билеты Flashcards
- Определение целых и рациональных, действительных чисел.
Определение функции. Нахождение значений функции. Построение
графиков линейной, квадратичной функций
Целые - Целые числа - это множество всех натуральных чисел, их отрицательных значений и нуля. Обозначается символом “Z”.
Множество целых чисел включает положительные числа {1, 2, 3, …}, отрицательные числа {-1, -2, -3, …} и ноль {0}. Таким образом, Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.
Рациональные - Рациональные числа - это множество всех чисел, которые можно представить в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами, и знаменатель не равен нулю. Обозначается символом “Q”.
Множество рациональных чисел включает все десятичные числа (конечные и периодические), а также дроби вида p/q, где p и q - целые числа, и q ≠ 0. Например, 1/2, -3/4, 0.25, 2.75 - все они являются рациональными числами.
Иррациональные - Иррациональные числа - это числа, которые не могут быть представлены в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, и q ≠ 0. Такие числа имеют бесконечное количество десятичных разрядов, которые не образуют периодической структуры.
Действительные -
Действительные числа - это расширенное множество чисел, которое включает все рациональные числа и все иррациональные числа. Обозначается символом “R”.
Функция - Функция - это правило, которое каждому элементу из одного множества (вход) ставит в соответствие единственный элемент из другого множества (выход).
Значение функции находится путем подставления различных значений аргумента в уравнение фунции
- Определение процента. Нахождение процента от числа, числа по
проценту. Показательная функция, ее свойства Построение графика
показательной функции
Процент - это способ представления доли или части относительно целого в виде сотых долей (1/100). Обозначается символом “%”
Показательная функция - y = a^2
Свойства:
1) D(x) = (-∞ ; +∞)
2) E(y) = (0 ; +∞)
3) ни четн, ни нечетное
4) не ограничена
5) не имеет большго и меньшего значения
6) монотонно вверх
- Определение модуля числа. Показательные уравнения, неравенства.
Решение различных видов показательных уравнений, неравенств, систем
Модуль числа “а” - это абсолютное значение числа “а”, т.е. неотрицательное значение, получаемое путем отбрасывания знака числа “а”.
Показательное уравнение - это уравнение вида: a^x=b
Показательное неравенство - неравернство вида: a^x > ; < b
(a,b - числа; x - неизвестная показательная степень)
a^x=b ==> log a^b
a^x>b ==> x>log a^b
a^x<b ==> x<log a^b
Для решения показательной функции системы показательных функций или неравенств нужно найти все корни системы.
- Определение корня n-ой степени и его свойств. Определение
функции, ее области определения и множества значений; графика функции.
Построение графиков функций, заданных различными способами
Корень n-ой степени из неотрицательного числа a называтся такое неотрицательное число b, которое при возведении в степень n дает a
Свойства:
√a > 0, если a > 0
√0 = 0
√(-a) = -√a, если n нечетное
Если a > b, то √a > √b, если a > 0 и b > 0
√(ab) = √a * √b
√(a/b) = √a / √b
√a = a^(1/n)
Оласть определения функции - множество всех значений аргумента (переменной х), это проекция графика функции на ось Ох
Значение функции - множество значений функции по оси Оу
- Преобразование иррациональных выражений. Запись свойств
функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность,
периодичность. Нахождение промежутков возрастания и убывания,
наибольшего и наименьшего значения, точек экстремума
Преобразование иррациональных выражений:
- Упрощение корней: Упрощение выражений, содержащих корни, чтобы минимизировать сложность и сделать их более читаемыми.
- Рационализация знаменателя: Избавление от иррациональных выражений в знаменателе путем умножения на сопряженное выражение.
- Комбинирование корней: Объединение нескольких корней в один корень, если это возможно.
- Преобразование иррациональных чисел: Преобразование иррациональных чисел в десятичные дроби для упрощения вычислений.
Свойства функции:
- Монотонность: Функция называется монотонной, если она всегда возрастает или всегда убывает на заданном интервале.
-
Четность и нечетность:
- Функция четна, если f(x) = f(-x) для всех x в области определения.
- Функция нечетна, если f(x) = -f(-x) для всех x в области определения.
- Ограниченность: Функция называется ограниченной, если существует число M такое, что |f(x)| ≤ M для всех x в ее области определения.
- Периодичность: Функция называется периодической, если существует положительное число T такое, что f(x) = f(x + T) для всех x в ее области определения. T называется периодом функции.
Нахождение промежутков возрастания и убывания, наибольших и наименьших значений, точек экстремума:
-
Промежутки возрастания и убывания:
- Найдите производную функции f’(x).
- Решите уравнение f’(x) = 0, чтобы найти критические точки.
- Используйте тестовые точки в каждом интервале между критическими точками для определения направления изменения функции. Если f’(x) положительна, функция возрастает; если отрицательна, функция убывает.
-
Наибольшие и наименьшие значения:
- Определите критические точки и концы интервала.
- Вычислите значения функции в этих точках.
- Сравните значения, чтобы найти наибольшее и наименьшее.
-
Точки экстремума:
- Критические точки, в которых производная меняет знак, являются кандидатами на точки экстремума.
- Проверьте вторую производную f’‘(x) в критических точках: если f’‘(x) > 0, это точка минимума, если f’‘(x) < 0, это точка максимума.
Эти шаги помогут в анализе функций и нахождении важных характеристик их поведения.
- Определение логарифма, десятичного и натурального логарифма.
Запись основного логарифмического тождества. Свойства логарифмов.
Переход к новому основанию
Логарифм - это математическая операция, обратная возведению числа в степень. Логарифм числа “а” по основанию “b” (обозначается как “log_b(a)”) равен тому показателю степени, в которую нужно возвести “b”, чтобы получить “a”. Формально:
log_b(a) = x ⇔ b^x = a
Где “a” - аргумент логарифма, “b” - основание логарифма, “x” - показатель степени.
Десятичный логарифм (обычно записывается как “log(a)” или “log_10(a)”) - это логарифм с основанием 10.
Натуральный логарифм (обозначается как “ln(a)”) - это логарифм с основанием “e”, где “e” - число Эйлера, приближенно равное 2.71828.
Основное логарифмическое тождество:
log_b(a) * log_a(b) = 1
Свойства логарифмов:
log_b(1) = 0: Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.
log_b(b) = 1: Логарифм по основанию “b” самого основания равен 1.
log_b(b^x) = x: Логарифм числа, возведенного в степень, равен этой степени.
log_b(a * c) = log_b(a) + log_b(c): Логарифм произведения равен сумме логарифмов.
log_b(a / c) = log_b(a) - log_b(c): Логарифм частного равен разности логарифмов.
log_b(a^x) = x * log_b(a): Логарифм числа, возведенного в степень, равен произведению степени на логарифм.
log_b(a^n) = n * log_b(a): Логарифм числа, возведенного в степень, равен произведению степени на логарифм.
log_b(1/a) = -log_b(a): Логарифм обратного числа равен минус логарифму числа.
log_b(a) = log_c(a) / log_c(b): Формула изменения основания логарифма.
log_b(a) = -log_a(1/b): Связь между логарифмами разных оснований.
log_b(a) = 1 / log_a(b): Инверсия логарифма.
log_b(a) + log_a(b) = 1: Основное логарифмическое тождество.
log_b(a) = log_k(a) / log_k(b): Еще одна формула для изменения основания, где “k” - другое произвольное основание.используйте формулу изменения основания:
log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)
Где “c” - любое положительное число (обычно используется число “e” или 10 для натуральных и десятичных логарифмов соответственно).
- Логарифмические уравнения – методы решения, примеры.
Свойства логарифмов: Используйте свойства логарифмов для упрощения уравнения. Например, если есть логарифмы с одним и тем же основанием, можно объединить их или преобразовать уравнение с использованием свойств логарифмов.
Пример:
Решим уравнение log(x) + log(x - 2) = 2. Используем свойство сложения логарифмов: log(a) + log(b) = log(ab).
Получим: log[x(x - 2)] = 2. Затем применяем свойство логарифмирования: log_a(b) = c ⇔ a^c = b.
Получим: x(x - 2) = 10^2 = 100. Решаем полученное квадратное уравнение.
Метод замены: Замените переменные, чтобы привести уравнение к более простому виду. Это может потребовать введения новых переменных и преобразований уравнения.
Пример:
Рассмотрим уравнение log(x + 1) + log(x - 1) = 2. Заменим x^2 на новую переменную z: z = x^2. Теперь уравнение становится линейным в z.
Графический метод: Постройте графики функций и найдите точки их пересечения с прямой, представляющей числовое значение на правой стороне уравнения.
Пример:
Решим уравнение 3log(x) = 2. Построим график функции y = 3log(x) и горизонтальной линии y = 2. Точка их пересечения на графике будет решением уравнения.
Подстановка и решение: Если уравнение содержит логарифм, то можно просто преобразовать его в экспоненциальную форму и решить его.
Пример:
Рассмотрим уравнение log_2(x) = 3. Преобразуем его в экспоненциальную форму: 2^3 = x, что дает x = 8.
Важно помнить, что при решении логарифмических уравнений необходимо проверять полученные корни, чтобы исключить нули или отрицательные значения из области допустимых решений, так как логарифмы не определены для отрицательных чисел и нуля.
- Определение радианной меры угла, синуса, косинуса, тангенса и
котангенса числа. Вращательное движение. Числовая окружность.
Радианная мера угла - это способ измерения угла, использующий длину дуги на окружности. В радианной мере полный угол (360 градусов) соответствует длине окружности (периметру) равной радиусу окружности (R). Один радиан (1 рад) равен измерению угла, при котором длина дуги равна радиусу.
Синус (sin) - это тригонометрическая функция, которая возвращает отношение длины противоположенного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
Косинус (cos) - это тригонометрическая функция, которая возвращает отношение длины прилегающего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.
Тангенс (tan) - это тригонометрическая функция, которая возвращает отношение синуса косинусу, то есть отношение противоположенного катета к прилегающему катету.
Котангенс (cot) - это тригонометрическая функция, которая возвращает обратное отношение тангенса, то есть отношение косинуса к синусу.
Вращательное движение - это движение, при котором точка движется по окружности вокруг фиксированной точки (центра вращения). Вращательное движение можно описать с использованием радианной меры угла, где угол в радианах соответствует длине дуги на окружности.
Числовая окружность - это геометрическое представление комплексных чисел. Она представляет собой окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом 1. Каждое комплексное число может быть представлено как точка на этой окружности. Угол между положительным направлением оси X и линией, соединяющей начало координат с точкой на окружности, измеряется в радианах и представляет аргумент комплексного числа. Вращение точки по числовой окружности соответствует изменению аргумента комплексного числа.
- Значения тригонометрических функций для углов 30º, 45º, 60º, 90º
Угол 30°:
Синус (sin 30°) = 1/2
Косинус (cos 30°) = √3/2
Тангенс (tan 30°) = 1/√3
Котангенс (cot 30°) = √3
Угол 45°:
Синус (sin 45°) = √2/2
Косинус (cos 45°) = √2/2
Тангенс (tan 45°) = 1
Котангенс (cot 45°) = 1
Угол 60°:
Синус (sin 60°) = √3/2
Косинус (cos 60°) = 1/2
Тангенс (tan 60°) = √3
Котангенс (cot 60°) = 1/√3
Угол 90°:
Синус (sin 90°) = 1
Косинус (cos 90°) = 0
Тангенс (tan 90°) = ∞ (бесконечность, так как деление на 0)
Котангенс (cot 90°) = 0 (бесконечность, так как деление на 0)
- Запись формул синуса и косинуса двойного угла; формул
половинного угла
Синус двойного угла:
sin
(
2
�
)
=
2
sin
(
�
)
cos
(
�
)
sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)
Косинус двойного угла:
cos
(
2
�
)
=
cos
2
(
�
)
−
sin
2
(
�
)
cos(2θ)=cos
2
(θ)−sin
2
(θ)
Формулы для синуса и косинуса половинного угла:
Синус половинного угла:
sin
(
�
2
)
=
±
1
−
cos
(
�
)
2
sin(
2
θ
)=±
2
1−cos(θ)
(Знак “±” выбирается в зависимости от квадранта, в котором находится угол)
Косинус половинного угла:
cos
(
�
2
)
=
±
1
+
cos
(
�
)
2
cos(
2
θ
)=±
2
1+cos(θ)
(Знак “±” выбирается в зависимости от квадранта, в котором находится угол)
Эти формулы широко используются в тригонометрии для упрощения и анализа тригонометрических выражений, а также при решении задач, связанных с углами и векторами.
- Запись формул синуса, косинуса и тангенса суммы и разности двух
углов
Сумма углов:
Синус суммы углов:
sin
(
�
+
�
)
=
sin
(
�
)
cos
(
�
)
+
cos
(
�
)
sin
(
�
)
sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)
Косинус суммы углов:
cos
(
�
+
�
)
=
cos
(
�
)
cos
(
�
)
−
sin
(
�
)
sin
(
�
)
cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)
Тангенс суммы углов:
tan
(
�
+
�
)
=
tan
(
�
)
+
tan
(
�
)
1
−
tan
(
�
)
tan
(
�
)
tan(α+β)=
1−tan(α)tan(β)
tan(α)+tan(β)
Разность углов:
4. Синус разности углов:
sin
(
�
−
�
)
=
sin
(
�
)
cos
(
�
)
−
cos
(
�
)
sin
(
�
)
sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)
Косинус разности углов:
cos
(
�
−
�
)
=
cos
(
�
)
cos
(
�
)
+
sin
(
�
)
sin
(
�
)
cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)
Тангенс разности углов:
tan
(
�
−
�
)
=
tan
(
�
)
−
tan
(
�
)
1
+
tan
(
�
)
tan
(
�
)
tan(α−β)=
1+tan(α)tan(β)
tan(α)−tan(β)
- Функция у = sin x и у = соs x, их основные свойства и графики.
Функции у = tg x, у = сtg x, их свойства и графики
Синус и косинус (sin(x) и cos(x)):
Синус (sin(x)):
Основное свойство: Синус представляет собой периодическую функцию с периодом 2π.
Диапазон значений: [-1, 1].
График sin(x) представляет собой колебания от -1 до 1 и пересекает ось X в точках, соответствующих целым кратным π.
Синус функции описывает множество физических явлений, связанных с волнами и колебаниями.
Косинус (cos(x)):
Основное свойство: Косинус также является периодической функцией с периодом 2π.
Диапазон значений: [-1, 1].
График cos(x) похож на сдвинутый график sin(x) и также пересекает ось X в точках, соответствующих целым кратным π.
Косинус широко применяется при анализе колебательных процессов.
Тангенс и котангенс (tan(x) и cot(x)):
Тангенс (tan(x)):
Основное свойство: Тангенс - это тригонометрическая функция, определенная как отношение синуса к косинусу: tan(x) = sin(x) / cos(x).
Тангенс не имеет ограничений в диапазоне значений и изменяется от минус бесконечности до плюс бесконечности.
График tan(x) имеет вертикальные асимптоты в точках, где cos(x) равен нулю (то есть, в точках, соответствующих (2n+1)π/2 для целых n).
Тангенс широко используется в тригонометрических и геометрических задачах.
Котангенс (cot(x)):
Основное свойство: Котангенс - это обратное значение тангенса, то есть cot(x) = 1 / tan(x).
Как и тангенс, котангенс не имеет ограничений в диапазоне значений и также имеет вертикальные асимптоты в точках, где tan(x) равен нулю.
График cot(x) подобен обратному графику tan(x).
- Построение графиков тригонометрических функций
Для построения графиков тригонометрических функций (например, синуса, косинуса, тангенса) вы можете использовать графические инструменты, такие как графический калькулятор или программное обеспечение для визуализации данных, такое как Microsoft Excel, или ручное построение, используя таблицы значений. Важно понимать базовые свойства и периодичность этих функций.
Вот шаги для построения графика тригонометрической функции (давайте рассмотрим синус как пример):
Выбор диапазона значений x: Решите, на каком диапазоне значений x вы хотите построить график. Обычно выбирают один или несколько периодов функции (например, от -2π до 2π).
Рассчитайте значения функции: Создайте таблицу, где будете вычислять значения синуса для каждого значения x в выбранном диапазоне. Например, можно взять равномерные интервалы для x и использовать тригонометрические функции для вычисления соответствующих значений синуса для каждого x.
Постройте график: Используйте полученные значения для построения графика. Вы можете использовать графический калькулятор, графическое программное обеспечение или ручное построение на координатной сетке.
Отметьте особенности графика: Обратите внимание на особенности графика, такие как периодичность, амплитуда, асимптоты, точки экстремума и нули функции.
Подписи и масштаб: Не забудьте подписать оси и дать графику заголовок. Выберите подходящий масштаб для осей, чтобы график был наглядным.
Дополнительные элементы (по желанию): Вы можете добавить сетку, легенду или другие дополнительные элементы для улучшения понимания графика.
Повторите аналогичные шаги для построения графиков других тригонометрических функций, таких как косинус и тангенс, следуя их особенностям и свойствам. Это поможет визуализировать, как эти функции ведут себя в зависимости от аргумента x.
- Определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа. Решение
простейших тригонометрических уравнений
Арксинус (arcsin), арккосинус (arccos) и арктангенс (arctan) - это обратные тригонометрические функции, которые позволяют найти угол, соответствующий заданному значению синуса, косинуса или тангенса. Они обозначаются как следующие функции:
- Арксинус (arcsin): Обратная функция к синусу. Если y = sin(x), то x = arcsin(y), где y лежит в интервале [-1, 1]. Функция arcsin(y) возвращает угол x в интервале [-π/2, π/2], соответствующий значению y.
- Арккосинус (arccos): Обратная функция к косинусу. Если y = cos(x), то x = arccos(y), где y лежит в интервале [-1, 1]. Функция arccos(y) возвращает угол x в интервале [0, π], соответствующий значению y.
- Арктангенс (arctan): Обратная функция к тангенсу. Если y = tan(x), то x = arctan(y). Функция arctan(y) возвращает угол x в интервале (-π/2, π/2), соответствующий значению y.
Примеры решения простейших тригонометрических уравнений:
-
Уравнение с синусом:
Рассмотрим уравнение sin(x) = 0.5. Чтобы найти x, можно использовать арксинус: x = arcsin(0.5). Решением будет x = π/6 или 30 градусов. -
Уравнение с косинусом:
Рассмотрим уравнение cos(x) = √2/2. Чтобы найти x, можно использовать арккосинус: x = arccos(√2/2). Решением будет x = π/4 или 45 градусов. -
Уравнение с тангенсом:
Рассмотрим уравнение tan(x) = 1. Чтобы найти x, можно использовать арктангенс: x = arctan(1). Решением будет x = π/4 или 45 градусов.
Эти обратные тригонометрические функции полезны для нахождения углов, связанных с тригонометрическими значениями, и они часто используются в решении геометрических и физических задач.
- Определение функции, ее области определения и множества
значений; графика функции. Построение графиков функций, заданных
различными способами
Функция в математике - это математический объект, который связывает каждому элементу из множества входных данных (называемого областью определения) ровно один элемент из множества выходных данных (называемого множеством значений) без ограничений. Функцию обычно обозначают буквой “f” и записывают как f(x), где “x” - входное значение.
- Область определения (Domain): Это множество всех входных значений (x), для которых функция определена. В области определения функции f(x), она должна возвращать ровно одно значение.
- Множество значений (Range): Это множество всех выходных значений, которые функция может принимать. Множество значений определяется областью определения и правилами функции.
График функции - это визуальное представление функции на координатной плоскости. Он показывает, как значения функции меняются в зависимости от входных значений. Обычно график функции строится на плоскости с осями X и Y.
Для построения графика функции можно использовать следующие шаги:
- Выберите диапазон значений для переменной x: Решите, какой диапазон значений x вы хотите исследовать. Это определит, насколько далеко на графике нужно будет рисовать оси.
- Выберите шаг для переменной x: Решите, с каким шагом вы будете брать значения x. Это позволит вам построить достаточно точные данные на графике.
- Вычислите значения функции для каждого x: Используйте область определения функции и правила функции для вычисления соответствующих значений f(x).
- Постройте график: На координатной плоскости, где ось X представляет значения x, а ось Y представляет значения f(x), отметьте точки (x, f(x)) для всех значений x из выбранного диапазона.
- Соедините точки линиями: Чтобы получить плавный график, можно соединить отмеченные точки линиями. В результате вы получите визуальное представление функции.
Функции могут быть заданы различными способами, включая аналитические выражения, графики, таблицы значений и т. д. Главное - понимать, как функция связывает входные и выходные значения, и использовать это понимание для построения её графика.
