Зачет Flashcards
Лемма о двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей,
то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой
Определение прямой перпендикулярной к плоскости.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Свойства прямых, перпендикулярных к плоскости(док-ва)
1)Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
2) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.
Определение перпендикуляра, основание перпендикуляра.
Перпендикуляром, проведенным из данной точки к плоскости, называется отрезок прямой, перпендикулярный к данной плоскости, одним из концов которого является данная точка, а другим-точка пересечения прямой с плоскостью(основание)
Наклонная
Наклонной, проведенной из данной точки к плоскости, называется любой отрезок , соединяющий данную точку с точкой плоскости(основанием) и отличный от перпендикуляра
Свойства перпендикуляра и наклонной(док-ва)
Если из точки к плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, то
1)длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной
2)длины двух наклонных равны тогда и только тогда, когда равны длины их проекций
3)большей наклонной соответствует большая проекция, и обратно: чем больше проекция , тем больше соотв. наклонная
Теорема о трех перпендикулярах(док-во)
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Обратная Теорема о трех перпендикулярах(док-во)
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
Определение. Расстояние между параллельными плоскостями
расстояние от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости
Определение. Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью
расстояние от произвольной точки данной прямой до данной плоскости
Свойства точки, равноудаленной от вершин многоугольника(док-во)
если точка вне плоскости кногоугольника, равноудаленна от его вершин, то основание перпендикуляра из этой точки к плоскости многоугольника, является центром окружности, описанной около многоугольника
Определение. Расстояние между скрещивающимися прямыми
расстояние между одной из данных прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой
Доказать, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна к прямой, то и другая плоскость перпендикулярна к этой прямой
Провести пересекающиеся прямые в обеих плоскостях
Доказать, что если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то данные плоскости параллельны
провести прямую параллельную данной, она перпендикулярна плоскостям(пересекает в точках А и В), пусть плоскости не параллельны, значит существует точка(М) которая, принадлежит обеим плоскостям, значит в треуг. АВМ два прямых угла, противоречие
Доказать, что через любую точку (М)пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой(а).
построим плоскость альфа, содержащую а и М, строим прямую р перпендикулярную а(пересекаются в О) и проходящую через М, строим бетта проходящую через а(в пересечении с альфа дает а), прямая q(содерж. в бетта) перпендикулярна а и проходит через О. q и р содержатся в γ
а перп. р и а перп. q, q и р пересек и содержатся в γ. значит а перп. γ по признаку
Если точка M лежит на прямой a, то, аналогично предыдущему доказательству, через
прямую a проводят две плоскости и в них проводят перпендикуляры к прямой a через
точку M. Плоскость, проходящая через две проведённые прямые, и является искомой.
Докажем, что плоскость γ - единственная. Воспользуемся методом от противного. Пусть
через точку М проходит еще одна плоскость γ1, перпендикулярная к прямой a. Тогда
плоскости γ1 || γ (если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то данные
плоскости параллельны). Но это противоречит тому, что плоскости проходят через точку
М. Следовательно, предположенные неверно, через точку M проходит единственная
плоскость перпендикулярной к прямой a. Теорема доказана.
Свойство точки, равноудаленной от сторон многоугольника
(док-во)
Если точка вне плоскости многоугольника, равноудалена от его вершин, то основание перпендикуляра из этой точки к плоскости многоугольника, является центром окружности, вписанной в многоугольник
Определение. Общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых
отрезок, который перпендикулярен этим прямым и концы потороко лежат на этих прямых
Теорема. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым
. Общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым существует и единственен.
Расстояние между скрещивающимися прямыми через проекции
Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость перпендикулярную одной из прямых
Определение проекции точки и фигуры на плоскость
1)основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка лежит вне плоскости и сама точка, если она лежит в плоскости
2) фигура , состоящая из всех точек - проекций точек фигуры на данную плоскость
Определение угла между прямой и плоскостью
Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость
Докажите, что если из одной точки к плоскости провести наклонные, образующие равные углы с плоскостью, то проекция данной точки на плоскость будет равноудалена от оснований наклонных
ну тип вроде легко
Докажите, что равные наклонные, проведённые к плоскости из одной точки, образуют с этой плоскостью равные углы.
Докажите, что если углы, образованные с плоскостью наклонны ми, проведёнными к ней из одной точки, равны, то и сами наклон ные равны.
….
Определение. Двугранного угла и его элементов
Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой, а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.
Грани двугранного угла- полуплоскости, образующие двугранный называются
Ребро двугранного угла -прямая а - общая граница полуплоскостей.
Определение. Линейного угла двугранного угла
Линейным углом двугранного угла называется угол с вершиной на ребре двугранного угла, стороны образованы лучами, лежащими в граних двугранного угла и перпендикулярными к его ребру.
Свойства линейных углов двугранного угла доказательство
все линейные углы двугранного угла равны между собой.(углы с сонаправленными сторонами равны)
Градусной мерой двугранного угла
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.
Ф-градусная мера двугранным угла, то 0° <ф <180°.
Виды двугранных углов.
тупой, прямой, острый(по линейному углу)
Определение угла между плоскостями
величина того из образовавшихся двугранных углов, который не превосходит 90 градусов
Определение перпендикулярных плоскостей
плоскости угол между которыми равен 90
Признак перпендикулярных плоскостей(док-во)
Теорема. Если одна из двух перпендикулярную к другой перпендикулярны. Доказательство, плоскостей проходит через прямую, плоскости, то такие плоскости
Пусть даны плоскости альфа и бета. Причем такие, что альфа проходит через прямую а, перпендикулярную к плоскости бета. Докажем, что альфа и бета перпендикулярны.
Пусть точка О точка пересечения прямой а с бета. Точка О- общая точка плоскостей. следовательно, данные плоскости пересекаются по прямой l, проходящей через точку О.
В бета через точку О проведем прямую прямую b. перпендикулярную l
Прямые b и l лежат в бета и по условию прямая а перпендикулярна бета. Следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b и прямая а перпендикулярна прямой l. Таким образом, получаем, что прямая а лежит в альфа, перпендикулярна прямой l и прямая b лежит в плоскости бета перпендикулярно прямой l. Значит, угол между плоскостями равен углу между прямыми а и b и равен 90°. Т.е. получили, что плоскости и и в перпендикулярны. Теорема доказана
Следствия из признаков перпендикулярных плоскостей(ljr-df)
1)Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей(признак перпендикулярности плоскостей)
2)Прямая, проведенная в одной из двух перпендикулярных плоскостей перпендикулярно прямой, по которой они пересекаются, перпендикулярна другой плоскости(провести прямую в друг плоскости перппендикулярно линии пересечения)
