آناليز تركيبي

Question 1

اصل ضرب
فرض كنيد دو آزمايش بايد اجرا شوند. اگر آزمايش ١ بتواند يكي از n نتيجه ممكن را كسب نمايد و “براي هرنتيجه آن، m نتيجه ممكن براي آزمايش ٢ وجود داشته باشد، آنگاه براي انجام دو آزمايش باهم…. نتيجه ممكن وجود خواهد داشت

Answer 1

mn

Question 2

جايگشت n عنصر

Answer 2

تعداد طرقي كه مي توان n عنصر متمايز را در يك رديف قرار داد

Question 3

تعميم اصل ضرب
فرض كنيد r آزمايش صورت گيرد بطوريكه اولين آزمايش n1 نتيجه ممكن داشته باشد و براي هر نتيجه آزمايش اول، n2 نتيجه ممكن براي آزمايش دوم و براي هر نتيجه از دو آزمايش اول و دوم n3 نتيجه براي آزمايش سوم،… و براي هر نتيجه از r-1 آزمايش آزمايش اول nr نتيجه براي آزمايش rام وجود داشته باشد، آنگاه …. نتيجه ممكن براي انجام آزمايش وجود خواهد داشت

Answer 3

n1n2…nr

Question 4

فرمول جايگشت n عنصر

Answer 4

مطابق اصل ضرب:

n(n-1)…32*1= n!

Question 5

تعداد طرقي كه مي توان n نفر را دور يك ميز نشاند

Answer 5

(n-1)!

Question 6

تعداد تقسيمات n شيء مشابه در k سلول (نفر)

Answer 6

(n+k-1; k-1)

n+k-1; n

Question 7

تعداد تقسيمات n شي مشابه در k سلول بطوريكه در هر سلول حداقل ١ شيء قرار گيرد

Answer 7

(n-1; k-1)

Question 8

مي خواهيم n شي متفاوت را به r ظرف متفاوت طوري تقسيم كنيم كه در ظرف اول n1 شي، در ظرف دوم n2 شي و در ظرف rام nr شي قرار گيرد به چند طريق اينكار امكانپذير است؟

Answer 8

(n ; n1, n2,…, nr)=n!/ n1! n2! n3!

Question 9

(n ; n1, n2,…, nr)=n!/ n1! n2! n3!

از فرمول بالا وقتي استفاده مي كنيم كه:
اشيا…
گروهها…
و…

Answer 9

متفاوت
متفاوت
دقيقا معلوم باشد هر گروه چه تعداد عضو مي پذيرد

Question 10

تعداد حالات قرار گرفتن n شي متفاوت در r ظرف:

Answer 10

r^n

Question 11

r^n
در رابطه بالا 
اشيا ...
گروهها ...
و...

Answer 11

متفاوت
متفاوت
مشخص نيست هر ظرف چه تعداد عضو مي گيرد

Question 12

تعداد طرق قرار گرفتن n توپ يكسان در r ظرف متفاوت:

Answer 12

(n+r-1; r-1)

Question 13

به چند طريق مي توان m شي و n شي را يك در ميان دور يك ميز چيد؟

Answer 13

m! (n-1)!

Question 14

به چند طريق مي توان m شي و nشي را دور يك ميز چيد بطوري كه mها كنار هم و nها كنار هم باشند

Answer 14

دو گروه داريم

(2-1)! m! n!

Question 15

توپها متمايز باشند و از نظر توپ در هر جعبه محدوديتي نباشد

و ترتيب قرار گرفتن توپها درون جعبه ها مهم باشد

Answer 15

فرض كنيد
O1,O2,…On
توپهاي متمايز باشند براي تقسيم بندي آنها در k جعبه به k-1 علامت نامتمايز “|” نياز داريم حال اگر تعداد جايگشتهاي تكراري اين. (n+k-1) شي را كه k-1 عدد از آنها نامتمايزند، حساب كنيم،مقدار حالات مورد نظر بدست مي آيد:
(n+k-1)! / (k-1)!

Question 16

توپها نامتمايز باشند و از نظر تعداد توپ در هر جعبه محدوديتي نباشد

Answer 16

كافيست تعداد حالات قسمت قبل (توپهاي متمايز) را بر !n تقسيم كنيم كه بدليل نامتمايز بودن توپهاست
(n+k-1; k-1)= (n+k-1; n)

Question 17

به چند طريق مي توان ٦ زوج را در يك رديف چيد بطوريكه زنها كنار هم باشند

Answer 17

ابتدا زنها را يكي فرض ميكنيم با ٦ مرد مي شوند ٧ نفر
خود زنها هم به !٦ ميتوانند با خودشان جابجا شوند
6! . 7!

Question 18

توپها متمايز باشند و در هرجعبه حداكثر يك توپ برود
k>=n
(تعداد جعبه ها از توپها بيشتر است)

Answer 18

ترتيب

k!/ (k-n)!

Question 19

توپها نامتمايز باشند و در هرجعبه حداكثر يك توپ برود
k>=n
تعداد جعبه ها مساوي يا بيشتر از تعداد توپها

Answer 19

تركيب

k!/ (k-n)! n!

Question 20

به چند طريق ميتوانيم ٦ زوج را كنار هم بچينيم بطوري كه هيچ دو زني كنار هم نباشند؟

Answer 20

ابتدا مردها را به !٦ مي نشانيم سپس ٦ زن بايد در ٧ مكان بنشينند كه مي شود !٧
!٧*!٦

Question 21

به چند طريق مي توان m مهره نامتمايز سفيد و n مهره نامتمايز سياه را در يك رديف قرار داد بطوريكه هيچ دو مهره سفيدي كنار هم نباشند

Answer 21

ابتدا مهره هاي سياه (n) را ميچينيم و سپس مهره هاي سفيد (m) را بين آنها قرار مي دهيم n+1 مكان براي m مهره داريم
(n+1; m)

Question 22

٤ اثر از داليز، ٥ اثر از ون گوگ و ٦ اثر از پيكاسو وجود دارد و ٥ نفر خريدار همه اين آثار هستند به چند طريق امكانپذير است؟

Answer 22

آثار هنرمندان با هم متفاوت است ولي اثر هر هنرمند با بقيه آثار خودش يكسان فرض مي شود

تعداد طرق قرار گرفتن n توپ يكسان در k ظرف متفاوت:
(n+k-1; k-1)
(8; 4)(9; 4)(10; 4)