AP1 - Resumão Flashcards
Qual a diferença entre vértice e vetor?
Vértice é um ponto específico no espaço (ou seja, sem direção, magnitude ou tamanho).
Vetor é uma deslocação entre dois pontos/vértices.
Logo: se o exercício apresentar apenas vértices, é necessário encontrar os vetores.
Como conhecer um vetor tendo conhecimento dos vértices?
Por exemplo: temos o vértice A e o vértice B.
Como saber o vetor AB?
Seguindo o exemplo:
Devemos fazer a subtração de B - A.
A = (5, 10, 8)
B = (9, 13, 1)
B - A = (9 - 5, 13 - 10, 1 - 8)
B - A = (4, 3, -7)
Como saber a magnitude (comprimento) de um vetor?
Ou seja, como saber ||u|| ?
Para saber a magnitude ou o comprimento, basta:
- Pegar cada vértice do vetor e elevar ao quadrado;
- Somar todos os resultados;
- Fazer a raiz quadrada da soma.
Ou seja:
||u|| = √(a2 + b2 + c2)
||u|| = √u2
Lembrando que a magnitude leva em consideração que o vetor sai do ponto (0, 0, 0).
Como saber o ângulo entre dois vetores?
Basta aplicar a fórmula:
cos = (u . v) / (||u|| . ||v||)
Ou
u . v = ||u|| . ||v|| . cos ()
lembrando:
u . v = (u1v1 + u2v2 + u3v3)
|||u|| = √(a² + b² + c²)
Lembrete: Quando o cosseno é igual a 0, significa que o ângulo é de 90 graus.
Como saber a ortogonalidade entre vetores?
Para saber a ortogonalidade dos vetores é necessário multiplicar os vetores entre si e o resultado dessa multiplicação deve dar sempre 0.
Exemplo:
Temos os vetores u, v e w.
u . v = 0
u . w = 0
w . v = 0
Lembrando que a multiplicação se faz sempre de 2 em 2.
Lembrando da multiplicação (ou produto escalar)
:
u . v = u1 . v1 + u2 . v2
Como saber se dois vetores são paralelos?
Caso a razão entre os vetores seja iguais, temos paralelismo.
Exemplo:
a1/b1 = a2/b2 = a3/b3
Como calcular o subespaço?
- Devemos multiplicar cada vetor por uma letra;
- Devemos somar cada resultado:
- Resolver o sistema linear. Apresentando os resultados das letras a, b e c.
Exemplo:
Temos vetores u, v e w:
a . (u1, u2, u3) + b . (v1, v2, v3) + c . (w1, w2, w3) = (x, y, z)
- au1+ bv1+ cw1 = x
- au2+ bv2+cw2 = y
- au3+bu3 +wu3 = z
A partir desse ponto, temos um sistema linear para ser resolvido onde deve-se buscar o resultado das letras a, b e c.
Formalmente, a resposta ficará:
Sendo assim, S = R3, basta, para qualquer vetor (x, y, z) € R3, tomar (resultado de x), (resultado de y) e (resultado de z).
Como se calcula a base de um conjunto de vetores?
- Precisamos verificar se o conjunto de vetores geram um subespaço;
- Precisamos verificar se os vetores são linearmente independentes;
Gerando subespaço
Temos vetores u, v e w:
a . (u1, u2, u3) + b . (v1, v2, v3) + c . (w1, w2, w3) = (x, y, z)
- au1+ bv1+ cw1 = x
- au2+ bv2+cw2 = y
- au3+bu3 +wu3 = z
A partir desse ponto, temos um sistema linear para ser resolvido onde deve-se buscar o resultado das letras a, b e c.
Verificando se são linearmente Independentes
a . (u1, u2, u3) + b . (v1, v2, v3) + c . (w1, w2, w3) = (0, 0, 0)
- au1+ bv1+ cw1 = 0
- au2+ bv2+cw2 = 0
- au3+bu3 +wu3 = 0
Se, após a resolução do sistema linear a, b e c forem realmente igual a 0; temos um sistema linear independente.
Como transformar uma base em ortogonal?
Precisa utilizar o método Gram Schmidt.
Exemplo:
v = (v1, v2, v3)
u = (u1, u2, u3)
w = (w1, w2, w3)
- O primeiro vetor não mudará:
v’ = v
- A partir daqui, temos uma fórmula:
u’ = u _ u . v’ . v’
v’ . v’
- Continuamos com a fórmula:
w’ = w _ w . u’ . u’ _ w _ w . v’ . v’
u’ . u’ v’ . v’
- Pronto, o resultado da ortogonalidade é w’
Como transformar uma base em ortonormal?
- Primeiro, precisamos utilizar o método Gram Schmidt
Exemplo:
v = (v1, v2, v3)
u = (u1, u2, u3)
w = (w1, w2, w3)
- O primeiro vetor não mudará:
v’ = v
- A partir daqui, temos uma fórmula:
u’ = u _ u . v’ . v’
v’ . v’
- Continuamos com a fórmula:
w’ = w _ w . u’ . u’ _ w _ w . v’ . v’
u’ . u’ v’ . v’
- Pronto, o resultado da ortogonalidade é w’
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
- Após, utilizamos a ortonormalização:
vetor ortonormalizado = w’
||w’||
Lembrando:
||w’|| = √(a2 + b2 + c2)
||w’|| = √w2
