Геометрия Flashcards by Милен Чолаков

2.Конично сечение, което има ексцентрицитет 1, е

г) Парабола
* ексцентрицитет 0 - окръжност
* ексцентрицитет по-голям от 0 и по-малък от 1 -
Елипса
* ексцентрицитет по-голям от 1 - Хипербола

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Вярно ли е, че всеки две прави в проективната

равнина имат обща точка?

а) Да

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Нека в реалното проективно пространство е
фиксирана проективна координатна система К. Едно
изображение L на проективното пространство в себе
си се нарича проективна трансформация, ако
съществува _________________ Квадратна матрица Т от ред 4 с реални коефициенти,
такава че, ако проективните координати на произволна
точка Р спрямо К са x, то проективните координати на
L(P) спрямо К са Тх.

а) ненулева

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Два вектора u и v в геометричното простр. са

колинеарни тогава и само тогава, когато:

а) u x v = 0

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Ако спрямо афинна коорд. Система К в n-мерното
афинно простр. А точките P, Q ∊ A имат коорд. Вектори
съответно x, y ∊ R, то коорд. Вектор спрямо К на
вектора → PQ е:

б) y - x

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Нека К = Ое1…еn и К’ = О’е1’…е’n са афинни
координатни системи в n-мерното афинно
пространство А, координатният вектор на О’ спрямо К
е s, а матрицата на прехода от базиса е = (е1,…еn) към
базиса е Т. Кое от равенствата

x = s + Tx’ и

е изпълнено за координатните вектори x спрямо К и х’
спрямо на произболна точка Р ∊ А?

в) И двете

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Нека Ах = b е съвместима линейна система с n
неизвестни и нека рангът на А е r. Тогава афинното
подпространство на , състоящо се от решенията на
системата, има размерност:

б) n - r

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Колко са векторите в геометричното пространство,
които имат общ представител с противоположния си
вектор?

в) Един

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Три вектора в геометричното пространство са

компланарни тогава и само тогава, когато са:

а) Линейно зависими

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Спрямо даден базис на линейното пространство на
векторите в геометричната равнина векторите u и v
имат координати u(x1, x2), v(y1, y2). Тогава u и v са

колинеарни ⇔ det | x1 y1|
| x2 y2|

a) Равна на 0

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Два ненулеви вектора u и v в геометричното
пространство са перпендикулярни тогава и само
тогава, когато:

а) = 0

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Нека (е1, е2) е базис на линейното пространство V2
на векторите в геометричната равнина. Тогава
базисите (е1, е2) и (-e1, -e2) на V2 са:

а) Еднакво ориентирани

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Нека А е евклидово афинно пространство,
O, P, Q ∊ A, O ≠ P, O ≠ Q.
Тогава:

POQ = arccos…

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Нека K e афинна координатна систем в n-мерното
афинно пространство А, ..някакво множество и f, g :
R^n → S. Нека подмножеството В на А има спрямо …
уравнение В : f(x1,…,xn) = g(x1,…xn). Кое от следните две
твърдения е вярно
Ако P(x1,..,xn) ∊ B, то f(x1,…,xn) = g(x1,..xn).
Ако P(x1,..,xn) = g(x1,…,xn), то P(x1,…,xn) ∊ B.

И двете

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Нека спрямо афинна координатна система К = Oxyz
в геометричното пространство двете различни точки
P0 и Р1 имат коорд.
P0(x0, y0, z0), P1(x1, y1, z1). Коя от двете тройки
параметрични уравнения
x = (1 - l)x0 + l.x1 x = l.x0 + (1 - l)x1
y = (1 - l)y0 + l.y1 и y = l.y0 + (1 - l)y1
z = (1 - l)z0 + l.z1 z = l.z0 + (1 - l)z1
Задава правата Р0Р1

а) Само първата

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Нека спрямо афинна координатна система К = Oxyz
в геом. Равнина правите l1 и l2 имат уравнение
l1 : A1x + B1y + C1 = 0 и l2 : A2x + B2y + C2 = 0.
Тогава l1 и l2 са пресекателни тогава и само тогава,
когато:

а) Рангът на матрицата ( A1 B1) e 2

(A2 B2)

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Нека V е линейно подпространство на евклидовото
линейно пространство U, (е1,…,ек) е ортонормиран
базис на V и u ∊ U. Тогава векторът ∑k↘i = 1 ei
e:

a) Ортогоналната проекция на u във V

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Вярно ли е, че два свързани вектора са равни

тогава и само тогава, когато дължините им са равни?

б) Не

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Три вектора в геометричното пространство са

компланарни тогава и само тогава, когато са:

а) Линейно зависими

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Нека (е1, е2, е3) е базис на линейното пространство
V3 на векторите в геометричното пространство.
Тогава базисите (е1, е2, е3) и (-е1, е2, е3) на V3 са :

б) Противоположно ориентирани

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Всеки четири вектора в пространството са

Линейно зависими

How well did you know this?

Not at all

Perfectly

Спрямо положително ориентирана ортонормирана
координатна система K в пространството векторите u
и v имат коорд. u(x1, x2, x3) и v(y1, y2, y3). Тогава
втората координата на u × v спрямо К е:

б) x3y1 - x1y3

Спрямо първата координата е x2y3 - x3y2
Спрямо третата координата е x1y2 - x2y1

За смесеното произведение на векторите u, v, w е в

сила:

б) = -

други възможни отговори *
< u+v, w> = +
=

Равнините и р, които спрямо афинна коорд.
Система К = Oxyz в пространството имат уравнения:
П : 236x + 678y - 21 = 0 и
p : 310x + 542y - 86 = 0

в) Се пресичат (когато 236/310 ≠ 678/542 ≠ 21/86)
* Успоредни са когато само свободният коефициент на
уравненията им е различен
* Съвпадат, когато всичките им коефициенти са
пропорционални (236/310 = 678/542 = 21/86)

По колко начина може да се зададе права в пространството чрез двойка уравнения спрямо дадена афинна координатна система?

Безбройно много

За всеки два вектора u и v в геометричното | пространство е в сила :

б) u x v = - v x u

Кое от следните две твърдения е вярно във всяко афинно пространство? Ако P, Q, R, S са точки, то → PQ= → RS тогава и само тогава, когато → PR = →QS . Ако P, Q, R, S са точки и → PQ = → RS , то → PR = → QS

б) Само второто.

Нека (е1, е2) е базис на линейното пространство V2 на векторите в геометричната равнина. Тогава базисите (е1, е2) и (-е1, -е2) на V2 са:

а) еднакво ориентирани.

Нека К = Ое1.....еn и К’ = О’е1’..... Еn’ са афинни координатни системи на афинно пространство А, координатният вектор на О’ спрямо К е s, а матрицата на прехода от базиса е = (е1.....еn) към базиса е’ = (е1’...еn’) е Т. Нека координатните вектори на Р∊А спрямо К и К’ са съответно х, х’ ∊ R^2. Тогава:

а) x = s + T x'

Нека V е линейно подпространсво на евклидовото | линейно пространство U. Toгава:

б) V∩V┴ = {0}, ако 0 ∈ U | V∩V┴ = Ø, ако 0 ∉ U

34. Спрямо афинна кординатна система и геометричното пространство, векторите u, v, w имат координати u(x1, x2, x3), v(y1, y2, y3), w(z1, z2, z3). Tогава u, v, w са | x1 y1 z1 | компланарни ⇔ det | x2 y2 z2 | e : | x3 y3 z3 |

а) равна на 0.

Нека К и К’ са АКС в n-мерното евклидово линейно пространство А, К е ортонормирана и координатните вектори х спрямо К и х’ спрямо К’ на произволна точка P принадлежаща на А са свързани с равенството x = s + Tx’, където s принадлежи на R^n, а Т е матрицата nxn. Какви са НДУ върху s и T за това K’ да бъде ортонормирана.

Матрицата Т е ортогонална

Колко на брой класа криви от втора степен | съществуват ?

Колко на брой метрични класове криви от втора | степен съществуват ?

Безброй много

38. Колко афинни класа повърхнини от втора степен | съществуват ?

40. Нека имаме равнините π: A1x + B1y + C1z + D = 0 и β:А2x + B2y + C2z + D2 = 0. Кога двете равнини съвпадат?

Когато рангът на матрицата (А1 B1 C1 D1) | (A2 B2 C2 D2) е 1

41. Нека имаме равнините π: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 и β:А2x + B2y + C2z + D2 = 0. Кога двете равнини са успоредни ?

Когато рангът на матрицата (А1 B1 C1 ) | (A2 B2 C2 ) е 1

Нека имаме векторите PQ = u и QR = v и u = λv, λ ∊ | 🇷. Тогава кое от следни две е вярно?

|PQ| = |λ|.|QR|

43. Ако n = 3 и e = (e1, e2, e3) е базис и f = (e2, e3, e1) | е базис, то двата базиса са:

еднакво ориентирани

44.Нека (е1, е2, е3) е базис на линейното пространство V3 на векторите в геометричното пространство. Тогава базисите (е1, е2, е3) и (-е1, -е2, -е3) на V3 са :

б) Противоположно ориентирани

45.Нека (е1, е2, е3) е базис на линейното пространство V3 на векторите в геометричното пространство. Тогава базисите (е1, е2, е3) и (-е1, -е2, е3) на V3 са :

Еднакво ориентирани (Би трябвало да е така, защото : В частност, ако се смени знака на един от базисните вектори, то първоначалният базис е противоположно ориентиран на новополучения.)

Нека V е n-мерно реално линейно пространство, e = (e1, . . . , en) и e` = (e1` , . . . , en`) са базиси на V и T е матрицата на прехода от базиса e към базиса e`. Нека координатните вектори на v ∈ V спрямо e и e` са съответно x, x` ∈ R^n. Тогава:

x = T x`

През две различни точки в афинно | пространство минава:

точно една права

През три различни точки в афинно пространство, които не лежат на една права, минава:

точно една равнина

През n точки в n-мерно афинно пространство, които не лежат в (n − 2)-мерно афинно подпространство, минава:

точно една хиперравнина

0-мерните афинни подпространства са:

едноточковите подмножества

Ако →PQ = →RS, то :

→PR = →QS

Нека O, P, Q ∈ A, O ≠ P, O ≠ Q. Тогава:

|PQ|^2 = |OP|^2 + |OQ|^2 − 2|OP||OQ| cos∢POQ

Ако една матрица е ортогонална, то | детерминантата й е:

det = +-1, но има и такива матрици, на които det = +-1, но не са ортогонални

Спрямо реална проективна координатна система в комплексната проективна равнина. Реалните прави q и q` се задават съответно с реалните матрици А и А`. Тогава q и q` са проективно еквивалентни ⇔ съществува реална обратима матрица Т, за която:

А` = Т^t AT

Всяка права в АКС има уравнение | Ах + Ву + С = 0, където :

(А, В) ≠ 0

Дадена е АКС К = Охуz. Нека N(A, B) е нормален | за правата e. Кога N`(-A, -B) също е нормален за е ?

В ОКС

Съществуват ли т.А и т.В, такива че векторите АВ и ВА да са представители на един и същи вектор ?

НЕ - Ако точките са различни | ДА - Ако точките съвпадат