Элементы векторной алгебры. Умножение векторов

Question 1

Орта

Answer 1

Вектор, модуль которого равен 1 и направление которого совпадает с осью координат.
Орты на оси: Ox: i, Oy: j, Oz: k.

Question 2

Скалярное произведение векторов

Answer 2

a * b = (a,b) = |a| * |b| * cos(a^b) = |a| * пр(a)b = |b| * пр(b)a, где cos(a^b) - косинус между векторами, пр(a)b - проекция вектора a на вектор b, пр(b)a - соответственно b на a.
Результат скалярного произведения - это число.

Question 3

Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе

Answer 3

a * b = a(x) * b(x) + a(y) * b(y) + a(z) * b(z).
Пусть i, j, k - орты и вектор a = a(x) * i + a(y) * j + a(z) * k, где a(x) - проекция вектора a на ось Ox, a(y) и a(z) - соответственно на Oy и Oz.

Question 4

Свойства скалярного произведения векторов

Answer 4

1) Коммутативность: a * b = b *a;
2) Ассоциативность: (α * a) * b = a * (α * b) = α * (a * b), α - число;
3) Дистрибутивность: a * (b + c) = a *b + a * c;
4) a * a = a^2 ≥ 0;
5) (a * b = 0) <=> (a перпендикулярно b).

Question 5

Вычисление проекции вектора a на ось вектора b

Answer 5

пр(b)a = a * b / |b| = a * cos(a^b)

Question 6

Направляющие косинусы вектора

Answer 6

Косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.
cosα = a(x) / |a|;
cosβ = a(y) / |a|;
cosγ = a(z) / |a|.

Question 7

Вычисление координат вектора

Answer 7

т. A( x1; y1; z1)
т. B(x2; y2; z2)
Вектор AB = (x2 -x1; y2 - y1; z2 - z1)

Question 8

Векторное произведение векторов

Answer 8

a ⨯ b = [a,b] = c, причём:
1) c перпендикулярна a и b;
2) |c| = |a| * |b| * sin(a^b);
3) c = определитель: первая строка(i, j, k) вторая(a(x), a(y), a(z)) третья(b(x), b(y), b(z));
4) a, b, c - правая система (тройка);
5) |c| - площадь параллелограмма со сторонами a и b.
Результат векторного произведения - это вектор.

Question 9

Свойства векторного произведения векторов

Answer 9

1) Антикоммутативность: a ⨯ b = -b ⨯ a;
2) (α * a) ⨯ b = α * (a ⨯ b), α - число;
3) Дистрибутивность: (a + c) ⨯ b = (a ⨯ b) + (c ⨯ b);
4) (a ⨯ b = 0) <=> (a коллинеарно b);

Question 10

Таблица векторного умножения

Answer 10

i ⨯ i = 0;
i ⨯ j = k;
i ⨯ k = -j;
j ⨯ i = -k;
j ⨯ j = 0;
j ⨯ k = i;
k ⨯ i = j;
k ⨯ j = -i;
k ⨯ k = 0;
Где i, j, k - орты осей Ox, Oy, Oz соответственно.

Question 11

Система (тройка) векторов

Answer 11

Три некомпланарных вектора, приведённых к общему началу.

Question 12

Правая тройка векторов

Answer 12

Тройка векторов a, b, c - правая, если поворот из вектора a к вектору b смотря с вектора c идёт против часовой стрелки. Иначе она левая. Правая тройка - положительна, левая - отрицательна.

Question 13

Двойное векторное произведение

Answer 13

a ⨯ b ⨯ c = b * (a * c) - a * (b * c);

a ⨯ (b ⨯ c) = b * (a * c) - c * (a * b).

Question 14

Смешанное произведение векторов

Answer 14

(a ⨯ b) * c = (a, b, c) = a * b * c = определитель: первая строка(a(x), a(y), a(z)) вторая(b(x), b(y), b(z)) третья(c(x), c(y), c(z)).

Question 15

Свойства смешанного произведения

Answer 15

1) ((a, b, c) = 0) <=> (a, b,c - компланарны);
2) (a, b, c) = (a, c, b) = (b, a, c) = (c, b, a);
3) (a ⨯ b) * c = a * (b ⨯ c);
4) (α * a, b, c) = α * (a, b, c);
5) (a1 + a2, b, c) = (a1, b, c) + (a2, b, c);

Question 16

Ортонормированный базис трёхмерного пространства

Answer 16

Упорядоченная система векторов i, j, k, модули которых равны 1 и они взаимно перпендикулярны (ортогональны). (Или просто: упорядоченная система трёх орт).