QUESTIONS GENERALES Flashcards
G1. Quelles sont les caractéristiques des systèmes de notations qui devraient être prises en compte pour la
compréhension des troubles numériques/arithmétiques ?
Dans le cadre d’un trouble de la compréhension du nombre, plusieurs caractéristiques de son acquisition peuvent être touchés et donc à considérer pour identifier la nature du trouble :
- Dans les notations verbales : difficultés à acquérir le principe de la base, notamment en raison des particuliers (type onze qui n’est pas 10-1). A noter aussi que les bases de combinaisons peuvent varier suivant les cultures (chinois moins diff qu’US), ce qui rend les enfants inégaux devant ces apprentissages.
- Le fait que les notations écrites soient des codes implicites ne représentant pas nécessairement la réalité (association nombre et sa représentation)
- Les difficultés à acquérir ou maitriser les notions d’ordinalité (différence entre les différents concepts de nombres) et de cardinalité (le nombre ndique le nombre d’éléments d’une collection).
- Le principe de position: exemple lors du transcodage ( 3 types de rprésentations possibles : code verbal ( écrit ou oral); code arabe (écrit sous forme de chiffres arabes), représentation de la quantité -> 6 situations possibles) on peut observer différentes erreurs lors du transcodage oral-arabe: la première est en lien avec le principe de position donc quand on dit « mille cent quarante cinq »= on dit « trois cent cinq mille trnte-sept » et l’enfant note 305037 par exemple. Ensuite on à l’utilisation du zéro de position qui peut poser des problèmes : “trois cent cinq mille trente-sept” ( 305037): les 0 Intercalés ne sont pas directement exprimés. Il y a égaleent les situations de sur-écriture: cette difficulté est liée au francais : “ Trois cent soixante dix-sept” : on écrit un 6 et pis il faut le barrer pour en faire un 7. En dernier il y a l’ordre d’énumération : il y a un certain nombre de langues ou on exprime à l’oral, les unités avanr les dizaines.
- Les effets de ratio et de familiarité qui peuvent renforcer des apprentissages déjà acquis sans en développer de nouveaux (effets de résonnance).
- La difficulté liée aux fractions, qui peut s’expliquer par le fait qu’on apprend d’abord les entiers naturels à l’école puis les entiers relatifs, règles parfois contradictoires (voir fiche sur les fractions tableau naturels vs relatifs)
- Des difficultés d’acquisition à niveau procédural et/ou conceptuel
G2. Quelles implications voyez-vous à la conception modulaire du traitement numérique et arithmétique en
termes de pratique clinique ?
La conception générale de l’architecture de l’esprit recouvre deux visions différentes :
1) D’une part, la vision traditionnelle selon laquelle l’esprit est organisé en fonctions générales “horizontales”, non-spécifiques à un domaine (“mémoire”, “intelligence”, “conscience”, “perception”).
2) D’autre part, la thèse de la modularité (Fodor) selon laquelle l’esprit comporte des composantes modulaires spécifiques d’un domaine (et aussi des composantes générales). Des exemples de systèmes modulaires possibles sont la perception, la reconnaissance et la mémoire des visages ; la perception de la parole ; le traitement des mots (parlés, écrits) ; la perception des émotions, l’empathie (théorie de l’esprit), etc.
Selon la théorie de Fodor, un module mental présente plusieurs propriétés générales :
spécifique à un domaine d’objets ou événements
automatique
rapide
“élémentaire” (shallow)
autonomie (l’information est encapsulée), c.à.d. sans intervention ou interaction avec les connaissances générales
impénétrabilité: les systèmes centraux ont un accès limité
support neural localisé
précablage biologique
troubles spécifiques et sélectifs
développement ontogénétique caractéristique
Dans le domaine de la cognition numérique, différentes questions se posent, dont celle de savoir s’il existe un système mental pour certains aspects du traitement du nombre, indépendamment du langage. Il y a essentiellement deux manières de récolter des données pour tenter d’y répondre :
- soit en examinant dans quelle mesure des espèces animales sans langage présentent des compétences numériques c’est-à-dire dans quelle mesure ils sont capables de faire des choses dans le domaine des manipulations numériques
- soit en essayant d’objectiver les compétences numériques des jeunes enfants dans leur première année de vie (enfants préverbaux et nouveau-nés) avant l’acquisition du langage.
La neuropsychologie nous fournit également différents arguments vis-à-vis de la question de la modularité de l’esprit. A travers de l’étude de patients, cette discipline tente de comprendre le fonctionnement du système cognitif humain, en particulier par la recherche de (doubles) dissociation c’est-à-dire si le processus X est intact et le processus Y altéré chez un patient et spécialement si le patron de troubles inverses est observé chez d’autres patients, on a des raisons de croire que X et Y reflètent des mécanismes sous-jacents différents dans le fonctionnement normal.
-> Dissociations sémantiques : compréhension du monde vs. compréhension du nombre
o Cas MMV : Le sujet a un déficit en compréhension des mots/nombres à l’oral, mais produit sans problème: une lecture orale, une dénomination de nombres en chiffres arabes et une compréhension des nombres en modalité visuelle.
o Cas SG : Ce sujet a une préservation de l’essentiel des compétences numériques (comptage, jugement de parité, transcodage, comparaison numérique, etc.) mais une dégradation importante des connaissances sémantiques sur le monde.
-> Dissociations au niveau des codes (transcodage) :
o Modèle modulaire de McCloskey : Systèmes modulaires : compréhension – production – calcul – sémantique. Aucun de ces sous-systèmes n’a accès aux autres sous-systèmes. L’argument à cette théorie : les (doubles) dissociations décrites en pathologie. Il y a différents types de dissociations rencontrées : lecture/écriture est bonne mais les faits arithmétiques simples sont déficitaires ou procédures de calcul ok mais faits arithmétiques déficitaires ou lecture déficitaire mais production ok, etc.
-> Dissociations au niveau du calcul :
o Modèle du triple code de Dehaene : L’idée est qu’il existe 3 différents systèmes de représentations mentales mais que ces trois circuits se localisent tous dans les régions pariétales effectuant différents types d’interaction entre eux. (HIPS - représentation de la quantité, AG - manipulations numérales verbales et PSPL - processus d’attention). Il y a différentes dissociations comme par exemple dans le syndrome de Gerstmann. –> AG (addition et multiplication) vs HIPS (soustraction et division).
o Etude entre le calcul exact vs. calcul approximatif : Le calcul exact serait lié au langage et dépendant de réseaux localisés dans les zones associées au langage (région inférieure du lobe frontal gauche (Broca)) et le calcul approximatif ferait appel à la comparaison des magnitudes ce qui impliquerait des réseaux spécialisés, situés dans les lobes pariétaux (sillon intrapariétal).
Les différentes observations de patients semblent soutenir l’hypothèse de la modularité du système numérique. Néanmoins, il est important de noter que ces dissociations ne nous permettent pas de savoir si les composantes interagissent ou non entre elles dans le fonctionnement normal, ce qui implique qu’on ne peut valider totalement l’hypothèse modulaire d’imperméabilité et d’indépendance des différents modules.
G3. A la lumière du cours, comment envisagez-vous la relation entre les compétences numériques précoces et
les différences inter-individuelles dans les compétences numériques et mathématiques chez l’adulte ?
Les études montrent à travers notamment la notion de subitising, l’existence de capacité préverbales d’estimation de la numérosité plus ou moins précises.
A leur tour ces études ont servi de base pour démontrer que ces capacités plutôt innées permettaient la compréhension ultérieure des mathématiques.
L’enfant passe par plusieurs étapes d’apprentissage procéduraux et conceptuels, présentés différemment suivant les modèles théoriques. De manière générale, il semble probable qu’il est difficile d’acquérir un concept si les concepts de difficultés inférieurs ne sont pas acquis.
Par exemple, il est difficile de comprendre les fractions si l’on ne comprend pas les additions et les multiplication, la cardinalité et l’ordinalité, etc.
D’autres études mettent en évidence une variabilité inter-individuelle en mathématiques liée à la performance.
De plus, sur le plan purement des notations et des système de la base, il existe une variabilité entre les cultures, qui du coup confronte les individus à des niveaux de difficultés différents dans l’apprentissage des mathématiques.
Les études neurobio mettent en évidence que…
En résumé, malgré une base innée commune, la diversité culturelle, neurologique, scolaire et la manière dont chacun va se confronter aux apprentissages, les adultes présentent un niveau mathématique différent en fonction de la nature de leur parcours notamment.
G4. Vous êtes logopède/neuropsychologue. Un enseignant vous envoie une fillette de 9 ans parce qu’ “elle n’a pas acquis la notion de nombre”. Que faites-vous ?
Selon Piaget, les enfants mettent du temps à acquérir les compétences logiques tels que la transitivité, la classification, l’abstraction, la sériation et la conservation qui sont nécessaires aux activités numériques. Pour lui le nombre s’acquiert et se construit et ne s’apprend pas. On peut faire répéter verbalement à l’enfant des formules tirées de tables d’addition toutes faites. On obtiendra une assimilation réelle que si le sujet est capable de concevoir une somme X comme une totalité englobant des parties. Le rôle du langage et de l’apprentissage est secondaire, et la vraie compréhension vient avec la maturation mentale.
Le nombre est pour lui une synthèse indissociable de l’inclusion et de la sériation. Le nombre résulte d’une abstraction de qualités différentielles : chaque élément est équivalent à chacun des autres, cela établi, les éléments restent classables selon les inclusions. Selon Piaget l’enfant ne pourra opérer sur les nombres s’il n’est pas capable d’effectuer des opérations de sériation systématique, indicatrice de la maîtrise du principe de transitivité.
Ceci dit, il a eu une énorme influence sur l’éducation, cela a mené à introduire les ensembles dans l’apprentissage ainsi qu’un entraînement logico-mathématique à l’école, des activités de classification et de sériation ont été conçues comme entraînement préalable à l’acquisition des nombres. Enfin, en matière d’intervention rééducative, la théorie piagétienne a eu un impact dans la rééducation, notamment en ce qui concerne les troubles logico-mathématiques comme la dyscalculie. En effet, de nombreux jeux utilisés lors de thérapies se basent sur les principes même de sériation, classification et inclusion.
Dans le cadre de la fillette -> passer le e TEDI-MATH qui est un test diagnostique des compétences de base en mathématiques. Ce test permet un diagnostic des troubles des apprentissages numériques de la fin de la 2ème année de maternelle (MSM) à la fin du CE2. Il intègre les acquis de la théorie piagétienne du nombre et les connaissances les plus récentes de neuropsychologie et de la psychologie cognitive. Les épreuves ont été conçues pour permettre une évaluation aisée et précise des divers troubles qui peuvent apparaître au cours des premiers apprentissages de la notion de nombre et du calcul. Dans les six domaines de compétences numériques qui sont examinés les opérations logiques piagétiennes sont aussi dedans. (Sériation, classification, conservation, inclusion et décomposition additive).
G5. On vous envoie une fillette de 9 ans parce que “elle n’a pas acquis la notion de nombre”. Vous devez
définir une stratégie de rééducation. Comment faites-vous? Que proposez-vous?
Selon Piaget, les enfants mettent du temps à acquérir les compétences logiques tels que la transitivité, la classification, l’abstraction, la sériation et la conservation qui sont nécessaires aux activités numériques. Pour lui le nombre s’acquiert et se construit et ne s’apprend pas. On peut faire répéter verbalement à l’enfant des formules tirées de tables d’addition toutes faites. On obtiendra une assimilation réelle que si le sujet est capable de concevoir une somme X comme une totalité englobant des parties. Le rôle du langage et de l’apprentissage est secondaire, et la vraie compréhension vient avec la maturation mentale.
Le nombre est pour lui une synthèse indissociable de l’inclusion et de la sériation. Le nombre résulte d’une abstraction de qualités différentielles : chaque élément est équivalent à chacun des autres, cela établi, les éléments restent classables selon les inclusions. Selon Piaget l’enfant ne pourra opérer sur les nombres s’il n’est pas capable d’effectuer des opérations de sériation systématique, indicatrice de la maîtrise du principe de transitivité.
Ceci dit, il a eu une énorme influence sur l’éducation, cela a mené à introduire les ensembles dans l’apprentissage ainsi qu’un entraînement logico-mathématique à l’école, des activités de classification et de sériation ont été conçues comme entraînement préalable à l’acquisition des nombres. Enfin, en matière d’intervention rééducative, la théorie piagétienne a eu un impact dans la rééducation, notamment en ce qui concerne les troubles logico-mathématiques comme la dyscalculie. En effet, de nombreux jeux utilisés lors de thérapies se basent sur les principes même de sériation, classification et inclusion.
Un exemple d’intervention rééducative est le test UDN-II. Ce test est élaboré à partir des théories piagétiennes du développement de l’intelligence chez l’enfant. Cette batterie se compose de 8 épreuves inspirées des expériences de Piaget des premières notions logico-mathématiques. Elle est constituée d’une série de situations-problèmes variées. L’UDN-II permet d’explorer les capacités de compréhension et d’utilisation de notions en rapport plus ou moins étroit avec la construction et l’utilisation du nombre chez des enfants de 4 à11 ans.
Il y a des épreuves de logique élémentaire (classification, inclusion, sériation), de conservation, d’utilisation du nombre, d’origine spatiale : comment, par la logique, transposer et affirmer des identités, de connaissance et de compréhension des termes et des opérations mathématiques. Ce test a pour objectif :
- De situer l’enfant examiné dans ses démarches numériques et plus généralement logico-mathématiques.
- D’analyser la répartition des réussites et des échecs selon la nature des tâches proposées.
- Repérer les procédures préférentiellement employées.
- Evaluer le niveau de l’argumentation fournie par l’enfant et le degré d’élaboration des concepts qu’il utilise, ainsi que ses possibilités dynamiques d’évolution.
G6. On vous envoie un gamin de 13 ans parce qu’“il est complètement bloqué avec les fractions”. Vous devez
définir une stratégie de rééducation. Que proposez-vous?
Partie du cours sur les difficultés avec les fractions (à rédiger) :
On remarque que des exercices demandant de colorier des fractions ne posent aucun problème à des enfants de 5e primaires alors qu’ils ont de grandes difficultés à les additionner.
La compréhension des fractions est fortement corrélée avec les habiletés numériques et prédit les performances mathématiques ultérieures (dans plusieurs pays donc indépendamment des pratiques scolaires).
Les fractions servent à mettre en relation deux grandeurs (partie et tout, portion et collection, …) et peuvent représenter :
- Des opérations (prendre ¼ de 20) ou désignation (un quart de tarte)
- Des grandeurs absolues de rapport (3 fois plus) ou des grandeurs mesurables
Tous ces sens peuvent poser problème dans l’apprentissage. Certaines manipulations sont naturelles dans certains contextes mais pas dans d’autres (multiplier une fraction par une autre fraction a du sens mais est beaucoup moins naturel.
L’équivalence entre des fractions peut aussi poser problème si on les conçoit comme des quantités (1/3 de tarte et 2/6, c’est la même chose mais difficile à concevoir).
Les enfants ont à la fois besoin de connaissances conceptuelles (utiliser des fractions pour décrire des objets ou situations, les mettre en relation avec des nombres, …) et de connaissances procédurales (additionner, multiplier, simplifier, … selon certaines règles apprises).
Les enfants préverbaux savent différentier les notions de grandeurs et de rapport. McCrink et Wynn ont habitué des enfants de 6 mois à des ensembles de points dans lesquels la disposition changeait mais le rapport restait identique. Quand le rapport changeait, les enfants étaient + intéressés si le ratio était beaucoup plus grand (de 2 :1 à 4 :1 effet, mais pas de 2 :1 à 3 :1).
Bonato et al ont comparé des fractions par rapport à 1/5. La performance varait selon le dénominateur et non selon la magnitude, montrant que les enfants font principalement attentions aux composantes plutôt qu’à la magnitude.
La conclusion serait que les enfants ont un biais pour les entiers. Les conceptions des nombres sont basées pour des entiers naturels et les fractions sont la première rencontre avec des entiers rationnels. Trois hypothèses sur l’origine de ce biais :
- Contrainte innée : le système naturel est formé sur les numéraux entiers
- Différentiation entre les grandeurs discrètes et continues
- Effet de l’instruction
Le passage aux rationnels implique des changements conceptuels.
une fraction est une notation conventionelle pour les nombre tationnels -> 3/4 = 0.75 et c’est un nombre rationnel cad tout nombre qui peut être exprimé comme le quotient de 2 entiers -> 2/3 est plus que 1/2 et moins que 3/4.
Les fractions servent a beaucoup de choses comme mesurer et exprimer des rapports entre 2 grandeurs, donc ils sont utilisé dans différentes situations.
il y a 2 niveaux de connaissance des fractions:
- connaissance conceptuelle -> a quoi ca sert, pourquoi et quand l’utiliser
- connaissance procédurale -> ce quil faut faire, comment, quelles manipulation
Mais elle posent problème. l’hypothès est que la conception des nombres est basé sur des entiers naturels et que les fractions sont la premières reonctre avec les nombres rationnels.
Le passage aux rationnels implique des changements concepuels. -> cela pose problème .
En tant que stratégie de réeducation on pourrais travailler sur différents aspects.
- proposer un référentiel stable sous forme de tableau au quel il peut s’orienter et du matériel a manipuler (comme vue en cours avec les cammembert en bois)
- faire différentes activites pour ancrer les apprentissages -> proposer différents jeux qui permettent de travailler avec les fractions ou il doit lui-ême trouver des solutions ect pour lui permettre de comprendre les mécanismes de fonctionnement des fractions. Comme dans l’intervention faite par Gabriel, Coché, Carette, Rey et content (2012)
- memory : retrouver 2 fractions qui représente la meme chose
- bataille : compa de magnitude
Permet de consolider les connaissance procédural et conceptuelle
G7. Quelles caractéristiques des notations numérales verbales et écrites vous semblent essentielles à retenir
pour comprendre le développement du comptage et du calcul ?
Les notations numérales sont de deux types :
1) Symboles numéraux verbaux existant dans les langues sous forme orale ou écrite. Ils servent surtout à la communication pour s’échanger dans le groupe sur des questions de quantité comme par exemple : « cinq », « octante », « soixante-dix », « nonante ».
2) Symboles numéraux écrits ou « arabes ». Ex : 5.
a) Quelles caractéristiques des notations verbales permettent de comprendre le développement du comptage ?
- Dimension ordinale : Exemple : Chez les Korowai de Nouvelle Guinée, chaque membre du corps correspond à un nombre. Ce sont des systèmes conventionnels qui varient nécessairement entre les tribus. Toutefois, dans tous les exemples de ces systèmes de notation corporelle, les notations suivent une ligne et suivent un circuit le long du corps. Dès qu’il y a un circuit, cela implique nécessairement qu’un ordre a été établi.
- Désignation -> des gestes aux mots : En comptant, l’homme énonce les parties du corps qui correspondent aux nombres (1 : auriculaire, etc.). Il est donc possible d’émettre l’hypothèse que, progressivement, nous serions passés de la communication gestuelle à la communication orale par l’intermédiaire de la dénomination des parties du corps correspondantes. Au lieu de montrer sur son corps, on dénomme soit toute la suite, soit la partie du corps correspondante. L’étymologie des nombres est basée sur les parties du corps. Dans différentes langues du monde, certains mots-nombres ont un lien avec les parties du corps. Exemple : « cinq », dans une série de langues a une familiarité, du point de vue de sa phonologie, avec le mot « main » un autre exemple c’est le mot Doigt qui est en anglais « digit » ce qui veut dire « chiffre ».
- Système plus riche et plus expressif: Le principe de la base est de décomposer un nombre en une somme de produits, chaque élément de la somme étant lui-même un produit. Chaque produit est le plus grand multiple contenu dans le nombre d’une puissance d’une certaine quantité (qu’on appelle la base). Cela permet d’exprimer n’importe quelle grandeur avec un nombre limité de mots de base.
- Dans notre système de notation, 10 est la base : dans chaque élément de la somme, on a une valeur et une puissance de 10. Exemple : 1378 = (1 x 10^3) + (3 x 10^2) + (7 x 10^1) + (8 x 1). Pourquoi 10 comme base ? La raison principale est un détail de l’histoire de l’anatomie des mammifères qui fait qu’on a 5 extrémités à chaque membre. Les bases peuvent différer à travers les cultures et les langues. Un exemple est que dans la langue des signes, la base est de 5.
- principe de multiplication : Exprimer la quantité « 30 » revient à multiplier « 3 » et « 10 »
- principe de composition additive: Exprimer la quantité « 320 » revient à sommer « 3100 et 210 »
- Compromis entre clarté et rapidité : Pourquoi des déviations ? En français, pourquoi dit-on « onze » plutôt que « dix-un » alors qu’en latin c’était transparent? Pour être clair, il faut détailler/articuler et cela prend d’avantage de temps. Un principe général est que plus les mots sont fréquents, plus on a tendance à les compresser (= principe d’économie). Une hypothèse plausible serait que ces compressions de petits nombres (dix-un, dix-deux..) représenteraient une façon de simplifier les formes verbales, augmentant de fait la rapidité de communication en dépit de la transparence.
b) Quelles caractéristiques des notations écrites permettent de comprendre le développement du calcul ? - Garder une trace : Il y a des spéculations à propos du fait qu’en Afrique, il y a 20 000 ans, il y avait déjà des populations qui connaissaient des propriétés mathématiques sophistiquées. Cela met par contre en évidence le fait que les plus anciennes traces de quelque chose qui s’apparentent à une notation numérique sont des objets de ce type là (os avec encoche, tailles de bergers sur des écorces…). On peut penser que ça servait essentiellement à faire l’inventaire, se souvenir de l’histoire, de l’état du bétail, de la taille de la famille, etc.
- Discrimination et lisibilité : Dans tous les systèmes dans lesquels on retrouve des traces historiques anciennes, il apparait très rapidement la notion de groupage (par l’espace ou par utilisation de symboles différents). Ces groupages se font généralement à peu près au même endroit mais peuvent toutefois varier (ex : Araméens d’Egypte groupent par 3 - groupage par l’espace (6 = III III), Araméens de Mésopotamie groupent par 5 – groupage par symbole différent (5 = >, 6 = I >)). L’explication la plus probable de ce phénomène de groupage est que jusque 3 ou 4 points / barres / symboles identiques, les différents identifiés sont faciles à distinguer. A partir de 5 éléments, la discrimination visuelle se complique. Ceci confère probablement aux groupages visuels une fonction de discrimination et de lisibilité.
- Principe de sommation : Le principe de la base à l’écrit apparait dans différentes civilisations sous plusieurs formes différentes. Typiquement, le principe de la base est un principe de sommation uniquement. Exemple: Chez les égyptiens, on retrouve un symbole pour rang et le symbole est répété autant de fois qu’il le faut pour exprimer les quantités. Exemple : le nombre 10000 est représenté par un couteau, donc dessin de 4 couteaux pour représenter 40.000). Cela représente un énorme progrès car il y a beaucoup moins de symboles à dessiner pour représenter un nombre. Toutefois, cela demeure assez peu pratique et peu lisible.
- Lien avec le système alphabétique : L’alphabet hébraïque utilise 27 lettres de l’alphabet, des symboles distincts, pour représenter les chiffres à 3 rangs différents (unités, dizaines et centaines) parce que c’est plus compact; on n’a pas besoin de 3 signes de 100 pour exprimer 300, mais ça ne marche que jusque 999. De plus, chaque nombre de 1 à 999 est aussi une phrase de 3 mots/syllabes, ce qui permet de développer un système ésotérique et religieux de relation entre nombres et langage.
- Le principe de position -> Principe de l’écriture numérique en chiffres arabes : Invention découverte par 2 à 4 civilisations dans le monde (par les babyloniens et les indiens, les mayas et les chinois). Utilisation d’un petit nombre de symboles (0 à 9) en leur attribuant une valeur différente selon leur position dans la suite. Il n’y a pas de symboles spéciaux pour indiquer la puissance de la base (unités, dizaines, etc.). C’est juste la position qui indique cette information-là.
- Système économique, puissant compact et lisible : Exemple (2015): On décompose en milliers (2), centaines (0), dizaines (1) et unités (5) -> ça c’est le principe de la base; et en plus, au lieu de dire « 2, 1000 », « 0,100 », « 1, 10 », « 5 » on utilise la position dans la chaîne écrite pour indiquer implicitement que le 2 veut dire « 2, 1000 », etc. Donc, utilisation des mêmes symboles à tous les rangs. La position indique implicitement la puissance de 10 qu’il faut utiliser. Il faut aussi un symbole pour indiquer qu’il n’y a rien à certains rangs (dans 2015, il y a 0 centaines). Mais dans les nombres naturels, il n’y a pas le 0 (si on veut compter le nombre de vaches, de carottes, etc. : on commence à 1). Le 0 a ainsi été inventé pour éviter l’ambiguïté dans les notations de position.
- L’invention des caractères pour les chiffres : Pourquoi le 3 s’écrit 3 et le 7 s’écrit tel qu’on le connait ? L’une des explications possibles est qu’il s’agit de toute une série d’évolutions de notations au cours de millénaires à partir de notations analogiques. Ce sont les caractères de 0 à 9 comme nous les connaissons aujourd’hui. Ça permet une série de développement de calcul mental et écrit. Comme par exemple c’est difficile pour un guerrier Korowai de faire la somme de 17 (= hanche gauche) et 11 (joue droite): cela ne représente rien. Par contre, grâce au principe de position, les additions, soustractions, multiplications, etc. sont plus faciles -> calcul écrit. (on fait la somme des unités, dizaines, centaines, etc.)
G7BIS. Quels sont les principaux avantages et inconvénients de la base décimale ?
Relation entre les mots-nombres et la structures décimale:
dans les langues européennes il y a une relation relativement opaque entre les mots et les numérosites. Opaque dans le sens ou elle ne fait pas apparaître de manière directe la structure décimale, puisque dans 16 on ne voit pas la structure 10+ 6 .
dans les langues transparentes, notamment d’Asie du sud-est : chinois, japonais, vietnamien …. c’est plus simple. Il y a les 9 mots d’unité; il y a 10 et jusque 100, ce sont les seuls éléments qui jouent. Ces langues vont apparaître, de manière plus transparente, la relation entre les mots et la base décimale
Une conséquence de Cela = le nombre d’élément à retenir par cœur. En français 24 environ a retenir pour pouvoir aller jusqu’a 100. En japonais avec 10 mots on a déjà tout les éléments.
Cela fait une grosse différence. -> exp de Miller et al : idée que personnes venant d’Asie l’avaient des compétences mathématiques bien meilleures -> explication culturelles ou autre.
Comparaison enfant de 3 à 5 ans Chinois et USA. « Dis-moi jusqu’où tu peux aller dans la suite, le plus loin possible ». Les enfants chinois aprennnent (beaucoup) plus vite la suite des mots-nombres.
A 4 ans, la médiane de la suite produite est de plus ou moins 12 aux USA et plus au moins 40 en Chine. A 5 ans, la médiane de la suite produite est plus au moins 40 aux USA et plus ou moins 100 en Chine.
Lorsqu’on regarde le graphe de mortalité on voit que la problématique apparaît entre 10 et 20 = apprentissages des particuliers.
Cela à également une influence sur la manière dont les enfants utilisent le principe de la base décimale :
étude avec des réglettes : Multi-pays -> USA, France, Suède, Japon et Corée avec des enfants d’environ 5-6 ans. Comment les enfants représentaient des quantités en utilisant des réglettes. Réglette unités et correspondant à 10.
les enfants américains, français, suédois utilisent très peu la base 10. Les enfants japonais et corééns l’utilisent beaucoup plus massivement.
Autre étude : le jeu du magasin . « qu’est ce que tu veux acheter ? Tout cela coute 13 pences ». Enfants Anglais et Taïwanais
Soit ils ont des pièces de 1 pence -> la on peut que donner 13 pièces.
Soit ils ont des pièces de 10 et 1
Soit ils ont des pièces de 5 et des pièces de 1
Globalement, pas de différence de niveau de compétences autant on leur donne que des pièces unitaires. Mais il y a une diffèerence importante en termes de nature des erreurs! Les enfants anglais représentent les dizaines par des unités. Il vont utiliser des pièces de 1 et faire 13 pièces de 1 mme sil y a ds pièces de 10. Idem avec 5 . Alors qu’on n’observe pas ca chez les enfant taïwanais.
G8. Pensez-vous qu’on puisse affirmer qu’il existe des bases innées pour l’extraction de la numérosité ?
D’après une expérience de discrimination visuelle dans laquelle des nourrissons de 6 mois sont habitués à voir 2 points qui sont soit proches l’un de l’autre soit espacés puis ces mêmes nourrissons sont testés avec 3 points (ou inversement, habitués avec 3 points puis testés avec 2 points), on constate que les durées de regard sur les images présentées au moment du test sont plus longs que sur les images présentées lors de la phase d’habituation.
On peut donc conclure que les bébés de 6mois sont capables de discriminer 2 et 3. Cela peut être expliqué par cette capacité précoce qui serait basée sur un processus d’énumération perceptive qu’on appelle « subitisation ». La subitisation, c’est l’appréhension immédiate, très rapide, du nombre pour de toutes petites numérosités (de 1 jusque 3 ou 4).
Cette capacité est déjà présente chez le tout petit de quelques mois et il fallait une bonne vingtaine d’années avant qu’on ait une méthode et des résultats qui montrent également, pour cette tranche d’âge-là, la discrimination pour des plus grandes quantités. Cela prouverait que les nourrissons ont des compétences numériques avant même d’acquérir le comptage verbal.
Cependant l’hypothèse qui stipule que les compétences des nourrissons sont uniquement basées sur un mécanisme de « subitisation », limité aux numérosités 3 ou 4 est largement remise en question car une série de résultats montre des compétences de discrimination pour des numérosités plus importantes également.
G9. Comment imaginez-vous la nature de la relation entre les compétences précoces chez le bébé et le
développement des habiletés mathématiques ? (je suis pas tout a fait sure si c’est bon, mais j’ai pas trouver qqch de mieux )
Ce qu’on a montrer chez les adultes est que :
Les auteurs, notamment Halberda, Mazzocco et Feigenson, concluent effectivement qu’il y a une influence entre l’acuité du système numérique et des habiletés mathématiques. Pour confirmer l’hypothèse ils ont réalisé une étude longitudinale sur le développement mathématique où les sujets de 14 ans devaient comparer des collections de points en fonction de la couleur. L’estimation est évaluée grâce à la « fraction de Weber » qui mesure l’acuité. En effet, plus l’acuité est petite plus la discrimination est fine. A partir de cette méthode les chercheurs ont mesuré l’acuité du système c’est-à-dire de savoir à partir de quel contraste de grandeur les sujets étaient capable de discriminer les quantités. De cette façon, ils ont pu définir un ratio.
Revenons à l’étude de Halberda, Mazzocco et Feigenson, pour laquelle les résultats montrent que ceux qui ont une fraction de Weber plus petite ont un score plus élevé dans les domaines des compétences numériques. Ces chercheurs confirment bel et bien l’existence d’une relation entre l’acuité du système et des compétences numériques en termes d’influence (ou corrélation?) mais pas de causalité. Cependant 2 idées sont encore discutées qui est de savoir si c’est le sens du nombre (acuité) qui influence les compétences arithmétiques et numérique ou si c’est l’éducation qui influence la qualité du système d’acuité.
On a donc comparé la performance d’adultes scolarisés et d’adultes non-scolarisés et on a observé que les adultes qui n’avaient pas eu d’éducation scolaire avaient un score plus faible que les adultes scolarisés. Il y aurait donc une influence de l’apprentissage scolaire sur l’acuité numérique.
Donc on peut dire que la relation entre les compétences précoces chez le bébé et le
développement des habiletés mathématiques est présente mais que l’apprentissage scolaire joue un rôle très fort.
G10. Discutez et illustrez par des exemples de votre crû les implications de la théorie piagétienne en matière
d’intervention réeducative
Selon Piaget, les enfants mettent du temps à acquérir les compétences logiques tels que la transitivité, la classification, l’abstraction, la sériation et la conservation qui sont nécessaires aux activités numériques. Pour lui le nombre s’acquiert et se construit et ne s’apprend pas. On peut faire répéter verbalement à l’enfant des formules tirées de tables d’addition toutes faites. On obtiendra une assimilation réelle que si le sujet est capable de concevoir une somme X comme une totalité englobant des parties. Le rôle du langage et de l’apprentissage est secondaire, et la vraie compréhension vient avec la maturation mentale.
Le nombre est pour lui une synthèse indissociable de l’inclusion et de la sériation. Le nombre résulte d’une abstraction de qualités différentielles : chaque élément est équivalent à chacun des autres, cela établi, les éléments restent classables selon les inclusions. Selon Piaget l’enfant ne pourra opérer sur les nombres s’il n’est pas capable d’effectuer des opérations de sériation systématique, indicatrice de la maîtrise du principe de transitivité.
Ceci dit, il a eu une énorme influence sur l’éducation, cela a mené à introduire les ensembles dans l’apprentissage ainsi qu’un entraînement logico-mathématique à l’école, des activités de classification et de sériation ont été conçues comme entraînement préalable à l’acquisition des nombres. Enfin, en matière d’intervention rééducative, la théorie piagétienne a eu un impact dans la rééducation, notamment en ce qui concerne les troubles logico-mathématiques comme la dyscalculie. En effet, de nombreux jeux utilisés lors de thérapies se basent sur les principes même de sériation, classification et inclusion.
Un exemple d’intervention rééducative est le test UDN-II. Ce test est élaboré à partir des théories piagétiennes du développement de l’intelligence chez l’enfant. Cette batterie se compose de 8 épreuves inspirées des expériences de Piaget des premières notions logico-mathématiques. Elle est constituée d’une série de situations-problèmes variées. L’UDN-II permet d’explorer les capacités de compréhension et d’utilisation de notions en rapport plus ou moins étroit avec la construction et l’utilisation du nombre chez des enfants de 4 à11 ans.
Il y a des épreuves de logique élémentaire (classification, inclusion, sériation), de conservation, d’utilisation du nombre, d’origine spatiale : comment, par la logique, transposer et affirmer des identités, de connaissance et de compréhension des termes et des opérations mathématiques. Ce test a pour objectif :
- De situer l’enfant examiné dans ses démarches numériques et plus généralement logico-mathématiques.
- D’analyser la répartition des réussites et des échecs selon la nature des tâches proposées.
- Repérer les procédures préférentiellement employées.
- Evaluer le niveau de l’argumentation fournie par l’enfant et le degré d’élaboration des concepts qu’il utilise, ainsi que ses possibilités dynamiques d’évolution.
Un autre exemple : Le TEDI-MATH qui est un test diagnostique des compétences de base en mathématiques. Ce test permet un diagnostic des troubles des apprentissages numériques de la fin de la 2ème année de maternelle (MSM) à la fin du CE2. Il intègre les acquis de la théorie piagétienne du nombre et les connaissances les plus récentes de neuropsychologie et de la psychologie cognitive. Les épreuves ont été conçues pour permettre une évaluation aisée et précise des divers troubles qui peuvent apparaître au cours des premiers apprentissages de la notion de nombre et du calcul. Dans les six domaines de compétences numériques qui sont examinés les opérations logiques piagétiennes sont aussi dedans. (Sériation, classification, conservation, inclusion et décomposition additive).
G11. Que penser de la distinction entre compétence/connaissance conceptuelle et compétence/connaissance procédurale dans l’étude du développement arithmétique ?
Les connaissances conceptuelles consistent à comprendre l’information de façon abstraite afin de pouvoir l’appliquer dans un contexte différent, de pouvoir manipuler et s’approprier le concept.
Les connaissances procédurales sont l’application de règles, de procédures, apprises et qui doivent être réutilisées dans la résolution d’une tâche.
Les enfants ont à la fois besoin de connaissances conceptuelles (utiliser des fractions pour décrire des objets ou situations, les mettre en relation avec des nombres, …) et de connaissances procédurales (additionner, multiplier, simplifier, … selon certaines règles apprises).
G12. Quelles sont les implications des travaux sur l’apprentissage du calcul pour l’éducation mathématique ?
Implications des travaux :
1) Il n’y a pas une seule façon de faire, mais plusieurs. Ceci pose donc la question des différentes stratégies utilisées. Avec l’âge et l’expérience, des stratégies apparaissent (qui sont plus efficaces et évoluées) et d’autres stratégies disparaissent. Mais ces nouvelles stratégies, contrairement à la conception Piagetienne du développement, n’apparaissent pas toutes à des moments précis, mais au contraire se superposent dans le temps.
2) La mémoire stock des faits arithmétiques : L’hypothèse généralement admise est que nous possédons un système de mémoire (déclarative) qui stocke les faits arithmétiques comme un réseau d’associations. Les difficultés d’apprentissage et de performance sont principalement dues à la récupération des informations dans le réseau, et à l’interférence entre faits similaires. Récemment, des études remettent en question l’hypothèse d’un système déclaratif et proposent que les performances de calcul simple soient soutenues par des procédures de comptage rapide et automatisées.
G13. Vous rencontrez un.e enseignant.e de classe primaire (6-8 ans) qui se demande si c’est une bonne
idée d’organiser des moments de jeu en classe pour favoriser certains apprentissages mathématiques. Que
pourriez-vous lui répondre ?
Siegler et Ramani ont utilisé des jeux de plateaux dans des classes préscolaires (4/5 ans) de milieux défavorisés. Les jeux portaient soit sur des nombres sont sur des couleurs. Les enfants jouant avec les couleurs n’ont pas eu d’amélioration de performances mathématiques (tâche où il faut placer un nombre arabe sur une ligne), ils ne comprennent pas bien ce que représente la tâche. Les enfants jouant avec les nombres ont évolué vers une performance presque idéale.
L’avantage des jeux est de favoriser l’appropriation des concepts, de donner sens à activités arithmétiques. Elles peuvent favorisent la découverte, la consolidation des connaissances ou encore l’entraînement procédural en maintenant une certaine motivation dans la tâche. Il est essentiel de varier les supports d’activité.
La course au nombre est un bon exemple de logiciel de jeu pour développer les capacités numériques entre 4 et 8 ans.
Il se base sur le modèle du triple code qui dit qu’une grande partie de l’activité numérique est soutenue par un système de 3 niveaux de représentation mentale :
- Représentation visuelle des formes et nombres arabes (23 = 2 et 3)
- Représentation verbale
- Représentation analogique de la magnitude
Chaque niveau joue un rôle dans les différents types de traitement et jouent un rôle spécifique dans certaines opérations.
Le jeu va développer les association numérosités/notation, numérosités/ligne numérique (lien entre nombre et espace), l’énumération, le comptage, la comparaison, l’addition, la soustraction, la fluence, la rapidité et la mentalisation. La difficulté s’adapte à la performance de l’enfant pour garder la motivation et offre une certaine « récompense » dans l’histoire du jeu (libération de personnage, …).
Cependant, aucune étude n’a pu prouver d’impact réel (on a vu un effet mais pas de groupe contrôle). On a parfois vu des effets dans certains domaines travaillés mais pas pour la totalité (comptage, arithmétique, comparaison non-symbolique, …). Des interventions plus ambitieuses et de plus longue durée sont nécessaires.
G14. Vous rencontrez un.e enseignant.e de fin de cycle primaire (11-12 ans) qui se demande si c’est une bonne
idée d’organiser des moments de jeu en classe pour favoriser certains apprentissages mathématiques. Que
pourriez-vous lui répondre ?
Il est plus difficile d’améliorer l’acquisition des principes de bases car les difficultés ont pu déjà beaucoup s’amplifier (effet rich get richer/boule de neige).
Il est dès lors important de revenir aux notions fondamentales afin de retravailler les déficits à la base. Il est plus conseillé d’agir sur les causes proximales que distales, comprendre les difficultés de l’enfant plutôt que les origines génétiques ou autre.
Concernant les nouvelles capacités à apprendre fin primaire, il pourrait être intéressant de travailler sur les fractions. Les jeux sur les fractions permettent aux enfants d’avoir des référentiels communs stables, d’ancrer les apprentissages dans une activité, de tirer parti des interaction sociales (compétition, coopération, arbitrage) et d’utiliser des situations et supports variés. Des auteurs (dont Content) ont été dans des classes de 5e primaire pour faire des jeux de table par groupes de 3 à 5 enfants avec des équipes et des duels. Plusieurs niveaux de difficulté étaient possibles (fractions impropres, équivalentes, …) dans des jeux de bataille, de valet puant, … Le référentiel commun était un tableau mural et un matériel à manipuler qui servaient lors de l’arbitrage des jeux. Cela a pour but de développer la compréhension de l’estimation (placer la fraction sur une droite), de la comparaison (choisir la plus grande fraction) et des droites numériques (placer la fraction sur une droite graduée). Cela a également pour objectif de développer des procédures de résolution d’additions, de soustraction et de simplification de fractions. Au final, les enfants ont mieux progressé que les autres classes dans les épreuves conceptuelles, mais pas procédurales. Néanmoins, le biais pour les naturels était diminué (erreur typique de biais pour le naturel : 1/3 + 2/4 = 3/7).
