Vetores

Question 1

Subtração de vetores:

Answer 1

O vetor ele pode estar “perdido” no plano cartesiano. Para que ele vá para o início zero, pode-se subtrair o ponto final menos o ponto inicial.

Ou, também podemos subtrair dois vetores.

(x, y) - (x2, y2) = (x - x2, y - y2)

Question 2

Soma de Vetores

Answer 2

Simplesmente:

(x, y) + (x2, y2) = (x + x2, y - y2)

Question 3

O que é produto escalar?

Answer 3

Nada mais é que a multiplicação de vetores. A grande diferença é que irá gerar um único numero (escalar). Ex.:

x = (x, y, z) / t = (x2, y2, z2)

x . z = ( x . x2 + y . y2 + z . z2)
x . z = α

Se o escalar for igual a 0, temos ortogonalidade e perpendiculares

Question 4

Multiplicação por um escalar?

Answer 4

Significa multiplicar um escalar (α) por um vetor. Ex.:

v = (x, y, z)
α . v = (α . x, α . y, α . z)

Question 5

Módulo do vetor (tamanho)?

Answer 5

Multiplicar o vetor por ele mesmo e, depois, jogar na raiz quadrada. Ex.:

v = (5, 6)

Descubra |v| (módulo):

|v| = (5 . 5 + 5 . 6) = 25 + 36 = 61 = √61
ou
|v| = √ 5² + √6²

Como descobrir se um vetor é unitário?
Basta saber se o módulo dele é igual a 1. Se for, temos um vetor unitário.

Question 6

Ângulo de dois vetores

Answer 6

Temos dois vetores que partem do mesmo ponto (ponto zero). Qual o ângulo deles?

Cos 𝜃 = (u . v) / (|u| . |v|)

Question 7

Como saber se dois vetores são paralelos?

Answer 7

Fórmula:
u = ( x1, y2)
v = ( x2, y2 )

x1 / x2 = y1 / y2 = a

Question 8

Qual a fórmula da projeção ortogonal?

Answer 8

Fórmula:

proj w = [(w . u) / (u . u)] u

Question 9

Como fazer Combinação Linear?

Answer 9

Fórmula:
v = α1 . v1 + α2 . v2 + α3 . v3

Sendo que o exercício irá dar os valores de v, v1, v2 e v3.

(x, y, z) = (α1.x1, α1.y1, α1.z1) + (α2.x2,….

x = α1.x1 + α2.x2 + α3.x3
y = α1.y1 + α2.y2 + α3.y3
z = α1.z1 + α1.z2 + α3.z3

Question 10

Sistema Linear depende e Sistema Linearmente Independente?

Answer 10

Após fazer a combinação Linear (multiplicar α com os vetores). Tudo isso igualando a zero.

(x, y, z) = (α1.x1, α1.y1, α1.z1) + (α2.x2,….

0 = α1.x1 + α2.x2 + α3.x3
0 = α1.y1 + α2.y2 + α3.y3
0 = α1.z1 + α1.z2 + α3.z3

Se, realmente α1, α2 e α3 for igual a zero, temos: Sistema Linear Independente.
Se α1, α2 e α3 dor DIFERENTE de zero, temos: Sistema Linear Dependente.

Question 11

Considere o conjunto B = (v1, v2), onde v1 = (1, 2, 3) e v2 = (-5, 1, 1). Determine o espaço gerado pelos vetores v1 e v2 de B.

Answer 11

Em relação a espaço gerado, temos:

a.v1 + b.v2 = (x, y, z)
(a1 + a2 + a3) + (-5b, 1b, 1b) = (x, y, z)

1a - 5b = x
2a + 1b = y
3a + 1b = z

A partir daqui, temos um sistema linear para ser resolvido.

Resposta formal:

[v1, v2] = {(x, y, z) ∈ R³ | x = 16y - 11z}

Question 12

Verifique se B = {(1, 0) e (1, 1)} é uma base de R²?

Answer 12

Para responder, precisamos respeitar duas regras:

Regra 1: se é Linearmente Independente
Regra 2: se B gera V (espaço vetorial)

Regra 1:
a(1, 0) + b(1, 1) = 0
- Se a e b forem iguais a zero, o sistema é LI

Regra 2:
a(1, 0) + b(1, 1) = (x, y)
1) Descobrirá o valor de a e b.
2) Substituirá o valor de a e b e repetirá a função “a(1, 0) + b(1, 1) = (x, y)”
3) Se o resultado for x = x e y =y; a regra é valida e temos uma base.

Question 13

Determine a dimensão e uma base para cada espaço vetorial em:

a) S = {(x, y, z, w) ∈ R | x + 2y + w -z = 0}

Answer 13

1) Devemos isolar uma das variáveis. A escolha deve cair na mais fácil:
w = -x - 2y + z

2) Aqui já descobrimos que a dimensão é 3 já que w depende de 3 variáveis.

3) Após, fazemos o cálculo em que cada variável é 1 e as outras são zero. Criando a base:
(x, y, z, w) = (x, 0, 0, -x) + (0, y, 0, -2y) + (0, 0, z, ,z)

(1, 0, 0, -1), (0, 1, 0, -2), (0, 0, 1, 1)

4) Isolar as variáveis e dar a resposta:
(x, y, z, w) = x(1, 0, 0, -1) + y(0, 1, 0, -2) + z(0, 0, 1, 1,)

Isto é: todo vetor S é combinação linear dos vetores (1, 0, 0,-1), (0, 1, 0, -2) e (0, 0, 1, 1). Como esses três vetores geradores de S são L.I., o conjunto {(1, 0, 0, -1), (0, 1, 0, -2), (0, 0, 1, 1)} é uma base de S e, consequentemente, dimS = 3.

Question 14

Como saber se um conjunto é ortogonal?

B = {(1, 2, -3), (3, 0, 1), (1, -5, -3)} é um conjunto ortogonal?

Answer 14

Conjunto é ortogonal quando a multiplicação entre os vetores der como resultado “0”.

(1, 2, -3) x (3, 0, 1) = (1x3) + (2x0) + (-3x1) = 0

(1, 2, -3) x (1, -5, -3) = (1x1) + (0 x -5) + (-3 x -3) = 0

(3, 0, 1) x (1, -5 , -3) = (3 x 1) + (0 x -5) + (1 x -3) = 0

Question 15

Como saber se um conjunto é ortonormal?

B = {(1, 0); (0, 1)} é ortonormal?

Answer 15

Para saber se é ortonormal:
1) Precisa ser ortogonal (multiplicar os vetores entre si e deve dar zero)

2) Multiplicar cada vetor por ele mesmo e a resposta precisa dar ‘1’

Question 16

Como transformar um conjunto de vetores ortogonais em ortonormais?

Answer 16

Basta dividir os vetores presentes no conjunto pelo seu módulo.

B = {v1/|v1| , v2/|v2|, v3/|v3|….

Question 17

Como resolver um sistema linear?

Answer 17

Regra 1: Iremos zerar os valores abaixo do pivô. Para isso, pegaremos L2/L3… e subtrairemos pelas outras linhas. Podemos multiplicar e dividir nesse processo (Ex.: L2 <= L2 - 3xL1). Lembrando que quando fizemos isso, repetiremos as outras linhas.

Regra 2: Após zerar os números abaixo do pivô, teremos o segundo elemento abaixo da primeira linha (diagonal). Agora, tentaremos zerar dos os elementos abaixo desse número.

Regra 3: repetiremos a situação até conseguir achar o resultado de todas as variáveis.

Ex.:

x1 - x2 + x3 = 0
2x1 - x2 -x3 = 3

L2 <= L2 - 2 x L1

x1 - x2 + x3 = 0
0 + x2 - 3x3 = 3

Question 18

Como multiplicar somar e subtrair matrizes?

Answer 18

Lembrete: o número é por linha x coluna.

n 1x2 - y 1x2

n 1x2 + y 1x2

Soma-se/subtrai-se sempre o número da mesma posição.

Só é possível somar e subtrair matrizes com a mesma quantidade de linhas e colunas.

Question 19

Como multiplicar uma matriz por um escalar?

Answer 19

Basta multiplicar o escalar por cada elemento da matriz.

Question 20

O que é uma matriz transposta?

Answer 20

É quando invertemos as suas linhas e colunas.

a = 1 0
2 2
3 1

a (elevado a t) = 1 2 3
0 2 1

Question 21

O que é uma matriz em forma de escada reduzida por linha?

Answer 21

É uma matriz em que a diagonal é igual a 1!

1 0 0 0 | 5
0 1 0 0 | 6
0 0 1 0 | 9
0 0 0 1 | 10

Question 22

O que é uma matriz aumentada?

Answer 22

É um sistema linear em forma de matriz. Ex.:

5x1 + 3x2 + 7x3 = 5
1x1 + 2x2 + 1x3 = 2

Que é igual a:

5 3 7 | 5
1 2 1 | 2

Question 23

Como transformar uma matriz em sua forma reduzida por linhas usando o método Gauss-Jordam?

Answer 23

Passo 1: encontre a primeira coluna não nula (da esquerda para a direita). Está coluna é chamada de pivô;

Passo 2: na coluna pivô, identifique o primeiro elemento (de cima para baixo) não nulo. Este elemento é denominado pivô.

Passo 3: se o elemento pivô não pertencer a primeira linha, então envie toda a linha que contenha o pivô para a primeira linha.

Passo 4: agora, iremos zerar todos os elementos que estão abaixo do pivô. Para isso, iremos somar/subtrair a linha atual pela linha ‘pivô’. Ex.: L3 <= L3 - 3*L1 ou L4 <= L4 + 1/4L1. Tudo com o objetivo de zerar.
Lembre-se. Após a ação, a única linha que é modificada é a que sofreu a subtração/adição. Todas as outras se mantêm.

Passo 5: Repita o processo até ficar uma linha diagonal em 1 e os outros elementos em zero (exceto a que teoricamente temos o resultado.