규거_ _단특유간**_) (_**예식규**_) (_**답조반_ _모보_ _주어확_**) **♦_예상과 확인_**, **♦****_표 만들기_**,**♦****_그림 그리기_**, **♦****_식 세우기_**,**♦****_규칙성 찾기_**, **♦****_거꾸로 풀기_**,**♦****_단순화하기_**, **♦****_특수화하기_**,**♦****_유추하기_**, **♦****_간접증명법_** (귀류법, 분할법, 동일법) ① **♦****_예상과 확인**_:_**문제의_ ♦_답을 미리 예상**_해보고 그 답이_**문제의_ ♦_조건에 맞는지 확인**_해보는_**과정을_ ♦_반복_**하여 문제를 해결해 나아가는 전략이다. ② **♦****_식세우기_**: 거의**♦****_모든 수학문제_**에서 수반되는 **_가장_****♦****_보편적인_** 문제해결전략이다. ③ **♦****_규칙성 찾기_**: 문제에**♦****_주어진 조건이나 관계_**에서 분석하여 **♦****_어떤 규칙성**_을 찾아내고_**이 규칙성을_ ♦_확대하여 적용_**해 감으로써 문제를 해결하는 전략이다. (단순화하기는 규칙성 찾기와 관련되는 경우가 많다.)

Answer 90

증명방법을 잘 모를 때 (발견과 정당화 맥락의 통합)

Answer 91

증명할 필요성을 느끼지 못할 때

Answer 92

(**_부상전**_) (_**관_ _모구게내규_**) 학습자는 학습상황에서 ♦**_부분을 보는 것이 아니라**_ 각 _**부분의**_ ♦_**상호관계의 맥락**_ 속에서 ♦_**전체를 지각_**한다. ♦**_관계적 결정원리**_란 전체는 요소의 단순한 ♦모자이크적인 집합이 아니며 그 자체를 ♦구조화하여 ♦_**게슈탈트를 형성**_하고 ♦_**내적관련성을 보유_**하며 부분은 그 전체에 의해 ♦규정되어 있다는 것이다.

Answer 93

(**_근유폐연_ _가유미방_**_)_ 첫째, ♦**_근접의 법칙**_이다. ♦_**가까이에 있는 요소**_들은 _**멀리 떨어져있는 동일한 요소**_들보다 _**뭉쳐져 지각_**된다. 양과 오리. 둘째, ♦**_유사의 법칙**_이다. ♦_**유사한 요소**_들은 _**상이한 요소**_들과 _**등거리**_에 있을 때 _**유사한 것끼리_ _뭉쳐져 지각_**되는 경향이 있다. R과 Z. 셋째, ♦**_폐쇄의 법칙**_이다. ♦_**미완성 그림**_이 _**완성된 그림_**으로 보이는 경향이 있다. 원과 말. 넷째, ♦**_연속의 법칙**_이다. 요소들이 _**선행요소들의**_ ♦_**방향**_으로 _**계속되는 것처럼**_ 보이며, _**서로 연결된 것_**으로 본다. 곡선과 직각의 그림.

Answer 94

(**_구사기통**_) (_**사내**_) (_**생구폴_**) **_생산적사고**_는 ♦_**구조적 이해**_를 _**기초**_로 하는 사고로서 ♦_**사실**_이나 _**규칙**_에 대한 ♦_**기계적 암기**_가 아닌 ♦_**통찰에 기초한 이해_**를 하는 사고이다. **_생산적사고과정**_은 분리, 분류, 조직화 등의 ♦사고조작을 통해 문제의 ‘♦_**내적인 구조적 관련성_**’을 파악해 나가는 것이다. (기능적 동질성 이해) (평행사변형 넓이 문제) 형태심리학에서 말하는 ♦**_생산적 사고**_를 어떻게 불러일으킬 수 있는 것인지, ♦_**구체적인 지침**_이 바로 ♦_**폴리아**_의 _**발문과 권고_**이다. 즉, 문제해결에 대한 통찰력(생산적 사고)를 활성화시킨다. (우회한다는 공통점 \<=\> 연합주의) **_통찰**_이란 부분을 전체와 관련시켜 _**목표달성**_을 위한 _**도구**_로 사용하여 문제를 해결하는 _**심리과정_**을 의미한다.

Answer 95

(**_결만불_**) 어떤 **_자극과 반응**_ 사이의 ♦_**결합**_이 형성되고, ♦_**만족스러운 결과**_가 수반되면 자극-반응의 결합의 강도는 _**증대**_되고, ♦_**불만족스러운 결과**_가 수반되면 자극-반응 결합이 _**약화_**된다. (Bond)

Answer 96

(**_과해_ _새창**_) (_**구창아_**) 연합주의자들이 ♦**_과거의 경험**_으로부터의 ♦_**해결 습관**_들의 응용에 관심이 있는 반면에 (_**연결을 수립**_하기 위한 _**많은 문제_**에 대한 _반복적 훈련_) (연결주의) 형태주의자들은 ♦**_새로운 상황**_들에 대한 ♦_**창의적**_이고 _**신기한 해결_**들에 관심이 있다. 결과적으로 베르트하이머의 생각은 **_문제에 대한 구조적 통찰**_을 통하여 _**창의적**_으로 _**해결**_할 수 있는 _**아이디어를 제공_**하는 것으로 해석할 수 있다. (초점은 통찰력!)

Answer 97

(**_기적환유인_ _능_ _평_ _동조적평인_**) 인간은 타고난 ♦**_기본적인 쉠**_을 _**바탕**_으로 ♦_**적응 기능**_에 의하여 ♦_**환경과 상호작용**_하는 가운데 보다 ♦_**유연하고 포괄적인 인지 쉠**_을 구성함으로써 ♦_**인지 구조**_를 _**변화_**시켜 간다. (학습자는 기본적으로 인지구조를 가지고 있으며 ♦능동적이므로 사회적, 물리적 환경과 사회작용을 통해 스스로 지식을 구성한다.) **_자신의 기존 인지구조**_에 새로운 개념이나 지식이 들어올 때, _**같으면 평형화상태**_이고, _**다르면 불평형상태**_이다. 이 때, _**불평형상태를 해소**_하기 위해 ♦_**평형화욕구_**가 일어난다. 자신의 기존 인지구조에 새로운 개념을 **_포함하는 과정**_인 ♦_**동화**_와 자신의 인지구조를 _**변화하는 과정**_인 ♦_**조절**_이라는 ♦_**적응기능**_을 통해 ♦_**평형화**_가 이루어지고 ♦_**인지발달_**이 일어난다.

Answer 98

(**_감전구형**_) (_**대_ _물자_ _가보_ _추가자_**) 1) ♦감각운동기(~2세): ♦**_대__상영속성_** 2) ♦전조작기(2~7세): ♦**_물__활론적 사고**_, ♦_**자__기중심성_** (가역성의 결여) (조작의 결여) (조작: 내면화된 가역적 행동) 3) ♦구체적조작기(7~12세): ♦**_가__역적사고**_, ♦_**보__존개념_** (구체적 대상) (**_전도나 부정**_에 의한 가역성, _**상반**_에 의한 가역성) (_**취소**_ 느낌, _**차이 보정_** 느낌) 4) ♦형식적조작기(12세~) (언어적 명제) ① ♦**_추__상적사고_**(반영적추상화): 내적 성찰과정을 통해 지식을 새로운 장면에 쉽게 적용할 수 있다. ② ♦**_가__설__-__연역적사고_**: 문제해결을 위해 가설을 설정하고 그 가설 검증을 통해 결론을 도출할 수 있다. ③ ♦**_자__기중심적사고_** (상상적 관중, 개인우화) 청소년기는 급격한 신체적 변화로 인해 자신의 외모와 행동에 지나치게 몰두한 나머지 다른 사람들도 자신에게 그만큼의 관심이 있다고 착각하는 경우가 많다.

Answer 99

(**_외일_**) **♦****_외부대상이 갖는 성질_**로부터 **♦****_일반화된 지식_**을 끌어내는 것이다.

Answer 100

(**_활확_**) **♦****_활동으로부터 구성_**이 이루어지지만 그 구성결과의 **♦**확인은 외부대상에 대해 행해지는 것이다.

Answer 101

(**_활일**_) (_**자심내**_) (_**조사반**_) (_**이대보수_**) **♦****_활동에 대한_** **♦****_일반적 조정_**으로부터 이루어지는 것이다. 수학적 지식의 **♦****_자주적인 구성_**을 가능하게 해주는**♦****_심리적 매커니즘_**으로, 동화와 조절에 의한**♦****_내면화된 자주적 활동_**을 의미한다. (조작활동+ 반성) - **_조작적 구성주의**_ 관련: _**자신의_ ♦_조__작 활동_**을 **♦****_사__고의 대상으로 의식화_**하여**♦****_반__성하는 활동_**이다. - **_반성단계_** 관련: **♦****_이__전에 구성한 지식 및 문제해결 과정**_을_**사고의_ ♦_대__상으로 삼아_ ♦_보__다 수준 높은 형식을 구성_**하여**♦****_수__준의 비약_**이 일어나는 것이다.

Answer 102

(**_상나_**) 반사와 반성이라는 두 가지 ♦상보적인 과정의 ♦**_나선적 교대**_에 의하여 진행되는 것으로 _**내용**_을 새로운 _**형식_**으로 구성해내는 것이다. (**수준의 상승**)

Answer 103

전 단계에서 얻은 것을 보다 상위의 단계로 옮긴다고 하는 것의 의미로 내면화와 주제화가 이루어진다. (**_감각 운동적 움직임에서 출발**_하는 _**일련의 행동을 내면화**_하여 _**개념화의 시초인 표상으로 투사_**하는 것이다.)

Answer 104

(**_반균형_ _재결_ _인_**) **♦****_반사된 것_**을 동화와 조절의 **♦****_균형화 과정_**을 통해 **_새로운_** **_‘_****♦****_형식’으로 구성_**하는 것이다. 전 단계에서 이전된 것을 새로운 면에서 **♦****_재구성_**하거나 혹은 거기에 이미 놓여져 있는 것과 전 단계의 요소를 **♦****_결합_**시킨다는 의미이다. (균형화과정을 통해 **♦****_인지적 불균형_**의 해소)

Answer 105

(**_행어의결_**) ♦행동이 내면화되었다는 것은 **_행동과 관련된_** ♦**_어떤 내적 구성_**이 이루어져서 이를 통해 **_행동을_** ♦**_의식_**하고 그 행동을 **_다른 행동과_** ♦**_결합_**할 수 있게 하는 것이다.

Answer 106

(**_하상_**) **♦****_하위단계_**에서 **_사고의 도구_**였던 것이 **_사고의 대상_**이 되는 것으로, **♦****_상위단계**_에서_**반성_**을 가능하게 한다.

Answer 107

(**_기외고가_**) 자신의 기존 인지구조에 새로운 개념을 포함하는 과정이다. (고양이-고양이-고양이) **♦_기존 인지체계에 의해_ ♦_외__부 자료를 해석**_하는 것으로, 기존의 _**어떤 인지구조를_ ♦_고__수_**하면서 **♦****_가__능한 한 넓은 범위의 상황**_을 그에_**종속시키려고 시도_**하는 보수적 기능이다. 즉, 기존의 인지 구조에 의한 대상의 해석이다.

Answer 108

(**_외참당조_**) 자신의 인지구조를 변화하는 과정이다. (고양이-호랑이) **♦_외부자료의 구조_**를 **♦****_참__작하는 것_**으로,**♦****_당__면한 문제를 해결하기 위해_** 자신의 스키마를 **♦****_조__절**_,_**분화**_하는_**적응기능_**이다. (인지적 불균형을 해소하기 위해서)

Answer 109

(**_기동_ _새학조_**) 학생은 교사가 제시한 그림에 대하여 ♦**_기존의 접선개념_**(인지구조)을 바탕으로 대상을 해석하는 ♦**_동화_**를 하여 그림 1만이 접선이 된다고 답하였다. 이후 교사의 지도로 인해 ♦**_새로운 접선개념_**에 대한 ♦**_학습을 바탕_**으로 **_당면한 문제를 해결하기 위하여_** 자신의 인지구조를 조절, 분화하는 ♦**_조절_**을 하게 되었다.

Answer 110

(**_활구갈교**_) (_**본학여_ _구_ _일복균동_**) 첫째, ♦**_활동적 학습_**이다. 모든 **_수학적 지식 및 사고의_** ♦**_본질은 조작_**이고 **_조작은 행동의 내면화의 산물_**이므로 ♦**_학습은 조작의 바탕_**이 되는 ♦**_여러 가지 활동 중심_**으로 구성되어야 한다는 것이다. 둘째, ♦**_구체적 조작의 강조_**이다. 학습자에게 ♦**_구체물을 다루는 경험_**을 충분히 제공할 필요가 있다는 것이다. (구체적 조작기 느낌) 셋째, 학습자가 **_인지적 불균형_**을 느낄 수 있는 ♦**_갈등 상황을 제공_**할 필요가 있다. ♦**_일시적 균형상태_**에 있는 학습자의 수준보다 **_조금 더_** ♦**_복잡한 상황_**을 경험하게 함으로써 보다 **_높은 수준의_** ♦**_균형을 위한_** ♦**_동기를 부여_**할 필요가 있다는 것이다. 넷째, 학습자의 **_반성적 사고를 촉진_**하기 위한 ♦**_교사의 의도적 노력_**이 필요하다.

Answer 111

피아제의 입장에서는 **_학생의 인지발달 단계에 맞추어_** **_적절한 학습-지도가 이루어질 때_** **_의미있는 학습-지도가 가능_**하다고 본다. 따라서 A 학생은 현재 구체적 조작기이므로 형식적조작기 학생이 해결할 수 있는 추상적인 두 수의 크기 비교가 불가능하다. 브루너의 입장에서는 어떤 **_교과내용_**이든 어떤 **_발달단계_**에 있는 어떤 아동이든 **_표현방법만 달리하면 효과적으로 지도할 수 있다_**고 본다. 따라서 A 학생이 어떤 인지발달 단계 인지보다 자연수와 정수를 나열하여 짝짓는 등의 방법을 이용하여 효과적으로 지도할 수 있다.

Answer 112

(**_추_ _자인_ _전언_ _교한_**) 피아제는 구체적 조작기의 학생들에게 ♦추상적 내용은 학생의 **_인지수준을 벗어난 내용_**이므로 가르칠 수 없다고 본 반면, 브루너는 **_적절한 표상을 이용_**하면 **_누구에게나_** 가르칠 수 있다고 하였다. 피아제는 지식의 개인에 의한 ♦**_자주적 구성**_과 _**조작**_을 강조하고, 학생에게 ♦_**인지 불균형**_을 유발할 수 있는 _**적절한 자극**_의 중요성을 강조하지만, 이는 아동의 _**현재 수준_**에 문제를 제기하는 것이며 발달의 한계 수준에 관심을 기울이지 않는다. (균형화과정) 브루너는 **_교육적**_ ♦_**전달**_을 강조하면서 _**전달 수단**_으로서의 ♦_**언어의 역할_**을 강조하고 있지만, 역시나 발달의 한계 수준을 언급하고 있지는 않다. (EIS이론) 비고츠키의 입장은 **_성인의 도움**_을 통하여 학생들의 _**발달 수준**_을 향상시킬 수 있다는 점에서 ♦_**교사의 지도**_에 의한 _**학교교육의 중요성**_을 뒷받침한다고 볼 수 있고, 아동의 _**능동적 활동**_ 못지 않게 _**다른사람의 도움**_이나 _**모방**_과 이에 대한 _**내면화 활동**_을 강조하고 있으며, 잠재적 발달 수준이라는 _**발달의**_ ♦_**한계 수준**_에 _**관심_**을 기울인다는 점에서 독특하다고 할 수 있다.

Answer 113

(**_지현발__E_**) **♦_지식의 구조_**라는 개념을 통해 수학교육 **♦****_현대화 운동의 이론적 배경_**을 제공하였고, 이를 구현하기 위한**♦****_발견학습**_을 주장하였으며 _**피아제의 인지발달단계이론_**에 기초하여 **♦****_EIS__이론_**을 제안하였다.

Answer 114

수학적 안목의 형성

Answer 115

각 학문의 기저를 이루고 있는 핵심적인 개념과 원리이다.

Answer 116

(**_이기적중**_) (_**기파_ _세구_ _기훈_ _성재간_**) 첫째, (♦**_이해_**) ♦기본적 사항을 이해하면 내용을 훨씬 쉽게 ♦파악할 수 있다. 둘째, (♦**_기억_**) ♦세세한 사항은 ♦구조화된 패턴 안에 들어 있지 않으면 쉽게 잊어버린다. 셋째, (♦**_적용**_) ♦기본적인 원리나 아이디어를 이해하는 것은 _**적절한**_ ♦_**훈련의 전이_**를 가능하게 하는 가장 주된 방법이다. 넷째, (**_가장**_ ♦_**중요**_) 초등학교와 중등학교에서 가르치는 _**학습 자료**_가 어떤 _**기본적인**_ ♦_**성격_**을 나타내고 있는가를 끊임없이 ♦재조사함으로써 고등 지식과 초보적인 지식 사이의 ♦간격을 좁힐 수 있다. (학자들이 하는 일과 본질상 동일한 일!)

Answer 117

(**_어__3_ _지교**_) (_**운_ _도그_ _기_**) **♦****_어떤 영역의 지식도_** 다음과 같은 **♦****_3가지 과정으로 표상_**해낼 수 있다. **_아동의_** **♦****_지능발달_**이 다음과 같은 순서로 이루어지기 때문에 **♦****_교수-학습 경로_**도 같은 순서로 이루어져야 한다. ① **_활동적 표현_**: 적절한 **♦****_운동적 반응**_을 통하여 표현하는 것이다. (_**실물**_을 통한_**신체적 동작_**) ② **_영상적 표현_**: **♦****_도식_**을 이용하여 표현하는 것으로,**♦****_그림이나 모형_**으로 지식을 이해하는 것이다. ③ **_상징적 표현_**: **♦****_기호나 문자식_**으로 지식을 이해하는 것이다.

Answer 118

(**_지형재학_**) **♦_지식**_이란 한 사회 집단에 _**누적된_** 역사적, 문화적 **♦****_형태**_로 존재하기 때문에 다른 구성원들과의_**사회적 상호작용_**에 의해**♦****_재구성_**되며, **♦****_학습**_또한 이러한_**상호작용_**을 통해 이루어진다고 하였다.

Answer 119

(**_노현_ _어결_**) 비고츠키는 **_피아제_**가 자발적 개념과 비자발적 개념으로 구분한 것을 매우 높이 평가하고 있다. **_자발적 개념_**은 아동이 주로 **_자신의_** **♦****_노력_**을 통하여 발달시킨 **♦****_현실에 대한 개념_**이다. **_비자발적 개념_**은 **♦****_어른의 영향_**을 **♦****_결정적_**으로 받은 개념이다. 이와 관련하여 피아제는 **_발달**_이 _**교육**_보다 선행한다고 보았고, 비고츠키는 _**교육**_이 _**발달_**보다 선행한다고 보았다.

Answer 120

학생이 다른 사람의 도움 없이 **_독립적으로 문제를 해결_**할 수 있는 수준이다.

Answer 121

좀 더 지식이 풍부한 교사, 성인 또는 유능한 또래의 **_도움을 얻어 문제를 해결_**할 수 있는 수준이다.

Answer 122

(**_주내역_**) 실제적 발달 수준과 잠재적 발달 수준의 차이이다. 스스로 문제를 해결할 수는 없지만, 유능인의 도움을 받아 문제를 해결할 수 있는 영역이다. ♦주어진 시간 내에 가장 가까운 때에 나타날 행동을 의미하며, **_잠재적 발달 수준이_** ♦**_내면화되어 실제적 발달수준이 되므로_** **_끊임없이 변화하는_** ♦**_역동적인 것_**이다.

Answer 123

(**_도과내탈_**) 1단계는 유능한 타인의 ♦**_도움을 받아 과제를 수행_**하는 단계이고, (순종이나 모방의 단계) (전이를 위한 새로운 기회 제공) (학생이 과제 구성의 책임) 2단계는 학생 **_스스로 과제를 수행_**하는 ♦**_과도기적 단계_**이며, (자기주도성이 준비되고 실행되기 시작) 3단계는 과제 수행이 완전히 발달되어 ♦**_내면화, 자동화_**가 이루어지는 단계이고, (타인의 도움은 오히려 부정적 영향) 4단계는 새로운 능력의 발달을 위해 반복해서 **_근접 발달 영역이 순환_**되는 ♦**_탈자동화의 단계_**이다.

Answer 124

학습자가 주어진 과제를 잘 수행할 수 있도록 유능한 또래나 교사의 **_도움을 제공하는 자원_**을 일컫는 것이다.

Answer 125

**_비계설정_**을 통하여 **_학생들이 스스로 문제를 해결_**할 수 있도록 **_교사가 도움을 적절히 조절하여 제공_**할 수 있으며, 이로써 **_근접 발달 영역 내_**에서 학습자의 **_자기조절능력을 증진_**시켜 **_스스로 과제를 해결_**할 수 있도록 도울 수 있다.

Answer 126

(**_역비자_**) ① 잠재적 발달수준 파악 (♦역동적 평가) ② 적절한 ♦비계설정 ③ 근접발달영역 내에서의 학습자의 ♦자기조절능력 증진

Answer 127

(**_자계**_) (_**추하_**) 피아제의 심리학을 **_수학 교육에 적용**_한 것으로, 동화, 조절에 의한 _**스키마의_ ♦_자발적 구성과정_**에 근거한다. 스켐프는 **_개념의_ ♦_계층론_**을 주장하여 학습에서의 준비성을 강조한다. 학습의 준비성이란 **♦****_추상화된 상위 개념의 학습_**은**♦****_하위 개념의 형성을 토대로 함_**을 의미한다.

Answer 128

(**_기관_**) **♦****_기존의 스키마_**를 **_새로운 지식의 획득을 위한 수단_**으로 **_사용_**하는 학습으로 의미 충실한 학습이며, 참된 이해, 즉 **_‘_****♦****_관계적 이해’를 가능하게 하는 학습_**이다.

Answer 129

(**_기적공흥_**) ① 더욱 효과적인 학습, 즉 ♦**_기억 능력_**이 월등히 높아진다. ② 그 분야의 **_장래 학습 과제**_에 필요한 ♦_**적응력**_ 있는 _**정신적 도구_**를 준비해준다. ③ **_계속적으로 사용**_함으로써 스키마의 _**처음 내용**_을 더욱 ♦_**공고히_** 해준다. ④ 대부분의 학생들에게 더욱 ♦**_흥미_**가 있다.

Answer 130

(**_독맞잘_**) ① ♦**_독립된 과제**_의 학습에서는 _**더 오랜 시간_**이 걸린다. ② **_스키마에**_ ♦_**맞지 않는 것_**은 학습하기 어렵게 한다. ③ 기존의 스키마가 ♦**_잘못 형성**_되어 있는 경우 그 다음 학습에 _**심대한 영향**_을 미친다. 잘못된 스키마틱 학습은 _**망각률**_이 _**높은**_ 기계적 학습보다도 _**훨씬 더 위험_**하다.

Answer 131

(**_무일특_**) ♦무엇을 해야 할지 그리고 왜 그런지를 모두 알고 있으면서 ♦**_일반적인 수학적인 관계_**로부터 ♦**_특수한 규칙이나 절차를 연역_**할 수 있는 상태이다.

Answer 132

(**_이암문_**) ♦이유는 모르는 채 ♦**_암기한 규칙_**을 ♦**_문제해결에 적용_**하는 것이다.

Answer 133

(**_기적자질**_) (_**시특능**_) (_**보이필**_) (_**잊공동확_**)

Answer 134

(**_목꼭과_**) ① **_학습_****♦****_목표를 달성_**하는 데 **_너무 많은 시간이 소요_**되는 경우이다. ② **♦****_꼭 학습해야 할 내용_**인데 그에 맞는 **_인지발달수준_**에 도달하지 못한 경우이다. ③ **♦****_과학 또는 다른 학과_**에서 **_수학적 지식을 이용_**하여 **_문제해결_**을 하는 경우이다.

Answer 135

(**_외수_**) **♦****_외부에서 얻은 자료의 인식_**이 ‘중재사고 활동’을 거치지 않고 **♦****_수용기를 통하여_** 이루어지는 지능이다.

Answer 136

(**_메과중자_**) ♦메타인지적 사고로서 ♦**_과정이나 이유를 묻는 질문_**에 답하는 데 ♦**_중재 사고 활동_**이 ♦**_자기 반성적 인식의 대상_**이 되는 지능이다.

Answer 137

(**_내_ _놀_ _구응통_**) 아동의 ♦**_내발적 동기**_에 근거한 학습, 수학적 상황에서의 ‘♦_**놀이**_’로써 조직된 수학 학습, _**수학적**_ ♦_**구조**_를 내포한 학습 상황에서의 수학적 구조의 구성 및 그 ♦_**응용 학습**_을 통해서 ♦_**통합적 인격 형성_**에 **_기여_**하는 학습이다. 딘즈의 수학적 다양성의 원리와 지각적 다양성의 원리는 **_구성주의적 수업을 구현_**하기 위해서 고안된 것이다. (96기출)

Answer 138

(**_형반추**_) (_**개형닫_ _분열재_**) 딘즈가 아동들의 **_개념**_ ♦_**형성과정**_을 설명하기 위해 도입한 용어로, 피아제의 ♦_**반영적 추상화**_를 통한 _**개념의**_ ♦_**추상화 과정_**에 비유할 수 있다. 이는 ♦**_개념 형성의 단계**_를 거쳐 일단 ♦형성된 _**수학적 개념**_은 ♦닫힌 상태(폐)로 되지만, ♦_**분석과 적용 과정**_에서 ♦열린 상태(개)로 변하여 보다 _**객관적**_이고 보다 _**높은 수준**_의 ♦_**재구성**_이 이루어진다는 것이다. (_**내용**_→ _**반사**_→ _**반성**_→ _**형식_** 느낌) (수학적 사고의 본질: 구조화되어 가는 한없이 열려진 사고)

Answer 139

(**_구구_ _자규_ _소특명_ _추공_ _자수_ _추여_**) ① 1단계 **_자유놀이 단계**_: 아동들은 ♦_**구조화되어 있지 않은_ _조작이나 실험 활동**_ 등 많은 ♦_**구체적인 자료_**를 자유롭게 대하는 시기이다. ② 2단계 **_게임 단계**_: 아동들은 ♦_**자유롭게 놀이**_를 하는 가운데 _**점차로 어떤**_ ♦_**규칙성_**이 있다는 느낌을 갖게 되는 시기이다. ③ 3단계 **_공통성 탐구의 단계**_: _**놀이의**_ ♦_**소재가 되는 여러 구체물**_ 속에 공통적으로 들어 있는 ♦_**특정 개념의 수학적인 구조_**를 파악하기 시작하며, 게임 단계에서 감지되는 규칙성이 보다 ♦명확해지는 단계이다. (**_93__기출_**) f(x)에 대하여 f(1)=8, f(2)=6, f(3)=4, f(4)=2, f(5)=0 임을 알고, f(6)의 값을 구하는 활동. (적절한 방법으로 표현하는 거라고 보기는 어렵다고 추측..) ④ 4단계 **_표현 단계**_: 아동이 ♦_**추상화 과정**_을 통하여 _**파악한 개념의**_ ♦_**공통성_**을 적절한 방법으로 표현하는 시기이다. ⑤ 5단계 **_기호화의 단계**_: 아동들은 ♦_**자신만의 적절한 수단**_으로 표현한 개념을 ♦_**수학적인 기호_**를 이용하여 표현하게 된다. ⑥ 6단계 **_형식화의 단계**_: 아동이 ♦_**추상한 개념의 수학적인 구조를 파악**_하고, 이 개념이 갖고 있는 ♦_**여러 성질을 체계화_**하게 된다. (**_10__기출_**)

Answer 140

(**_형_ _예구실_ _필**_) (_**불명고**_) (_**분구상우**_) (_**성유구**_) (_**동개다_**) ① **_역동적 원리_**: **_수학적 개념_** **♦****_형성을 위하여_** **♦**예비놀이 단계, **♦**구조화된 놀이 단계, **♦**실습 놀이 단계의 각각을 **_순차적**_으로 _**적절한 시기_**에 **♦****_필수적인 경험**_으로서_**제공_**하여야 한다는 원리이다. (이러한 3단계 놀이는 상대적인 것) **_예비놀이 단계_**란 목표가 **♦**불분명하며 그 자체로 즐기는 단계이고, **_구조화된 놀이단계_**란 좀 더 방향이 정해지고 목적을 지향하지만 추구하고 있는 것에 대한 **♦**명확한 인식은 없는 단계이며, **_실습놀이 단계_**란 형성된 개념을 **♦**고정시키고 적용하기 위한 단계이다. ② **_구성의 원리_**: 아동은 **♦_분석적 사고_**를 하기 훨씬 이전에 **♦****_구성적 사고**_를 발달시키므로, 아동에게 제시하는_**수학적_ ♦_상황**_은_**분석보다는 구성을 요구_**하는 것이**♦****_우선_**되어야 한다는 원리이다. ③ **_수학적 다양성의 원리**_: _**개념의_ ♦_성장을 돕기 위해_ _개념_**은 변하지 않게 **♦****_유지_**하면서 가능한 한 많은 변인을 변화시킴으로서**♦****_구조화된 경험을 제공_**해야 한다는 원리이다. (본질, 비본질) ④ **_지각적 다양성의 원리_**: **♦****_동일한 개념을 형성_**하는 데 존재하는 가능한 모든**♦****_개인차_**를 고려하는 방법으로서, 동일한 개념적 주제에 대한 **♦****_다양한 수단을 사용_**하여 가능한 한 많은 변화를 주자는 원리이다.

Answer 141

(**_직_ _정_**) 구성의 원리란 아동에게 제시하는 수학적 상황은 분석보다는 구성을 요구하는 것이 우선되어야 한다는 것이다. ⑶에서 실험단계에 따라 직접 실험을 수행하고 종이다리의 수와 바둑돌의 관계로부터 **_일차함수 개념을_** **♦****_직관_**할 수 있는 것은 **_구성의 과정_**에 해당하며 ⑷에서 이러한 활동에 대하여 그래프와 식으로 표현하고 일차함수를 **_직접_** **♦****_정의_**해보는 것은 **_분석의 과정_**에 해당한다.

Answer 142

(**_관만_ _성_**) 정다면체를 ♦**_관찰**_해보고 전개도와 정다면체를 ♦_**만들어**_보도록 하는 것은 _**구성의 과정**_이고, 정다면체 모형을 보여주고 ♦_**성질을 말해**_보도록 하는 것은 _**분석의 과정_**이다.

Answer 143

(**_반경바_**) **_딘즈의 개념학습원리_**에는 피아제가 반영적 추상화의 과정에 포함한 ♦**_반성의 과정이 포함되었다고 말하기가 어려우며_** 아동 활동의 조정으로부터의 추상화라기 보다는 **_놀이 대상이 갖는 성질의 추상화_**를 말하고 있다는 점에서 피아제의 용어로는 ♦**_경험적 추상화 수준에 머물러 있다_**고 할 수 있다. (프로이덴탈 관점에서는 ♦**_바__닥수준_** 느낌)

Answer 144

(**_새기포**_) (_**활효**_) (_**3__기_**) **♦****_새로운 학습내용_**이 학습자의 **♦****_기존의 인지구조와 의미 있게 연결_**됨으로써 그 안으로 **♦****_포섭_**될 때 일어나는 학습이다. (**_인지구조_**는 유의미 수용학습을 촉진하는 가장 중요한 변인) 브루너의 **_발견학습**_을 _**반성**_하면서 등장하였으며, 지식을 습득하고 기억하며 조직하는 과정으로 _**동화이론**_을 정리하였다. 그리고 동화이론에서 가장 핵심이 되는 _**인지구조_ ♦_활용의_ ♦_효율성_**을 높이기 위하여, 선행조직자, 점진적분화의 원리, 통합적 조정의 원리 등을 언급하였다. **_유의미학습_**은 논리적 유의미가, 잠재적 유의미가, 유의미학습 자세의 **♦****_3__가지 조건_**을 충족해야 하고, 이 조건들 중 어느 하나라도 부족하다면 상대적으로**♦****_기계적 학습_**이 일어날 가능성이 높아진다고 보았다.

Answer 145

논리적 유의미가-\> 잠재적 유의미가-\> 유의미 학습 (심리적 유의미가)

Answer 146

(**_실구**_) (_**새학임연_**) **_실사성과 구속성을 갖춘 학습과제_**를 말한다. ♦**_실사성_**이란 어떻게 표현하더라도 변하지 않는 본질적 속성을 말하고, ♦**_구속성_**이란 ♦새로 배우게 되는 학습내용과 ♦학습자의 인지구조 사이의 관계가 ♦임의적이지 않다는 것으로, ♦연결될 수 있는 가능성과 잠재력을 소유해야 한다는 것이다.

Answer 147

(**_자관_**) 학습자가 새로운 학습 과제를 구속적이고 본질적인 방식으로 관련지을 수 있는 ♦**_자신만의 지식_**인 ♦**_관련정착아이디어_**를 소유하고 있는 것을 말한다.

Answer 148

(**_연유유**_) (_**잠_**) 학습자가 학습과제를 자신의 인지구조 내의 관련 항목들과 실사적이고 구속적인 방식으로 ♦**_연결하려 노력_**하는 ♦**_유의미 학습 자세_**를 가지고 있다면 그 결과 ♦**_유의미 학습_**이 일어난다는 것을 말한다. (♦**_잠__재적 거리_**: 관련 정착 아이디어와 새로운 지식 사이의 거리.)

Answer 149

(**_포일인새_**) (**_상하병 파상_**) (**_구상 확수정 비_**) **_포섭**_; ♦포괄성과 ♦일반성이 _**높은**_ ♦인지구조 내의 지식이 포괄성과 일반성이 _**낮은**_ ♦새로운 지식을 통합하는 것으로, _**새로운 과제**_가 인지구조 속에 들어올 때 인지 구조에 존재하는 _**기존의 개념들**_과 _**화합**_ 또는 _**통합_**하는 과정을 의미한다. (피아제의 동화와 유사) ① ♦**_상위적 학습**_: 새로운 학습내용이 인지 구조 내의 관련 내용보다 _**상위의 내용_**일 때 일어나는 학습. ② ♦**_하위적 학습**_: 새로운 학습내용이 인지 구조 내의 관련 내용보다 _**하위의 내용_**일 때 일어나는 학습. ♦**_파생적 포섭**_: 새로운 학습내용이 기존 인지 구조 내 관련 개념의 ♦_**구체적인 예**_이거나 이를 ♦_**상세화하는 것_**일 때. ♦**_상호관련적 포섭**_: 새로운 학습내용이 _**기존 개념**_을 ♦_**확장**_, ♦_**수정**_, ♦_**정교화_**할 때. (평행사변형을 알고 마름모가 새로운 학습내용일 때) ③ ♦**_병위적 학습_**: 상위적, 하위적 지식이 아닐 때 (♦**_비유적인 경우_**)

Answer 150

(**_새좀적**_) (_**이필갭돕활**_) (_**구특잠일**_) (_**구활촉_**) **♦****_새로운 개념을 학습하기 전에 제시하는_** 학습내용보다 **♦****_좀 더 일반적인 개념을 배열한 진술문_**으로서 **♦****_적절하게 관련되고 포괄적인 개요적 자료_**를 말한다. (**_요약**_이나 _**개관**_은 자료의 특정한 부분만을 강조한 것으로 학습 내용을 반복하거나 단순화한 것이기 때문에 _**선행조직자와**_ _**구분_**되어야 한다.) 학습자가 **♦****_이미 알고 있는 것**_과_**알_ ♦_필요가 있는 것_**사이의**♦**갭을 연결함으로써**_통합적 조정의 원리**_와_**점진적 분화의 원리_**를 수행하도록**♦**돕는 교수학적 전략으로**♦**활용될 수 있다. 선행조직자는 **♦****_구체적인 학습과제의_** **♦****_특정한 내용_**과 **_더욱 잘 관련 가능하도록 도우면서_** 동시에 **♦****_잠재적으로 내재한 정착 아이디어의_** **♦****_일반적인 내용과 관련 가능하도록 돕는 역할을 한다_**. (따라서 학습자는 정착아이디어를 수정하여 본 학습내용의 학습을 촉진하게 된다.) (설명조직자, 비교조직자) (**_선행조직자 제시의 목적**_: _**관련 정착 지식의_ ♦_구축**_ (정착 아이디어의 역할 수행), _**스키마의_ ♦_활성화**_, _**유의미 학습의_ ♦_촉진_**) (중10-17) (초01-47)

Answer 151

(**_학일_**) **♦****_학습할 새로운 개념을 포함_**하는 **_더욱_** **♦****_일반화된 구조_**를 제시한 다음 그것으로부터 점점 구체적이고 세부적인 내용으로 접근하는 것을 말한다.

Answer 152

(**_새유의_**) **♦****_새로운 학습 내용_**과 **_이미 학습된 내용_**의 **♦****_유사성과 차이점_**을 분명하게 하여 새로운 학습 내용이 인지 구조 내에서 **♦****_의식적으로 조정되고 통합_**되도록 해야 한다는 원리이다.

Answer 153

(**_지이적문창_**) **♦****_지식_**-**♦****_이해_**-**♦****_적용_**-**♦****_문제해결_**-**♦****_창의성_** (인지구조의 위계성 바탕) (**_지식_**= 표현학습, 아는 학습) (**_이해_**= 개념학습, 개념을 아는 학습) (**_적용_**= 명제학습, 개념 사이의 관계를 아는 학습)

Answer 154

(**_목과분_ _목방설_**) (학습에 있어 **_정보처리이론**_을 많이 _**반영**_하고 있으며, 학습영역을 세분화하여 제시한 _**메릴의 내용요소 제시이론**_의 _**토대_**가 되었다.) **_학습_♦_목표**_에 따라 _**학습_♦_과제**_가 달라지므로, _**학습과제의_ ♦_분류체계**_를 만드는데 핵심이 있다고 보고, _**5__가지 학습된 능력**_인 _**학습_♦_목표**_에 따라서 _**수업_♦_방법_**을 다르게 **♦****_설계_**해야한다고 보았다. (학습목표는 수업이 추구하는 학습의 결과유형) (**_교수목표**_에 따라 _**학습조건_**은 달라져야 한다고 보았다.) (중04-23)

Answer 155

(**_순부_**) ① 학습 활동의 ♦순서 계획에 효율적 ② 학습♦부진 원인 분석 가능

Answer 156

(**_외내**_) (_**인활다_ _선인**_) (_**강접반_ _선학자주_**) ① ♦**_외적조건**_: 학습자의 _**내적**_ ♦_**인지과정**_을 ♦_**활성화**_시켜주는 교사의 ♦_**다양한 수업방법_**. ♦**_강화**_, ♦_**접근**_, ♦_**반복_**의 원리. ② ♦**_내적요인**_: 학습자의 ♦_**선수학습 능력**_과 정보를 처리하는 ♦_**인지과정_**. ♦**_선행학습**_, ♦_**학습동기**_(내재적 동기), ♦_**자아개념**_(긍정적 자아개념), ♦_**주의력_**(집중력)

Answer 157

(**_교내맞_ _내유외계**_) (_**주기장선의_ _재강인일**_) (_**주학선자학_ _수피수파_**) 외부에서 정보가 주어진다고 학생들의 학습이 이루어지는 건 아니다. ♦**_교수활동**_은 인간의 ♦_**내적인 학습 과정**_에 ♦_**맞추어**_ 이루어져야한다고 보고 ♦_**내적 학습과정**_을 ♦_**유발**_(지원)하기 위한 일련의 ♦_**외적인 학습조건**_을 ‘_**9__가지 교수 사태_**’라고 명명하고 ♦계열화하여 제시하였다. (각 단계의 구체적인 내용들은 학습이 의도하고 있는 능력(5가지 영역)에 따라 다르다.) (수업을 계획할 때 수업사태의 순서를 변경하거나 생략할 수 있다.)

Answer 158

(**_언지인태운**_) (_**학진_ _상환_ _문통_ _선정_ _수몸**_) (_**변개원문_**) ① ♦**_언어정보**_: 특정한 명칭, 정보, 사실, 명제를 ♦_**학습하여 기억한 다음**_ 이를 ♦_**진술할 수 있는 능력_**이다. (=선언적 지식) (=~에 관한 지식) (=~임을 안다) (주로 명제적 지식의 형태) (주로 군집분석) ② ♦**_지적기능**_: 학습자가 언어, 숫자 등 ♦_**상징을 이용**_하여 ♦_**환경과 상호작용하는 능력_**이다. (=방법적 지식) (=절차적 지식) (=~할 줄 안다) (주로 위계분석) 학습위계가 존재하므로 선행학습이 더욱 중요하다. (♦**_변별**_, ♦_**개념**_, ♦_**원리**_, ♦_**문제해결_**학습) ③ ♦**_인지전략**_: 비교적 오랜 기간에 걸쳐 습득되는 창조적 능력으로, 다양한 상황에서의 ♦_**문제해결 경험**_을 통해 개발되는 학습이나 사고에 대한 ♦_**통제 및 관리능력_**이다. ④ ♦**_태도_**: 학습자의 ♦**_선택_**에서 드러나는 ♦**_정신적, 내적 경향성_**이다. (주로 통합분석) ⑤ ♦**_운동기능_**: 어떤 일을 ♦**_수행_**하기 위한 ♦**_몸의 움직임_**이다. (주로 위계분석)

Answer 159

(**_신자연_ _언다개_ _규문_**) ① ♦**_신호 학습**_: 가장 기본적인 형태의 학습으로 본질적으로 _**무의식적인 정서적인 반응**_, 어떤 신호나 자극에 대한 _**반사적인 반응_**이다. ② ♦**_자극__-__반응 학습**_: 학습자가 _**식별된 자극**_에 대하여 _**어떤 정확한 반응_**을 보이는 것이다. ③ ♦**_연쇄**_: _**둘 이상의 자극__-__반응**_이 _**연결된 운동행위_**가 이루어지는 것이다. ④ ♦**_언어적 연합**_: _**연쇄**_는 운동에 관한 학습인데, 그와 비슷한 _**언어에 관한 학습_**이다. ⑤ ♦**_다중식별__(__변별__,_ _식별__)**_: _**여러 가지 자극**_에 대하여 _**바른 반응_**을 보이는 것이다. ⑥ ♦**_개념 학습**_: _**서로 다른 자극**_에 대하여 _**공통된 반응_**을 보이는 것이다. ⑦ ♦**_규칙 학습**_: 규칙이란 _**둘 이상의 개념**_의 _**연쇄_**를 말하는 것이다. ⑧ ♦**_문제해결**_: _**둘 이상의 규칙**_을 관련지어 _**보다 높은 수준의 규칙_**을 형성하는 것이다.

Answer 160

(**_현비_ _인활수_ _현**_) (_**응비_ _수어수직_ _출구_**) 프로이덴탈은 ♦**_현대화운동의 반교수학적전도**_에 대한 ♦_**비판**_하면서 _**수학을**_ ♦_**인간의 활동**_으로 보고 ♦_**활동주의적 교육관에 기인**_하여 ♦수학화를 주장하였다. (_**직관주의 수리철학적 입장**_을 기초로 _**인간 활동으로서의**_ ‘♦_**현실주의적 수학교육**_’ _**이념_**을 구현하고자 하였다.) (‘교수학적 현상학’으로 체계화) 학생들이 수학을 **_현실적인 문제해결**_에 ♦_**응용**_하지 못하는 것을 ♦_**비판**_하면서, ♦_**수학자가 하는 활동**_을 ♦_**어린 학습자**_라도 _**자신의**_ ♦_**수준에 맞는 대상**_들을 통해 ♦_**직접 경험**_할 수 있도록 _**수학 학습의**_ ♦_**출발점**_이 가능한 한 ♦_**구체적인 학생의 현실_**이어야한다고 주장한다. (수학을 ‘수학화’라는 개념 하에 **_인간의 정신적 활동**_으로 보고, 학생들이 _**세계를 이해**_하는 데 도움이 되는 _**진정한 이해와 안목**_을 형성하고 _**수학의 유용성을 인식**_하여 _**학습자 인격의 한 부분_**이 될 수 있다고 보았다.)

Answer 161

(**_수본현_**) **♦****_수학적 개념과 구조라는_** **♦****_본질_**을 그 본질이 **_조직의 수단으로 작용하는 어떤_** **♦****_현상_**과 관련하여 기술하고 교수학적으로 적용하는 것이다.

Answer 162

**_현상_**을 수학자의 필요에 맞게 적절히 손질하여 **_본질로 조직해내는 조직화 활동_**이다. **_수평적 수학화_**와 **_수직적 수학화_**가 서로 교대로 일어나는 과정 (Treffers)

Answer 163

(**_교상불_**) **_현상과 본질의_** **♦****_교대 작용_**에 의해 **_수준_** **♦****_상승_**이 이루어지는 **♦****_불연속적인 과정_**이다. (이때 현상이란 **_현실적인 경험_**일수도 있고 **_수학적인 경험_**일 수도 있다.)

Answer 164

(**_직개형적_**) 첫 번째 단계: **_현실 세계의 문맥_**을 ♦**_직관적으로 탐구_**하는 단계이다. 두 번째 단계: **_현실 상황_**으로부터 **_수학적_** ♦**_개념을 추출_**해내는 **_수평적 수학화_**의 단계이다. (수학화 과정에 대한 반성이 필수) 세 번째 단계: ♦**_형식화_**와 **_추상화_**가 **_중심_**인 **_수직적 수학화_**의 단계이다. (수학적인 개념, 형식적인 정의가 뒤따른다.) 네 번째 단계: 개념을 **_새로운 문제에_** ♦**_적용_**함으로써 개념을 **_강화_**하고 **_일반화_**하는 **_응용적 수학화_**의 단계이다.

Answer 165

(**_현우_ _출_ _구열_**) 학생들에게 ♦**_현실을 수학화하는 경험_**을 ♦**_우선적으로 제공해야 한다_**는 것이다. 즉, **_문맥_**은 수학 학습-지도의 ♦**_출발점_**이어야 한다는 것이다. **_문맥_**이란 어떤 ♦구체적인 수업 과정에서 학생들에게 ♦열려 있는 **_수학화가 되어야 할 현실의 영역_**을 말한다.

Answer 166

(**_재중국**_) (_**정연첫**_) (_**현성국전존**_) (_**어기_ _체_**) 다음 각 단계는 **_반힐레의 기하적 사고수준과 대응**_되는 것으로, 프로이덴탈은 학생들의 _**기하_ ♦_재발명에서_ ♦_중심적인 활동_**으로 제안하는 것이 바로 **♦****_국소적 조직화활동_**이다. 수학자들이 일상적으로 행하는 것을 **_학생들의 수준에서도 경험하게 하자**_는 것이 프로이덴탈의 수학과 교수·학습이론의 핵심이므로 학생들에게 _**수학자들의_** ‘**♦****_정의하기**_’_**활동_**을 경험하게 해야 한다는 것이다. 즉, **_정의_**는 대상의 여러 성질에 대한 **♦****_연역적 조직화의 수단_**이며**♦****_첫 번째 단계_**라는 것을 경험하게 된다. ① **_주변_ ♦_현상을 도형이라는 본질로 조직_**: 정의를 제시해서는 안 된다. ② **_도형의_ ♦_성질 발견_** ③ **♦****_국소적 조직화_**: 정의하기와 증명하기 **_정의하기_**: 대상의 여러 성질 중에서 **♦**어느 하나를 다른 것들을 이끌어내는 **♦**기본 성질로 설정하는 것이다. **_증명하기_**: 성질들의 관계를 **♦**체계적으로 정리하는 것이다. (엄밀한 연역적 증명x) ④ **♦****_전체적 조직화_**: 공리화 ⑤ **♦****_존재론적 결합 끊기_**

Answer 167

(**_명필부의_ _안실**_) (_**수자수_**) 학생들이 스스로 ♦**_명제를 만드는 경험**_을 할 수 있고, _**조직화수단으로서의 증명의**_ ♦_**필요성**_이 _**자연스럽게**_ ♦_**부각**_되며 _**증명의**_ ♦_**의미를 이해**_할 수 있다. 이렇게 지도된 증명만이 _**수학적_ _‘**_♦_**안목__’**_이 되어 일상생활 및 과학의 도구로서 ♦_**실제적인 응용성_**을 갖게 된다. (역사발생의 발견과정을 경험해야 수학적 안목을 가질 수 있다.) **_수학화를 중요시하는 이유**_는 학생들에게 수학화 경험을 통해서 _**수학에 대한 보다**_ ♦_**수준 높은 이해**_와 ♦_**자신의 세계를 이해**_하는 데 _**수학적**_ ♦_**수단**_을 _**사용할 줄 알도록_** 하려는 것이다. (이는 곧, 현실 세계에 대한 관점에 영향을 미친다.)

Answer 168

(**_스발반_**) ① 학생들 ♦**_스스로 활동할 기회_**를 **_제공_**해야 한다. ② **_적절한 순간**_에 _**적절한**_ ♦_**발문**_을 통해서 _**학생들의 사고활동**_을 _**촉진_**시켜야 한다. ③ 학생들이 **_자신의 활동**_을 ♦_**반성**_하게 하고 _**종합_**할 수 있도록 **_안내_**해야 한다.

Answer 169

(**_현추_ _추기**_) (_**현형_ _세_**) **_프로이덴탈**_은 수평적 수학화를 ♦_**현실적인 것으로 체험된 세계**_에서 _**좀 더**_ ♦_**추상화된 기호의 세계**_로 이행되는 것으로, 수직적 수학화를 ♦추상화된 기호의 세계에서 ♦_**기호들이 계속 형성**_되고, _**이해되고 반성되는 것_**으로 보았다. **_트레퍼스__Treffers**_는 수평적 수학화를 ♦_**현실 내의 문제 장면**_을 ♦_**형식적인 수학적 처리**_가 _**가능하도록_ _변환**_하는 것으로, 수직적 수학화를 ♦_**세련된 좀 더 높은 수학적 처리**_가 _**가능하도록_ _하는 것_**으로 보았다.

Answer 170

(**_절이구_ _마적명_**) 수평적 수학화, 수직적 수학화의 구분이 ♦절대적인 것은 아니지만, ♦이전에 수학 수업에서 도외시되었던 **_수평적 수학화 특성이 강한 활동_**인 실험하기, 관찰하기, 귀납적추론, 분류하기 등과 같은 좀 더 ♦구체적인 활동이 **_수직적 수학화 특성이 강한 활동_**인 기호화, 일반화, 형식화와 ♦**_마찬가지로 수학화활동에_** ♦**_적합_**하다는 것을 ♦명백히 하는 데 도움이 된다.

Answer 171

(**_결_ _초학**_) (_**인_ _발비_**) 기성수학이란 **_수학적 활동의_** **♦****_결과_**로서의 수학을 말한다. 실행수학이란 **_수학적 활동에_** **♦****_초점_**을 둔 수학으로 학생들이 **♦****_학습해야 하는 수학_**을 말한다. (**♦_인간 활동으로서의 수학_**의 측면) (폴리아 ‘**♦****_발생 상태로서의 수학_**’) (라카토스 ‘**♦****_비형식적 수학_**’)

Answer 172

(**_완발_ _개발연증_**) ‘♦**_완__성된 수학**_’은 연역적 과학이고, ‘♦_**발__생 과정의 수학**_’은 실험적이고 귀납적인 과학이라고 보았다. 그리고 수학적 사고 과정에서 ♦_**개__연적 추론과 추측**_에 의해 _**증명이**_ ♦_**발__견**_되고, 그 후 ♦_**연__역적 추론**_, 즉 ♦_**증__명이 뒤따른다**_고 보았다. (_**발견과 정당화**_가 _**구분_**되는 느낌) **_귀납과 유추에 의한_ _추측**_을 통한 _**발견적 사고**_와 _**문제해결 교육_**의 중요성을 강조하고 그 실제적인 지도 방법론을 제시하였다. 지식: 정보+ 방법적 지식 (know that+ know how) (명제적 지식+ 절차적 지식) (방법적 지식은 **_대화법의 도움_**으로 습득 가능)

Answer 173

(**_재적관적기_**) 수학의 ♦**_재창조 가능성**_과 ♦_**적용 가능성**_으로, 수학은 ♦_**관계가 풍부한 현실**_에서 _**발생**_해야 개인적으로나 역사적으로나 그것들이 _**창조된 후에**_ ♦_**적용가능**_하고 _**다음의 재창조를 위한**_ ♦_**기반_**이 된다는 것이다.

Answer 174

(**_본부연초**_) (_**논자_**) 반교수학적 전도= **_연역적 추론방식_**= **_현재의 증명교육_**= **_정의, 정리, 증명 순서_** 프로이덴탈은 ♦**_본질을_** 단지 학습자에게 ♦**_부과하는 접근 방식_** 즉, **_수학의_** ♦**_연역적인 체계만을 중시_**하고 그것을 ♦**_초등화하여 지도_**하는 것을 반교수학적 전도라고 비난했다. (현상으로부터 본질에 이르도록 하는 방향과 반대) (공리와 정의로부터 시작하여 연역적 증명 부과) (**_연역**_은 _**부과되는 것이 아니라**_ ♦_**논리적 조직화 과정**_에서 ♦_**자연스럽게 드러나게**_ 되는 것이고, _**정의**_는 대상의 _**여러 성질에 대한_ _연역적 조직화의 수단_**이라는 것을 경험할 수 있도록 해야 한다.)

Answer 175

(**_발완_**) **_수학적_ ♦_발__생과정을 알 수 없고_ _수학을 처음부터_ ♦_완__전한 형태로 주어진 것으로 생각_**하게 되는 문제점이 발생한다.

Answer 176

(**_발발역_** **_교안현점**_) (_**수연격_ _정증_**) **_수학을_ ♦_발__생된 것으로 파악**_하고 학습자가 학습과정에서 _**수학의_ ♦_발__생을 경험_**하게 하려는 원리인 **♦****_역사발생적 원리_**를 반영해야 한다. 즉, **♦****_교수학적 현상학_**을 바탕으로 하여, **♦****_안내된 재발명법_**에 의해 아동이 직접 **♦****_현실적인 문맥_**을 통하여 **♦****_점진적 수학화_**를 경험할 수 있도록 지도해야 한다. (**_국소적 조직화_**) (**♦****_수학화의 도구_**로서**♦****_연역을 재발명하는 학습_**이 이루어지도록 학생들을 **♦****_격려_**해야 하며, ‘정의’보다는 ‘**♦****_정의하기_**’를 ‘증명’보다는 ‘**♦****_증명하기_**’를 학생들이 경험할 수 있도록 지도해야 할 것이다.) (**_정의**_는 처음부터 제시되는 것이 아니라 여러 명제들을 연결하기 위한 _**연역의 고리**_로서 _**가장 나중에 필요한 것**_이고 _**증명**_은 여러 성질들을 조직하기 위한 활동이며, _**정리_**는 이러한 조직화 활동의 결과물임을 주장한다.)

Answer 177

(**_수제**_) (_**안역반현심전_**) 프로이덴탈이 ♦**_수학화의 경험**_을 ♦_**제공하기 위해**_ 주장한 것으로, ♦_**안내된 재발명**_, ♦_**역사발생적 원리**_, ♦_**반성적 사고**_ (학습수준이론), ♦_**현실과 결부된 수학**_ (문맥 수학), ♦_**심상의 구성**_, ♦_**전형적인 보기의 활용_**이 있다.

Answer 178

(**_인재_**) 학습자는 ♦**_인류의 학습과정_**을 **_수정된 방식으로 재현_**하므로 학습자에게 **_수학적 활동의_** ♦**_재발명 과정을 경험시켜야_** 한다는 것이다. (역사발생적 원리와 그 맥을 같이 한다.)

Answer 179

(**_연발완_ _발발_**) (이것 또한 **_반교수학적 전도의 문제점**_과 _**대안_**이 될 수 있는 거겠네..) (수학을 완성된 산물로 보고 최종적인 내용을 논리적 전개 순서에 따라 연역적 방식으로 지도하는 것은) (기성의 수학을 ♦**_연역적 방식_**으로 단지 외부적으로 부과하는 것은) **_수학적_** ♦**_발생과정을 알 수 없고,_** **_수학을 처음부터_** ♦**_완전한 형태로 주어진 것으로 생각_**하게 되는 문제점이 발생한다. 따라서 **_수학을_** ♦**_발생된 것으로 파악_**하고 학습자가 학습과정에서 **_수학의_** ♦**_발생을 경험_**하게 하려는 원리이다.

Answer 180

(**_발귀_ _어이맥재_**) 첫째, 수학적 지식이 ♦**_발견의 과정_**을 통해 ♦**_귀납적_**으로 이루어져 왔다는 것을 경험하게 할 수 있다. 둘째, **_수학자가 겪은_** ♦**_어려움_**을 **_고려_**하여 **_학생들의 어려움_**도 ♦**_이해_**할 수 있으므로 **_발생_** ♦**_맥락에 따라_** **_수학을_** ♦**_재발명_**할 수 있다.

Answer 181

(**_안교교학자개**_) (_**미대_**) ‘**_발생적 원리_**’를 경험시키고 ‘**_대화와 토론 방법_**’에 따른 수업을 위해 교사가 수행해야 할 준비활동은 **_사고실험_**이다. 프로이덴탈의 사고실험은 ♦**_안내된 재발명 원리**_를 _**구현**_할 수 있는 것으로, ♦_**교사의 입장**_에서 ♦_**교실수업에서 학생들의 재발명을 돕기 위해**_ ♦학생의 입장과 반응을 고려함과 동시에 ♦_**자신의 입장_**에서 ♦개인 수학자의 마음에 대해 추측하는 것이다. 즉, 교사는 **_적절한 발문을 미리 준비_**하고 학생들의 가능한 **_모든 반응에 대응할 수 있도록_** 사전에 준비를 해야 한다. 따라서 이를 위해서는 교사의 충분한 ‘사고실험’이 필요하다. (다음은 윤양동 답안) ① 가르치고자 하는 수학적 지식에 대한 ♦**_수__학적 분석_**이 필요하다. ② 수학적 지식의 ♦**_역__사적 발생과 발전 과정에 대한 분석_**을 요구한다. ③ 관련된 내용을 학습하는 데 따르는 **_학생들의 학습**_ ♦_**심__리적 요소에 대한 분석_**이 필요하다. ④ 수학적 지식의 발견의 문맥을 ♦**_교__수학적으로 재구성_**하여 지도 단원을 구체적으로 구성한다. ⑤ 대화와 토론 방법에 따라 수업을 설계하기 위한 준비활동으로서 교사는 지도에 앞서 학생들과 대화하고 토론하는 수업을 상상 속에서 진행하는 ♦**_사__고실험_**을 통해 수업과 관련된 모든 사고를 미리 점검해야 한다.

Answer 182

(**_재평동_**) 해켈의 ♦**_재현의 법칙에 충실_**하게 수학의 역사적 발달과 개인의 수학학습 사이의 ♦**_평행성_**을 어느 정도 **_인정_**하고 역사발생과 ♦**_동일한 순서로 지도_**할 것을 주장한다.

Answer 183

(**_역재현_**) **♦****_역사발생을 중요시하지만_**, 역사적 발달 과정을 그대로 **♦**재현하는 것이 아니라 그것을 학습자의 **♦****_현실적 문맥을 통해 재구성_**해야 한다고 주장한다.

Answer 184

(**_증원_ _안교교학자개_**) 라카토스의 사고실험은 ♦**_증명_**으로서, ♦**_원래 추측을 더 많은 부분추측으로 분해하는 것_**이다. (사고실험은 머릿속에서 어떤 대상들을 다루면서 사고 활동의 결과를 관찰함을 의미한다.) 프로이덴탈의 사고실험은 ♦**_안내된 재발명 원리**_를 _**구현**_할 수 있는 것으로, ♦_**교사의 입장**_에서 ♦_**교실수업에서 학생들의 재발명을 돕기 위해**_ ♦학생의 입장과 반응을 고려함과 동시에 ♦_**자신의 입장_**에서 ♦개인 수학자의 마음에 대해 추측하는 것이다.

Answer 185

(**_적예_ _증마다이_**) 첫째, 교실 수업에서 학생들에게 ♦**_적절한 질문_**을 하거나 ♦**_예상치 못한 궁금증_**에 대해서도 **_적절한 답_**을 줄 수 있다. 둘째, **_수학적_** ♦**_증명방법을 생각해낸_** **_수학자의_** ♦**_마음에 대하여 추측_**해봄으로서 ♦**_다양하고 적절한 증명방법_**을 이용하여 **_학생들의_** ♦**_이해_**를 도울 수 있다.

Answer 186

(**_바탐무오점**_) (_**바탐예반시**_) (_**수정반**_) (_**알결기_**) 크게 ♦바닥수준과 ♦탐구수준으로 구분하고, **_바닥 수준을**_ ♦_**무시**_하는 것이 _**전통적인 수학교육**_의 _**가장 커다란**_ ♦_**오류**_임을 지적하면서 _**바닥 수준으로부터**_의 ♦_**점진적인 수학화_**를 주장한다. ♦**_바닥수준_**은 ♦탐구수준에서의 수학적 활동을 준비하는 ♦**_예비수학적 활동_**으로 파악하고, 바닥수준의 활동이 **_탐구수준에서_** ♦**_반성됨으로써_** 비로소 학생의 학습과정에서 **_수학이_** ♦**_시작_**된다. 프로이덴탈은 수학화 과정에서 근본적으로 ♦**_수준의 상승**_을 _**가능하게 하는_ _중요한**_ ♦_**정신적 활동**_이 바로 ♦_**반성적 사고**_라고 보았다. 그러나 _**수학교육의 현실**_은 ♦_**알고리즘적인 성향**_을 강조하고 _**현실과의 관련성이**_ ♦_**결여된 수학**_을 학습하기 때문에 아동들은 _**자신의 활동에 대한_ _반성을 해보려는 어떤**_ ♦_**기회_**도 제공받지 못한다. (**_브루너**_와 _**딘즈**_에 대해 _**반성적 사고가 결여**_되어있어 _**바닥수준에 머물러있다_**고 비판한대.)

Answer 187

(**_수여귀_ _전구각_**) **_프로이덴탈_**은 ♦수학적 개념이나 원리나 법칙이 ♦**_여러 가지 보기의 관찰**_로부터 _**귀납적으로 획득**_된다고 보는 ♦_**귀납의 논리**_(귀납적 이해)를 거부하고, ♦_**전형적인 보기로부터 곧바로**_ 그 ♦_**구조를 파악하여 획득_**된다고 보는 ♦**_각지_**(즉각적 이해)를 주장한다. (**_라카토스**_도 귀납의 논리를 거부한다고 볼 수 있다.) (다만, _**폴리아_**는 귀납의 논리를 거부하지 않는다.)

Answer 188

(**_구통동신전_**) **_곧바로_** 그 ♦**_구조에 대한 깊은_** ♦**_통찰을 제공_**해주면서 ♦**_동형인 다른 상황_**에 ♦**_신속하고 정확하게_** ♦**_전이 가능_**한 예를 말한다.

Answer 189

(**_어__1_ _심개우**_) (_**개맥심사**_) (_**현많_**) 프로이덴탈은 ♦**_어떤 현상을 조직하는_** ♦**_1차적인 수단_**은 심상이며, 이 ♦**_심상의 형성_**이 ♦**_개념 획득보다_**도 ♦**_우선_**되어야 한다고 주장한다. 즉, ♦**_개념의 형식화에 앞서_** 학습자로 하여금 개념이 **_발생한_** ♦**_맥락_**을 경험하게 하고, 개념에 대한 ♦**_심상을 구성_**하게 한 후, 계속적으로 ♦**_사고가 비약_**되도록 해야 한다. (맥락 → 심상구성 → 개념정의) 따라서 심상을 구성하고 개념화할 수 있는 ♦**_현상_**을 ♦**_많이 다루어보게 하는 것_**이 중요하다.

Answer 190

(**_학학부_ _정공_**) **♦****_학습자가 접하고 있는 영역_**에서 참이라고 인정되는 사실, 즉 **♦****_학습자의 실제_**로부터 시작해서 **♦****_부분적으로 조직화_**하는 것이다. (전문적인 수학자들이 수학을 창조하고 적용할 때 행하는 활동) **♦**정의와 공리로부터 출발하는 **♦****_공리체계로 조직하는 것_**이다.

Answer 191

(**_명필부의_ _안실**_) (_**수자수_**) 학생들이 스스로 ♦**_명제를 만드는 경험**_을 할 수 있고, _**조직화수단으로서의 증명의**_ ♦_**필요성**_이 _**자연스럽게**_ ♦_**부각**_되며 _**증명의**_ ♦_**의미를 이해**_할 수 있다. 이렇게 지도된 증명만이 _**수학적_ _‘**_♦_**안목__’**_이 되어 일상생활 및 과학의 도구로서 ♦_**실제적인 응용성_**을 갖게 된다. (역사발생의 발견과정을 경험해야 수학적 안목을 가질 수 있다.) **_수학화를 중요시하는 이유**_는 학생들에게 수학화 경험을 통해서 _**수학에 대한 보다**_ ♦_**수준 높은 이해**_와 ♦_**자신의 세계를 이해**_하는 데 _**수학적**_ ♦_**수단**_을 _**사용할 줄 알도록_** 하려는 것이다. (이는 곧, 현실 세계에 대한 관점에 영향을 미친다.)

Answer 192

교사가 준비한 정다면체인 입체도형과 그렇지 않은 입체도형의 상황에서 학생들은 ‘정다면체는 모든 면이 정다각형이다’라는 특성을 찾아 **_참이라 인정하고 있다_**. 이후 모든 면이 정다각형인 입체도형 중에 정다면체가 아닌 것도 있음을 구분하고 ‘한 꼭짓점에 모인 모서리의 개수가 모두 같다’라는 **_새로운 특성을 발명_**하면서 ‘모든 면이 정다각형이다’라는 **_특성에 추가_**하였다. 즉 ‘모든 면이 정다각형이다’라는 특성에서 부분적으로 ‘한 꼭짓점에 모인 모서리의 개수가 모두 같다’라는 특성을 추가하여 최종적으로 정다면체의 **_정의를 조직하는 활동_**은 국소적 조직화 활동에 따른 것이다.

Answer 193

(**_증이다_ _수언의_**) **♦_증명을 지도_**함에 있어서 **♦****_이해하지 못하는 상황**_을_**분석_**하였더니 기하 학습에는**♦**다섯 수준이 존재하며,**♦****_수준에 따라**_ _**서로 다른**_ _**독특한_ ♦_언어 구조_**가 있어 **♦****_의사소통**_에 많은_**어려움_**을 겪더라는 것이다. 이는 인류의 학습 과정과 개인의 학습 과정에는 **_동형성**_이 있다고 본 프로이덴탈의 학습 수준 이론이 _**입증되고**_ _**더욱 명백_**해졌다고 볼 수 있다.

Answer 194

(**_전인주**_) (_**주분인**_) (_**논추필여_ _간정**_) (_**연논공연형**_) (_**전여형_**) ① **_시각적 인식 수준**_: ♦_**전체적인 모양새로 도형을**_ ♦_**인식_**하며 도형의 성질에 ♦주목하지 않는 수준이다. ② **_기술적__/__분석적 인식 수준**_: _**도형의 성질에**_ ♦_**주목**_하며 도형의 성질을 ♦_**분석_**할 수 있지만, 도형들 사이의 포함관계는 거의 ♦인식하지 못하는 수준이다. (도형은 성질의 모임이다.) ③ **_관계적__/__추상적 인식 수준**_ (비형식적 연역 수준): _**도형의 성질이나 도형 자체가**_ ♦_**논리적으로 정렬되어 개념에 대한**_ ♦_**추상적 정의를 형성**_하고, _**개념의 성질에 대한**_ ♦_**필요조건과 충분조건을 구분**_하는 수준이다. 또한, ♦_**여러 도형 사이의 관계와 한 도형의 여러 성질 사이의 관계를 이해**_한다. 연역적 추론은 소규모로 또는 국소적으로 파악된다. 즉, ♦_**간단한 연역적 추론**_을 할 수 있다. (_**개념의**_ ♦_**정의_**를 비로소 올바르게 사용할 수 있다.) ④ **_형식적 연역 수준**_: ♦_**연역의 의의**_가 전반적으로 이해된다. 무정의 용어, 공리, 정의, 정리 사이의 ♦_**논리적인 차이점**_을 인식하고, ♦_**공리적 방법의 의의**_와 ♦_**연역적 추론**_을 이해하며 ♦_**형식적 증명_**을 구성할 수 있는 수준이다. (중학교 교과서에서는 무정의 용어나 공리를 다루지 않는다.) ⑤ **_엄밀한 수학적 수준_**: ♦**_전문적인 수학자의 수준_**으로 ♦**_여러 수학체계_**에 대하여 ♦**_형식적으로 추론_**할 수 있는 수준이다.

Answer 195

(**_관연_ _증__3__충**_) (_**귀_**) 제 3수준에서의 ♦**_관계망 구축_**은 제 4수준에서의 ♦**_연역적 추론의 필연적인 전제 조건_**이라고 할 수 있다. 따라서 ♦**_증명을 도입하기 이전**_에 학생들의 사고를 수준♦3에 이르게 하기 위한 ♦_**충분한 교수__·__학습 활동**_이 _**선행_**되어야 한다. (**_4__수준**_에서의 _**형식적인 연역추론**_을 지도하기 전에 ♦_**귀납추론**_과 같은 _**3__수준**_에서의 _**비형식적인 연역추론_**을 통한 정당화를 먼저 지도하는 것이 바람직하다.) (16기출- 양동)

Answer 196

(출처가 어디지.. 구별과 분류.. 구분을 못하겠는데;) ① **_어떤 도형의 예인 것과 아닌 것을 구별하기_** ② **_분류하기_** **_예를 들어**_ ‘_**여러 사각형**_ 중에서 _**평행사변형**_을 모두 찾아내기’, ‘_**여러 평행사변형**_ 중에서 _**마름모_**를 모두 찾아내기’가 있다.

Answer 197

(**_상불순**_) (_**발나교**_) (_**전수대**_) (_**수언**_) (_**서자요_**) 첫째, 수학적 사고는 ♦**_상대적인 수준**_이 있는 ♦_**불연속적인 활동**_으로, 모든 수준을 ♦_**순차적_**으로 거쳐서 발달하게 된다. 둘째, 한 수준에서 다음 수준으로의 ♦**_발달은_** ♦나이나 신체의 성숙보다 ♦**_교육의 내용이나 방법에 더 많이 의존_**한다. 셋째, **_수단의 대상화_**이다. ♦전 수준에서는 사고의 ♦수단이었던 것이 다음 수준에서는 사고의 ♦대상이 된다. **_대상_**이 분석의 대상이 되어 **_수단_**에 의해 파악하고 사고한다. 이러한 **_사고의 비약**_은 수학을 _**수학화**_로 규정한 _**프로이덴탈의 관점_**과 일맥상통한 면이 있다. (_**주변** **사물**_, **_도형**_, _**성질**_, _**명제**_, _**논리_**) 넷째, ♦**_수준의 상승_**은 ♦**_언어의 확장_**과 관계된다. (각 수준을 언어와 연결해서 해석하고 있다.) 다섯째, ♦서로 다른 수준에서 추론하는 두 사람은 서로를 이해할 수 없다. 이것은 **_교사**_와 _**학생**_ 사이에서 ♦_**자주 발생**_하는 현상이며 _**학습 지도**_를 _**어렵게 만드는**_ ♦_**요인_**이 되고 있다. (반힐레의 결론)

Answer 198

(**_가층처_ _촉각계**_) (_**스**_) (_**머되**_) (_**대선_ _신탐_ _표용_ _명정_ _관그개비_**) 반힐레의 학습 수준 이론의 ♦**_가치**_는 학생의 사고가 어떤 수준에 있는가 하는 학생 사고의 ♦_**층별화 보다**_는 _**교수를 위한**_ ♦_**처방_**에 있다. 따라서 교사가 한 수준에서 다음 수준으로의 **_이행을**_ ♦_**촉진**_시키기 위해서 ♦_**각 수준 안에서_** 교수를 ♦계열화하기 위한 교수학적 수단을 처방하였다. (이를 통한 **_수준의 비약**_은 교사의 _**일방적인 설명**_이 아니라 _**학습자**_ ♦_**스스로의 탐구 활동_**이 가장 중요한 요인이다.) (**_교사**_는 _**필요에 따라_ _몇 시간동안**_을 계속해서 _**특별한 단계**_에 ♦머무를 수도 있고, 또한 _**여러 단계**_를 몇 번이고 ♦_**되풀이_**할 수 있다.) ① **_1__단계 질의__/__안내단계**_: 교사와 학생 사이의 ♦_**대화를 통해**_서 _**새로운 학습주제를 소개**_하고, _**교사**_는 학습할 주제에 관한 학생의 ♦_**선행 지식**_을 _**파악_**한다. ② **_2__단계 안내된 탐구 단계**_: 학생은 ♦_**신중하게 계열화된 활동**_을 통해 _**새로운 학습주제의 특징에 익숙**_해지고, ♦_**탐구 분야의 구조**_를 _**점진적으로 파악**_한다. 이때 _**교사의 역할**_은 학생의 행동을 _**적절한 탐구**_로 이끌면서 _**학생 활동**_을 _**지시_**하는 것이다. 여기에서의 대부분의 활동은 특별한 반응을 유도하는 단일 단계의 과제이다. ③ **_3__단계 발전__/__명료화 단계**_: 안내된 탐구 단계에서 _**익숙해진 새로운 과제**_를 ♦_**표현하는 활동**_을 통하여 _**전문적인**_ ♦_**용어**_를 _**학습**_한다. (_**교사_**의 개입 최소) ④ **_4__단계 자유 탐구 단계**_: 학생은 _**문제해결적 성격**_을 갖는 보다 _**복잡한 과제에 도전**_하게 된다. 다중 단계의 과제나 여러 가지 방식으로 완수될 수 있는 과제이다. 그럼으로써 _**탐구 대상 사이**_의 _**많은 관계**_들이 학생들에게 _**더욱**_ ♦_**명확**_해지고, _**탐구 분야의 구조**_에 ♦_**정통_**하게 된다. ⑤ **_5__단계 통합 단계**_: 학생은 _**자신의**_ ♦_**관찰을 재검토하고 요약**_하며, _**대상과 관계의 새로운**_ ♦_**그물망 형성**_을 위해 그동안 배운 _**개념들의 관련성을 통합**_한다. 결국 학생은 _**탐구 활동을**_ ♦_**개관**_하여 _**전체를 조망**_하게 되면서 _**사고 수준의**_ ♦_**비약**_에 이르게 된다. _**교사**_는 학생이 이전의 활동을 반성하고 관찰한 것을 명료하게 정리할 수 있도록 _**전체적인 개관**_을 _**제시_**하면서 돕는다. (**_10__기출_**)

Answer 199

(**_행항나역_**) ① **_수학적사고의_ ♦_행동적 기원**_에 대한 _**해석**_ (반힐레는 _**구조개념**_이 _**행동**_으로부터 나오며 _**행동**_에 내재하여 _**분석과 명료화**_에 의해 _**보다 높은 사고 수준_**에 이른다고 지적한다.) ② **_수학적 사고 수준의_ ♦_항존성_**을 가정하고 있다. ③ **_인지적 발달 과정_**이 **♦****_나선적 교대작용**_을 통하여 이루어지는 것으로 파악하고 있다. 이 과정을 반힐레는 ‘_**수단의 대상화**_’로, 피아제는 ‘_**반사와 반성의 교대_**’로 설명하고 있다. ④ 복잡한 체계로 조직되는 비언어적 지식의 발달뿐만 아니라 **_자기 자신의 지식**_을 _**활동적으로 구성**_하는 _**학생의_ ♦_역할**_을 _**강조**_한다. 이때 활동에 의해 조직되는 체계를 피아제는 ‘_**쉠**_’으로, 반힐레는 ‘_**관계망_**’으로 나타내었다고 본다.

Answer 200

(**_내관더교_ _어적독새**_) (_**정_**) 반힐레는 ♦**_내용에 관한 것**_을 강조하면서 ♦_**관계망**_이 _**충분히 형성**_되었을 때, ♦_**더 높은 사고 수준**_으로 진전하므로 ♦_**교수__·__학습 과정**_이 수준의 발달에 _**지대한 영향_**을 끼친다고 보았다. 반면에 피아제는 ♦어떤 **_논리적인 조작**_은 그것이 ♦_**적용되는 내용과**_는 ♦_**독립적으로 발달_**하며 이러한 조작을 통해서 ♦새로운 수학 지식이 세워진다고 하였다. (예를 들어, 직사각형과 정사각형의 포함관계를 **_피아제**_는 그 각각의 ♦_**정의만 안다면**_ 연역해서 내면화할 수 있다고 본 반면, _**반힐레**_는 _**정의만으로는 충분하지 않으며**_ 그 사이의 _**관계망이 충분히 형성되고 난 후_**에야 알 수 있다고 보았다.)

Answer 201

(**_수이표지**_) (_**체삼현이_ _의변의손_**) **_학문수학**_의 내용을 _**학교수학**_에 도입할 때 _**학생들의_ ♦_수준을 고려_**하여 **♦****_이해를 돕기 위해_****♦****_표현을 변환하여 도입_**하고 **♦****_지도하는 과정_**에 주목하는 학문이다. 교수학적 변환론의 핵심적인 문제는 다음과 같다. ① **_교수_♦_체계**_를 교사, 학생의 이원적 관계가 아니라 _**교사_**_,_ **_학생_**_,_ **_지식_**의 **♦****_삼원적 관계**_로 고려할 때만,_**교육_♦_현상**_을_**올바르게_ ♦_이해_**할 수 있다. ② **_지식의 파손성**_: _**가르치려는_ ♦_의__도**_에 따라 _**지식이_ ♦_변__형**_될 때 _**지식의_ ♦_의__미**_가 _**상당히_ ♦_손__상_**될 수 있음에 주목해야 한다.

Answer 202

(**_선조_ _변_**)

Answer 203

(**_이표전_**) 브루소는 **_지식을_ ♦_이해_**하고 **♦_표현_**하고 **♦****_전달_**하는 과정 즉, 지식의 전달이나 공유의 과정을 개인화/배경화, 탈개인화/탈배경화의 과정으로 설명하였다. 개인화/배경화: **_개개인 나름대로의 지식 이해 과정_** 탈개인화/탈배경화: **_정돈된 지식의 표현 과정_** 개인화/배경화는 지식을 깨닫는 과정에서 주체가 스스로에게 행하는 ‘**_인식론적 투자**_’로 _**자신의 특정한 배경 속**_에서 _**개인적인 방법으로 지식을 이해하는 것**_ 즉, _**개인에게 의미 있는 지식이 형성되는 과정**_을 말한다. 다시 말해서 개인화/배경화는 _**수학적 지식의 이면에 들어있는 아이디어**_를 살려내어 다루는 것으로 ‘_**형식적 수학 지식**_’이라는 _**뼈대 위에 살**_을 입혀서 _**수학 지식의 맥락과 의미**_를 _**보다 풍부하게 하는 것_**이다. (수학 교실) 탈개인화/탈배경화는 특정 수학지식을 이해하는데 기여한 **_개인적 사고 과정**_이나 _**배경**_을 _**숨기면서**_ 자신이 인식한 지식을 _**형식적으로 표현**_하는 것 즉, _**방만하게 확장된 지식**_이 _**형식적으로 안정된 형태**_로 _**정돈되는 과정**_을 말한다. 다시 말해서 탈개인화/탈배경화는 _**이면의 아이디어를 살려낸 지식**_을 _**구조적으로 정돈**_하는 것으로 _**여러 가지 맥락**_과 _**개인적 의미**_를 _**제거**_함으로써 개인화/배경화된 지식을 _**형식적인 수학적 지식으로_ _이해_**하는 것을 의미한다. (수학 교실 (**_10__기출_**)

Answer 204

(**_형함배의_**) 함수의 연속에 대한 ♦**_형식적인 정의를 지도하기 전_**에 **_일상어와 그래프를_** ♦**_함께_** ♦**_배경화_**함으로써 함수의 연속의 ♦**_의미를 분명하게 이해하도록 돕고 있다._** 그 결과 학생은 함수의 연속에 대한 탈개인화/탈배경화하여 x=a에서 함수의 연속의 정의를 말할 수 있게 지도하였다.

Answer 205

(**_바올균_**) **♦_바람직한 교수학적 변환_**의 방향은 개인화/배경화, 탈개인화/탈배경화 과정에 대한 **♦****_올__바른 이해_**를 바탕으로**♦****_균__형 있게 조화_**시켜 나가는 것이다.

Answer 206

(**_수교수교**_) (_**교공논곧_ _탈혼어본**_) (_**교교힌스**_) (_**사특과잘_**) ① **_메타__-__인지 이동_** **♦_수학적 지식의 개인화__/__배경화에 주목_**한 나머지 **♦****_교__수학적 노력의 초점_**이**♦****_수__학적 지식 자체_**로부터 **♦****_교__수학적 고안물**_로 옮겨가는 것을 의미한다. (_**문제해결 지도**_에서_**발견술 자체가 지도 목적_**이 되는 것도 유사한 현상으로 이해할 수 있다.) (09-05기출) ② **_형식적 고착_** **♦_교수의 개인화__/__배경화 과정을 무시_**하고 **♦****_공__식화된 지식의 논리적 표현에만 의존_**하는 교수현상으로,**♦**논리적, 형식적으로 표현된 지식을**♦****_곧__바로 제시하고 연습시키는 것_**을 의미한다. 형식적 고착은, 교사가 **_논리적 과정이 압축된_ ♦_탈__배경화된 지식_**을 형식적인 방법으로 제시하여 학생들에게 있어서 **♦****_혼__란의 여지를 최소화하고자 할 때**_,_**발생할 위험_**이 있다. 형식적 고착은 학생들의 **_탈개인화__/__탈배경화 과정_**에서 생기는 **♦****_어__려움을 덜어줄 수**_는 있지만, 학생들이_**귀납적 탐구 활동**_과_**다양한 사고 실험의 결과**_로_**형성된 수학 지식의_ ♦_본__질**_을_**이해하는 데는 장애_**가 될 수 있다. ③ **_토파즈식 외면치레_** (탈배경화/탈개인화 측면 강조) (or 무시) **♦_교사는 가르쳐야 하고_ _학생은 배워야 한다**_는 소위 _**‘_♦_교수학적 계약__’__에 의한 압박_**에서 일어나는 전형적인 현상으로, **♦**힌트나 유도질문을 제시하여 학습자 **♦****_스__스로 지식 구성하는 걸 방해_**하는 현상이다. (학생이 학습할 수 있는 환경을 교사가 제거) (힌트, 정답 버튼) ④ **_조르단식 외면치레_** (탈배경화/탈개인화 측면 간과) **_학생의_ ♦_사__소한 행동을 보고_** 학생이 **♦**특정한 수학 지식을 형성했다고 **♦****_과__대평가_**하여**♦****_잘__못 판단_**하는 경우를 말한다.

Answer 207

(**_교수이분_**) **♦_교과서 저자_**가 교과서를 개발할 때, 그리고 **♦****_수학교사**_가 자신의 수업을 계획하고 반성할 때,_**훌륭한_ ♦_이론적 준거_**및**♦****_분석 틀_**로 기능할 수 있다.

Answer 208

(**_경성발이_**) **_인식론적_ ♦_경각심_**을 갖고서 자신의 수학 수업을 **♦****_성찰_**함으로써, 자신의 수학 수업에서 극단적인 교수현상이**♦****_발생하고 있는지**_, 발생하고 있다면 _**그_ ♦_이유는 무엇인지_**에 대해 지속적으로 성찰할 필요가 있다.

Answer 209

(**_어새개더_**) **♦****_어떤 특정한 맥락_**에서는 성공적이고 유용한 지식으로서 학생의 인지구조의 일부가 되어 있지만, **♦****_새로운_** **_문제해결_**이나 **♦****_개념 이해의 상황_**이나 **♦****_더 넓어진 문맥_** 등에서는 부적합해진 지식을 말한다.

Answer 210

(**_크_**) **_수 개념_**을 ‘♦**_크기_**’와 **_연관짓는 것_**은 자연수를 학습하는 상황에서는 유용한 생각이지만, (**_양_**, **_개수_**?) 음수를 학습하는 상황에서는 부적합해진 지식이 된다.

Answer 211

(_대_) **_수의_** **♦****_대소 관계_**를 비교할 수 있다는 것은 실수를 학습하는 상황에서는 유용한 생각이지만, 복소수를 학습하는 상황에서는 부적합해진 지식이 된다.

Answer 212

(**_개운_**) 용재는 양수와 음수가 교대로 반복되어 나타나므로 수열이 진동한다는 ♦**_개념이미지를 먼저 떠올린다_**. 또한 좌표평면 그래프에 나타난 수열의 각 항이 반복되어 나타나는 상황을 ♦**_운동은유_**에 의해 진동한다고 하는 인식론적 장애를 겪고 있다.

Answer 213

(**_아직_ _예실수_**) ♦아무리 작은 양이지만 계속 무한히 더하다보면 한없이 커질 것이라는 ♦**_직관에 의해 인식론적 어려움_**을 겪게될 것이다. 이때 **_교과서의_** ♦**_예_**를 통해 **_무한급수의 합의_** ♦**_실체_**가 **_존재_**한다는 것을 **_인식_**하게 하여 **_기존의 직관_**을 ♦**_수정_**하는데 도움을 줄 수 있다.

Answer 214

(**_자새부_ _이관일**_) (_**직논무_ _어논형이**_) (_**무이일논**_) (_**화수운_**) ① **_일상어의 영향_** **♦_자생적 관념인 용어의 일상적인 의미_**가 **♦****_새__롭게 도입된 수학적 개념과 뒤섞여서_ ♦_부__적절한 개념이미지를 형성_**하게 되어 수학학습에 장애로서 작용하게 되는 것이다. 자생적 관념이란 교사의 지도 **♦**이전에 학습자가 가지고 있는 **♦_관__념_, _직관_, _이미지_, _지식_, _사용될 용어의 구어적 의미_**와 같이 **♦****_일__상생활을 통한 경험에서 오는 많은 생각_**을 말한다. ② **_직관의 영향_** 실제적인 여러 가지 수학적 사고는 직관적으로 이뤄지지 않을 수 없다고 하더라도, **_수학_**은 **♦****_직__관을 배제_**하고**♦****_논__리적__,_ _형식적으로 전개되는 사고 패턴_**으로 특히 직관은 **♦**무한 개념이나 극한 개념의 학습에 장애가 된다. 수학에서는 **♦****_어__떤 대상의 존재성을 인정할 때_ ♦_논__리적 무모순성이 기준_**이 됨을 알게 하여, 학생들이**♦****_형__식적인 수학적 가치_**를 알게 하는 과정이 필요하다. 피셔바인은 이것을 **♦****_이__차적 직관의 형성**_이라고 하였다. (_**일차직관**_을 통해_**인식론적 장애_**를 가진 학생) ③ **_과도한 일반화의 영향_** 유한적인 인간이 경험할 수 없는 **♦****_무__한의 세계**_에_**접근_**하여**♦****_이__해_**하기 손쉬운 방법의 하나가 **♦****_일__반화와 유추**_이지만, 정작 무한의 세계에는 일반화와 유추가 성립하지 않으며_**무한은_**‘**♦****_논__리적으로**_’ _**이해되어야 하는 개념_**이다. (**_유한에서만 성립하는 성질**_의 _**무한으로의 일반화와 유추_**는 장애의 요인으로 작용한다.) ④ **_은유의 영향_** 은유는 일상적인 사고에서와 마찬가지로 수학에서도 의미를 이해하고 전달하는데 중요한 수단이다. 특히, 함수와 수열의 극한에서는 운동에 대한 은유로부터 많은 의미를 전달받고 있다. 가령, **♦**화살표를 사용하여 극한 명제를 표현하고 있고, ‘**♦**수렴한다’, ‘발산한다’, ‘증가한다’, ‘일정하다’, ‘변화한다’ 등과 같은 **♦**운동은유가 역할을 한다.

Answer 215

(**_발장보원수**_) (_**자불반배_**) 첫째, **_수학적 사고의_** **♦****_발달 과정_**은 **♦****_장애의 극복 과정_**이라고 할 수 있으며, 장애를 극복함으로써 **♦****_보다 높은 새로운 차원의 이해가 가능_**해지므로, 교사는 **♦****_원활한 교수학적 의사소통**_을 위해서_**인식론의_ ♦_수정**_이_**필요_**하다. (인식론적 장애 형성에 영향을 미치는 요인은 **_지식의 본질과 관련**_하여 _**불가피한 것일 수**_ 있으므로 이를 인식, 조절, 제어, 극복 등을 통한 _**교수학적 처치**_는 _**중요한 사안_**이다.) (수학의 역사적 발생과정에서 나타난 인식론적 장애가 학생들에게도 **_매우 유사**_하게 나타나고 있으므로, 수학사에서 나타난 _**인식론적 장애를 분석**_하는 것은 _**수학 학습 지도를 개선_**하는데 **_도움_**이 될 수 있다.) 둘째, 교사는 **♦****_자신의 교수 결과_**가 **♦****_불완전_**할 뿐만 아니라**♦****_반박될 수 있는 지식_**이라는 점을 받아들여 **_자신의 풍부한_****♦****_배경화를 구축해가야_** 한다.

Answer 216

(**_행공타제_ _암의정승_**)

Answer 217

(**_핵관명_ _목요_**) 관계적 이해와 도구적 이해와 비슷하다. 개념적 지식은 ♦**_핵심 개념들_**과 **_각 개념들_** 간의 ♦**_관계성을_** ♦**_명확하게 이해하는 것_**이다. 절차적 지식은 어떤 특정한 ♦**_목표를 달성_**하는데 ♦**_요구되는 절차_**에 관한 지식이다.

Answer 218

(**_해관여_**) 수학학습을 토대로 특정한 과제나 주제에 대해서 자료를 수집하고, 분석, 종합, 해결하는 과정과 결과를 평가하는 방법으로 열린반응을 요구하는 개방형 문제의 수행과제를 제시한다. 이때 **_개방형 문제_**란 ♦**_해답이 정해져 있지 않고_**, **_문제해결자의_** ♦**_관점에 따라_** ♦**_여러 가지 답이 나올 수 있는 문제_**를 말한다.

Answer 219

(**_실구다사**_) (_**수과현**_) (_**구이_ _수발새구**_) (_**복다어다반**_) (_**산대신본_ _오반_**) 첫째, ♦**_실제경험의 연결_**이다. (제한적이었던 문제의 영역으로 인해 수학을 현실과는 유리된 것으로 잘못 파악하게 되었다.) **_실생활 문제해결의_** ♦**_수단이 되는 복잡한_** ♦**_과정_**은 공학적 도구를 이용하여 해결할 수 있으므로 ♦**_현실과의 관련성이 충만한 문제_**를 다룰 수 있게 된다. (수학적 안목) (통계) (**_지필환경에서 다루기 어려운 현상_**에 대한 탐구가 가능하므로 **_개념의 의미_**를 **_더 잘 이해_**할 수 있다.) 둘째, **_수학적 대상과 관계의_** ♦**_구체화_**이다. 수학적 대상과 관계를 공학적 도구를 통해 ♦구체화하여 보여줌으로써 **_개념의_** ♦**_이해_**를 도울 수 있다. 이는 딘즈가 주장하는 ‘♦**_수학적 다양성의 원리_**’와 관련된다. (♦발라세프 ‘♦**_새로운 경험적 수학 현실주의_**’라고 명명) (컴퓨터의 탐구학습 환경의 가장 큰 특징 중의 하나는 ‘♦**_구체적__-__추상적 대상**_’이다. 컴퓨터 화면에서 _**실제로 존재하는 것처럼**_ 볼 수 있고 다룰 수 있다는 의미에서 _**구체적**_이라고 할 수 있으며, 컴퓨터 구현에 따른 산출물 내지 결과가 _**수학적 구성물**_이라는 의미에서 _**추상적_**이라고 할 수 있다.) 셋째, ♦**_다양한 표현체계의 연결_**이다. ♦**_복잡한 수학 아이디어**_의 ♦_**다양한 측면**_을 드러낼 수 있다는 것과 ♦_**어떤 표현 체계에서의 행동의 결과**_를 ♦_**다른 표현 체계를 통해서 보여줌**_으로써 그 _**행동의 의미를**_ ♦_**반성_**하도록 할 수 있다. (대수적 표현과 기하적 표현 등이 **_한 화면에서 연결_**되어 **_다양하게 변화_**시켜봄으로써 이들 사이의 관계를 이해할 수 있다.) 넷째, ♦**_사고력 중심의 수학교육 추구_**이다. ♦산술적인 계산과 ♦대수적인 문자식의 처리를 ♦**_신속하게 수행_**해줌으로써 ♦**_본질적인 사고력 중심의 교수·학습 활동에 전념_**할 수 있게 해준다. 또한 ♦**_오류수정활동_**은 ♦반영적 추상화 활동에 기여하여 수학적 사고력을 향상시킨다. (컴퓨터 프로그래밍 활동은 학생이 가지고 있는 수학 지식을 절차적 지식 형태로 변환하는 과정)

Answer 220

(**_의공부**_) (_**개활의변_**) ① ♦**_의도된 내용상의 변화**_로서, ♦공학적 도구로 인해 _**새롭게**_ ♦_**부각된 전문 수학의 내용_**을 말한다. (위험성 미미) (컴퓨터는 **_이론**_과 _**실험**_이라는 전통적인 학문의 _**두 패러다임**_에 _**계산**_이라는 _**새로운 패러다임**_을 추가하였는데, 이는 수학자가 _**수학적 모델을 이용한 시뮬레이션을 통해**_서 세계를 _**수학적으로 해석하는 관점을 얻는 방식_**을 말한다.) ② 수학교육용 **_컴퓨터 소프트웨어를**_ ♦_**개발**_할 때나 _**개발된 프로그램을 실제로**_ ♦_**활용**_할 때 ♦_**의도되지 않은 곳**_에서 수학교육의 내용이나 성격이 ♦변할 수 있다는 것을 말한다. (_**프로그래머의 전문적 식견_**이 문제가 된다.)

Answer 221

(**_방정주허_**) 교육용 컴퓨터 소프트웨어는 **_교수_ ♦_방향_**을 어느 정도 **♦**정해놓았는가와 **_학생의 학습_ ♦_주도권_**을 어느 정도 **♦**허용하느냐에 따라 분류된다. 크게 ‘개인 교사형’, ‘학생 주도형’, ‘보조도구형’의 세 가지로 분류되어 왔는데, 최근에는 학생주도형과 보조도구형이 결합된 ‘탐구 학습형’ 소프트웨어가 널리 사용되고 있다. (컴퓨터 보조학습 CAI Computer Assistant Instruction)

Answer 222

(**_역대__G_ _보_ _본_**) 전통적인 **_교사의_ ♦_역할**_을 _**컴퓨터가_ ♦_대신**_하는 양식으로서 여기에서 컴퓨터는 _**정교한 교수 기계_**로 사용된다. 대부분의 컴퓨터 보조학습용 소프트웨어가 여기에 속한다, **♦**Geometry Tutor (기하문제에 대한 수학적인 증명과정) 학생들의 **_학습은_ ♦_보장**_하지만, 지식에 대한 학생들의 _**견해를 표현할 수 없고**_, _**명확한 이해 없이도 학습이 진행**_될 수 있기 때문에 _**지식 이면에 들어있는 의미의_ ♦_본질에 대한 이해_**를 보장하지는 못한다는 단점이 있다.

Answer 223

(**_지__LB_ _프결반나_**) 학생이 **_컴퓨터를_ ♦_지도**_하는 역할을 한다. 학생은 _**자신이 구성하여 입력**_하는 _**일련의 논리적인 단계_**를 통해 컴퓨터가 행동을 수행하도록 컴퓨터를 **♦****_프로그램__(__지도__)__하고_**그**♦****_결과를 살펴봄**_으로써 자신의 _**사고 과정을_ ♦_반성_**하게 하고, **♦**나중의 **_수학 학습에 도움_**을 얻게 된다. (**♦**LOGO, **♦**BASIC 과 같은 간단한 프로그래밍 언어를 이용)

Answer 224

(**_알구_ _탐창_ _오메_**) ① ‘♦**_알고리즘**_’적으로 사고하고, ♦_**구조적_**으로 사고하는 것을 학습한다. ② ♦**_탐구학습**_을 통하여 ♦_**창의적 사고_**를 형성할 수 있다. ③ ♦**_오류수정활동**_을 통하여 ♦_**메타 인지적 능력_**을 향상시킨다.

Answer 225

(**_그문데절__MMC_ _기수숙장_**) 이용 범위가 가장 넓고 현재 가장 활발한 연구가 진행되고 있는 분야로, ♦**_그래프**_를 그릴 수 있고 ♦_**문자 연상**_이 가능하며 ♦_**데이터를 분석**_하고 _**수학적인**_ ♦_**절차_**를 수행하는 소프트웨어를 사용하는 상황을 말한다. (♦**_Maple_**이나 ♦**_Mathematica_**와 같은 **_기호 조작 소프트웨어_** ♦**_CAS_** Computer Algebra system) (스프레드시트, 워드프로세서, 데이터베이스, 그래픽 패키지 등의 일반적인 소프트웨어도 이용 가능하지만 성인들의 업무용이므로 교육적 이용에는 한계) (엑셀은 스프레드시트의 하나) 컴퓨터가 수행해주는 ♦**_기호 조작**_이 _**교수__·__학습의 목적에 도달하기 위한**_ ♦_**수단**_으로 작용하는 경우에만 사용해야 하며, 학생들이 _**기호 조작**_과 같은 기능을 _**충분히**_ ♦_**숙달하기 전**_에는 오히려 _**학습에**_ ♦_**장애_**가 될 수 있다.

Answer 226

(**_학보__LCG_**) **♦_학생 주도형_**과 **♦****_보조 도구형_**이 결합된 양식이다. (**♦**LOGO) (**♦**Cabri-Geometry,**♦**Geometer’s SketchPad(GSP)는 학습자가 새로운 대상과 도구를 구성할 수 있게 해주는 컴퓨터기반 기하 탐구학습 환경이다.)

Answer 227

(**_구시형연**_) (_**목어한토**_) (_**성감_ _책역_ _적바_**) **♦****_구체적이고_** **♦****_시각적인 활동_**은 **_반드시_** **♦****_형식적 증명과_** **♦****_연결되어야 한다_**. (그렇지 않으면 **_형식적 증명의 내용과 성격_**을 **_구체적이고 귀납적인 것**_으로 _**변질시키는 결과**_를 _**초래_**할 것이다.) 첫째, 공학적 도구를 수학 교수·학습에 도입함에 있어서 그 **♦****_목적을 명확하게_** 할 필요가 있다. 즉, **_수학 지식의_** **♦****_성격을 변형하거나 왜곡할 위험성_**은 없는지에 대해 끊임없이 **♦****_감독하고 통제_**해야 한다. 둘째, 수학 교수·학습의 **_어느 단계_**에서 **_어떤 공학적 도구_**를 **♦****_어떻게 사용_**할 것인가의 문제가 중요한 문제로 부각된다. 이 문제를 가장 **_구체적으로 고민하고 판단_**해야 할 **♦****_책임이 교사_**에게 주어지므로 **_교사의_** **♦****_역할_**이 더욱 중요하게 부각된다. 셋째, 공학적 도구의 **_교육적_** **♦****_한계_**를 분명하게 인식해야 한다. **_그_** **♦****_적용이 타당하지 않는 영역_**에까지 공학적 도구를 무리하게 활용하려는 시도는 교육적으로 **♦**바람직하지 못하다는 것을 인식해야 한다. (학교수학의 내용 자체를 **_공학적 도구에 맞게 재조직**_하자는 _**극단적인 주장**_으로까지 연결될 수 있다.) (_**분수보다는 소수**_) (연속수학이 아닌 _**이산수학 중심**_) (_**목적과 수단**_을 _**혼동하는 오류_**를 범할 수 있다.) (원주율 ㅠ와 같은 **_무리수의 참값**_을 컴퓨터에 _**입력할 수 없다**_는 사실을 인식하도록 함으로써 _**무리수 개념**_을 _**암묵적으로 도입_**할 수 있다.) 넷째, 가르치고자 하는 수학 지식에 **♦**토대를 두고 이루어져야 한다.

Answer 228

(**_직탐_ _형**_) (_**직오_**) 폴리아가 제시하고 있는 문제이해 단계의 발문과 권고인 ‘그림을 그려 보아라’는 그림을 그려서 문제 상황에 대한 이해를 돕기 위한 것이다. 이처럼 시각화 자료 활용의 긍정적인 효과는 **_문제_** 혹은 **_수학적 개념에 대한_** **♦****_직관적 이해_**를 도울 수 있을 뿐만 아니라 **_다양한 문제해결 전략을_ ♦_탐색**_하는 데에도 도움을 줄 수 있다. (단, _**구체적이고 시각적인 활동은_ _반드시_ ♦_형식적 증명과 연결되어야 한다_**.) 반면 시각화 자료 활용의 부정적인 효과는 **♦****_직관적인 판단의 상황에서_** **♦****_오류를 일으킬 수 있는 가능성을 내포_**하고 있다는 것이다. 그림 A에서는 위쪽의 선분이 더 길어보이고 그림 B에서는 가운데 두 직선이 서로 평행하지 않은 것으로 보인다. 따라서 이 경우 논리 수학적인 분석과 확인이 요구된다.

Answer 229

(**_이반중효_**) **_수학적 개념을_** **♦****_이해하기 위하여_** **♦****_반복적인 과정을 필요로 하는 경우_**에 그러한 반복적인 **♦****_중간 과정을 신속하게 처리_**해줌으로써 학생들이 **_시간을_** **♦****_효율적으로 사용_**할 수 있게 해준다.

Answer 230

(**_자목원_**) **_기호 조작 그_** **♦****_자체_**가 **_교수학습의_** **♦****_목적인 경우_**에는 **_사용해서는 안된다_**. 계산하는 능력 배양, 즉 **_계산_****♦****_원리를 바탕_**으로 한 기호 조작학습을 고려해야 한다.

Answer 231

(**_반국사_**) 공학적도구의 활용은 본질(개념이나 정의)을 처음부터 학생들에게 제시하는 ♦**_반__교수학적 전도의 대안**_으로서 또는 ♦_**국__소적 조직화 활동을 위한 도구나 수단**_으로서 의미를 갖는다. _**수학적**_ ♦_**사__고력 증진_**이라는 수학교육의 목적 추구를 위한 강력한 수단이다.

Answer 232

(**_벗가경_**) 교육과정을 ♦벗어난 **_심화내용을 평가하지 않도록_** 안내하는 **_평가의_** ♦**_가이드라인_**을 제공하여 **_수학 학습 부담_** ♦**_경감을 실현_**하기 위한 것이다.

Answer 233

(**_시선효_**) **_수업의_** **♦****_시작 단계_**에서 학생의 **♦****_선수학습 내용을 확인_**하는 데에 목적이 있는 것으로, 교사가 학습을 위한 **_가장_** **♦****_효율적인 시작점에 학생을 배치_**할 수 있도록 도움을 준다.

Answer 234

(**_진안확올_**) **_수업을_** **♦****_진행하고 있는 과정_**에서 **_교수·학습을_** **♦****_안내_**하는데 목적이 있는 것으로, 교사가 학생들의 **_진행정도나 향상 상태를_** **♦****_확인_**하고 수업을 **♦****_올바른 방향_**으로 진행하는 데 **_도움_**을 준다.

Answer 235

(**_마발결_**) **_수업을_** **♦****_마무리한 상황_**에서 학생의 **♦****_발전 상태를 확인_**하는데 목적이 있는 것으로, 한 단원의 교수 활동에서 **_목표로 한 바를 학생들이 도달했는가를_** **♦****_결정_**하기 위해 수행된다.

Answer 236

(**_발다문정_**) ① ♦**_발달적 교육관_**을 중시하는 평가 (준거지향평가) (선발적 교육관) ② ♦**_다양한 평가 방법을 수반_**하는 평가 ③ ♦**_문제해결 과정_**을 중시하는 평가 ④ ♦**_정의적 영역 능력_**을 중시하는 평가

Answer 237

(**_ae**_) (_**결정비형_ _결가_**) ① ♦**_a__ssessment**_의 의미는 _**교수학적**_ ♦_**결__정**_을 내리기 위해 학생들에 대한 ♦_**정__보를 수집하는 과정**_을 말하는 것으로, 관찰, 대화, 토론과 같은 ♦_**비__형식적인 방법**_과 시험, 과제와 같은 ♦_**형__식적인 방법_**을 통해서 가능하다. ② ♦**_e__valuation**_의 의미는 ♦_**결__정을 내리고**_, ♦_**가__치를 부여하고_**, 가치 있는 것이 무엇인지 결정하는 과정을 의미하는 것으로, 시험을 보는 것은 assessment라고 하더라도 이에 대해 성적을 부여하여 이 학생의 성취도 수준을 결정하는 것은 evaluation에 해당한다.

Answer 238

(**_인정**_) (_**문채예_ _요기_**) **♦****_인지적 영역의 평가_**에서는 주로 **_지필검사_**를 위한 **_평가_** **♦****_문항 개발_**, **♦****_채점 기준 및_** **♦****_예상 답안_** **_작성_**을 말하며, **♦****_정의적 영역의 평가_**에서는 주로 **_관찰 및 면담_**을 위한 **_평가_** **♦****_요목 개발_**, **♦****_기록 방법작성_** 등을 일컫는다.

Answer 239

(**_과제지_**) **_평가도구의 개발_** **♦****_과정_**에서 **_고려해야 할_** **♦****_제반 항목_**에 대한 **♦****_지침, 안내, 준거가 되는 사항_**을 말한다.

Answer 240

(skip) ① 수학과 행동 분류표 작성 ② 과제 분석 ③ 이원 분류표 작성 ④ **_목표의 상세화_** ⑤ **_평가 문항 개발_**

Answer 241

(**_목영_ _틀도_ _실가채_**) ① 평가 ♦목적 설정 ② 평가 ♦영역 및 목표 선정 ③ **_평가_**♦**_틀 개발_** (평가 방법 선정) ④ **_평가_**♦**_도구 개발_** ⑤ 평가 ♦실시 “♦**_가채점_**” ⑥ ♦채점 및 결과 보고

Answer 242

(**_모실가검_**) ① ♦모범답안 및 채점 기준 작성 ② 평가 ♦실시 ③ ♦**_가채점 실시_** ④ 채점 기준 ♦검토 및 수정

Answer 243

(**_사문과푸_ _억고_ _고_**) **_지필검사_**로 학생들의 ♦**_사고력_**, 또는 ♦**_문제해결력 향상_**을 위해서는 **_풀이_**♦**_과정에 중점_**을 두어 **_문제를_** ♦**_푸는 활동_**이 필요하고 이러한 풀이과정의 평가는 **_서술형 검사 양식_**에 의해 보다 적절히 이루어질 수 있다. 객관식 문항의 지필검사는 학생들의 **_비판적, 창의적 사고의 함양을_** ♦**_억제_**하고 **_잘못된 학습 방법을_** ♦**_고착_**시킬 가능성이 높은 반면, 서술형 문항의 지필 검사는 **_분석, 비판, 종합_** 등의 ♦**_고등 정신 기능들을 평가하는 데 유리_**하다.

Answer 244

(**_고피개_**) 첫째, 주어진 문제를 해결하는데 필요한 **_다양한 종류의 지식과 자료**_를 _**수집**_하고 _**분석**_, _**비판**_, _**종합**_하는 등의 ♦_**고등정신 기능_**들을 평가하는데 유리한다. 둘째, 학생들의 오개념이나 어려움을 파악하여 **_적절한**_ ♦_**피드백**_을 _**제공_**할 수 있다. 셋째, 학생들의 오개념이나 어려움을 파악하여 **_자신의 수업**_을 ♦_**개선_**할 수 있다.

Answer 245

(**_주필단점**_) (_**간내_ _많_**) **♦****_주어진 문제를 해결_**하는데 있어서 **♦****_필요한 단계(과정)을 구체화_**하여 각 **♦****_단계별로 채점 요소_**를 세우고 **♦****_점수를 배당_**하는 방법이다. 장점은 채점자 **♦**간의 **_평점 차_**를 줄이고, 동일한 채점자 **♦**내에서도 **_일관성 및 객관성_**을 유지할 수 있다는 것이고, 단점은 학생 개개인의 답안지를 면밀히 분석해야 하므로 채점하는 데 **♦****_많은 시간_**을 필요로 한다는 것이다. (**_문제이해_**, **_계획실행_**, **_답구하기_**) (계획실행=**_해결과정_**=**_문제해결_**)

Answer 246

(**_영세_**) 첫째, 어떤 **_특정요소_**에 대한 **_채점 결과_**가 **_다른 요소_**에 대한 **_채점 결과_**에 ♦**_영향을 주어서는 안된다_**. 둘째, 각 문항마다 **_채점 요소를 너무_** ♦**_세분화하지 않도록 한다_**.

Answer 247

(**_전하**_) (_**신날_**) 분석적 점수화하기와 다른 방법으로, **_풀이_** **♦****_전반_**에 걸쳐 **♦****_하나의 점수를 부여_**하는 방법이다. 장점은 학생들의 답안에 대하여 비교적 **♦****_신속한 평가_**를 할 수 있다는 것이고, 단점은 학생의 **_특정한 장점이나 단점_**을 **♦**날카롭게 지적하지 못한다는 것이다. (첨부된 사진은 각각 17기출, 03기출)

Answer 248

(**_요생부미_**) **_채점 기준의_ ♦_요소_** 중에서 채점자가 **♦****_생각하지 못했던 채점 요소_**나 또는 **♦****_부적절하게 배당된 요소별 점수_**가 있는지를 **_검토하고_** **♦****_미비한 부분을 보완하고 수정_**할 수 있다.

Answer 249

(**_정신동**_) (_**흥호불_ _수가귀_ _목효조_**) ♦정서: ♦**_흥미**_, ♦_**호기심**_, _**수학**_♦_**불안_** ♦신념: ♦**_수학관**_, ♦_**가치_****_인식**_, ♦_**귀인_** ♦동기: ♦**_목표 지향성**_, _**자기**_ ♦_**효능감**_, _**자기**_ ♦_**조절력_**

Answer 250

(**_열개**_) (_**해관여_**) 수학 학습을 토대로 특정한 주제나 과제에 대해서 자료를 수집하고, 분석, 종합, 해결하는 과정과 결과를 평가하는 방법으로 ♦**_열린반응을 요구_**하는 ♦**_개방형 문제의 수행과제_**를 제시한다. 이때 **_개방형 문제**_란 ♦_**해답이 정해져 있지 않고**_, _**문제해결자의**_ ♦_**관점에 따라**_ ♦_**여러 가지 답이 나올 수 있는 문제_**를 말한다.

Answer 251

(**_주개_ _연가_ _협의_**) ① ♦**_주제 및 진행 과정**_을 _**개별화 또는 차별화**_하여 ♦_**개성에 맞게_** 다룰 수 있다. ② **_다른 교과 내용과의**_ ♦_**연계성**_에 따라 _**수학적**_ ♦_**가치의 인식_**이 가능하다. ③ **_소그룹**_ ♦_**협동학습**_을 통해 ♦_**의사소통 능력_**을 신장시킬 수 있다.

Answer 252

일정기간 동안 수학학습 수행과 그 결과물을 평가하는 방법으로, 학생의 학습내용 이해와 수학교과 역량을 종합적으로 판단하고 학생의 성장에 대한 정보를 얻는데 활용할 수 있다.

Answer 253

(**_점원총진_ _자맹_ _다의_**) ① **_시험_ ♦_점수에만 의존**_하기보다는 _**평가의 다양한_ ♦_원천_**을 토대로 학습자를 **♦****_총체적으로 평가**_하기 위한 방법으로_**기존의 평가_**에 비해**♦****_진일보한 평가방법_**이 될 수 있다. ② 학생들의 **♦****_자기평가 기능**_을_**발전**_시켜 줌으로써_**학점을_ ♦_맹신하지 않도록_** 해줄 수 있다. ③ 교실에서 발생하는 **♦_다양한 수학학습_**에 관하여 학생, 학부모, 교사 간의 훌륭한 **♦****_의사소통 수단_**이 될 수 있다.

Answer 254

(**_점불_ _특구전진논_**) **♦_점수화,_ _수량화하는 방법**_은 _**현실적으로_ ♦_불가능_**하므로, **♦****_특정한 행동측면**_을_**중심_**으로 포트폴리오의**♦****_구성물들을 검토_**하여 학생의 진전, 발달 정도를 교사의 **♦****_전문적 판단_**에 따라**♦****_진술문의 형태_**로 기술하는 **♦****_논평으로 처리하는 방법_**을 이용한다.

Answer 255

(**_독다보_**) 우리나라 교육현실을 감안할 때, ♦**_독자적인 평가기법으로서의 역할보다**_는 ♦_**다른 평가기법에 의한 결과**_를 _**점검하고 보완하는**_ ♦_**보조역할_**의 의미가 더 크다.

Answer 256

(**_인정_ _양심_**) 첫째, 수학적인 수행 능력과 같은 ♦**_인지적 영역뿐만 아니라_** 수학에 대한 태도와 신념 등 ♦**_정의적인 영역까지도 평가_**할 수 있다. 둘째, 검사를 통해 ♦양적으로 확인할 수 있는 **_학생의 수학적 능력이나 사고_**에 대하여 **_보다_** ♦**_심화된 자료_**를 얻을 수 있다.

Answer 257

(**_일체평**_) (_**행간_ _분표_ _척분_**) ① ♦**_일화기록법**_: 한 개인을 대상으로 _**구체적인**_ ♦_**행동 사례**_를 ♦_**간략하게 기술_**하는 방법이다. ② ♦**_체크리스트**_: 관찰 또는 면담하려는 _**행동 단위**_를 _**미리**_ ♦_**분류**_하고, 이것을 기초로 그러한 행동이 나타났을 때 ♦_**표시_**하는 방법이다. ③ ♦**_평정척도법**_: 관찰 또는 면담하는 대상을 _**일정한**_ ♦_**척도**_에 따라 ♦_**분류하고_ _측정_**하는 방법을 말한다.

Answer 258

(**_내인정**_) (_**계이추문의_**) **_이차원 구조_**: 수학적 내용, 인지적 행동 영역 (행동영역: ♦**_계__산**_, ♦_**이__해**_, ♦_**추__론**_, ♦_**문__제해결**_, ♦_**의__사소통_**) **_삼차원 구조_**: 수학적 ♦내용, ♦인지적 행동 영역, ♦정의적 행동 영역

Answer 259

(**_사기_ _사본포경_ _선출추관_**) ① ♦**_사물에 의한 방법**_: 수 개념을 ♦_**사물 자체**_가 가지고 있는 ♦_**본질적인 특성**_이라 보고, 인간이 _**그것을**_ ♦_**포착**_하기만 하면 추상화될 수 있는 것이라 생각하는 ♦_**경험론**_적인 방법이다. (학습자의 _**사고 활동**_이 _**사물이나 그림에 고착**_될 위험이 있다는 한계 → _**수동적인 관찰_**) ② ♦**_기호에 의한 방법**_: 수를 이루는 _**기초적인 개념**_은 ♦_**선천적으로 타고나는 것**_이라 보고, _**이를**_ ♦_**출발점**_으로 하는 _**추상적인**_ ♦_**추론과정**_만 있으면 수 개념을 형성할 수 있을 것이라 생각하는 ♦_**관념론**_적인 방법이다. (수 개념이 _**현실과는 유리된 공허한 기호**_로만 학습될 가능성이 있다는 한계 → 숫자를 _**맹목적**_이고 _**기계적_**으로 다루는 것을 강조)

Answer 260

(**_원사인활_**) 수 개념이 추상화되는 ♦**_원천_**을 ‘♦**_사물 자체**_’로 보거나 ‘♦_**인간의 정신**_’만으로 보는 대신 ‘_**사물에 대한 인간의**_ ♦_**활동_**’으로 보았다.

Answer 261

(**_속추인추_ _분서_**) 수 개념은 **_사물의 ♦속성**_을 _**♦_****_추상_함**으로써 얻어지는 것이 아니라**_사물에 대한 ♦인간의 활동**_을_**♦_****_추상**_함으로써 형성되는 것으로 보았다. (수 개념의 구성에서 필수적인 역할을 하는 활동은 구체적인 대상에 대한 _**분__류 활동**_, _**서__열화 활동_**이다.) (수 개념 지도에서 **_포함관계에 의한 집합**_의 _**분류 활동**_과 _**서열화 활동**_에 대한 _**반영적 추상화_**를 강조한다. 12기출)

Answer 262

(**_한측_ _추수제_ _측반성**_) (_**모명변관_**) 수 개념은 ♦**_한계 상황의 인식에서 비롯**_되는 ♦_**측정활동_**에 의해 생겨난다고 보았다. 수 개념을 처음부터 ♦**_추상화된**_ ♦_**수학적 대상**_으로 ♦_**제시**_하는 것이 아니라 ♦_**측정활동**_을 통하여 ♦_**반성되고**_ ♦_**성장되는 것_**으로 지도해야 한다고 보았다. 측정활동이란 ‘♦**_모호한 전체**_’를 ‘♦_**명확한 전체**_’로 만드는 과정이고, 그 과정은 ♦_**변별**_(분석)과 ♦_**관계짓기_**(종합)의 두 하위조작을 포함한다고 설명한다. (두 가지 활동의 상보적인 수행과 변증법적인 통합이 요구)

Answer 263

(**_모_ _도단_ _명측**_) (_**저의한_ _능_ _반재정_**) ① ♦**_모호한 전체**_(명확히 규정될 필요가 있는 한정된 크기나 양): 생활 중에 인간의 활동이 _**어떤**_ ♦_**저항**_을 겪게될 때 ♦_**의식**_하게 되는 ♦_**한계상황**_이다. (문제해결에서의 첫 단계 즉, _**탐구**_와 _**사고**_를 _**발생**_시키는 _**문제 상황_**) ② **_전체를_ _(__명확하게__)_ _구성하는 데**_ ♦_**도움이 되는 부분**_(♦단위): 전적으로 _**주체의**_ ♦_**능동적인_ _관점과 활동_**에 달려있다. ③ ♦**_명확한 전체를 구성하는**_ ♦_**측정의 과정**_(수 값의 결정): 수는 _**단위의**_ ♦_**반복**_을 통해 _**전체를**_ ♦_**재구성**_하는 ♦_**정신적인 활동**_을 의미한다. (추상적인 상태가 아닌 측정활동으로 도입) (문제해결에서의 마지막 단계 즉, _**문제가 해결된 상태_**)

Answer 264

(**_질개_**) 듀이가 **_잘못된 수 개념 지도방법**_으로 _**강하게 비판**_하는 것으로, 개개의 사물이 ♦_**질적으로 구별된다는 것**_을 _**전제**_로 하여 ♦_**개별 사물_**을 단위로 고정하는 방법이다.

Answer 265

**_음수 개념_**과 **_그 연산_**의 의미를 **_크기_** 또는 **_양_**과 **_관련지어 파악_**하기 때문에 음수를 수로 받아들이기 어려워한다. ① 작은 수에서 큰 수를 빼는 것이 어떻게 가능한가? ② 작은 수의 제곱이 어떻게 큰 수의 제곱보다 클 수 있는가? ③ 1:-4=-5:20 ④ (-4)\*3의 직관적 인식, 4\*(-3)의 직관적 무의미 (**_피승수**_가 음수인 경우는 직관적으로 이해하지만, _**승수_**가 음수인 경우는 직관적으로 이해하기 어려워한다.)

Answer 266

직관적 모델과 형식적 모델의 장단점을 고려하여 두 모델이 **_조화되는 음수지도_**가 필요하다. **_덧셈_**과 **_뺄셈_**은 대체로 수직선 모델, 셈돌 모델 등을 이용하여 설명한다. 알고리즘의 숙달을 위해 뺄셈을 덧셈의 역연산으로 설명하여 ‘**_빼는 수의 부호를 바꾸어 더하는 것_**’으로 형식화한다. **_곱셈_**은 수직선 모델, 셈돌 모델, 귀납적 외삽법 등을 이용하여 설명한다. **_나눗셈_**은 곱셈의 역연산으로 설명하여 ‘**_같은 부호를 가진 수를 나눈 결과는 양수, 다른 부호를 가진 수를 나눈 결과는 음수_**’라는 알고리즘을 형식화한다.

Answer 267

부호가 다른 두 정수의 나눗셈의 몫은 두 정수의 절댓값의 나눗셈의 몫에 음의 부호 –를 붙인 것과 같다.

Answer 268

x+a=0 의 해로 –a를 도입하고, y+b=0 의 해로 –b를 도입하여 두 식의 양변을 더하고 **_교환법칙_**과 **_결합법칙_**에 의해 유도된다. (**_형식불역의 원리_**) (-a)+(-b)=-(a+b)

Answer 269

a/b, d/c를 a×x=b, c×y=d로 정의하고 각 식에 c와 a를 곱해주고 두 식의 양변을 더하고 **_곱셈의 교환법칙**_과 _**결합법칙_**, _**덧셈의 곱셈에 대한 분배법칙**에_ 의해 유도된다.

Answer 270

(**_장한단프_**) **_♦장점_**은 음수의 풍부하고 실제적인 가치를 의미 있게 경험할 수 있도록 할 수 있다는 것이다. **_♦한계_**는 음수가 물리적 세계의 구체적 대상으로부터 추상화된 것이 아니라 방정식과 그 해집합의 구조를 완전하게 하려는 형식적인 요구로부터 생겨난 것이라는 데 어느 정도 기인한다. **_♦단점_**은 일관성이 결여되고 임의적이고 협약적인 취약성을 갖는다는 것이다. **_♦프로이덴탈_**은 음수의 **_형식적인 본질_**에 입각하여 **_자연수 체계의 확장_**으로 음수와 그 연산을 지도할 것을 주장하였다. 이는 자연수 a에 대하여 x+a=0의 해로 음수 –a를 정의하고, 자연수에서 성립하는 계산 법칙이 음수에서도 성립하도록 음수를 정의하는 방식이다.

Answer 271

(**_역_ _자출_ _형익_**) **_장점_**은 음수의 정의가 방정식의 해를 구하는 문제 상황에서 출발하여 도입되므로 **_음수의_** ♦**_역사적 발생_**과도 **_부합_**한다는 것이다. 따라서 학생들에게 익숙한 ♦**_자연수 연산_**의 기본 성질로부터 ♦**_출발_**하여 음수 개념을 설명함으로써 **_음수의_** ♦**_형식적인 본질_**에 ♦**_익숙하게_** 하며, 일관성이 결여된 물리적 모델이 갖는 임의적이고 협약적인 취약성을 극복할 수 있다. **_단점_**은 음수의 풍부하고 실제적인 가치를 의미 있게 경험할 수 없다는 것이다.

Answer 272

(_수음곱나_) ♦수는 방향과 크기를 갖는 화살표로 설명될 수 있다. ‘크기’외에도 ‘방향’이라는 요소가 ♦음수 개념에 포함되어야 한다. ♦**_곱셈_**을 설명하는 방법은 여러 가지가 있는데, 그 중 한가지는 **_반복되는 덧셈_**으로 곱셈을 설명하는 것이다. 단, **_음수를 곱할 때_**에는 **_음의 부호_**를 ‘**_방향을 바꾸는 것_**’으로 이해한다. ♦**_나눗셈_**은 약간 복잡한데, **_반복되는 뺄셈_**을 통하여 **_피제수를 나타내는 화살표_**를 **_원점으로 줄이는 과정_**으로 설명된다. 단, 줄이는 방향이 제수의 반대 방향일 때 그 결과를 양으로 간주한다.

Answer 273

**_장점_**은 첫째, 수직선상에서 정수가 배열되는 방식은 ‘**_순서 구조_**’를 **_그대로 유지_**하고 있다는 것과 둘째, 두 정수 사이의 **_대소 관계_**는 다른 어떤 모델보다 수직선 모델에서 **_가장 명확_**하게 **_잘 드러난다_**는 것이다. **_단점_**은 **_음의 부호_**가 **_다중적인 의미_**를 갖는다는 것이다. (음수 개념 자체에 내재된 본질적인 다의성) (왼쪽, 반대방향, 뺄셈)

Answer 274

**_생성의 법칙_**(부활의 법칙)은 검은 돌 하나와 흰 돌 하나는 **_같이 생성_**할 수 있다는 것이다. **_소멸법칙_**은 검은 돌 하나와 흰 돌 하나는 **_같이 없앨 수 있다_**는 것이다. (자연수의 순서쌍들의 집합과 같이 동치류로 정수를 정의하는 것과 같은 구조)

Answer 275

**_장점_**은 **_자연수의 개념_**을 **_물건의 개수와 관련_**짓는데 익숙한 학생들에게 무리 없이 정수의 덧셈과 뺄셈을 지도할 수 있다. **_단점_**은 곱셈과 나눗셈을 설명하는 데에는 **_한계_**를 갖는다는 것이다. **_부호규칙_**을 **_특별한 이유 없이 선언_**해야만 하는데, 이건 그냥 받아들이게 해서 외우게 하는 것과 다르지 않다.

Answer 276

(**_곱피승_**) 나눗셈은 자연스럽지 않지만 ♦**_곱셈은 설명 가능_**하다. ♦**_피승수_**를 고지서와 어음으로 해석하고 ♦**_승수_**는 우체부가 가져온 것의 개수나 가져간 것의 개수로 해석하는 것이다.

Answer 277

**_장점_**은 **_음수의 연산_**에 대한 **_실용적인 맥락_**을 학생들에게 제공하고자 하는 모델이다. **_단점_**은 **_나눗셈_**이 **_자연스럽지 않다_**는 것이다.

Answer 278

(**_공_ _공부집원_ _자_**) 아무런 대상을 담지 않는 용기를 ♦**_공__집합**_으로 개념화하고, ♦_**공__집합**_이 _**모든 집합의**_ ♦_**부__분집합**_임을 개념화하는 경우나 ♦_**집__합**_이 _**다른 집합의**_ ♦_**원__소_**가 된다는 것을 효율적으로 지도할 수 있다. (은유) (유추x) 그러나 ‘♦**_자__신의 원소인 집합_**’ 이라는 표현은 문제점이 있다.

Answer 279

(**_덧대_ _곱비순_ _곱_ _통대_**)

Answer 280

(**_대기기인_ _음지_**) (기존의 체계에서 **_인정된 성질**_이 그대로 유지되도록 하면서 _**체계를 확장**_하는 원리) (역사상 _**수 체계의 확장_**에 유용하게 활용되었다.) 어떤 ♦**_대수적 구조**_나 ♦_**기하적 구조**_를 확장할 때에는 ♦_**기존의 체계**_에서 ♦_**인정된 성질_**이 유지되도록 해야한다는 것이다. 교과서적으로 드러난 적용의 대표적인 예는 ♦**_음수의 연산법칙의 유도**_, ♦_**지수의 확장_**이다.

Answer 281

**_부호규칙_**이 자**_연스럽게 설명가능_**하므로 **_음수의 곱셈지도_**에 **_용이_**하다.

Answer 282

(**_조확구_**) 대수적으로 이루어지는 ♦**_조작의 타당성_**이 기하적으로 ♦**_확인_**될 수 있다면 그 ♦**_구조에 대한 확신_**은 배가 된다는 것이다.

Answer 283

첫째, 식을 직관적으로 이해하게 해준다. 둘째, 대수와 기하의 연결성을 인식하는 데 도움이 된다.

Answer 284

**_중__2**_에서 등장하는 것으로, _**고__2_ _수학__1_**에서 정수, 유리수, 실수로 확장해간다.

Answer 285

(**_부분비곱_**) ① ♦**_부분과 전체_**: 하나를 5등분한 피자의 2조각. ② ♦**_분배결과의 몫_**: 5명의 사람에게 2개의 피자를 분배한 결과. ③ ♦**_비율**_: 5:2=10:4, 5:10=2:4. ‘_**동치관계_**라는 **_본질적인 아이디어_**’ (다양한 상황을 의미 있게 구조화하는 수단) ④ ♦**_곱셈 연산자_**: 유리수에서 정의되는 함수 f(x)=(2/5)x

Answer 286

(**_1__유정_ _바같_ _사제효_**) **_♦15__개정**_에는 _**♦_****_유__리수 개념**_이_**♦_****_정__수의 나눗셈**_을 배우지 않은 상태에서 도입되므로 수학적으로 조금 더 _**♦_****_바__람직한 유리수의 정의**_인 ②번과 같이 유리수를 정의하면,_**(a/-b)__와_ _(-a/b)가 ♦같__은 유리수_**라는 것을 논리적으로 설명하기가 어렵다는 단점이 있다. 하지만 정수와 유리수를 분리해서 따로 지도하는 것은 ‘**_♦_****_사__칙연산**_’ 지도 등에서_**♦_****_제__한점**_이 많으며 _**♦_****_효__율성**_이 낮기 때문에 정수와 유리수의 계산에서_**부호가 같은 두 정수의 덧셈의 원리**_를 이해시키고,_**유리수의 덧셈에도 그 원리가 적용됨**_을 알게 함으로써_**사칙연산을 보다 효율적으로 지도_**할 수 있다는 장점이 있다. 문제) ①번과 ②번의 정의는 결국 같은 것임을 설명하라. 답) 정수의 나눗셈의 원리에 의해 부호가 같은(다른) 두 정수의 나눗셈의 몫은 두 정수의 절댓값의 나눗셈의 몫에 양(음)의 부호 +(-)를 붙인 것과 같으므로 다음이 성립한다.

Answer 287

(**_무순두귀**_) (_**유무무 유유순**_) (_**소_ _순_ _유순분_**) ⑴ ♦**_무리수**_는 ♦_**순환하지 않는 무한소수**_로 도입하는데, 좀 더 엄밀한 정의는 ♦_**두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수**_이다. 이렇게 도입하는 이유는 ♦_**귀류법_**이 중3 수준에서 도입하는 것은 어렵다고 보기 때문이다. 귀류법을 사용해서 증명하는 것은 **_고등학교_ _1__학년 명제단원_**에서 다룬다. (루트2) ⑵ 이러한 이유로 ♦**_유리수__(__중__1)**_와 ♦_**무리수__(__중__3)**_ 사이에 ♦_**무한소수**_ 개념을 다루게 된다. ♦_**유리수**_를 ♦_**유한소수 및**_ ♦_**순환소수_**로 생각할 수 있음을 다루면서 다음 명제를 차례로 정당화한다. ① **_유리수**_를 ♦_**소수**_로 나타내면 _**유한소수 또는 무한소수_**의 형태이다. ② 유한소수로 나타낼 수 없는 유리수는 항상 ♦**_순환소수인 무한소수_**로 나타낼 수 있다. ③ 역으로, ♦**_유한소수 또는**_ ♦_**순환소수**_는 항상 ♦_**분수**_로 나타낼 수 있으므로 _**유리수_**가 된다.

Answer 288

(**_수_ _양형_ _구_**) 첫째, **_여러 가지 문제 상황**_을 ♦_**수식으로 표현**_하여 _**해결하는 능력_**을 기를 수 있다. 둘째, ♦**_양 사이의 관계**_를 _**탐구**_하고 _**문제**_를 ♦_**형식화하거나 일반화_**하는 능력을 기를 수 있다. 셋째, **_문제**_를 ♦_**구조적 관점**_에서 _**다룰 수 있는 능력_**을 기를 수 있다.

Answer 289

(**_의추일_**) ① **_수학적 ♦의사소통**_에 _**필수적인 언어_**이다. ② **_♦_****_추상화의 단계**_에서_**개념**_을_**조작하고 적용**_할 수 있는_**수단_**이다. ③ **_♦_****_일반화와 통찰**_을_**용이하게 하는 방법**_을_**제공하는 도구_**이다.

Answer 290

우리나라 교육과정에서 명시적으로 변수를 다루는 건 “**_함수를 정의할 때_**”이다. **_변수를 먼저 정의_**하고 함수를 정의한다. **_매개변수_** 언급은 **_미분에서 처음 등장_**한다.

Answer 291

(**_언생기_ _일미주_**) ① ♦**_언어적 대수 단계**_(Diophantus 이전 시대): 미지수나 계산의 전체적인 과정이 ♦_**일상 언어로 기술_**되던 단계이다. ② ♦**_생략적 대수 관계**_(Diophantus 시대 3c~ 16c): ♦_**미지수를 표현**_하기 위해 _**문자_**를 사용하기 시작하는 단계이다. ③ ♦**_기호적 대수 단계**_(Viete 16c): _**문자**_가 _**미지인 양**_ 뿐 아니라 ♦_**주어진 양_**까지도 나타내는데 사용되는 단계이다.

Answer 292

(**_절대_ _산대_**) 절차적인 관점에서 대수적인 관점으로의 발달 ① ♦**_절__차적인 관점**_: 수치를 얻기 위해 수를 가지고 행하는 ♦_**산__술적 연산**_을 주로 의미한다. (_**수를 대입_**) ② ♦**_대__수적인 관점**_: 수에 대해서가 아니라 ♦_**대__수식 자체**_에 대해 행해지는 여러 연산. (_**식을 간단히_**)

Answer 293

(**_동정_ _변운_ _동**_) (_**다_ _여특가_ _다정_**) 변수개념 변화에 관한 가장 중요한 근원적인 두 가지 측면 ① **_변수의 ♦동__적인 측면**_: 실제로 변하거나 _**♦**_변하는 것으로 가정되는 대상의 _**♦_**운동학적 상태를 나타내는 것이다. (변한다.) 예) ‘x가 0에 수렴한다.’, ‘점 p는 평면 S위에서 움직인다.’ ② **_변수의 ♦정__적인 측면**_: _**♦_**동치인 여러 대상을 동시에 나타내는 것이다. (대신한다.) (다가이름) 예) a+b=b+a \* **_♦_****_다__가이름**_: 하나의 대상이 연속적으로 변해가는 실제적 변화를 나타내는 것이 아니라_**♦_****_여__러 개의 개별 대상을 동시에 칭하면서**_ _**♦_****_특__정문맥과 연결되면 특정한 대상**_을 취한다는 의미에서 실제적 변화라기보다는_**♦_****_가__상적 변화**_를 나타낸다. 이는 변하는 대상에 대한 동적 변화와 비교하여 ‘변화’의 의미가 _**♦_****_다__소 덜 동적**_이라는 의미에서_**♦_****_정__적 변화로 설명_**된다.

Answer 294

(**_동정_ _동세설대_ _수일다수_**) ① **_변수의 ♦동__적인 측면**_: 변수의 동적인 측면을 강조해야 하는 이유는 변수의 _**♦_****_동__적인 측면**_을 현대의 추상수학이 아무리 없애려 해도 그렇게 될 수는 없다는 데 있다. 이는 우리가_**변화하는 ♦세__계**_속에서 살고 있고 그러한 세계를 설명하는 것은_**변화를 ♦설__명**_하는 것이며 이를 위해서 우리는_**변하는 ♦대__상_**을 다루어야하기 때문이다. ② **_변수의 ♦정__적인 측면**_: 다가이름으로서의 변수는 _**♦_****_수__학적 사고**_에서 중요한 의미를 가지는 ‘_**♦_****_일__반화**_’를 _**표현하는 도구**_로서 대수적인 표현을 의미있게 경험하기 위해서는 _**♦_****_다__가이름으로서의 변수 개념의 본질**_이 강조되어야 한다고 본다. 그리고_**다가이름으로서의 변수 사용법**_을_**지도하는 방법**_으로 문자에 수를 대입하는 것이 아니라_**♦_****_수__에 문자를 대입_**해보는 방법을 소개한다.

Answer 295

(**_문산양구_ _방패독어_ _덧일_ _인증_**) ① ♦**_문제해결 과정의 학습_**이다. 이는 변수가 ♦**_방정식의 해에 대한_** **_자리지기인 미지수_**로 생각된다는 것이다. 예) 5x+3=4 ② ♦**_산술의 일반화의 학습_**이다. 이는 변수가 ♦**_패턴을 일반화하는 요_**, 즉 **_다가이름으로서의 부정소_**라는 것이다. 예) ♦**_덧셈의 교환법칙**_ a+b=b+a, ♦_**일차방정식의 일반형_** y=ax+b (a,b는 부정소) ③ ♦**_양 사이의 관계 학습_**이다. 이는 변수가 ♦**_독립변수_**, **_종속변수_**, **_매개변수로 고려_**된다는 것이다. 예) **_함수개념**_과 _**함수식_**을 다룰 때 y=ax+b (a,b는 매개변수) ④ ♦**_구조의 학습_**이다. 이는 변수가 ♦**_어떤 성질을 만족_**하는 **_임의의 대상을 나타내는 기호_**라는 것이다. 예) 다음 이차식을 ♦**_인수분해**_ 하여라, 실수체의 기본 성질을 바탕으로 한 ♦_**증명학습_**

Answer 296

(**_어이_**) **♦_어떤 특정한 대상_**을 **♦****_이미 알고 있는 개념**_의_**사례**_로_**인식_**할 수 있다는 것을 의미한다.

Answer 297

(**_안본_ _본현참_**) ♦**_안목의 형성_**을 위해 **_개념의_** ♦**_본질로부터 출발한 지도 방법_**이 **_효과적_**이라고 보고, 수학적 개념을 지도하는 과정에서 **_개념의_** ♦**_본질_**, **_그 본질로 조직되는_** ♦**_현상_**, **_학습자의 능동적인_** ♦**_참여_**를 모두 강조한다.

Answer 298

(**_이실주_**) 닫힌 수학이란 ♦**_이론_**이 ♦**_실제와_** ♦**_주체로부터_** **_완전히 분리되어 있는 상태_**를 말한다. 열린 수학이란 새로운 수학 내용을 학습하는 과정에서 학습자인 **_주체의 참여_**와 수학적 개념의 토대가 되는 **_실재를 고려_**하는 것을 말한다. (이론, 주체, 실재)

Answer 299

(**_V__동의거오**_) (_**상_ _완직직_**) **_개념 정의**_란 개념을 정확히 설명하는 언어적 정의이고, _**개념 이미지_**란 개념과 정신적으로 관련된 모든 성질과 과정 및 심상들로 이루어진 인지구조이다. **♦_Vinner**_에 따르면 개념 정의를 이해하고 기억할 때 _**개념 이미지를_ ♦_동__원하는 것이 효과적**_이므로 학생들은 형식화된 개념 정의보다 _**개념 이미지에_ ♦_의__존하는 경향_**이 있는데, 개념 이미지를 **♦**거치는 과정에서 **_여러 가지_ ♦_오__류_**가 나타날 수 있다고 보았다. 그에 따르면 개념 정의와 개념 이미지가 **♦_상__호작용하는 방식_**에는 다음과 같이 네 가지 경우가 있다.

Answer 300

(자리지기) (문자선택) (특수화) (**_모__3__방_ _자형도다_ _간값필선변아_ _일대구특동다_**) **_수학적 ♦모델링**_과 관련해서는 수학적 모델링 과정의 _**♦__3__번째 단계**_에 해당하는 _**♦_****_방정식의 풀이**_에만 초점을 맞추어_**수식을 변환**_하여_**답을 구하는 기능_**을 가르치는데 치우쳐 있다. (96기출) ① 변수 개념의 의미를 적절히 다루지 않은 채 **_단순한 ♦자리지기로 제시되는 경향**_이 있어, 단지 _**♦_****_형식적 조작의 대상**_으로 다루는_**♦_****_도구적 이해 수준**_에 머물러 있다는 것이다. 변수는 몇 가지 패러다임을 통해서 _**♦_****_다각도로 접근**_되어야_**의미가 풍부**_하게 살아날 수 있는_**다차원적인 개념_**이다. ② 문자를 사용하여 **_식을 ♦간단히 하고_ _식의 ♦값을 구하는**_ 학습 내용이 주로 제시되고 있어, 학생들이 _**문자사용의 ♦필요성**_을 느끼고 스스로 _**문자를 ♦선택하여 나타내는 경험**_을 제공하지 못한다. 따라서 적절하게 _**문제를 ♦변형하여 제시**_할 필요가 있다. (그렇지 않다면 주어진 변수의 문자가 ‘_**♦_****_아직 정해져 있지 않은 값**_’을 나타낸다는_**의미로 충분히 설명_**되어야 한다.) ③ **_♦_****_일반화된 식**_에서_**변수에 값을 ♦대입**_시키는 과정을 주로 경험하는 반면, 다가이름으로서의 변수 개념의 본질인 구체적인 상황을 변수로 구성하여_**일반화된 식을 ♦구성**_해내는 과정을 경험하는 경우는 많지 않다는 것이다. 따라서_**일반화/♦특수화**_에 대한 직접 경험의 과정은_**♦_****_동일한 정도**_로 다루어져야 하고 그 과정은 _**♦_****_다양한 문제 상황_**에서 주어져야 한다. (다각형의 내각의 크기의 합, 이차방정식의 근의 공식 등)

Answer 301

(길지만 자연스럽고 **_필요한 말들_**이다. 그대로 읽으면서 외우면 외워질거다.) (**_임범불**_) (_**유다같_ _수변문문변_ _산_**) ① **_변수의 ♦임의성에 대한 이해 결여_**: 변수를 표시하는 기호가 변화하면 변수가 나타내는 대상도 변화한다고 생각하는 경향이 있다는 것이다. 어떤 대상을 나타내기 위해서 변수기호를 임의로 선택할 수 있다는 것을 이해하지 못하는 것이다. 예) **_x+y+z=x+p+z_** 는 결코 참인 문장이 될 수 없다고 생각하는 경우 예) y=2x와 y=2w가 정의역이 같을 때도 문자 표현이 다르므로 같은 함수로 보지 않는 경우 **_원인**_이 변수를 일차방정식의 하나의 해처럼 _**어떤 ♦유일한 대상**_을 _**구하는 학습경험**_을 많이 한 상황이므로, _**대안**_으로는 수학수업에서 교사가 때때로 _**♦_****_다른 문자**_에_**♦같은_****_값**_을 취해보면서 학생들의_**인지장애**_를_**완화시켜줘야_** 한다. ② **_변수가 나타내는 대상 ♦범위의 제한**_: 대부분의 학습자는 변수를 접할 때 즉각적으로 _**♦**_수를 대신하는 것이라는 생각을 한다는 것이다. 하지만 변수가 나타내는 대상은 _**수__,_ _점__,_ _명제 내의 조건__,_ _함수__,_ _행렬__,_ _연산__,_ _관계_** 등이 있다. **_♦변수**_가 항상 _**♦_****_문자_**로 표현되는 것도 아니고 (O, ㅁ, 세모) **_♦문자**_가 항상 _**♦_****_변수_**가 되는 것도 아니다. (i, ㅠ, e) ③ **_변수를 포함한 대수식을 ♦불완전한 것으로 받아들임**_: _**연산의 결과**_에 의해 _**하나의 수**_로 _**대치**_된다는 _**♦_****_산술경험에 의존_**하여 더 이상 간단히 되지 않는 대수식을 완성되지 않은 불완전한 것으로 생각한다는 것이다. (조작적 관점에서 구조적 관점으로의 대수학습의 진전이 필요하다.) (절차적인 관점을 뜻하는 듯) 예) x+7=7x, 2x+1=2x

Answer 302

**_완결되지 않은 대수식**_으로 인식했다. 이는 대수에서 _**a+b**_가 _**a__와_ _b__를 더하는 과정__(__절차__)**_이 되기도 하지만, _**a__와_ _b__의 합 그 자체라는 대상**_이 되기도 한다는 것을 인식해야 한다. (주의!! “_**500__과_ _1200__을 더하여_ _1700__을 쓰고_ _a__와_ _b__를 연이어_ _ab__를 쓴 것이다__._**” 포함)

Answer 303

2+3-1을 구하라 했을 때, 2+3=5-1=4 라고 풀이하는 경우. x+3=7의 해를 구하라 했을 때, x+3=7 =7-3 =4

Answer 304

(**_약대_ _동임곱부_**) **_유사점**_은 i, ㅠ, e와 같이 수로 ♦약속되어 있거나, 수 ♦대신 쓸 수 있다는 것이고 _**차이점_**은 다음과 같다. ① 수는 단 하나의 수를, 문자는 ♦**_동시에 많은 수_**를 표현할 수 있다. ② 고유 표시 수는 특정한 원소, 문자는 ♦**_임의의 원소_**이다. ③ 347의 자리 값 해석, 3mn의 ♦곱으로 해석. ④ 문자에 붙은 ♦부호는 자신의 값과 일치하진 않는다.

Answer 305

(**자약**) ① **_임의의 식**_에서 ♦_**자리지기_**로서 기능할 수 있다. ② **_문자**_가 종종 _**일상 언어의**_ ♦_**약어_**로서 제시되기 위해서 사용된다.

Answer 306

(**_일유_ _동한선_**) ① 문자 사용의 ♦일반성 첫째, ♦**_동시 표현의 성질_**이다. 동시에 (그러나 개별적으로) **_많은 수를 표현_**할 수 있다는 것이다. 둘째, ♦**_한계 결정의 자유성_**이다. **_문자가 나타내는 범위의 한계_**를 우리가 원하는 방식으로 자유롭게 정할 수 있다는 것이다. ② 문자사용의 ♦유연성 **_문자_**♦**_선택의 자유성_**이다. 주어진 **_대상을 지칭_**하기 위해서 거의 아무거나 **_임의로_** 문자를 **_선택_**할 자유가 있다는 것이다.

Answer 307

(**_산기형_ _일연_ _산적_**) ‘♦산술대수’법칙이 ‘♦기호대수’로 확장되는 것을 ‘♦**_형식불역의 원리_**’라고 불렀다. (**_산술의 일반화_** → **_연산의 일반화_**) ① **_산술대수**_: ♦_**일상적인 양의 수를 나타내는 기호**_와 _**덧셈__,_ _뺄셈 같은**_ ♦_**연산기호_**를 사용해서 얻어지는 학문으로 이때 뺄셈은 큰 수에서 작은 수를 빼는 것이어야 한다. ② **_기호대수**_: 기호 연산이 ♦_**산술과 유사한 연산에서 유도**_되었다 하더라도 _**연산의**_ ♦_**적용범위에 제한_**을 두지 않는 학문으로 이때 뺄셈은 항상 적용될 수 있다.

Answer 308

(**_예기방_ _오새바크_ _일형_**) ① ♦**_예상과 확인 전략**_은 각각의 시도가 이전의 ♦_**오류를 수정**_하고 ♦_**새로운 예측**_으로 향하여 ♦_**바라는 최종 결과**_에 점점 가까워진다는 _**장점**_이 있지만, ♦_**크고 복잡한 수**_로 된 문제라면 _**시도를 더 많이**_ 해야 한다는 _**단점_**이 있다. ② ♦**_기발한 착상 전략**_은 _**좀 더 큰 수**_로 된 문제라도 _**적용가능**_하다는 장점이 있지만, 번쩍이는 아이디어가 떠오르는 _**행운**_이 있어야 한다는 _**단점_**이 있다. ③ ♦**_방정식 전략**_은 예상과 확인, 기발한 착상 전략의 _**단점을 보완**_하고, ♦_**일반적인 문제의 해결방법**_으로 ♦_**형식화**_할 수 있다는 _**장점_**이 있다.

Answer 309

연산법칙 (교환법칙, 결합법칙, 분배법칙) (덧셈, 곱셈, 덧셈, 곱셈, **_덧곱_**) (덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙)

Answer 310

**_등식의 성질_**을 이해하는 것

Answer 311

(**_파_ _모수대방_**) **_♦파푸스의 분석법_**을 현대적으로 부활시켰다. **_♦_****_모든 문제_** → **_♦_**수학 문제 → **_♦_**대수 문제 → **_♦_****_방정식 문제_** (분석법 내포)

Answer 312

(**_문산_ _일바**_) ♦_**문__자와 식 영역**_이 ♦_**산__술**_과 _**어떤 관계**_가 있는지를 드러내주면서 _**‘**_♦_**일__반화__’__학습**_의 ♦_**바__탕을 제공_**하는 기본적인 사고 원리이다. (**_산술의 일반화_**: 대수는 산술을 일반화하면서 도입된다.) (프로이덴탈은 형식불역의 원리가 대수에서 워낙 유용하게 활용이 되다 보니까 그것을 강조하는 측면에서 대수적 원리라고도 했다.)

Answer 313

(**_형발창끊**_) 학생들이 수학의 ♦_**형__식주의적인 모습**_ 이면에 감춰진 ♦_**발생적인 모습**_을 경험하게 되어 수학의 _**발__생적이고**_ ♦_**창__조적인 면**_을 인식하고 수학이 ♦_**끊__임없이 성장_**한다고 인식이 변하게 된다는 것이다.

Answer 314

(**_등_ _산하_ _대동연**_) ♦_**등호에 대한 해석**_은 대수 학습에서 매우 중요한데, ♦_**산술에서는 등호_**가 왼쪽의 식에서 오른쪽의 결과를 얻는 ♦**_하나의 과정_**으로 해석되는 반면, ♦**_대수에서는 등호개념**_이 _**동치개념의 이해와 연결**_되어 방정식은 양변에 있는 서로 다른 형태의 대수식을 ♦_**동치관계를 의미하는 등호**_를 _**사용하여**_ ♦_**연결_**한 것으로 본다. (등호의 대칭성) 대칭식의 예) x+y+z, (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (대칭식을 전개하면 대칭식) (복잡한 전개의 수월한 해결) ((a,b)가 해이면 (b,a) 역시 해)

Answer 315

(**_주여서등**_) ♦주어진 자료와 조건 속에 숨어 있는 ♦_**여러 가지 양들 사이의 관계**_를 파악하여 ♦_**서로 같을 것으로 기대되는 두 양_**을 찾아 ♦등호를 이용하여 해결한다.

Answer 316

방정식의 풀이는 **_주어진 방정식이 이미 풀린 것으로 가정**_하고 _**등식의 성질을 이용**_하여 _**방정식을 변형**_하여 _**해를 구하는 과정**_이므로 _**방정식의 풀이**_에는 본질상 _**분석적 사고**_가 _**내재_**되어 있다.

Answer 317

(**_방풀**_) ♦_**방정식과 관련된 중요한 사고_** 중 하나로, 방정식의 ♦**_풀이과정과 결과_**를 확인하는 것이다. (반성적인 추론) (방정식 풀이의 검산과정)

Answer 318

(**_반연**_) _**문제해결의 ♦반성단계**_에서 행할 수 있는 적절한 시도이며, 동시에 _**NCTM**_과 _**우리나라 교육과정**_에서 강조하는 ‘_**수학적 ♦연결성**_’을 _**구현_**할 수 있는 훌륭한 지도 사례이다.

Answer 319

(**_그말간문**_) (_**수 언더 문지_**) **_학생들이 주체_**가 되어 **_문자사용의 필요성_**을 느끼고 **_문자를 사용하는 것의 유용성_**을 체험할 수 있도록 지도해야 한다. 다음과 같은 해결 방법의 **_장단점**_에 대해서 생각해보고 _**의사소통 과정_**을 거치면서 논의를 유도한다. ① 문제의 구조를 ♦**_그__림**_으로 나타내어 표현: ♦_**수__치가 복잡_**해지는 등의 복잡한 문제는 그림으로 나타내기가 쉽지 않다. ② 문제의 구조를 ♦**_말**_로 표현: ♦_**언__어적인 이해 수준이 낮은 학생**_이나 ♦_**더_ _복잡한 문제_**의 경우 (기호 표현에 비해) 문제의 구조가 분명하게 파악되지 않는 현상이 나타날 수 있다. ③ 문제의 구조를 ♦**_간__단한 기호를 사용한 식**_으로 표현: ♦_**문__제 상황이 복잡**_해지고, ♦_**지__칭해야 할 대상이 많아**_지면 _**몇 가지 기호**_만으로는 _**주어진 대상_**을 모두 나타낼 수 없는 한계가 있다. ④ 문제의 구조를 ♦**_문__자를 사용한 식_**으로 표현

Answer 320

(**_문간동_**) ① ♦**_문__자 선택의 자유성**_이다. 주어진 _**대상을 지칭**_하기 위해서 거의 아무거나 _**임의로**_ 문자를 _**선택_**할 자유가 있다는 것이다. ② ♦**_간__단명료**_하게 나타낼 수 있다. 식이나 문장을 _**간결**_하면서도 _**정확**_하게 표현할 수 있다. (+ _**계산 조작_**을 쉽게 할 수 있다.) ③ ♦**_동__시표현의 성질**_이다. _**수**_는 _**하나의 수**_만 나타내지만 _**문자**_는 동시에 (그러나 개별적으로) _**많은 수를 표현**_할 수 있다는 것이다. (_**일반적인 표현**_이나 _**일반적인 처리_**가 가능하다.)

Answer 321

(**_말대문식_**) ① 먼저 ‘♦**_말__로 된 식_**’을 만들어본다. ② 아직 정해져 있지는 않지만 **_나타내야 하는 수량의 값**_을 찾고 이를 ♦_**대__신 나타낼 문자**_를 _**결정_**한다. ③ 문제에 제시된 조건을 이용하여 **_말로 된 부분**_을 ♦_**문__자나 수_**로 바꾸어 놓는다. ④ **_문자를 사용한_** _♦_**_식_**을 간단하게 나타낸다.

Answer 322

함수의 직관적 도입과 관련된 **_질적 접근**_과 _**수학적 연결성**_ 등과 관련된 _**함수의 응용**_이나 _**수학적 모델링**_, _**테크놀로지의 활용_** 등이다.

Answer 323

(**_전기대_ _논집_**) 전 함수 단계 → 기하적 함수 단계 (17c) → 대수적 함수 단계 (18c) → 논리적 함수 단계 (19c) → 집합적 함수 단계 (20c)

Answer 324

(**_함천함비_**) 원시적 함수개념으로, ♦함수가 무엇인가에 대한 논의는 없었고 ♦**_천체운동을 관찰**_하기 위해 ♦_**함수표**_를 사용했다. 함수를 ♦_**비례관계_**로서 기술한 시기이다.

Answer 325

(**_운곡시변개_ _다**_) 함수가 _**의식화되어 사용**_되고 _**정의되며 발달**_하기 시작하였다. 함수에 대한 연구는 ♦_**운__동을 그래프로 표현**_하고 그 결과로 나타나는 ♦_**곡__선들과 관련**_해서 ♦_**시__간과 거리**_와 같은 ♦_**변__량 사이의 관계**_로서 ♦_**개__념화**_되었다. 곡선과 관련된 함수의 정의는 대부분 ♦_**다__가 대응**_이었다. (이 _**동적인 관점**_이 대수적 함수 단계에서 _**정적인 관점_**으로 변화가 이루어진다네.)

Answer 326

(**_일제_ _한다음여**_) (_**모정제_ _독대_**) 오일러는 **_함수**_를 _**변량 사이의 관계를 나타내는 해석적인 표현__(__식__)**_이라 정의했다. 이때 함수는 ♦_**일가 대응_**으로 ♦**_제한하여 정의_**했는데 그 **_이유**_는 ♦_**한 변수의 다른 변수에 대한 종속 관계**_가 ♦_**다가 대응이 되는 경우**_나 ♦_**음함수와 같은 함수식**_에서 한 변수를 다른 변수로 나타낼 때 ♦_**여러 개의 식이 나오게 되는 경우_** 등의 혼란을 막기 위함이었다. \<**_d’Alembert__의 진동현 문제**_\> ‘양 끝점이 고정된, 탄력이 있고 끈이 초기 모양으로 변형되면서 진동이 줄어드는 끈이 있다. 시간에 따른 끈의 모양을 나타내는 함수를 결정하여라.’에서 함수가 _**전 구간에서 하나의 해석적 표현**_, 즉, _**하나의 식_**으로 주어질 것이라 **_기대_**했었다. 그러나 오일러는 **_단 하나의 해석적 표현이 존재하지 않는다**_는 것을 밝히고, _**해석적 표현이 가능한 함수**_를 _**연속함수**_, 그렇지 않은 함수를 _**불연속함수**_라고 생각하면서 결국 하나의 해석적 표현으로 나타낼 수 없는 함수를 받아들임으로써 _**함수개념을 확장_**하게 되었다. 한편, 오일러는 **_변수 개념 자체가**_ ♦_**모호**_하기 때문에 _**함수의**_ ♦_**정의**_에서 _**변수를**_ ♦_**제거하기를 희망**_하고 1755년 그의 원래의 정의를 ‘_**만약 어떤 양이 다른 양에 종속된다면 전자를 후자의 함수라 부른다__.**_’라고 새롭게 대치하여 표현하였다. 이 과정에서 ♦_**독립변수와 종속변수**_에 대한 _**구분이 명확**_해졌을 뿐만 아니라 _**함수**_가 기하학적 원천과는 관계없이 ♦_**대수적인 조작**_이 _**가능_**하게 되었다. (합성함수와 역함수 구하는 것 포함) (함수가 연속적으로 변하는 양의 문제를 연구하는 과정에서 발생하였지만, 당시의 수학자들은 **_수학의 대상이 정적인 것**_으로 생각했기 때문에 결국은 _**함수의 핵심적인 부분**_이라고 할 수 있는 _**변수**_를 _**제거_**하고 함수개념을 다루고자 하였다.)

Answer 327

(관점의 변화가 이루어지는 단계이므로 중요하다. **_종속_ _→_ _대응**_) (또한, _**규칙적인 것**_에서 _**임의적인 것_**으로 변화도 이루어진다네.) (**_대대**_) (_**없일임_ _함구_ _표규형묘임_**) 함수 개념이 더 이상 ♦**_대수식에 관련된 것_**이 아니라, 다만 두 변수가 ♦**_대응이라는 논리적 조건_**에만 관련되어 있다고 보는 시기이다. **_해석적 표현이 가능한 불연속함수**_인 _**Fourier_ _급수**_나 _**Dirichlet_ _함수**_의 출현으로 _**Euler__의 함수 개념**_을 _**재고할 필요성_**이 생겼다. **_푸리에급수**_는 임의의 주기함수를 삼각함수로 구성되는 급수로 전개한 것이고, _**디리클레함수_**는 연속함수에 적절한 연산을 적용해서 만든 불연속함수이다. 이에 **_Dirichlet**_는 ‘_**주어진 구간에서_ _x__의 각 값에_ _y__의 유일한 값이 대응할 때__, y__는_ _x__의 함수**_’라고 정의하여 _**논리적 조건**_에만 관심을 갖게 되었다. 그럼으로써 함수에서 _**변수 개념을**_ ♦_**없앴**_을 뿐만 아니라 ♦_**일가성**_과 ♦_**임의성_**을 강조하게 되었다. (함수의 가장 본질적 특성) **_일가성**_이란 정의역의 각 원소에 대해 치역이 단 하나의 원소가 대응된다는 조건으로 ♦_**함수와 함수가 아닌 것**_을 ♦_**구분하는 기준_**이 되는 것이다. **_임의성**_이란 함수는 _**어떤 특별한**_ ♦_**표현**_에 의해 기술되거나 또는 _**어떤**_ ♦_**규칙성**_을 따르거나 _**특별한**_ ♦_**형태를 가진 그래프**_에 의해 ♦묘사될 필요가 없고 ♦_**임의의 대응의 개념_**으로 정의되어야 한다는 것이다.

Answer 328

논리적 함수에 포함시켜 생각해도 무방하지만 **_좀 더 엄밀한 의미의 공리론적 집합론**_을 _**기초_**로 함수를 정의하는 것을 의미한다. **_Bourbaki**_는 ‘_**두 집합의 변수 사이의 특정한 관계**_’를 _**함수적 관계**_로 정의하였다. ‘_**순서쌍의 집합의 부분집합_**’으로 정의하기도 하였다. (Dedekind는 체계, 사상) (사상=함수) (수학은 사상의 학문)

Answer 329

(**_2KM_**) **♦****_20세기 초 독일_**에서 **♦****_Klein_**이 수학교육개혁(독일의 수학교육 근대화 운동)을 주장한 이후이다. ‘**♦****_Meran 교육과정_**’ (최초의 수학과 교육과정이라 할 수 있다.)

Answer 330

(**_대기통_**) 수학의 발전이나 통합에 핵심적인 역할, 즉 수학이 이전에는 ♦**_대수와 ♦_****_기하**_라는 두 개의 분야로 발전해왔는데 이_**두 분야의**_♦_**통합_**을 가능하게 하였다.

Answer 331

현상을 어떻게 활용하는지 두 관점을 비교하는게 중요하다. (**_구교_ _대정특응_ _다종표구함_**) ① ♦**_구조주의적 관점에 따른 함수 지도_** ♦대응을 통해 함수를 정의 → ♦정의역, 치역, 공변역 → ♦특정한 함수들 → ♦**_응용문제로 몇 가지 함수 현상_** ② ♦**_교수학적 현상학에 따른 함수 지도_** ♦**_다양한 현상에 대한 직관적 경험_** → ♦종속성의 특성 → ♦표, 그래프, 식 등과 연결 → ♦구체적인 함수 이름 → ♦함수 개념 도입

Answer 332

(**_동__7__비역_ _충__07__종_**) 함수가 두 집합 사이의 대응관계로 정의되면 **_변수의_** _♦_**_동적인 의미**_가 부각되기 어렵기 때문에 _**제_** _♦_**_7__차 교육과정**_에서 ♦_**비례관계를 이용하여 함수를 도입**_하는 것은 ♦_**역사발생적 원리에 따라**_ 학생들이 함수를 받아들이고 이해하는 데 _**더욱 효과적**_이라는 생각을 반영한 것이다. 이렇게 좀 더 쉬운 방식으로 도입하는 것은 내용의 양이라는 측면에서 변화를 주진 못하지만, _**내용의 난이도는 다소 낮아졌다_**고 할 수 있다. 그러나 대응개념을 완전히 배제한 이러한 함수개념이 이후 **_고__1__에서 대응을 중심으로 한 함수의 정의**_(변수 개념은 사라짐)와 ♦_**충돌하는 문제점**_ 때문에 _**20_**_♦_**_07__개정 교육과정**_에서는 비례관계 맥락에서만 함수개념을 제한하지 않고 상위학년에서 배우는 여러 가지 함수의 개념지도에 용이하도록 _**변화하는 양 사이의 종속관계**_와 _**두 집합의 원소 사이의 대응관계**_라는 두 가지 개념을 ♦_**종합한 정의_**를 함수의 정의로 제시하고 있다.

Answer 333

(**_증포주_ _지대_**) ① ♦**_증가와 감소**_에 관련된 현상: _**시간에 따른_ _온도**_, _**나이**_, (_**키__,_ _몸무게**_), (_**부피__,_ _높이__,_ _표면의 넓이**_), (_**속도__,_ _거리**_)의 _**변화**_ 등이다. _**시간에 따른 예측**_활동이나 _**그래프의 교점_**_,_ **_위치관계_** 등의 해석활동이 가능하다. ② ♦**_포물선 운동**_과 관련된 현상: _**분수대의 물줄기**_나 _**스포츠**_, _**포물면 거울**_, _**아치형 다리**_ 등이다. _**공기저항을 고려하여 예측_**하는 활동이 가능하다. ③ ♦**_주기적 변화**_와 관련된 현상: _**밀물과 썰물의 변화에 따른 수면의 변화**_, _**바퀴 위의 한 동점의 자취**_, _**비행기의 프로펠러의 움직임**_, _**달의 모양 변화_**_,_ **_하루_**_,_ **_한 달_**_,_ **_일 년_**_,_ **_계절**_의 _**반복**_ 등이다. _**달이나 태양의 운동 경로**_에 대한 탐구나 _**미래의 기상_**에 대해 예측해보는 활동이 가능하다. (매미의 생애주기) ④ ♦**_지수적 성장**_과 관련된 현상: 지수적 성장이란 _**시간이 지날수록**_ ‘_**점점 더 빠르게**_’, ‘_**점점 더 느리게**_’와 같은 표현되는 것이다. _**은행 예금의 복리**_, _**인구의 증가**_, _**방사선 물질의 반감기 성질을 이용한 화석의 연대파악_** 등이다. ⑤ ♦**_대응과 사상**_에 관련된 현상: _**퍼즐 맞추기**_, _**물건의 개수 세기**_, _**물건 나누어 주기**_, _**빛에 의해 스크린에 투사되는 그림자**_, _**축척에 의한 지도의 확대와 축소**_, _**점에서 점으로 이동시키는 사상**_ 등이다. (_**대응**_, _**닮음이나 합동**_, _**함수의 합성과 역_**) (이러한 현상들을 함수로 인식하기 위해 **_좀 더 의식적인 반성의 단계_**가 필요)

Answer 334

(**_종그공_ _행과대_ _순대**_) (_**연_ _구임순_ _구식합_**) (함수를 처음 접하면 **_함수의 여러 측면간**_의 _**전환능력이 결여_**되어 있다네) ① ♦**_종속성**_이란 변화하는 현상에서 _**두 변수 사이의 종속관계_**를 의미한다. ② ♦**_그래프**_란 함수를 표현하는 _**시각적 이미지_**를 말한다. 함수를 그래프로 생각하는 학생은 ♦**_연속적인 곡선**_은 함수로 받아들이지만 _**불연속적인 곡선_**을 함수로 받아들이기는 쉽지 않다. ③ ♦**_공식**_이란 주로 변수 사이의 _**종속 관계**_를 독립변수를 포함한 _**대수식_**으로 나타내는 것을 의미한다. 함수를 공식으로 생각하는 학생은 **_구간에 따라_** _♦_**_두 개 이상의 공식**_으로 표현되는 함수나 ♦_**임의의 대응**_이나 ♦_**순서쌍_**으로 제시되는 함수를 이해하기는 어려울 것이다. ④ ♦**_행동**_이란 _**대상에 대한 반복 가능한 조작**_을 의미하는 것으로 함수를 나타내는 _**대수식**_에 _**수나 식**_을 대입해서 _**계산할 수 있는 능력_**과 관련된다. 함수를 행동으로 생각하는 학생은 함수가 하나의 대수식이 아니라 ♦**_구간에 따라 다른 식**_으로 표현되거나 ♦_**식으로 제시되지 않는 경우**_에는 _**함수로 이해**_하거나 ♦_**합성과 역을 구하는 일_**이 쉽지 않을 것이다. ⑤ ♦**_과정**_이란 컴퓨터 프로그램이 자료를 처리하듯이 함수를 _**입력__,_ _변환__,_ _출력의 처리 과정_**으로 보는 것을 의미한다. ⑥ ♦**_대응_**이란 두 집합 X, Y가 있을 때, X의 임의의 원소 x에 대하여 유일한 y가 존재하는 것을 의미한다. ⑦ ♦**_순서쌍**_이란 _**Bourbaki_**가 정의한 함수개념을 의미한다. ⑧ ♦**_대상**_이란 함수 자체를 _**하나의 실체로 파악_**하는 것을 의미한다. 학생들은 **_함수 연산**_을 할 때나 _**도함수**_를 구할 때 대상으로서의 함수를 인식해야 하지만 _**별로 성공적이지 못하다_.**

Answer 335

(**_공수_ _점국전_ _양질**_) (_**비질표_ _사대설실_**) 그래프를 지도하는 방식은 다음과 같이 두 가지 기준에 따라 분류할 수 있다. ① ♦**_공간에서 초점을 어디에 두느냐**_에 따라 ♦_**점별 접근**_, ♦_**국소적 접근**_, ♦_**전체적 접근_**으로 구분할 수 있다. ② ♦**_수치적인 값에 초점을 두는지**_에 따라 정확한 수치적 자료를 이용하는 ♦_**양적 접근**_과 어떤 상황을 수량화되지 않은 상태로 개략적으로 표현하고 설명하는 ♦_**질적 접근_**으로 구분할 수 있다. 그래프를 의미 있게 사용하려면 **_여러 가지 접근방식의 통합**_이 필요하다. _**그래프를 처음 다루는 단계**_에서는 좌표평면이나 모눈종이와 같은 고정된 틀이 제시되기 이전에 ♦_**비수치적이고 개략적인 형태의 그래프**_를 그려보고, 이를 _**해석하는 활동**_에 주목하는 ♦_**질적인 접근으로 시작**_하고, _**그 이후의 정교화 단계**_에서 _**수치적이고 좀 더 정확한**_ ♦_**표현의 단계로 전환_**하는 것이 바람직하다. **_질적 접근의 예_**로는 **_이산적인 변화 상황_**으로 운동장의 시간별 학생 수 조사, **_연속적인 변화 상황_**으로 식물의 성장 관찰, **_다양한 모양의 용기_**에 일정한 속도로 물을 담을 때 물의 높이의 변화 등이 있다. (♦**_사고실험으로 추측**_ → ♦_**대략적인 그래프 작성**_ → ♦_**설명__,_ _비교__,_ _토론**_ → ♦_**실제적인 측정활동**_이나 _**컴퓨터 시뮬레이션을 통한 측정활동**_을 이용하여 _**결과 확인_**)

Answer 336

(표는 개정 전) (밑에 내용은 2017 개정) (**_하그고폭_ _기함문해_**) 같은 방식의 번역 활동도 포함되는 데, 이를 **_호환_**이라 부른다. 이와 같은 함수의 여러 가지 표현들 사이의 번역은 **_함수**_를 ♦_**하나의 규칙**_이나 ♦_**그래프**_에 ♦_**고착시켜서 생각하지 않고**_ 함수를 ♦_**폭넓게 이해하는 데 도움_**이 된다. **_대수적 모델링_**은 함수 지도에서 가장 어려운 부분일 수도 있는데 다음과 같이 진행된다. 주어진 상황에서 **_변수를 인식하여**_ ♦_**기호화**_ → 변수 사이의 ♦_**함수 관계 찾기**_ → ♦_**문제 해결**_ → _**문제 상황에 적합하게**_ ♦_**해석_** ♦일반적으로 함수에 대한 ‘**_식 제시**_ → _**표 작성**_ → _**그래프 개형 그리기**_’로 이루어진다. (_**계산하기**_ → _**점 찍기_** 이겠네.) 1. ‘**_함수 그래프 개형그리기**_’, ‘_**해석하기**_’란 어떤 상황이나 언어적 표현을 개략적인 그래프로 나타내고 해석하는 ♦_**질__적 접근_**이다. (**_상황·언어적 표현_** → **_그래프_** → **_상황·언어적 표현_**)

Answer 337

(**_변비상_ _체한_ _동변혼_**) ① 변화 현상에 대한 **_종속♦변수**_와 _**독립변수**_를 _**불명확하게 파악_**한다. ② 함수의 정의에서 **_독립변수**_와 _**종속변수**_의 _**♦__비__대칭성을 잘 인식_**하지 못한다. (대칭적: 일대일 대응) ③ (**_전 함수단계**_) _**함숫값**_은 독립변수에 따라 _**변화되어야 한다는 선입관**_을 가지고 있어서 _**♦__상__수함수**_를 함수로 받아들이는데 어려움이 있다. 그 이유는 _**변화성에 주목**_해서 _**비례관계**_나 _**인과관계**_와 같은 _**특수한 경험에만 집착_**하기 때문이다. ④ (**_대수적 함수단계**_) 함수를 ♦_**체__계적인 규칙이나 대수식으로 보는 경향**_이 강하며, _**종속변수의 값**_을 구하기 위해 _**독립변수에 실행된 조작**_이라고 생각하는 경향이 있다. 따라서 _**식으로 표현할 수는 없지만_ _함수인 경우_**를 제시한다. (대응) ⑤ (**_대수적 함수단계**_) 함수를 함수의 _**모든 정의역에서_** _♦_**_한 가지 규칙이나 대수식으로 표현_**되어야 한다고 생각하는 경향이 있다. 이러한 현상은 함수의 역사에서도 수학자들에게 많은 충격을 주었던 것이며 d’Alembert의 진동현 문제 이후로 본격적인 논의를 거쳐 해결되었던 문제이다. ⑥ **_함수**_를 _**다양한 표현**_, 즉 표, 대수식, 곡선으로서의 그래프 등과 ♦_**동__일시_**하는 경향이 있다. ⑦ 함수에서 중요한 ♦**_변__수 개념**_을 _**이해하는 데 어려움**_이 있다. 함수가 _**다양한 대상의 변화**_를 _**기술하기 위한 수단**_으로 발생한 것이지만, _**미적분의 발달**_로 인해 다양한 함수를 다루게 되면서 _**동적인 변화의 개념**_은 사라지고 _**정적인 관계의 개념_**이 강조되었다. ⑧ 함수의 정의에서 나타나는 **_일가성**_, _**일대일 함수**_, _**일대일 대응**_의 _**의미를**_ ♦_**혼__동_**하기가 쉽다. 따라서 교사는 함수를 지도할 때는 **_적절한 순간**_에 _**다양한 함수**_를 _**경험**_시킴으로써 이러한 _**어려움들을 극복**_하고 _**함수의 의미를 확장_**시켜나갈 수 있도록 하는 것이 중요하다.

Answer 338

**_중학교**_에서는 연령에 따른 키의 변화 등 _**비례관계가 아닌 일상생활의 상황**_을 통해 _**변수**_와 _**함수**_를 각각 ‘_**x, y__와 같이 변하는 양을 나타내는 문자**_’, ‘변수 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계가 성립할 때 y’ 와 같이 _**종속의 관점**_에서 _**정의_**하고 있다. **_고등학교**_에서는 _**X__에서_ _Y__로의 대응**_과 _**함수**_를 각각 ‘두 집합 X, Y가 주어졌을 때, 집합 X의 각 원소에 집합 Y의 원소를 짝지어 주는 것’, ‘_**집합_ _X__의 각 원소에 집합_ _Y__의 원소가 오직 하나씩만 대응할 때__,_ _이 대응_ _f__를 집합_ _X__에서 집합_ _Y__로의 함수라 하고__,_ _기호로_ _f: X_ _→_ _Y_ _와 같이 나타낸다__.**_’ 로 정의하여 _**변수 개념이 사라지면서_ _집합 사이의 임의의 대응**_을 _**강조_**한다. (**_중__2**_- 일차함수, _**중__3**_- 이차함수, _**수학**_- 합성함수, 역함수, 유리함수, 무리함수, _**수학__1_**- 지수함수, 로그함수, 삼각함수) ① **_일차함수_** ② **_이차함수**_와 관련된 현상은 _**다이버의 낙하 거리와 시간**_, _**자동차의 속력과 브레이크를 밝은 후의 진행 거리**_, _**눈썰매를 타고 내려올 때 시간과 위치_** 등이 있다. ③ **_합성함수**_와 관련된 현상은 원화에 대한 엔화의 가치와 달러에 대한 엔화의 가치를 알 때 달러에 대한 원화의 가치 계산, 태양광 패널의 넓이와 관련된 태양광 에너지의 전기에너지로의 변환 등이 있다. (_**환율**_과 _**태양광 패널_**) **_합성함수의 정의**_에 이어 몇 개의 함수에 대한 _**합성함수를 구하는 문제**_를 다루는데, 이는 주로 _**함수**_를 _**과정으로 이해하는 정도까지_** 다루고 있다. ④ **_역함수_** ⑤ **_유리함수**_ (_**분수함수**_는 ‘유리함수를 기약 분수식으로 고쳤을 때, 분모가 상수가 아닌 함수’로 _**정의**_한다.) (_**점근선**_은 ‘_**곡선 위의 점이 한없이 가까워지는 직선을 그 곡선의 점근선이라고 한다__.**_’와 같이 _**정의_**한다.) ⑥ **_무리함수**_와 관련된 현상은 _**급제동 시에 생기는 바큇자국인 스키드 마크의 길이와 자동차의 추정 속력_** 등이 있다. ⑦ **_지수함수_** ⑧ **_로그함수**_는 _**지수함수의 역함수_**로 도입한다. ⑨ **_삼각함수**_와 관련된 현상은 _**태양의 위치와 관련한_ _24__절기의 구분**_, _**삼각방정식과 삼각부등식과 관련한 빛의 굴절 현상_** 등이 있다. (중3에서 삼각비는 **_직각삼각형의 닮음의 성질**_을 바탕으로 _**직각이 아닌 한 예각**_에 대한 _**두 변의 길이의 비_**로 정의하여 다룬다.) (삼각함수는 **_삼각비의 정의를 확장**_하여 좌표평면에서 _**원주 위의 점의 좌표_**를 이용하여 정의한다.) (삼각비를 일반각으로 확장)

Answer 339

(**_유해비변_**) **(_유아사위**_) (_**데좌_ _도대방_ _여새_ _평대**_) (_**5__평타쌍_**)

Answer 340

Desargues- 사영기하 (**_쌍서어**_) 다음 두 명제가 성립하고, ♦_**쌍대원리_**가 성립한다. ① ♦**_서로 다른 두 점_**을 지나는 직선은 오직 하나이다. (⇔ 서로 다른 두 직선은 반드시 만나고 오직 한 점에서 만난다.) ② ♦**_어느 세 점_**도 동일 직선상에 있지 않은 네 점이 존재한다. Riemann- 비유클리드기하 Archimedes- 구와 원기둥에 관한 연구

Answer 341

(**_5__종유다모**_) (_**어무공확**_) (_**집수_**) 수학자들은 유클리드 원로의 **_제 ♦5__공준**_인 _**평행선 공준_**이 다른 4개의 공준에 **♦****_종속적인가를 의심_**하면서 다른 4개의 공준으로부터 제 5공준을 **♦****_유도하고자 시도_**하였다. 이러한 연구가 계속된 결과, 제 5공준(평행선 공준)과 **♦****_다른 새로운 명제_**를 공준으로 내세우면**♦****_모순 없는 새로운 기하 체계_**를 형성할 수 있음을 발견하였다. (비유클리드 기하학) 비유클리드 기하의 출현으로 인해 수학자들은 **♦****_어떤 공리라도 ♦무모순의 조건만 만족한다면**_,_**그것으로 하나의 ♦공리계를 세울 수 있음을 ♦확신_**하게 되었다. 비유클리드 기하의 출현은**♦****_집합론의 형성_**과 함께 **♦****_수학기초론에 대한 논쟁을 촉발_**시켰다. 수학기초론 논쟁은 이후의 준경험주의, 구성주의로 연결되는 수리철학 논의의 중요한 한 축을 형성한다.

Answer 342

**_직원뿔**_을 그 _**꼭짓점을 지나지 않는 평면**_으로 잘랐을 때 생기는 단면의 평면곡선의 총칭으로 _**원추곡선_**이라고도 한다.

Answer 343

(**_전국_ _정학_**) **_프로이덴탈_**의 전반적 조직화와 국소적 조직화. **♦_전반적 조직화_**는 **♦**정의와 공리로부터 출발하는 공리체계로 조직하는 것이다. **♦_국소적 조직화_**는 **♦**학습자가 접하고 있는 영역에서 참이라고 인정되는 사실, 즉 학습자의 실제로부터 시작해서 부분적으로 조직화하는 것이다. (예로는 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 한 점을 통과함을 보일 때)

Answer 344

(**_중고**_) (_**일**_) (_**직도형점**_) (_**공비재형_**) **♦_중학교에서_ _평행이동_**은 ‘도형의 이동’이라는 변환기하적 관점에서 다루는 것이 아니라 **♦****_일반적인 함수의 그래프를 지도하는 수단_**으로 다루고 있다. **♦_고등학교에서**_ ‘_**도형의 이동**_’은 특히 도형의 방정식 f(x, y)=0에서 평행 이동된 _**도형의 방정식_ _f(x-a, y-b)=0_**가 **♦****_직관적으로 모순_**되어 보이는데서 많은 어려움을 겪는다. 이것은 관계적 이해보다는**♦****_도구적 이해_**를 추구하는 많은 학생들에게 큰 어려움이 된다. 이는 **♦****_형식화의 속도가 매우 빠르기 때문_**에**♦****_점진적인 과정으로 개선_**할 필요가 있다. **♦_공학적 도구를 활용한 평행이동 직접 관찰_** → 도형의 방정식 **♦****_비교_**→ f(x-a, y-b)=0와 같음을**♦****_재발견_** → **♦****_형식적인 설명과 이해_**

Answer 345

(**_개추분개_**) **♦_개념**_을 _**공통 성질에 대한 상징적 표현_**으로 규정한다. **♦_추상화_**는 공통 성질을 인식하는 활동이고, **♦****_분류_**는 이러한 공통 성질에 근거하여 경험들을 모으는 활동이다. **♦_개념 형성**_을 일상생활 경험과 다루고자 하는 대상에서 공통 성질을 _**추상화**_하고 _**분류_**하는 정신 작용으로 주장하였다.

Answer 346

(**_어이**_) ♦_**어떤 특정한 대상**_을 ♦_**이미 알고 있는 개념**_의 _**사례**_로 _**인식_**할 수 있다는 것을 의미한다.

Answer 347

(**_대구과조_ _계추직형**_) (_**내압실_ _실조일새_**) **_수학적 개념**_은 _**대상**_과 _**과정**_의 두 가지 측면이 있으며, 이는 동전의 양면과 같이 _**상호보완적**_이라고 보았는데, 이는 _**APOS__이론과 상통**_하는 바가 있다. (♦_**대상으로서의**_ ♦_**구조적 방법**_과 ♦_**과정으로서의**_ ♦_**조작적 방법_**이 교대로 나타나면서 개념이 구성) ♦**_계산적인 조작**_을 ♦_**추상적인 대상**_으로 전이시키는데 유용하고, 고등학교의 ♦_**직관적인 정의**_를 대학교의 ♦_**형식적인 정의_**로 전이시키는데 시사점을 제공한다. ① ♦**_내면화**_ 단계에서는 ♦_**실제로 수행한 행동을 통해**_ ♦_**조작이 구성되도록 한다_**. ② ♦**_압축**_단계에서는 _**더**_ ♦_**일반화된 경우를 생각_**한다. ③ ♦**_실재화**_ 단계에서는 이제까지 다루어오던 것을 ♦_**새로운 시각에서 조망하여 이해_**하게 된다.

Answer 348

(**_직평**_) (_**개개논종**_) (_**어여독상_**) ① **_수♦직적 관련성_**이란 **♦**개념들 간의 위계구조, 즉 **♦****_개념들 간의 계통성_**을 일컫는다. 이때 개념들은 서로 **♦**논리적인 **♦**종속 관계를 갖는다. 수직적 관련성은 skemp가 주장한 **_학습의 준비성_**과 관련된다. (스키마틱 학습) 학습의 준비성이란 **_추상화된 상위 개념의 학습_**은 **_하위 개념의 형성을 토대로 함_**을 의미한다. ② **_수♦평적 관련성_**이란 **♦****_어떤 대상이나 현상_**을, **♦****_여러 개념을 통해 동시에 파악하는 것_**이다. 이때 개념들은 **♦**독립적이면서도 **♦**상호보완적인 관계를 갖는다. **_특히_ _기하 문제를 해결하기 위해서**_는 문제에 제시된 _**그림을 해석하는 능력_**이 필요한데, 이때 그림에 포함되어 있는 여러 개념을 동시에 파악하는 능력이 필요하다.

Answer 349

(**_각분_ _새관의여사_**) 학생들이 ♦_**각각의 개념을** ♦_**_분리된 것으로 파악_**한다는 것이다. 즉, 학생들이 ♦**_새로운 개념**_을 이미 확립되어 있는 개념들의 ♦_**관계망과 연결**_할 수 있을 때, 새로운 개념은 _**관계망에 통합**_되어 ♦_**의미충실한 지식**_이 되므로 ♦_**여러 개념들 간의 관련성을 구축**_할 수 있는 ♦_**사고 활동_**이 필요하다.

Answer 350

(**_개특본구_ _비다분딘_**) 학생들이 ♦개념을 **_개념사례와 같은_** ♦**_특정 맥락에만 고착_**시키는 경향으로, 개념의 ♦**_본질적 요소_**와 **_비본질적 요소_**를 ♦**_구분하지 못하게_** 한다. 대안으로 ♦**_비본질적인 성질_**의 ♦**_다양한 변형을 제시_**함으로써 본질적인 성질과 비본질적인 성질을 ♦**_분리_**해낼 수 있게 하는 ♦**_딘즈의 수학적 다양성의 원리의 구현_**이 필요하다.

Answer 351

(**_어다__D__중**_) (_**기똑두곤_**) **♦****_어떤 대상에서 두드러지는 개념_**은 그 대상을 **♦****_다른 개념으로 해석하는 것을 방해_**하기도 한다는 것이다. 이는 **♦****_Duval_**이 제시한 ‘**♦****_중복장애_**’와 일관된다. (**_중복장애_**란 **♦**기하문제를 해결할 때, 변, 각, 꼭짓점 등 **♦**똑같은 요소를 **♦**두 번 이상 존재하는 것처럼 고려해야 할 때 **♦**곤란을 겪는 현상을 말한다.)

Answer 352

고등학교에서 핵심이 되는 **_무한의 개념을 본격적**_으로 다루고, _**함수적 사고의 절정**_에 해당하며, _**일차 산업혁명의 원동력**_이었던 _**연속수학의 대표적 주제_**이다. (**_이산수학_**은 정보 산업혁명이라는 **_이차 산업혁명_**을 뒷받침하고 있다. **_비물질적인 세계_**)

Answer 353

**_어떤 함수_**와 **_그 함수를 미분한 도함수_** 사이에 성립하는 방정식이다.

Answer 354

(**_고__161718**_) (_**A__구적수실**_) (_**K__포미_ _C__불무_**) (**_N물역미유_** **_L__곡기미계**_) (_**C__극이산_ _W__엄_**) ① ♦고대그리스 - ♦**_Archimedes**_(BC 287~ 212): ♦_**구적법**_을 이용해 _**포물선의 넓이**_를 구함. _**오늘날의**_ ♦_**적분법과 유사한 아이디어**_를 이용함. (♦_**수렴하는 급수의 합**_을 최초로 구한 사람) (_**무한등비급수_**) (포물선과 현으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하기 위하여 포물선과 현에 모두 내접하는 삼각형을 무한히 잘라 이를 더해나가겠다는 심산이다.) (♦**_실진법**_: 실진exhaustion의 뜻은 말 그대로 _**지치는 것**_인데, _**영역을 나누는 과정**_을 지칠 때까지 _**무한히 반복_**하는 것이다.) ② ♦16~ 17c - ♦**_Kepler**_: ♦_**포도주통의 부피를 계산하는 과정**_에서 ♦_**미분의 아이디어_**를 발전시킴. - ♦**_Cavalieri**_: ♦_**불가분양이라는**_ ♦_**무한소_**를 이용해서 **_넓이와 부피_**를 계산. ③ ♦17c - ♦**_Newton**_: ♦_**물체의 운동과 그 변화**_를 나타내기 위한 ♦_**역학적인 관점**_에서 ♦_**미분의 아이디어**_를 생각해냄. 수학자이자 과학자인 Newton에게 있어 수학은 물리학을 연구하기 위한 수단이었으므로 변화하는 양을 소재로 하는 ♦_**유율법_**에 의해 미분을 생각해냄. - ♦**_Leibniz**_: ♦_**곡선에 접선**_을 긋는 ♦_**기하학적 관점**_에서 ♦_**미분의 아이디어**_를 생각해냄. _**현대적인**_ 적분기호 ∫와 dx. dy 등의 _**기호**_를 _**처음 사용**_. 미적분을 ♦_**계산 기술로 발전_**시키는 데 크게 기여함. ④ ♦18c 이후 - ♦**_Cauchy**_: ♦_**극한**_을 _**미적분학의 기초**_로서 그 ♦_**이론적 근거**_를 부여하였으며, 미적분학은 이러한 _**극한 방법**_을 사용하여 상당한 발전을 이루었다. _**현재의_ _ε__-__δ_ _방법에 가까운 방법**_을 전개하고 있다. ε-δ는 _**해석학의**_ ♦_**산술화_**에 기여했다. - ♦**_Weierstrass**_: ε-δ 방법의 도입으로 ♦_**엄밀한 전개_**를 함.

Answer 355

(**_기물_ _곡기_**) 미분은 ♦**_기하의 접선문제_**와 ♦**_물리의 속도문제_**를 다루면서 생겨났고, 적분은 ♦**_곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이_**를 구하는 데 있어 ♦**_기본도형을 이용하는 문제상황_**에서 생겨났다.

Answer 356

(**_계_ _역적미미연어_ _구_ _난일함_**) “♦**_계산의 효율적인 측면을 강조**_하기 위해” (참고로 고등학교에서 도입되는 _**미분**_은 _**평균변화율의 극한값_**으로 설명된다.) ♦**_역사발생적 원리**_를 미적분 지도에 직접적으로 적용하려면, ♦_**적분**_을 먼저 다루고 ♦_**미분**_을 이후에 도입한 후 ♦_**미적분학의 기본정리**_에 의해 이 _**두 가지 개념을**_ ♦_**연결**_ 지어야 하는데 이러한 도입 순서는 _**현실적으로 많은**_ ♦_**어려움_**이 따른다. ① ♦**_구분구적법**_으로 _**적분을 구해야**_ 하는데, 이 과정은 _**상당히 복잡하고 번거롭다_.** ② 적분이 미분에 비해 **_전반적인**_ ♦_**난이도**_가 높다. ♦_**일반적인 방법이 존재**_하는 _**미분**_과는 달리 _**적분의 경우**_는 ♦_**함수식의 형태에 따라 적분 방법이 달라지기 때문_**이다.

Answer 357

(**_개계_ _발유_**) 미분과 적분에 대한 ♦**_개념,_** **_원리의 이해보다_** ♦**_계산학습에 치중_**하게 되는 문제점이 있다. 또한 ♦**_발생맥락_**을 알 수 없어 미적분의 ♦유용성을 깨닫지 못한다.

Answer 358

(**_발문개_**) 미적분의 역사적 ♦**_발생맥락을 반영한_** ♦**_문제상황을 도입_**하여 ♦**_개념과 원리의 이해에 초점_**을 두고 지도한다.

Answer 359

**_미분법을 단순히 적용하기보다는_** 미분의 의미를 이해하고, 이를 활용하여 여러 가지 문제를 해결함으로써 미분의 유용성과 가치를 인식하게 한다.

Answer 360

(**_V__동의거오**_) (_**상_ _완직직_**) **_개념 정의**_란 개념을 정확히 설명하는 언어적 정의이고, _**개념 이미지_**란 개념과 정신적으로 관련된 모든 성질과 과정 및 심상들로 이루어진 인지구조이다. **♦****_Vinner_**에 따르면 개념 정의를 이해하고 기억할 때 **_개념 이미지를_ ♦_동원하는 것이 효과적**_이므로 학생들은 형식화된 개념 정의보다 _**개념 이미지에_ ♦_의존하는 경향_**이 있는데, 개념 이미지를 **♦**거치는 과정에서 **_여러 가지_ ♦_오류_**가 나타날 수 있다고 보았다. 그에 따르면 개념 정의와 개념 이미지가 **♦****_상호작용하는 방식_**에는 다음과 같이 네 가지 경우가 있다.

Answer 361

(**_개대_ _대반반내_ _조연하_**) (함수를 예로 들면) ① **_행동**_: ♦_**개념을 익히기 위해**_서는 우선 ♦_**대상에 대한 변환을 적용_**해보게 되는데 이러한 낱낱의 변환을 행동이라고 한다. (함수식의 변수에 값을 **_대입_**해 보는 것, 혹은 정의역의 원소를 공역의 원소로 **_대응_**시키는 것) ② **_과정**_: ♦_**대상에 대한 행동을**_ ♦_**반복**_하면서 ♦_**반성**_함으로써 ♦_**내면화_**되어 하나의 정신적인 과정이 된다. (함수를 **_입력과 출력_**으로 인식) ③ **_대상**_: _**과정을 전체적으로 인식_**하기 시작하면서 과정은 대상화되어 하나의 대상이 된다. (함수를 하나의 집합으로 간주하면서 **_집합에 대한 조작_**을 하는 것) ④ **_스키마**_: 행동, 과정, 대상이 ♦_**조직화되고**_ ♦_**연결**_됨으로써 ♦_**하나의 일관성 있는 구조_**가 되면 스키마가 된다. (함수에 대한 **_체계적 틀_**)

Answer 362

(**_대구과조_ _계추직형**_) (_**내압실_ _실조일새_**) **_수학적 개념**_은 _**대상**_과 _**과정**_의 두 가지 측면이 있으며, 이는 동전의 양면과 같이 _**상호보완적**_이라고 보았는데, 이는 _**APOS__이론과 상통**_하는 바가 있다. (♦_**대__상으로서의**_ ♦_**구__조적 방법**_과 ♦_**과__정으로서의**_ ♦_**조__작적 방법_**이 교대로 나타나면서 개념이 구성) ♦**_계__산적인 조작**_을 ♦_**추__상적인 대상**_으로 전이시키는데 유용하고, 고등학교의 ♦_**직__관적인 정의**_를 대학교의 ♦_**형__식적인 정의_**로 전이시키는데 시사점을 제공한다. ① ♦**_내__면화**_ 단계에서는 ♦_**실__제로 수행한 행동을 통해**_ ♦_**조__작이 구성되도록 한다_**. ② ♦**_압__축**_단계에서는 _**더**_ ♦_**일__반화된 경우를 생각_**한다. ③ ♦**_실__재화**_ 단계에서는 이제까지 다루어오던 것을 ♦_**새__로운 시각에서 조망하여 이해_**하게 된다.

Answer 363

(**_구직_ _대수포반_**) 대상수준이란 ♦**_구__체적인 수학적 대상들**_에 ♦_**직__접적으로 관여_**하는 수준이다. 메타수준이란 ♦대상수준보다 상위에 있는 것으로, ♦**_수__학적 대상들을 파악하고 조절**_하는 ♦_**포__괄적 활동에 관련_**되는 수준을 뜻하고, 이는 대상수준의 학습을 ♦반성하도록 촉진함으로써 이루어진다.

Answer 364

(**_어도수인_ _함_**) 수열은 ‘♦**_어떤 규칙에 따라 수를 차례로 나열한 것_**’으로 ♦**_도입_**하기 때문에 학생들은 ♦**_수의 나열이라는 측면에서만 수열을**_ ♦_**인식**_하는 경향이 있다. 그러나 _**수열은**_ ♦_**함수_**이며, 학생들에게 이런 점을 강조할 필요가 있다.

Answer 365

처음 k개의 항은 1,2,…,k로 공차가 1인 등차수열이지만, k항 이후에는 달라지는 수열을 만들 수 있다.

Answer 366

(**_무유정하**_) (_**유무연결_**) ⑴ **_Zeno__제논의 역설_** (패러독스) 거북이가 아킬레스보다 100m 앞서서 출발한다면, 결코 거북이는 아킬레스에게 역전당하지 않을 것이라고 생각하는 것이다. 아킬레스의 속도가 거북이의 속도보다 10배 빠르다고 하면, **_아킬레스**_가 _**거북이의 지점에 도달할 때마다_ _거북이**_는 _**항상 아킬레스보다 앞서게 되므로_** 거북이와 아킬레스 사이의 간격이 점점 좁혀지기는 하지만, 거북이는 아킬레스보다 항상 조금이라도 앞서게 된다는 것이다. (그 지점을 각각 100m, 10m, 1m, 0.1m, …라 할 수 있다.) 이에 내재된 논리적 오류를 정확히 지적하여 반박하는 것은 쉽지 않은 일이다. 수학에서 **_양수를 무한 번 더해도_ _그 합이 유한_**할 수 있다는 것이 밝혀진 후, 이 패러독스를 설명할 수 있었다. 즉, **_무한등비급수의 합**_을 배운 후에는 아킬레스가 처음 100m 달리는데 10초가 걸린다고 할 때, _**아킬레스가 거북이를 추월하기 위해 달린 총 시간_**을 계산하면 10+1+0.1+0.01+…=100/9 초가 되므로 100/9 초 이후에는 아킬레스가 거북이를 추월할 수 있다. ⑵ **_정적인 관점과 동적인 관점_** ① **_0.9999__…__=1_ _이해의 어려움_** (2015개정에서는 다루지 않는다.) (**_순환소수**_가 _**무한소수**_가 되는 경우만 다루고, _**유한소수_**가 되는 거 자체를 다루지 않는 거 같네.) (무한소수와 유한소수 구분의 혼동) (**_과정과 결과**_ 즉, _**동적인 관점**_에서 _**정적인 관점**_으로 이행하는 가운데 _**여러 가지 장애를 경험_**하게 되기 때문으로 보인다.) (참고로 수에는 기수와 서수라는 두 가지 측면이 있다. 이 중 **_기수**_는 _**정적인 관점의 수**_이고, _**서수**_는 _**동적인 관점의 수_**라고 할 수 있다.) (**_기수**_는 _**사물의 개수나 양을 나타내는 수**_이므로 “_**하나__,_ _둘__,_ _셋__, ~~**_”으로 읽어야 하고, _**서수**_는 _**사물의 순서를 나타내는 수**_이므로 “_**첫째__,_ _둘째__,_ _셋째__,~~**_” 또는 “_**일__,_ _이__,_ _삼__, ~~_**”으로 읽어야 한다.) 고등학교에서 극한개념을 이용한 **_무한등비급수의 합**_을 배운 후에는 수학적으로 _**더 정확하게 이해**_할 수 있지만, 중학교에서는 _**직관적으로 이해**_하는 것을 요구하는 수준이기 때문에 학생들에게 _**체감 난이도_**는 높다. (순환소수를 분수로 고치는 엄밀한 방법도) ② ♦**_무한급수의 합은**_ ♦_**유한부분합의 극한이다__._** (무한급수의 합= 무한급수의 값) (급수= 무한급수) 무한급수의 값을 유한부분합의 극한으로 보지 않고, ♦**_정적인 관점의 ‘결과’로 간주_**하여 ♦**_하나의 값_**으로 놓게 되면 다음 ⓐ와 같이 모순인 결과를 가져온다. ⑶ ♦**_유한에서 성립하는 여러 가지 성질을**_ ♦_**무한에 적용_** 식을 더하고 빼는 ♦**_연산**_을 적용하거나 ♦_**결합법칙**_을 적용하는 등의 _**유한에서 성립하는 여러 가지 성질**_을 _**무한에서 사용**_하면 다음 ⓑ와 같이 _**모순적인 결과**_를 얻을 수 있다. 심지어 ⓒ와 같이 _**오일러도 무한과 관련된 오류_**를 범했다.

Answer 367

대부분의 교과서에서는 자연로그 e를 **_함수의 극한으로 정의하기에 앞서**_ 다음의 _**은행 이자 문제**_와 같은 _**구체적인 상황_**을 제시한다. **_연이율_ _100%__인 금융상품**_이 있다고 하자. 이자를 _**1__년에 한 번**_이 아니라 _**여러 번 나누어 복리_**로 지급할수록 원리합계가 무한히 늘어날 것 같지만, 사실은 특정한 값에 수렵한다. 그 값이 바로 e=2.7182…이다. 즉, 이자를 지급하는 횟수를 아무리 늘려도 원리합계는 e를 넘기지 않는다는 것이다. (학생들은 ‘**_부자연스러운_**’ 수 e를 밑으로 하는 로그를 ‘**_자연로그_**’라고 하는 것이 아이러니로 여길 수 있다. 이 경우 **_e__의 출현과정을 약식으로나마 설명_**하고 이를 통해 e가 ‘자연스럽게’ 도출되는 값이라는 것을 알려주면 도움이 될 것이다.)

Answer 368

(**_단코_**) **_곱셈과 나눗셈**_을 각각 _**덧셈과 뺄셈**_으로 ♦_**단순화**_한다. _**17__세기 초**_에 발달했던 천문학에서 수반되는 _**큰 수의 복잡한 계산을 간편화**_하려고 실제적인 필요성에서 창안되었다. (로그 발명 이전에는 ♦_**코사인의 덧셈공식_**을 이용)

Answer 369

(**_직형인이_**) 고등학교의 ♦직관적 정의는 대학교의 ♦**_형식적 정의를_** 학생들의 ♦**_인지 수준을 고려_**하여 ♦**_이해를 돕기 위한 측면_**에서 교수학적 변환을 한 것이다. 즉 학문적 지식에 해당하는 형식적 정의를 교수학적 지식인 **_직관적 정의로 교수학적 변환_**을 하여 다루는 것이다. (**_수열의 극한에 대한 인지장애**_를 극복하는 방안으로 _**소크라테스식의 대화법_**을 중심으로 제시할 수 있다.)

Answer 370

(**_수가상직_**) **_일상적 표현_**이 갖고 있는 일상적인 의미 즉 **_비수학적인 자생적 관념_**은 **_극한 개념의 학습_**에서 인식론적 장애로 작용하기도 한다. ♦**_수열의 극한의 정의_**에서 사용된 “♦**_가까워진다_**”는 표현의 일상적 의미는 같지는 않으면서 둘 사이의 차이가 줄어든다는 의미를 갖는다. 예로는 ♦**_상수수열_**에 대해 뭔가에 가까워지는 것은 아니니까 극한값이 없다고 생각하는 것을 들 수 있다. 또한 **_수열_ _{n/n+1}**_의 극한값은 1이지만, ♦_**직관적인 정의_**를 따를 때에는 1.01, 1.001도 극한값이 될 수 있다.

Answer 371

(**_화극_ _수발증일변_ _운_**) ♦화살표를 사용한 ♦극한 명제 표현, ‘♦수렴한다’, ‘♦발산한다’, ‘♦증가한다’, ‘♦일정하다’, ‘♦변화한다’ 등과 같은 ♦운동은유가 역할을 한다.

Answer 372

(**_함변무과논**_) ♦_**함__수의 관점**_, ♦_**변__수의 관점**_, ♦_**무__한의 관점**_, ♦_**과__정과 결과**_, ♦_**논__리적 전개의 순서_**

Answer 373

(**_종대**_) (_**변변조존_**) 직관적 정의에서는 **_n이_ ♦_변__화함**_에 따라 _**an이_ ♦_변__화**_하는 ‘_**함수의_ ♦_종__속적 관점_**’을 취하는데 반해, 형식적 정의에서는 **_각_ _n에 대해 정해진_ ♦_조__건**_을 만족시키는 _**an이_ ♦_존__재**_한다는 식으로 ‘_**함수의_ ♦_대__응적 관점_**’을 취한다.

Answer 374

(**_동정**_) (_**커가존관_**) 직관적 정의에서는 **_독립변수_ _n이_ ♦_커__질 때**_, _**종속변수_ _an이 일정한 값에_ ♦_가__까워지는**_ _**‘_♦_동__적인__’_ _특성_**을 지니는데 반해, 형식적 정의에서는 **_수열의 항들이 이미_ ♦_존__재한다고 가정**_하고 _**항들과 극한 사이의_ ♦_관__계**_를 보는 _**‘_♦_정__적인__’_ _특성_**이 강하다.

Answer 375

(**_가실**_) (_**한어_**) 직관적 정의에서는 ‘♦**_한__없이 커지면 한없이 가까워진다__._**’는 표현에서 알 수 있듯이 항이 끝없이 계속된다는 **_‘**_♦_**가__능적 무한__’__을 기초_**로 한다. 형식적 정의에서는 수열이 무한하게 계속되지만 ♦**_어__느 순간 완결된 값_**을 갖는다고 생각하는 **_‘**_♦_**실__무한__’_ _개념을 바탕_**으로 한다.

Answer 376

(**_과결**_) (_**발보**_) (_**계정_**) 직관적 정의는 n의 변화에 따른 an의 변화 **_‘_♦_과__정__’__에 초점_**을 맞추는데 반해, 형식적 정의는 ∣an-a∣_‘_♦_결__과__’__로서의 극한값 a__에 주목_한다. 또한 직관적 정의는 **_극한값을 ‘_♦_발__견__’__하는데 초점_**을 두고 있지만, 형식적 정의는 **_발견된 수가 극한값임을 ‘_♦_보__증__’__하는데 초점_**을 맞춘다. 따라서 직관적 정의는 **_극한값을_ ♦_계__산하는데 유용**_하고, 형식적 정의는 _**극한값을_ ♦_정__당화하는데 유용_**하다.

Answer 377

(**_원결**_) (_**자논어_**) 직관적 정의는 독립변수 n이 커지는 원인에 의해 종속변수 an이 a에 가까워지는 결과를 생각하므로, 논리적 전개의 순서가 **_‘_♦_원인 → 결과’_**이다. 이에 반해, 형식적 정의는 종속변수가 ∣an-a∣ **_‘_♦_결__과_ _→_ _원인’_**의 역순서이다. 이처럼 수열을 ε-Ν 방법으로 정의할 때에는 **♦_자__연스러운 사고 방향을 역행_**하는 **♦****_논__리적인 반전_**이 뒤따라야 하므로, **_이해에 있어_ ♦_어__려움_**이 따른다.

Answer 378

(**_접속_ _순접_ _평_**) ① 미분개념의 근원 문제인 ♦**_접선문제_**나 ♦**_속도문제_** 상황을 제시한다. ② ♦**_순간속도_**의 정의와 ♦**_접선의 기울기_**를 다룬다. ③ 미분계수를 ♦**_평균변화율의 극한_** 개념으로 정의한다.

Answer 379

반례의 출현에 의해 기존 개념을 끊임없이 수정하고 개선해나간다. 결국 **_수학적으로 정확한 접선의 정의**_는 ‘_**할선의 극한_**’이다.

Answer 380

원의 둘레와 원의 넓이, 구의 겉넓이와 구의 부피 (**_평면도형**_과 _**입체도형**_의 _**불가분량**_은 각각 _**‘__현__’**_과 _**입체도형을 절단한_ _‘__단면__’_**이다.)

Answer 381

(**_불자의소유_**) 총론, 신은주 6대 역량 확인 **♦_불확실성에 대한 수학적 접근 과정_**에서 만들어진 것으로 초등학교에서는 **♦****_자료와 가능성**_이라는 영역명 사용하고 있으며, 우리나라 교육과정에서는_**확률과 통계지도의_ ♦_의의_**를 ‘다양한 자료를 수집, 분류, 정리, 해석하고 생활 속의 가능성을 이해함으로써, 미래를 예측하고 합리적인 의사결정을 하는 민주 시민으로서의 기본 소양을 기를 수 있다’ 와 같이 설명한다. (확률과 통계 교육의 목적이**♦****_소양의 교육**_이라는 점을 분명하게 알 수 있다.) (_**통계의_ ♦_유용성_** 인식)

Answer 382

(**_관통충공_ _수근_ _실표올모기_ _자실유_**) (**_근원사건의 등확률성_**) ② 통계적 확률과 수학적 확률의 ♦**_관계를 이해_**하고 ♦**_통계적 확률_**을 다룰 때 ♦**_충분히 많은 횟수의 시행을 구현_**하기 위하여 ♦**_공학적 도구_**를 이용할 수 있다. ③ ♦**_수학적 확률_**을 다룰 때, ♦**_근원사건의 발생 가능성이 동등하다는 것을 가정_**한다는 점에 유의한다. ③ ‘♦**_실제적인 예_**를 통하여 ♦**_표본조사의 필요성_**을 알게 하고, ♦**_올바른 표본추출_**이 ♦**_모집단의 성질을 예측_**하는 ♦**_기본조건_**임을 이해하게 한다.’ ⑦ ♦**_자료_**를 **_수집_**하고 **_정리_**하여 **_결과를 분석_**하는 활동을 통해 **_통계와 관련된_** ♦**_실생활 문제를 해결_**함으로써 통계의 ♦**_유용성_**과 **_가치_**를 인식하게 한다.

Answer 383

(**_혼있탐**_) (_**언어 공줄_**) 통계자료를 **_표와 그래프가_ ♦_혼합된 형태_**로 정리한 것으로 자료를 **♦****_있는 그대로_**보는 데 중점을 두는**♦****_탐색적 자료 분석방법_**이다. ① **_장점_**: 원래 자료의 손실 없이 **♦****_언제든지 원래의 자료를 확인_**할 수 있고, 변량을 크기순으로 나열하기 때문에**♦****_어떤 특정한 위치에 있는 값_**을 쉽게 구할 수 있다. (중앙값, 평균, 표준편차 등을 구할 수 있다.) ② **_단점_**: 자료의 크기가 클 때에는 변량을 일일이 나열하기에 **♦****_공간상의 제약_**이 있다.**♦_줄기의 개수_**를 정할 때 제약이 따른다.

Answer 384

(**_초분_ _많_**) **_통계 분석의_ ♦_초기 단계**_에서 _**자료를 정리할 때 자주 사용_**되는 것으로 자료의 **♦****_분포의 특성을 쉽게 파악_**할 수 있게 해준다. 계급의 개수가 너무 적거나 많으면 자료의 분포 상태를 알아보기 어렵기 때문에 계급의 개수는 보통 5~ 15개 정도로 한다. ① **_장점**_: _**자료의 수가_ ♦_많아**_ 자료를 _**체계적으로 정리**_하지 않으면 정보를 얻기 어려울 때 특히 유용하다. _**줄기와 잎 그림**_에서는 _**줄기의 간격**_을 _**원하는 만큼 다양**_하게 정하기 어렵지만, _**도수분포표**_에서는 _**계급의 크기**_를 _**다양_**하게 하기 용이하다.

Answer 385

(**_직붙_ _세가_**) 둘 다 그래프의 형태가 ♦**_직사각형의 형태**_를 띠지만, 각 직사각형이 ♦_**붙어있느냐 떨어져있느냐 차이**_가 있다. 둘 다 ♦_**세로가 도수를 의미**_하지만, ♦_**가로는 연속형 변량과 이산형 변량이라는 차이_**가 있다.

Answer 386

(**_변_ _여_**) 히스토그램의 직사각형의 윗변의 중점을 선분으로 이은 것으로 **_도수의_ ♦_변동 상태_**를 잘 나타내어 준다. ① **_장점_**: **♦****_여러 분포들**_을_**같은 계급**_으로 나누어_**한 장에 작성하여 비교할 때 자주 사용_**한다.

Answer 387

(**_소모_**) **♦****_소규모 자료의 정리와 해석_**에서 히스토그램은 **_계급의 크기에 따라_** **_그_** **♦****_모양이 현저하게 달라_**질 수 있지만, 줄기와 잎 그림은 자료 분포의 **_전체적인 모양_**을 쉽게 **_가늠_**할 수 있다. (지도서)

Answer 388

(**_파이수_**) 폴리아는 ♦**_파스칼삼각형**_(산술삼각형)에서 ♦_**이항계수 공식**_을 _**도출_**한 것이 ♦수학적 귀납법을 사용한 최초의 예라고 주장하였다.

Answer 389

다양한 상황과 맥락에서 **_경우의 수_**를 구하는 체계적인 방법이 존재한다. 사건이 일어날 가능성을 수치화한 **_확률_**은 정보화 사회의 불확실성을 이해하는 중요한 도구이다. 자료를 수집, 정리, 해석하는 **_통계_**는 합리적인 의사결정을 위한 기초 자료를 제공한다.

Answer 390

(**_어일사사_ _가무애무_**) ♦어떤 실험이나 관찰에서 각 경우가 일어날 가능성이 같을 때, (전제조건: 각 경우는 일어날 가능성이 같은 정도로 기대된다.) ♦일어날 수 있는 모든 경우의 수를 n, ♦사건 A가 일어날 경우의 수를 a라고 하면 ♦사건 A가 일어날 확률 p는 p=a/n이다. **_문제점_**: 각 결과가 나올 ♦**_가능성_**이 같은가, 모든 경우의 수가 ♦**_무한히 많은 경우_**, 모든 경우의 수의 ♦**_애매성_**, ♦**_무리수표현_**.

Answer 391

(**_이반어이_ _기진확_**) ♦이와 같이 같은 조건에서 실험이나 관찰을 여러 번 반복할 때, (전제조건: 각각의 사건에 대하여 시행에서의 무작위성을 가정한다.) ♦반복 횟수가 많아짐에 따라 ♦어떤 사건 A가 일어나는 상대도수가 일정한 값에 가까워지면 ♦이 일정한 값을 사건 A가 일어날 확률이라고 한다. **_수학적 확률에서 해결할 수 없는 문제를 설명할 수 있게 해준다_.** **_문제점_**: ♦**_기본적인 확률개념_**을 알고 있어야 한다, 유한 번 시행의 추측값 ♦**_진위 판단_** 어려움, 상대도수의 극한 **_결과_** **♦****_확인 및 일치_**의 어려움.

Answer 392

(**_관개이_ _어__pnX__임_ _표일확_**) Bernoulli의 업적으로, 성공과 실패의 두 가지 가능성을 가정하는 Bernoulli 시험에서 ♦**_관찰 횟수_**를 늘리면 미지의 확률에 대한 ♦**_개연적 확실성_**을 얻을 수 있다는 내용이다. **_학교수학_**에서는 **_큰 수의 법칙_**이라고 하며, **_통계적 확률_**의 ♦**_이론적 정당성_**을 부여해주는 것이다. ♦어떤 시행에서 사건 A가 일어날 수학적 확률이 ♦p이고, ♦n회의 독립시행에서 사건 A가 일어나는 횟수를 ♦X라고 하면, ♦임의의 양수 h에 대하여 ![]() 를 만족하는 것이다. 이는 ♦**_표본의 크기_ _n**_이 _**충분히 큰 경우_ _경험적 확률**_과 _**수학적 확률_ _p**_가 ♦_**일치할 가능성**_이 ♦_**확률적으로_ _1**_이 됨을 의미한다. (_**상대도수**_와 _**모비율_**)

Answer 393

(**_수시상__P_ _가차_**) 큰 수의 법칙에 의하면 시행횟수 n을 충분히 크게 하면 상대도수 X/n는 수학적 확률에 가까워지는 경향이 있으므로 ♦**_수학적 확률을 모를 때**_에는 ♦_**시행횟수를 충분히 크게 하여_** 얻은 **_사건 A의_** ♦**_상대도수 X/n_**를 **_사건 A가 일어날 확률_** ♦**_P(A)_**로 **_사용할 수 있다_**. 그러므로 자연현상이나 사회현상에서 수학적 확률을 구하기가 곤란한 경우에는 통계적 확률을 사용할 수 있다. 이 때, **_통계적 확률이 수학적 확률에_** ♦**_가까워진다고 지도하기보다_**는 **_통계적 확률**_과 _**수학적 확률**_의 ♦_**차이**_가 _**작아질 가능성이 커진다_**고 이해하도록 지도해야 한다. (출처 모름) (엄밀xxxx 직관o)

Answer 394

(**_컴실결통_**) **♦****_컴퓨터 시뮬레이션_** 등을 통해 **♦****_실험_**을 하고 **♦****_결과_**를 **_관찰_**하게 한다. 각 경우가 발생할 가능성이 같은 경우는 **_수학적 확률_**을 적용할 수 있지만, 직육면체와 같은 경우 넓은 면이 나올 가능성이 더 많으므로 수학적 확률을 적용하는 것이 아니라 **♦****_통계적 확률_**을 적용해야 함을 이해하게 한다.

Answer 395

(**_L__이시정_ _우점정_ _유핵_**) **♦****_Laplace의 업적_**으로, **♦****_이항분포_**에서 **♦****_시행 횟수가 무한히 커지면_** **♦****_정규분포에 가까워진다_**는 것을 나타낸다. 그 예시로는 Galton보드가 있다. **♦****_우연 현상_**, 즉 알려지지 않았거나 또는 전혀 알려지지 않은 과정이 어떻게 ‘**♦****_점차적으로_**’ **_잘 알려진_** **♦****_정규분포_**를 이루는지 알 수 있게 한다. (**_정규분포**_는 역사적 발달 과정에서 _**확률과 통계의_ ♦_유용성_**을 널리 인식하게 한 **♦**핵심적인 개념)

Answer 396

(**_이사관증새사_ _관어확명_**) ♦이미 알고 있는 확률, 곧 ♦사전 확률에서 출발하여 ♦관찰 또는 실험에서 얻은 ♦증거를 반영하여 ♦새로운 확률, 곧 ♦사후 확률을 만드는 과정을 나타낸다. ♦관찰결과는 일종의 정보이며, ♦**_어떤 사건에 대한 정보가 추가되면_** **_그_** ♦**_확률도 달라진다_**는 것을 ♦명확하게 하였다.

Answer 397

(**_통수극상명직_ _수종수계_ _엄깊이고직_**) 현재 중학교에서는 ♦**_통계적 확률**_을 먼저 고려한 후, 이어서 ♦_**수학적 확률**_을 도입하는데 중학생들은 ♦_**극한개념을 모르기 때문**_에 ♦_**상대도수의 극한**_이라는 것을 ♦_**명시적으로 언급**_해서는 _**안 되며**_, ♦_**직관적으로만 그 의미를 파악하도록**_ 해야 한다. ♦수학적 확률의 뜻은 _**상대도수의 극한으로 도입한 통계적 확률**_의 뜻과 ♦_**종합하여_ _확률의 뜻을 파악하도록_** 하고 있다. 그리고 이후의 대부분의 내용은 ♦수학적 확률에 의해 확률을 구하고 ♦계산하는 내용으로 이루어져 있다. 그러나 중학생들에게 **_두 관점을**_ ♦_**엄격하게 구분**_하거나 _**각 관점의 특징에 대해**_ ♦_**깊이 지도**_해서는 _**안 된다**_. 학생들의 ♦_**이해 수준을 넘어 서기 때문**_이다. ♦_**고등학교에서조차**_ 이 문제에 대해서는 ♦_**직관적인 수준에서만 파악하도록 지도_**한다.

Answer 398

(**_통어극_ _실신_ _물통실신_**) 학생들은 ♦**_통계적 확률**_이 _**상대도수의 극한으로 정의**_되므로 ♦_**어떤 상황에서나**_ ♦_**극한값이 존재한다고 가정**_할 것이다. _**그러나**_ ♦_**실제로는**_ 무한 번의 시행 또는 관찰을 할 수 없으므로 ♦_**신뢰구간에 의해 통계적 확률을 다루게 된다**_. 윷과 같이 ♦_**물리적 대칭성을 만족하지 않는 소재**_를 _**이용**_하면 ♦통계적 확률이 ♦실제적인 현상을 다루는 데 활용되는 정의이지만, ♦_**신뢰구간에 의해 다루어질 수밖에 없음**_을 _**인식_**시키는 데 도움을 줄 수 있다.

Answer 399

(**_정생직_**) 교육과정과 교과서에서 해당 내용들을 ♦**_정확하게 다루기보다**_ 관련 지식을 ♦_**생략하고**_ ♦_**직관적으로 다루고 있기 때문_**이다. 이는 해당 학교급의 수준을 넘어서는 지식이 많기 때문에 제한점이 따른다.

Answer 400

(**_일직판거자_**) **♦****_일상적인 행동과 사고_**에 **_확률_** **♦****_직관이 요구_**되고 **_확률적_** **♦****_판단이 요구되는 문제 상황_**에 **♦****_거듭 접하게 되므로_** 아동들의 확률적 사고는 **♦****_자발적으로 발달_**해간다.

Answer 401

(**_구학확확자_ _확자의_ _일**_) (_**연확귀이균_ _이**_) (_**인인중_**) ① 학교에서 확률에 대한 ♦**_구체적인 교육_**을 받기 이전에 ♦**_학생들이 발전시키는 직관_**은 ♦**_확률 개념을 이해하는데 방해_**가 되는 경우가 있으므로, ♦**_확률 개념을 이해_**하기 위해서는 ♦**_자연스러운 사고 과정을 거부_**하는 태도가 필요하다. 즉, ♦**_확률 개념이나 직관은_** 인지발달에 따라 ♦**_자발적으로 발달_**되는 것이 아니라 ♦**_의도적인 확률 교육을 통해서만이 발달될 수 있는 것_**이라 보았다. (♦**_일차직관의 방해_**) ② 확률을 가르칠 때, ♦**_연역적 사고방법_**만 가르친다면 확률의 의미를 진정으로 다룰 수 없다. ♦**_확률교육_**을 통해서는 무엇보다 ♦**_귀납적 사고의 가치와 역할_**을 가르쳐야 하며, ♦**_이미 발달시킨 직관의 한계_**를 **_이해하고 수정_**하여 ♦**_균형을 추구_**하는 것이 중요하다. (♦**_이차직관의 형성_**) ③ ♦인간의 행동 자체가 확률적이므로, ♦**_인간의 행동을 연구하는 관점_**이 **_확률교육에서_** ♦**_중시되어야_** 한다.

Answer 402

**_일차직관_** (초보적인 직관) 에 의해 함수의 연속을 그래프가 연결되어 있는지 먼저 파악해야 된다는 것은 학습에서 오개념이 발생할 수 있으므로 함수의 연속에 대한 **_이차직관_**인 함수연속의 형식적인 정의를 지도하였다. (**_함수의 연속**_을 _**수__Ⅱ**_에서 배우니까 _**디리클레함수_**가 반례로 제시될 수 있겠네.)

Answer 403

(**_체개인_ _개학신_**) 일차 직관이란 ♦**_체계적인 교육과 무관_**하게 ♦**_개인적인 경험의 결과로 발달_**하는 ♦**_인지적 신념_**이다. (14기출) 이차 직관이란 ♦**_개인의 자연스러운 정상적인 경험에 의해 생성되는 것_**이 아니라 ♦**_학습된 개념으로부터_** ♦**_신념으로 전환된 것_**이다.

Answer 404

수학에서 **_어떤 대상의 존재성을 인정_**할 때 **_논리적 무모순성이 기준_**이 됨을 알게하여 학생들이 **_형식적인 수학의 가치_**를 알게하는 과정이 필요하다. 이를 이차적 직관의 형성이라고 한다.

Answer 405

(**_대정조결인**_) (_**표모표무_ _개정_ _최초_ _일특_ _도인_**) ① ♦**_대표성 전략**_: ♦_**표본의 크기에 관계없이**_ ♦_**모집단과 유사할 것을 기대**_하거나, ♦_**표본을 추출하는 과정**_이 ♦_**무작위성을 반영하기를 기대_**하는 것이다. ② ♦**_정보의 이용가능성 전략**_: ♦_**개인적으로 이용할 수 있는**_ ♦_**정보에 영향을 받는 것_**을 가리킨다. ③ ♦**_조정과 고정 전략_**: ♦최종적인 답을 얻기 위하여 최초의 값을 조정하되, ♦초기 값을 어떻게 정했는가에 따라 다른 값을 얻는 현상이다. ④ ♦**_결과 중심 판단**_: ♦_**일어날 가능성이 얼마나 되는가**_를 추정하기 보다는 ♦_**특정한 결과가 실제로 일어날 것인가_** 여부를 결정하는 것이다. ⑤ ♦**_인과적 정보에 의한 판단**_: ♦_**도수에 관한 정보**_보다는 ♦_**인과적 정보_**에 주목하여 판단하는 현상이다.

Answer 406

(**_역_ _부종_ _B__다_**) 확률 교육에서 패러독스는 확률 개념의 ♦**_역사 발생을 경험하게 하는 자료로 활용_**될 수 있다. ① 대부분의 문제 상황에서는 부분에 대한 논의를 종합하여 전체에 대한 결론을 얻는 것이 합리적이고 타당하다. 하지만 확률 문제에서 ♦**_부분으로 분해하여 논의한 후**_ ♦_**종합하는 전략_**을 적용할 때에는 주의해야 한다. ② ♦**_Bertrand__의 현**_은 확률이 수학의 ♦_**다른 영역과 어떻게 차별되는지_** 알게 한다.

Answer 407

(**_비원발실**_) (_**우주신단_ _과우판초_ _간적초차_ _우의차적_**) 이들 여러 개념 수준은 반드시 선형적으로, 베타적으로 존재하는 것은 아니다. ① ♦**_비확률적 사고 수준**_: ♦우연 현상이나 무작위 사건에 대하여 주목하지 않으며, ♦주목한다고 해도 잘 이해하지 못하고, _**수학적인 판단이 아니라**_ ♦_**신념에 근거하여 판단**_하거나 또는 ♦_**단일한 결과만을 예측하고 확인_**하는 수준이다. ② ♦**_원시 확률적 사고 수준**_: ♦_**과거의 경험에 기초하여 판단**_하고 ♦우연이나 무작위 사건의 의미를 불완전하게 이해하며, 대표성, 이용 가능성 등의 ♦_**판단 전략을**_ ♦_**초보적이고 직관적으로 사용_**하는 수준이다. ③ ♦**_발생 단계의 확률적 사고 수준**_: ♦_**간단한 문제 상황에 수학적 확률 또는 통계적 확률 개념을**_ ♦_**적용하는 단계**_를 의미하는 것으로 _**확률 교육을 받은**_ ♦_**초기 단계에 도달_**하는 수준으로 볼 수 있다. 신념과 수학적 모델 간에는 ♦차이가 있음을 인지하기도 한다. ④ ♦**_실제적인 확률적 사고 수준**_: ♦_**우연__에 대한 여러 수학적인 관점**_, 곧 통계적 확률과 수학적 확률 등의 ♦_**의미**_와 _**전제조건**_, _**제한점**_을 이해하며 이들 사이의 ♦_**차이점을 알고 적절하게**_ ♦_**적용_**하는 능력을 가지는 단계이다.

Answer 408

(**_해답인공현극_**_)_ 학교수학에서, ♦**_해결과정이 간단_**하거나 그 ♦**_답이 비교적 간단한 수치로 나오는 문제_**를 다루면서 현실과 관련없는 ♦**_인위적인 문제_**를 다루게 되었는데, 이는 ♦**_공학적 도구_**를 이용하여 ♦**_현실과의 관련성이 충만한 문제_**로 그 **_영역을 확대함으로써_** ♦**_극복_**할 수 있다.

Answer 409

(**_현수_ _학자_**) **_문제점_**으로는 첫째, ♦**_현실과 단절된 추상 체계_**로서 다룬다는 것이다. 둘째, ♦**_수량적인 자료로 가득한_** **_계산 패턴 체계_**로서 다룬다는 것이다. **_주장_**으로는 첫째, ♦**_학습자의 현실을 고려_**하여 **_문제 상황을 구성_**해야 한다는 것이다. 둘째, 아동은 인류의 학습과정을 재현하기 때문에, **_역사연구를 통하여_** ♦**_자연스러운 상황을 개발_**해야 한다는 것이다.

Answer 410

(**_간자_**) **♦****_간단한 계산_**과 **_간단한 그림_**에 대한 **_해석에 기초_**하여 **♦****_자료 이면에 들어 있는 의미를 파악하는 시도_**이다. 자료를 표로 정리하고 자료의 추세와 분포에 주목하는 것은 탐색적 자료 분석의 주요한 방법이다.

Answer 411

(**_저현**_) (_**일비중_ _그다_**) 첫째, ♦**_저항성_**이다. 이는 ♦**_일부 자료가 파손_**되어도 **_자료 전체_**에 대하여 ♦**_비교적 합리적인 해석_**을 내릴 수 있다는 의미이다. 그러므로 탐색적 자료 분석의 관점에서는 **_평균보다_** ♦**_중앙값을 선호_**한다. 둘째, ♦**_현시성_**이다. 이는 자료를 ♦**_그래프로 나타냈을 때_** 그 그래프를 **_해석_**함으로써 ♦**_다양한 의미를 도출_**할 수 있다는 것이다.

Answer 412

(**_많상수_ _많간직_**) 첫째, 주사위를 ♦**_많이 던질수록_** 주사위의 각 눈이 나온 ♦상대도수가 각 눈이 나올 ♦**_수학적 확률에 가까워진다_**는 것을 확인할 수 있다. 둘째, ♦많은 횟수의 실험을 ♦간접적으로 경험하게 함으로써 **_수학적 확률_**과 **_통계적 확률_** 사이의 **_관계를_** ♦**_직관적으로 파악_**하는 기회를 제공한다.

Answer 413

(**_여정아_ _실가상일불_**) (출처가 신론도 아니고 민아도 아니고.. 모고인가?) (09-2차기출) 첫째, ♦**_여러 번 되풀이한다는 의미_**가 어느정도인지 ♦**_정확하게 판단_**할 수 없기 때문에 ♦**_아무거나 선택할 가능성_**이 있다. (횟수에 대해) 둘째, ♦**_실무한 개념_**이 아직 형성되지 않고 ♦**_가무한 관점_**에 머물러 있으므로 ♦**_상대도수_**가 ♦**_일정한 값에 가까워진다는 의미_**를 ♦불완전하게 이해할 가능성이 있다. (0.50001 이라고도 답할 수 있다.)

Answer 414

(**_수적 수판**_) (_**주이비수**_) (_**단불_ _단제복_ _전복_ _전둘_**) ## Footnote 학생들의 ♦**_수__준을 파악**_하고 그에 따라 ♦_**적__절한 지도방안**_을 탐색해야 한다. 각 ♦_**수__준**_과 그 ♦_**판__단준거_**는 다음과 같다. ① ♦**_주__관적 사고_**: ♦단일 사건의 모든 경우를 ♦불완전하게 나열한다. ② ♦**_이__행기_**: ♦단일 사건의 모든 경우를 나열하고, ♦제한적이거나 체계적이지 않은 전략을 사용하여 ♦복합 사건의 모든 경우를 나열한다. ③ ♦**_비__형식적 양적 사고_**: ♦전략을 일부 활용하여 ♦복합 사건의 모든 경우를 나열한다. ④ ♦**_수__치적 사고_**: ♦전략을 활용하여 ♦둘 또는 세 사건으로 이루어진 복합 사건의 모든 경우를 나열한다.

Answer 415

(**_대구과조_ _계추직형**_) (_**내압실_ _실조일새_**) **_수학적 개념**_은 _**대상**_과 _**과정**_의 두 가지 측면이 있으며, 이는 동전의 양면과 같이 _**상호보완적**_이라고 보았는데, 이는 _**APOS__이론과 상통**_하는 바가 있다. (♦_**대__상으로서의**_ ♦_**구__조적 방법**_과 ♦_**과__정으로서의**_ ♦_**조__작적 방법_**이 교대로 나타나면서 개념이 구성) ♦**_계__산적인 조작**_을 ♦_**추__상적인 대상**_으로 전이시키는데 유용하고, 고등학교의 ♦_**직__관적인 정의**_를 대학교의 ♦_**형__식적인 정의_**로 전이시키는데 시사점을 제공한다. ① ♦**_내__면화**_ 단계에서는 ♦_**실__제로 수행한 행동을 통해**_ ♦_**조__작이 구성되도록 한다_**. ② ♦**_압__축**_단계에서는 _**더**_ ♦_**일__반화된 경우를 생각_**한다. ③ ♦**_실__재화**_ 단계에서는 이제까지 다루어오던 것을 ♦_**새로운 시각에서 조망하여 이해_**하게 된다.

Answer 416

(**_구직_** **_대수포반_**) 대상수준이란 ♦**_구체적인 수학적 대상들_**에 ♦**_직접적으로 관여_**하는 수준이다. 메타수준이란 ♦대상수준보다 상위에 있는 것으로, ♦**_수학적 대상들을 파악하고 조절_**하는 ♦**_포괄적 활동에 관련되는 수준_**을 뜻하고, 이는 대상수준의 학습을 ♦반성하도록 촉진함으로써 이루어진다.

Answer 417

(**_덧왜_**) 확률의 ♦덧셈정리를 적용하여 답을 구하면서도 ♦왜 그렇게 하는지를 모르는 경우.

Answer 418

(**_정적제_ _어_**) 학생 A는 유리수 지수에 대한 ♦정의를 바탕으로 구체적인 문제 상황에 ♦적용할 수는 있으나 유리수 지수는 밑이 0보다 큰 경우에 대하여 정의된다는 ♦제한조건을 이해하지 못하고 있다. 이는 구체적인 수학적 대상들에 직접적으로 관여하는 수준으로 대상수준에 해당한다. 반면 학생 B는 ♦어떤 조건에서 유리수 지수를 정의할 수 있는지를 알 수 있는 상태로 메타수준에 해당한다. 메타수준은 대상수준보다 상위에 있는 것으로, 수학적 대상들을 파악하고 조절하는 포괄적인 활동에 관련되는 수준을 뜻하고, 이는 대상수준의 학습을 반성하도록 촉진함으로써 이루어진다.

Answer 419

(**_전일모표_**) (가)의 ♦**_전수조사는 비경제적_**이므로 이러한 경우에는 ♦**_일부를 뽑아 조사_**하고 그 결과로부터 ♦**_모집단에 대하여 추정_**하는 것이 바람직하다. 이로부터 ♦**_표본추출의 필요성_**을 이해하도록 할 수 있다.

Answer 420

(**_표편올_**) (나)는 모집단에서 ♦**_표본_**을 추출할 때 ♦**_편향되지 않게 추출_**하는 방법을 생각해보도록 하여 ♦**_올바른 표본추출 방법_**을 생각해보도록 하는 것이 목적이다.

Answer 421

(**_가_ _모모두_**) ① **_평균_**: 자료 전체의 변량을 모두 더해서 자료의 총 개수로 나눈 값이다. (by me) ② **_중앙값**_: 자료의 개수가 _**홀수인 경우**_에는 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하여 _**한가운데에 있는 값**_이고, _**짝수인 경우**_에는 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 _**한가운데 있는 값**_이 두 개이므로 _**이 두 값의 평균값_**이다. ③ **_최빈값**_: 변량 중 ♦_**가장 많이 나타나는 값**_이다. _**변량이**_ ♦_**모두 다르거나_ _서로 다른 변량의 각각의 개수가**_ ♦_**모두 같은 경우**_에는 최빈값이 존재하지 않는다. 또, 자료에 따라서는 _**최빈값이**_ ♦_**두 개 이상일수도_** 있다.

Answer 422

(**_요비부_ _각하_**) **_자료의 분포 상태를_ ♦_요__약**_하거나 _**두 개 이상의 자료를_ ♦_비__교**_하고자 할 때에는 분포 상태를 나타내는 _**그래프만으로는_ ♦_부__족_**할 때가 있으므로 이런 경우 **♦****_각_ _자료 전체의 중심적인 경향이나 특징을 대표할 수 있는 값_**을**♦****_하__나의 수로 나타낼 필요_**가 있기 때문이다.

Answer 423

(**_모극선**_) (_**평_**) **_평균_**은 **_실생활에서 자료의 ♦모든 값을 사용_**하여 대푯값을 정해야 하는 경우에 적절하다. **_중앙값_**은 **_자료에서 ♦극단적인 값이 있어서_** 극단적인 값이 대푯값에 영향을 미치지 않게 해야 하는 경우에 적절하다. (줄기와 잎그림) (**♦**평균만 특이값에 영향을 많이 받음) **_최빈값_**은 **_♦_****_선호도_**, **_지지도_**, **_인기도_** **_등을 측정_**하여 대푯값을 정해야 하는 경우에 적절하다. (**_변량의 개수가 너무 적으면**_ _**자료 전체의 특징을 반영하지 못할 수도 있다_**는 단점이 있다.)

Answer 424

(**_변_ _WM_ _주조생**_) (_**의주_ _가탈과_**) **_교과서 과제를 일부 ♦변형**_할 필요가 있다. _**♦_****_Watson과 ♦Mason__이 제안한 과제_**는**♦**주어진 자료의 대푯값을 구하는 것이 아니라**♦**조건을 제시하고 그**_조건에 맞는 자료집합을_ ♦_생성_**하도록 한다는 특징이 있다. 그**♦****_의의_**는 다음과 같은 효과로**_학생들이_ ♦_주체적으로 대푯값을 배우도록 한다_**는 점에 있다. ① **♦****_가역적 사고의 촉진_** ② **_메타수준의 학습_**을 유도하여 **♦****_탈배경화와 탈개인화_**의 촉진 ③ **♦****_과정 중심 평가_**를 실행하는데 매우 적합한 과제

Answer 425

(**_M_ _이경관우**_) (_**자모인**_) (_**자규_**) (♦Moore는 **_통계학**_이 ♦_**이론적이기보다는**_ ♦_**경험적**_이며, 그렇기 때문에 _**자료를**_ ♦_**관찰하는 과정**_이 ♦_**우선적으로 전제_**되어야 한다고 보았다.) **_통계적 사고**_는 ♦_**자료의 변이성**_이 우리 주변에 그리고 우리가 행동하는 ♦_**모든 것에 존재하고 있음을**_ ♦_**인식_**하는 사고 과정이다. **_통계적 사고 과정**_은 이러한 ♦_**자료의 변이성 속에서**_ ♦_**규칙성을 찾는 것_**이다.

Answer 426

(**_문계자__분결**_) (_**정형_ _측표자예결_ _수관정_ _자계계가_ _결결새상_**) ① ♦**_문제 단계**_: 체계적으로 ♦_**정보를 확인**_하여 _**문제로**_ ♦_**형식화_**하게 된다. ② ♦**_계획 단계**_: ♦_**측정 방법**_을 결정하고, ♦_**표본 추출 방법**_을 선택하며, ♦_**자료 관리 체계와**_ ♦_**예비 조사 방법**_ 그리고 ♦_**결과를 분석하는 방법_**을 결정하게 된다. ③ ♦**_자료 단계**_: 필요한 자료를 ♦_**수집**_하고, ♦_**관리**_하며, ♦_**정돈_**한다. ④ ♦**_분석 단계**_: ♦_**자료 검토**_, ♦_**계획했던 대로 하는 자료 분석**_, ♦_**계획하지 않았던 방식으로 하는 자료 분석**_, 그리고 _**이에 근거하여**_ ♦_**가설을 생성_**한다. ⑤ ♦**_결론 단계**_: ♦_**결과 해석**_, ♦_**결론 도출**_, ♦_**새로운 아이디어 모색**_, ♦_**상호 의견 교환_**을 한다.

Answer 427

(**_자수자통통_**) **♦_자료의 필요성 인식_**, **♦****_수량화_**,**♦****_자료의 변이성 탐구_**, **♦****_통계 모델에 따른 추론_**,**♦****_통계와 맥락의 통합_**

Answer 428

(**_실통문_**) **♦****_실세계에서 통계적인 문제 상황_**에 부딪혔을 때, **♦****_통계적인 정보를 바탕_**으로 **_그_** **♦****_문제 상황_**을 해석, 이해, 비판, 평가, 해결할 수 있는 그런 능력이다. (**_기통__수맥비_ _태신비_**)

Answer 429

(**_기통수맥비**_) (_**말학통적_**) 첫째, ♦**_기본소양_**이다. 이는 ♦말하고, 읽고, 쓰고, 간단히 계산하는 능력을 말한다. 둘째, ♦**_통계적 지식_**이다. 이는 ♦학교 수학의 통계 단원에서 다루는 내용을 말한다. 셋째, ♦**_수학적 지식_**이다. 이는 ♦통계적 지식을 다룰 때 활용하는 내용을 말한다. 넷째, ♦**_맥락적 지식_**이다. 다섯째, ♦**_비판적 질문_**이다. 이는 ♦적합, 타당, 신뢰성, 정확, 왜곡여부 등을 확인하는 것을 말한다.

Answer 430

(**_태신비**_) (_**통더통_**) 첫째, 태도와 신념이다. ♦**_태도_**는 ♦통계 관련 내용, 행동, 주제 등에 대한 느낌과 관련된 것이고, ♦**_신념_**은 ♦더 오랜 시간 동안 형성되는 것으로 태도보다 더 변화하기 어려운 면이 있다. 둘째, ♦**_비판적 자세_**다. 이는 ♦통계와 더불어 주어지는 정보를 무조건 거부하거나 수용하지 않고 비판적으로 검토하는 태도를 가리킨다.