ΘΕΩΡΙΑ Flashcards
Στατιστική υπόθεση
΄Ενας ισχυρισµός για την κατανοµή κάποιου πληθυσµού.
Ο ισχυρισµός µπορεί να αφορά σ΄ αυτήν καθαυτήν την κατανοµή του πληθυσµού, π.χ.
* η κατανοµή του πληθυσµού είναι κανονική µε µέση τιµή 100 και διασπορά 20
* η κατανοµή του πληθυσµού είναι κανονική µε µέση τιµή −50 (χωρίς να καθορίζουµε ποια είναι η
διασπορά)
* η κατανοµή του πληθυσµού είναι κανονική (χωρίς να καθορίζουµε ούτε ποια είναι η µέση τιµή ούτε
ποια είναι η διασπορά)
Απλή και σύνθετη στατιστική υπόθεση
Μία στατιστική υπόθεση που ισχυρίζεται ότι η κατανοµή είναι µία και µοναδική είναι απλή, διαφορετικά είναι σύνθετη
Μηδενική και εναλλακτική υπόθεση
Είναι δύο ανταγωνιστικές στατιστικές υποθέσεις µία εκ
των οποίων καλούµαστε να «επιλέξουµε» µέσω ενός στατιστικού ελέγχου. Συνήθως, η µηδενική
υπόθεση είναι η υπόθεση την οποία ϑα ϑέλαµε να καταρρίψουµε ενώ η εναλλακτική υπόθεση είναι
η υπόθεση που ϑα ϑέλαµε να αποδείξουµε.
Απόρριψη και αποδοχή (µη απόρριψη) της µηδενικής υπόθεσης
Η απόφαση που ϑα πάϱουµε κατά ή µη της µηδενικής υπόθεσης, αντίστοιχα, ϐασιζόµενοι στα παρατηρηθέντα δεδοµένα.
Η αποδοχή µίας µηδενικής υπόθεσης δεν µας οδηγεί ποτέ στο συµπέρασµα ότι αυτή ισχύει : απλώς ϑεωρούµε ότι τα δεδοµένα δεν µας έχουν δώσει επαρκή στοιχεία για να την απορρίψουµε. Γι΄ αυτό πολλοί
διαφωνούν µε τη χρήση του όρου «αποδοχή» και προτιµούν τον όρο «µη απόρριψη». Στην πραγµατικότητα
δεν έχει σηµασία ποιον όρο ϑα χρησιµοποιήσει κανείς µια και η αποδοχή της µηδενικής υπόθεσης είναι
µία απόφαση (όπως άλλωστε και η απόρριψή της).
Συµπέρασµα και απόφαση
΄Οταν συµπεραίνουµε ότι ισχύει κάτι ϑεωρούµε στο εξής ότι είναι
αληθές. Η άποψή µας µπορεί να διαφοροποιηθεί στο µέλλον µόνον αν παρουσιαστούν αδιάσειστα
στοιχεία κατά αυτού. ΄Οταν αποφασίζουµε κάτι τότε ενεργούµε σαν αυτό να είναι αληθές χωρίς
όµως να ϑεωρούµε απαραιτήτως ότι όντως είναι.
Σε έναν έλεγχο υποθέσεων η αποδοχή ή απόρριψη της µηδενικής υπόθεσης είναι, κατ΄ αρχήν, αποφάσεις. Για παράδειγµα, συχνά καλούµατε να αποφασίσουµε αν ένα συγκεκριµένο µαθηµατικό (ακριβέστερα,
στατιστικό) µοντέλο, όπως ας πούµε η κανονική κατανοµή, µπορεί να περιγράψει ικανοποιητικά την κατανοµή ενός πληθυσµού. Η αποδοχή του µοντέλου δεν σηµαίνει ότι αυτό περιγράφει ακριβώς την πραγµατικότητα· το µόνο ϐέβαιο είναι ότι δεν το κάνει µια και είναι απλώς ένα µοντέλο. Εν τούτοις, σε ενδεχόµενη
αποδοχή του συνεχίζουµε σα να ήταν η πραγµατικότητα : δεν συµπεραίνουµε ότι ισχύει το µοντέλο, απλώς
αποφασίζουµε να παραστήσουµε ότι ισχύει
Σφάλµα τύπου Ι (ένα) και σφάλµα τύπου ΙΙ (δύο)
(+Σχεδίασε πινακάκι)
Σφάλµα τύπου Ι κάνουµε όταν απορρίπτουµε την H0 ενώ αυτή είναι αληθής. Σφάλµα τύπου ΙΙ κάνουµε όταν αποδεχόµαστε την H0 όταν αυτή είναι ψευδής.
΄Ελεγχος ή ελεγχοσυνάρτηση
Μία στατιστική συνάρτηση ϐάσει της τιµής της οποίας αποφασίζουµε για την απόρριψη ή µη της µηδενικής υπόθεσης.
Στις περισσότερες περιπτώσεις ο έλεγχος κατασκευάζεται εκτιµώντας την κατανοµή που γεννάει τα δεδοµένα
(ενδεχοµένως εκτιµώντας απλώς κάποιες παραµέτρους της) και ως ελεγχοσυνάρτηση παίρνουµε κάποια
συνάρτηση αυτής της εκτίµησης. Αν η εκτιµηθείσα κατανοµή ταιριάζει πολύ περισσότερο µε αυτό που
ισχυρίζεται γι΄ αυτήν η εναλλακτική υπόθεση παρά µε αυτό που ισχυρίζεται η µηδενική, η µηδενική υπόθεση
απορρίπτεται. Αν όµως η εκτιµηθείσα κατανοµή δεν είναι πολύ διαφορετική από αυτό που ισχυρίζεται η
µηδενική υπόθεση, η µηδενική υπόθεση γίνεται δεκτή (δεν απορρίπτεται)
Περιοχή απόρριψης (ή κρίσιµη περιοχή) και περιοχή αποδοχής
Η περιοχή απόρριψης είναι
ένα υποσύνολο C του στηρίγµατος των δεδοµένων
(δηλαδή του πεδίου τιµών τους), στο οποίο αν
ϐρεθεί το Χ(διάνυσμα) (αν δηλαδή συµβεί X(διάνυσμα) ∈ C) η µηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Η περιοχή αποδοχής
(δηλ. µη απόρριψης) της H0 είναι συνήθως το συµπληρωµατικό σύνολο της περιοχής απόρριψης.
Πιθανότητα σφάλµατος τύπου Ι και πιθανότητα σφάλµατος τύπου ΙΙ.
Οι πιθανότητες να
συµβούν τα παραπάνω σφάλµατα
Επίπεδο σηµαντικότητας
΄Ενα άνω ϕράγµα για την πιθανότητα σφάλµατος τύπου I που το
επιλέγουµε εµείς πριν την κατασκευή του ελέγχου. Συνήθως συµβολίζεται µε α.
Μέγεθος ελέγχου
Η «µέγιστη» πιθανότητα σφάλµατος τύπου I.
Πολύ συχνά, το µέγεθος ενός ελέγχου συµπίπτει µε το επίπεδο σηµαντικότητας. Στην πραγµατικότητα αυτό
ακριβώς επιδιώκουµε κατά την κατασκευή του
Ισχύς ελέγχου
Χωρίς πολλή αυστηρότητα, µπορούµε να πούµε ότι η ισχύς ενός ελέγχου είναι
η πιθανότητα ο έλεγχος να απορρίψει την H0 όταν αυτή είναι ψευδής και εποµένως πρέπει να
απορριφθεί.
Οµοιόµορφα ισχυρότατος έλεγχος
΄Ενας έλεγχος ο οποίος έχει µέγιστη ισχύ µεταξύ όλων των
ελέγχων του ίδιου ή µικρότερου µεγέθους για οποιοδήποτε σηµείο της εναλλακτικής υπόθεσης.
Προφανώς, ένας οµοιόµορφα ισχυρότατος έλεγχος για κάποιο πρόβληµα είναι ϐέλτιστος στο συγκεκριµένο
επίπεδο σηµαντικότητας. Τέτοιοι έλεγχοι όµως υπάρχουν σε πολύ περιορισµένο εύρος προβληµάτων.
Αµερόληπτος έλεγχος
Ενας έλεγχος η ισχύς του οποίου είναι τουλάχιστον όσο το µέγεθός του.
Η αµεροληψία ενός ελέγχου είναι µία ελάχιστη ιδιότητα που ϑα πρέπει να απαιτούµε από κάποιον έλεγχο
µια και είναι λογικό να ϑέλουµε η πιθανότητα απόρριψης της H0 να είναι µεγαλύτερη όταν είναι ψευδής
απ΄ ό,τι όταν είναι αληθής.
Τυχαιοποιηµένος έλεγχος
Ενας έλεγχος ο οποίος απορρίπτει τη µηδενική υπόθεση µε κάποια πιθανότητα φ( X(διάνυσμα) ) η οποία για κάποια X(διάνυσμα) είναι αυστηρά µεταξύ 0 και 1.
Η τυχαιοποίηση των ελέγχων γίνεται έτσι ώστε αυτοί να έχουν ακριβώς το επιθυµητό µέγεθος. Οι µη
τυχαιοποιηµένοι έλεγχοι, δηλαδή οι έλεγχοι µέσω των οποίων αποφασίζουµε άµεσα για την απόρριψη ή
µη της µηδενικής υπόθεσης, µπορούν να ϑεωρηθούν ως ειδική περίπτωση τυχαιοποιηµένων ελέγχων που
απορρίπτουν τη µηδενική υπόθεση είτε µε πιθανότητα 1 είτε µε πιθανότητα 0
