Понятие о скалярных и векторных величинах Flashcards
Величина, значение которой определяется только числом, взятым со знаком «плюс» или «минус».
Скалярная величина
Величина, значение которой определяется не только числом, но и направлением в пространстве.
Векторная величина
Направленный отрезок, определённым образом ориентированный в пространстве.
Геометрический образ вектора
Вектор имеет…
Начало, конец (со стрелкой) и определённую длину.
Число, выражающее длину вектора (длина направленного отрезка, измеренная в определённом масштабе).
Модуль вектора |ā|
Два вектора a и b считаются равными…
Если они имеют одинаковую длину и направлены в одну сторону.
Противоположные (обратные) вектора — это…
Два вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные.
Обозначение противоположного вектора.
–ā
При умножении векторной величины на скалярную величину (число n) модуль…
Увеличиваются в n раз.
При умножении векторной величины на скалярную величину (число n) направление…
Остаётся неизменным при n > 0 и меняется на противоположное при n < 0.
Векторы можно складывать способом…
Параллелограмма и многоугольника.
Сложение векторов способом параллелограмма:
Сумма двух векторов a и b, направленных под углом альфа, равна диагонали параллелограмма, сторонами которого являются складываемые вектора (векторы складываются геометрически).
Сложение векторов правилом «треугольника»:
К концу одному вектора приставляется начало второго (порядок не существен). Суммой векторов a и b будет вектор c, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго вектора.
Длину вектора суммы (модуль) определяют по…
Теореме косинусов.
A = √(a^2 + b^2 – 2ab * cos(180 – α)) = √(a^2 + b^2 + 2ab * cos(α))
где α — угол между a и b.
Сложение векторов способом многоугольника:
К концу первого вектора приставляется начало второго, к концу второго — начало третьего и т.д., тогда результирующий вектор ē представляет собой направленный отрезок, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего.
Результирующий вектор ē не зависит от последовательности сложения заданных векторов.
(Примеряется при сложении более двух векторов).
Действие, обратное сложение векторов.
Вычитание векторов.
т.к. c = a – b = a + (–b)
Первое правило вычитания векторов:
Для нахождения вектора разности a – b необходимо сложить два вектора a и –b, где –b — противоположный вектор.
Второе правило вычитания векторов:
Чтобы произвести вычитание векторов a и b, нужно совместить их начала и провести результирующий вектор c = a – b из конца вычитаемого вектора –b в конец уменьшаемого вектора a.
Разложение вектора ā на составляющие — …
Операция замены вектора ā несколькими другими векторами ā1, ā2, …, ān, которые при их сложении образуют начальный вектор ā (т. е. разложение вектора — действие, обратное сложению векторов).
Проекция вектора ā на ось 0x (0y) — …
Длина вектора āx (āy) (величина алгебраическая), взятая со знаком «минус» или «плюс».
Величина проекции определяется по формулам:
ax = a × cosα
ay = a × cosβ
a — модуль вектора ā; α и β — углы между положительными направлениями соответствующей оси и вектора ā.
Длина (модуль) вектора ā равна …
a = √(ax^2 + ay^2)
Углы α и β равны …
α = arctg(ay / ax) β = arctg(ax / ay)
Скалярное произведение двух векторов — это …
Число (скаляр), равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
āƀ = (āƀ) = ab × cos(α)
Скалярное произведение векторов (геометрически) — это …
Проекция одного из векторов на другой, умноженная на длину этого вектора.
āƀ = a_b × b = a × b_a
где a_b = a × cos(α) и b_a = b × cos(α) — проекции векторов ā и ƀ.
Свойство распределительности скалярного произведения.
ā(ƀ + ē) = āƀ + āē
Не зависит от порядка умножения векторов.
Векторное произведение двух векторов ā и ƀ — это …
Это вектор c, направленный перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы сомножители.
c = [ā, ƀ] = (āƀ) = ā × ƀ
Модуль вектора c, полученного векторным произведением ā и ƀ, численно равен …
Произведению модулей векторов ā и ƀ на синус угла между ними.
c = ab × sin(α)
т. е. равен площади параллелограмма (S = a × h = a × bsin(α), где bsin(α) — высота параллелограмма, опущенная на сторону вектора ā, построенного на векторах сомножителях).
Векторное произведение зависит от …
Порядка сомножителей: [ā, ƀ] = –[ƀ, ā]
Векторное произведение обладает свойством …
Распределительности.
[ā, ƀ + ć] = [ā, ƀ] + [ā, ć]
