Геометрия Flashcards
2.Конично сечение, което има ексцентрицитет 1, е
г) Парабола
* ексцентрицитет 0 - окръжност
* ексцентрицитет по-голям от 0 и по-малък от 1 -
Елипса
* ексцентрицитет по-голям от 1 - Хипербола
- Вярно ли е, че всеки две прави в проективната
равнина имат обща точка?
а) Да
- Нека в реалното проективно пространство е
фиксирана проективна координатна система К. Едно
изображение L на проективното пространство в себе
си се нарича проективна трансформация, ако
съществува _________________ Квадратна матрица Т от ред 4 с реални коефициенти,
такава че, ако проективните координати на произволна
точка Р спрямо К са x, то проективните координати на
L(P) спрямо К са Тх.
а) ненулева
- Два вектора u и v в геометричното простр. са
колинеарни тогава и само тогава, когато:
а) u x v = 0
- Ако спрямо афинна коорд. Система К в n-мерното
афинно простр. А точките P, Q ∊ A имат коорд. Вектори
съответно x, y ∊ R, то коорд. Вектор спрямо К на
вектора → PQ е:
б) y - x
- Нека К = Ое1…еn и К’ = О’е1’…е’n са афинни
координатни системи в n-мерното афинно
пространство А, координатният вектор на О’ спрямо К
е s, а матрицата на прехода от базиса е = (е1,…еn) към
базиса е Т. Кое от равенствата
x = s + Tx’ и
е изпълнено за координатните вектори x спрямо К и х’
спрямо на произболна точка Р ∊ А?
в) И двете
- Нека Ах = b е съвместима линейна система с n
неизвестни и нека рангът на А е r. Тогава афинното
подпространство на , състоящо се от решенията на
системата, има размерност:
б) n - r
- Колко са векторите в геометричното пространство,
които имат общ представител с противоположния си
вектор?
в) Един
- Три вектора в геометричното пространство са
компланарни тогава и само тогава, когато са:
а) Линейно зависими
- Спрямо даден базис на линейното пространство на
векторите в геометричната равнина векторите u и v
имат координати u(x1, x2), v(y1, y2). Тогава u и v са
колинеарни ⇔ det | x1 y1|
| x2 y2|
a) Равна на 0
- Два ненулеви вектора u и v в геометричното
пространство са перпендикулярни тогава и само
тогава, когато:
а) <u> = 0</u>
- Нека (е1, е2) е базис на линейното пространство V2
на векторите в геометричната равнина. Тогава
базисите (е1, е2) и (-e1, -e2) на V2 са:
а) Еднакво ориентирани
- Нека А е евклидово афинно пространство,
O, P, Q ∊ A, O ≠ P, O ≠ Q.
Тогава:
POQ = arccos…
Нека K e афинна координатна систем в n-мерното
афинно пространство А, ..някакво множество и f, g :
R^n → S. Нека подмножеството В на А има спрямо …
уравнение В : f(x1,…,xn) = g(x1,…xn). Кое от следните две
твърдения е вярно
Ако P(x1,..,xn) ∊ B, то f(x1,…,xn) = g(x1,..xn).
Ако P(x1,..,xn) = g(x1,…,xn), то P(x1,…,xn) ∊ B.
И двете
Нека спрямо афинна координатна система К = Oxyz
в геометричното пространство двете различни точки
P0 и Р1 имат коорд.
P0(x0, y0, z0), P1(x1, y1, z1). Коя от двете тройки
параметрични уравнения
x = (1 - l)x0 + l.x1 x = l.x0 + (1 - l)x1
y = (1 - l)y0 + l.y1 и y = l.y0 + (1 - l)y1
z = (1 - l)z0 + l.z1 z = l.z0 + (1 - l)z1
Задава правата Р0Р1
а) Само първата
Нека спрямо афинна координатна система К = Oxyz
в геом. Равнина правите l1 и l2 имат уравнение
l1 : A1x + B1y + C1 = 0 и l2 : A2x + B2y + C2 = 0.
Тогава l1 и l2 са пресекателни тогава и само тогава,
когато:
а) Рангът на матрицата ( A1 B1) e 2
(A2 B2)
Нека V е линейно подпространство на евклидовото
линейно пространство U, (е1,…,ек) е ортонормиран
базис на V и u ∊ U. Тогава векторът ∑k↘i = 1 <u> ei
e:</u>
a) Ортогоналната проекция на u във V
Вярно ли е, че два свързани вектора са равни
тогава и само тогава, когато дължините им са равни?
б) Не
Три вектора в геометричното пространство са
компланарни тогава и само тогава, когато са:
а) Линейно зависими
Нека (е1, е2, е3) е базис на линейното пространство
V3 на векторите в геометричното пространство.
Тогава базисите (е1, е2, е3) и (-е1, е2, е3) на V3 са :
б) Противоположно ориентирани
Всеки четири вектора в пространството са
Линейно зависими
Спрямо положително ориентирана ортонормирана
координатна система K в пространството векторите u
и v имат коорд. u(x1, x2, x3) и v(y1, y2, y3). Тогава
втората координата на u × v спрямо К е:
б) x3y1 - x1y3
- Спрямо първата координата е x2y3 - x3y2
- Спрямо третата координата е x1y2 - x2y1
За смесеното произведение на векторите u, v, w е в
сила:
б) <u> = -</u>
- други възможни отговори *
- < u+v, w> = <u> +</u>
- <u> = <u></u></u></u></u>
- Равнините и р, които спрямо афинна коорд.
Система К = Oxyz в пространството имат уравнения:
П : 236x + 678y - 21 = 0 и
p : 310x + 542y - 86 = 0
в) Се пресичат (когато 236/310 ≠ 678/542 ≠ 21/86)
* Успоредни са когато само свободният коефициент на
уравненията им е различен
* Съвпадат, когато всичките им коефициенти са
пропорционални (236/310 = 678/542 = 21/86)
По колко начина може да се зададе права в
пространството чрез двойка уравнения спрямо дадена
афинна координатна система?
Безбройно много
За всеки два вектора u и v в геометричното
пространство е в сила :
б) u x v = - v x u
Кое от следните две твърдения е вярно във всяко
афинно пространство?
Ако P, Q, R, S са точки, то → PQ= → RS тогава и само
тогава, когато → PR = →QS .
Ако P, Q, R, S са точки и → PQ = → RS , то → PR = →
QS
б) Само второто.
Нека (е1, е2) е базис на линейното пространство V2
на векторите в геометричната равнина. Тогава
базисите
(е1, е2) и (-е1, -е2) на V2 са:
а) еднакво ориентирани.
Нека К = Ое1…..еn и К’ = О’е1’….. Еn’ са афинни
координатни системи на афинно пространство А,
координатният вектор на О’ спрямо К е s, а матрицата
на прехода от базиса е = (е1…..еn) към базиса е’ =
(е1’…еn’) е Т. Нека координатните вектори на Р∊А
спрямо К и К’ са съответно х, х’ ∊ R^2. Тогава:
а) x = s + T x’
Нека V е линейно подпространсво на евклидовото
линейно пространство U. Toгава:
б) V∩V┴ = {0}, ако 0 ∈ U
V∩V┴ = Ø, ако 0 ∉ U
- Спрямо афинна кординатна система и
геометричното пространство, векторите u, v, w имат
координати
u(x1, x2, x3), v(y1, y2, y3), w(z1, z2, z3). Tогава u, v, w са| x1 y1 z1 | компланарни ⇔ det | x2 y2 z2 | e : | x3 y3 z3 |
а) равна на 0.
Нека К и К’ са АКС в n-мерното евклидово линейно
пространство А, К е ортонормирана и координатните
вектори х спрямо К и х’ спрямо К’ на произволна точка
P принадлежаща на А са свързани с равенството x = s
+ Tx’, където s принадлежи на R^n, а Т е матрицата nxn.
Какви са НДУ върху s и T за това K’ да бъде
ортонормирана.
Матрицата Т е ортогонална
Колко на брой класа криви от втора степен
съществуват ?
9
Колко на брой метрични класове криви от втора
степен съществуват ?
Безброй много
- Колко афинни класа повърхнини от втора степен
съществуват ?
17
- Нека имаме равнините π: A1x + B1y + C1z + D = 0 и
β:А2x + B2y + C2z + D2 = 0. Кога двете равнини
съвпадат?
Когато рангът на матрицата (А1 B1 C1 D1)
(A2 B2 C2 D2) е 1
- Нека имаме равнините π: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и
β:А2x + B2y + C2z + D2 = 0. Кога двете равнини са
успоредни ?
Когато рангът на матрицата (А1 B1 C1 )
(A2 B2 C2 ) е 1
Нека имаме векторите PQ = u и QR = v и u = λv, λ ∊
🇷. Тогава кое от следни две е вярно?
|PQ| = |λ|.|QR|
- Ако n = 3 и e = (e1, e2, e3) е базис и f = (e2, e3, e1)
е базис, то двата базиса са:
еднакво ориентирани
44.Нека (е1, е2, е3) е базис на линейното
пространство V3 на векторите в геометричното
пространство.
Тогава базисите (е1, е2, е3) и (-е1, -е2, -е3) на V3 са :
б) Противоположно ориентирани
45.Нека (е1, е2, е3) е базис на линейното
пространство V3 на векторите в геометричното
пространство.
Тогава базисите (е1, е2, е3) и (-е1, -е2, е3) на V3 са :
Еднакво ориентирани
(Би трябвало да е така, защото : В частност, ако се
смени знака на един от базисните вектори, то
първоначалният базис е противоположно
ориентиран на новополучения.)
Нека V е n-мерно реално линейно пространство,
e = (e1, . . . , en) и e = (e1 , . . . , en) са базиси на V и
T е матрицата на прехода от базиса e към базиса
e. Нека координатните вектори на v ∈ V спрямо e
и e са съответно x, x ∈ R^n. Тогава:
x = T x`
През две различни точки в афинно
пространство минава:
точно една права
През три различни точки в афинно
пространство, които не лежат на една права,
минава:
точно една равнина
През n точки в n-мерно афинно пространство,
които не лежат в (n − 2)-мерно афинно
подпространство, минава:
точно една хиперравнина
0-мерните афинни подпространства са:
едноточковите подмножества
Ако →PQ = →RS, то :
→PR = →QS
Нека O, P, Q ∈ A, O ≠ P, O ≠ Q. Тогава:
|PQ|^2 = |OP|^2 + |OQ|^2 − 2|OP||OQ| cos∢POQ
Ако една матрица е ортогонална, то
детерминантата й е:
det = +-1, но има и такива матрици, на които det = +-1, но не са ортогонални
Спрямо реална проективна координатна
система в комплексната проективна равнина.
Реалните прави q и q се задават съответно с
реалните матрици А и А. Тогава q и q` са
проективно еквивалентни ⇔ съществува реална
обратима матрица Т, за която:
А` = Т^t AT
Всяка права в АКС има уравнение
Ах + Ву + С = 0, където :
(А, В) ≠ 0
Дадена е АКС К = Охуz. Нека N(A, B) е нормален
за правата e. Кога N`(-A, -B) също е нормален за е ?
В ОКС
Съществуват ли т.А и т.В, такива че векторите
АВ и ВА да са представители на един и същи
вектор ?
НЕ - Ако точките са различни
ДА - Ако точките съвпадат
